Ein Blick auf den Zufallsprozess in Microsoft Windows Spiel Solitaire oder Wie benützt man elektronische Glücks-Spiele für statistische Projekte?

Transkript

1 5 Ein Blick auf den Zufallsprzess in Micrsft Windws Spiel Slitaire der Wie benützt man elektrnische GlücksSpiele für statistische Prjekte? Rnald D. Fricker, Califrnien/USA Übersetzung: Ingebrg Strauß, Krnberg im Taunus Zusammenfassung: Das ppuläre CmputerSpiel Slitaire wird als Vehikel für die Untersuchung eines ZufallszahlenGeneratrs eingesetzt. Die Erfrschung seiner Eigenschaften ist eine geeignete Basis für ein schulbezgenes Prjekt. Einleitung Elektrnische Spiele durchziehen die CmputerWelt. Die Anwender gehen stillschweigend davn aus, dass diese Spiele ihre Gegenstücke aus der,realen' Welt genau nachahmen. Ist slche Annahme wirklich begründet? Elektrnische ZufallsSpiele, wie etwa Pker der Slitaire, basieren auf ZufallszahlenGeneratren, guten wie weniger guten. Darüber hinaus stützen sich diese Spiele auch auf cdierte Regeln und die Mathematik. Liegt die Betnung bei der Entwicklung slcher Sftware nur auf ansprechender Graphik statt auch auf slider Prgrammierung auf der Grundlage der W ahrscheinlichkeitstherie, dann wird ein Spiel resultieren, das zwar hübsch anzuschauen ist, jedch nur ein armseliger Abklatsch des,wahren' Spiels ist. Da diese elektrnischen Spiele überall, zu Hause wie in der Schule, anzutreffen sind, können sie als sprudelnde Quelle zur Datensammlung bei SchülerPrjekten und Referaten eingesetzt werden. Die Idee dabei ist, die gesammelten Daten daraufhin zu analysieren, b die elektrnischen Spiele eine akkurate Wiedergabe der mechanischen Spiele sind. Diese Überprüfung kann auf vielen verschiedenen AnspruchsNiveaus geschehen. Im Flgenden diskutiere ich ein einfaches, anschauliches Beispiel. Wir betrachten das allgegenwärtige Slitaire, das mit Micrsft Windws ausgeliefert wird. Praktisch auf jedem IBMkmpatiblen Cmputer läuft dieses Spiel in Millinen vn Kpien auf der ganzen Welt. Das Angenehme der elektrnischen Versin wird darin gesehen, dass die Plackerei des Mischens und Austeilens der Karten vm Rechner übernmmen wird. Man wählt einfach "Karten geben" aus dem PulldwnMenü "Spiel" aus, und flugs werden die Karten gemischt und sauber angerdnet auf dem Bildschirm ausgebreitet. Stchastik in der Schule 19(1999), Nr. 1, S. 59 Übersetzung aus Teaching Statistics, vl. 20, n. 2 (Summer 1998), S. 4345

2 6 Die SlitaireVersin, die mit Windws vertrieben wird, ist unter Kennern als KlndikeSlitaire bekannt. Die Regeln können in vielen SpieleBüchern der anderen Referenzen nachgelesen werden. Für uns hier sind Details nicht vn Belang, man braucht nur zu wissen, dass die 52 (Rmme)Karten vr Spielbeginn gemischt und dann in der Frm, wie sie Abbildung 1 zeigt, ausgelegt werden. Die mit der Zahl der dem Bild nach ben liegenden Karten sind als ein Zufallsprdukt aufgrund des Mischvrgangs. Abb. 1 : AnfangsVerteilung der Karten bei Slitaire Das Ziel des Spiels ist es, alle Karten des Stcks und des Tableaus auf die vier Plätze rechts ben in der Reihenflge A(s), 2,..., 10, J(ack) [= Bube], Q(ueen) [= Dame], K(ing) [= König] zu legen. Diskussin Mein Interesse an der stchastischen Wirkungsweise vn Slitaire begann, als ich eines Tages viele Durchgänge hintereinander spielte. Ein Muster kristallisierte sich heraus: Hatte ich ein Spiel gewnnen, dann gewann ich mit größerer Wahrscheinlichkeit auch das nächste; hatte ich ein Spiel verlren, dann verlr ich auch mit größerer Wahrscheinlichkeit das flgende. Nch schärfer: Hatte ich ein Spiel mit einer sehr hhen Punktzahl gewnnen, dann gewann ich mit grßer Wahrscheinlichkeit auch das nächste mit einem sehr hhen Scre, und umgekehrt. Zunächst neigte ich dazu, mir diese Serien dadurch zu erklären, dass ich whl das eine Mal mehrere Durchgänge hintereinander mit erhöhter und das andere Mal mit verminderter Aufmerksamkeit gespielt hatte. Genauere Bebachtung widerlegte jedch diese Vermutung: Der Faktr Knzentratin schien keine Auswirkung auf die Abflge der Gewinn bzw. VerlustSerien zu haben. Danach versuchte ich die Ergebnisse dadurch zu ratinalisieren, dass ich mich selbst auf die Tatsache hinwies, dass slche Periden zufällig auftreten, der Zufall als "klumpig" ist. Der Statistiker in mir wllte das überprüfen. Dch wie das anstellen mit einem kmpilierten CmputerPrgramm wie Slitaire und meinen mageren Prgrammier Fähigkeiten?

3 7 Da die Sftware kmpiliert ist, sah ich keinen Weg, in den SurceCde hineinzuschauen, um den ZufallszahlenGeneratr und die Regeln zu überprüfen. Ich könnte jeweils die KartenAbflgen auf Papier übertragen, aber es wäre außerrdentlich langweilig und für viele Spiele unmöglich, s zu verfahren. Das liegt unter anderem daran, dass der ganze KartenStapel nur dann aufgedeckt wird, wenn man gewinnt. Im anderen Fall gibt es keine Möglichkeit, die Anrdnung der StackKarten zu erfahren. Es ist als nur eine Teilmenge aller Karten sichtbar. Da ich weder an einem Übermaß detallierter Abflgen nch an tiefschürfenden statistischen Analysen interessiert war, suchte ich nach einem anderen Verfahren. Analyse und Resultat Meine Idee war, die bige UntersuchungsMethde zu invertieren. Anstatt herauszufmden, b das Spiel "rdentlich" (d.h. eine gen aue Repräsentatin der,realen' Welt) ist, schaute ich nach einer kleineren Untermenge der zur Verfügung stehenden Daten, die mir darüber Aufschluss geben könnte, b das Spiel in irgendeiner Weise,irreal' ist. Dies ist eine ersichtlich einfachere Aufgabe. Findet man eine slche Teilmenge nicht, ist damit nch nicht geklärt, b das Spiel wirklich "rdentlich" ist. Während des häufigen HintereinanderSpielens kam mir die Frage, wie gut denn dem Cmputer das Mischen zwischen den einzelnen Spielen gelingt. Als richtete ich meine Aufmerksamkeit auf diesen wmöglichen Trend. Ein Weg ist der, das Augenmerk ausschließlich auf die erste aufgedeckte Karte ganz links im Tableau zu richten ("Psitin I" in Abbildung 1). Bei guter Durchmischung erscheint diese Karte im Durchschnitt in 1 vn 52 Fällen. Da das Mischen in Slitaire einfach ist, kann man flgende Operatin leicht viele Male durchführen: Mischen (aus dem PulldwnMenü heraus), ntieren der Karte in Psitin 1, wieder mischen und dann nachsehen, b die neue Karte in der 1. Psitin die gleiche wie zuvr ist. Führt man diesen Vrgang 104mal durch, sllten im Mittel zwei gleiche Karten erscheinen. (Wir haben es hier mit einer binmial verteilten ZufallsVariablen X mit der Erflgswahrscheinlichkeit 1/52 und n = 104 zu tun, als ist E(X) = np = 2.) Ich führte das Experiment 10 Mal mit je 104 Vergleichen durch. Vr jedem der 10 Experimente startete ich Slitaire aufs Neue, um den ZufallszahlenGeneratr zu initialisieren. (Die Vermutung einer Neulnitialisierung bei jedem Aufruf beruht auf meiner Bebachtung, dass jedesmal, wenn Slitaire gestartet wird, die Karten neu gemischt werden. Ist das Spiel wirklich gut zufallsgesteuert, dann ist das Sammeln unserer Daten in Teilmengen unerheblich. Gibt es jedch irgendeinen Fehler im Prgramm, dann können verschiedene Ausgangswerte des ZufallszahlenGeneratrs helfen, ihn zu entdecken.) Tabelle I zeigt die Resultate.

4 8 Anzahl der Anzahl der Set Nr. Übereinstimmungen Set Nr. Übereinstimmungen Tab. 1: Daten aus Slitaire. Jedes "Set" besteht aus 104 ZweierSpielen. Eine "Übereinstimmung" wird registriert, wenn die Karten in Psitin 1 in einem ZweierSpiel übereinstimmen. Auf den ersten Blick erkennt man, dass da etwas nicht stimmt. Aus den paarigen Vergleichen resultieren 114 Übereinstimmungen fast 11 %. Das ist signifikant höher als die erwarteten 20 Paare. Um zu erkennen, wie weit diese Ergebnisse vn der Therie entfernt sind, betrachten wir den besten Set, den dritten: Wenn Xbinmialverteilt ist mit n = 104 und p = 1/52, dann gilt P(X~ 5) = 0,051. Ein StandardHypthesenTest (der z.b. p = 0,05 benutzt) lehnt fast den besten Set unter den 10 ab. Fasst man die 10 Sets zusammen, nimmt als n = 1040, resultiert P(X~ 114) = 0 auf viele Dezimalstellen genau! Ein Bild sagt mehr als tausend Wrte. In Abbildung 2 ist die WahrscheinlichkeitsFunktin B(l04,1/52) gezeichnet. Die Höhe eines Stabes gibt die Wahrscheinlichkeit dafür an, dass die Paare der Übereinstimmungen in einem Set gleich x ist. Es ist klar ersichtlich, dass die Wahrscheinlichkeit für X> 8 faktisch Null ist. Die meisten der bebachteten Werte (siehe die schwarzen Dreiecke) sind unwahrscheinlich grß verglichen mit der BinmialVerteilung. Es ist interessant, dieses Ergebnis demjenigen gegenüberzustellen, das man erhält, wenn man man die Daten beim jeweiligen ErstStart des Prgramms zugrundelegt. Man kann Slitaire zum Beispiel durch einen DppelClick auf sein Icn starten, die Karte in Psitin 1 registrieren, das Prgramm schließen, wieder aufrufen, die nun erscheinende Karte in Psitin mit der vrigen vergleichen und Slitaire wieder verlassen. Ich führte diesen Versuch 208mal durch (Der Zeitaufwand ist erheblich größer als bei der vrigen Methde) und erhielt nur 4 Übereinstimmungen, exakt den Erwartungswert. Flgerung Die einfache statistische Analyse stützt meine Vermutung, dass das "Mischen" in direkt (d.h. hne Slitaire zu verlassen) aufeinanderflgenden Spielen in dieser Versin vn Windws nicht gut stchastisch ist. Im Gegensatz dazu gibt die Untersuchung keinen Anlass, am zufallsbedingten ErstMischen nach Aufruf des Prgramms zu zweifeln. Für Schüler und Lehrer illustriert dieser Artikel, wie elektrnische Spiele als DatenQuelle etwa für Prjekte herangezgen werden können, wbei die Schü

5 9 ler zu untersuchen haben, b ein Spiel in seiner CmputerVersin eine genaue Wiedergabe des manuellen Spiels ist. Die Stärke dieses Typs vn Prjekten ist, dass sie in vielerlei Art repräsentativ sind für,realwelt'prbleme: Das Spiel ist ein kmplexes System, aus dem die Schüler eine spezielle Fragestellung filtern und dann Daten sammeln müssen. Daraufhin ist die Analyse vrzustrukturieren und durchzuführen. Windws Slitaire ist sicherlich ein HauptKandidat für weiteres Erfrschen. Es gibt eine Vielzahl anderer elektrnischer Spiele, die für slcherart Überprüfung geeignet sind. Bebachtet:. I I I I I I I I 5 10 X Abb. 2: Graph der WahrscheinlichkeitsFunktin B(104,l/52), zusammen mit den bebachteten Werten vn 10 DatenMengen. Die Daten wurden beim Spiel Slitaire unter Windws 3.1 gewnnen. Rnald D Fricker Jr RAND, Califrnia, USA Rn _ F ricker@rand.rg