Abstract State Machines

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1 Abstract State Machines Patrick Köhnen Seminar Systementwurf

2 Übersicht 1. Historie und Praxis 1.1 Yuri Gurevic 1.2 ASMs in der Praxis 2. Was sind ASMs 2.1 Transitionssystem 2.2 Signatur 2.3 -Algebra 2.4 ASM 3. Beispiele 3.1 Größter gemeinsamer Teiler 3.2 String Matching 4. Literatur

3 Yuri Gurevic 1982 wechselte Yuri Gurevic von der Mathematik zur Informatik Er unterrichtete eine Programmiersprache und stellte sich die Frage: Was ist die Semantik eines Programms dieser Sprache? Diese Fragestellung führte zu ASMs und der These: Jeder sequentielle Algorithmus kann Schritt für Schritt, von einer angemessenen sequentiellen ASM simuliert werden Gurevic ist momentan Senior Researcher bei Microsoft Research 1

4 ASMs in der Praxis ASMs können für Analyse, Design und Verifikation von Software verwendet werden Einige Vorteile von ASMs sind: Präzision [Zustände werden mit Algebren dargestellt] Verständlichkeit [einfache Syntax, in etwa Pseudocode] Ausführbarkeit [Tools sind vorhanden] Skalierbarkeit [Systemdarstellung in mehreren Abstraktionsgraden] Die Semantik von SDL und Prolog wurde formal mit ASMs definiert 2

5 Transitionssystem Deterministische, sequentielle, nicht-reaktive Algorithmen werden mit Transitionssystemen beschrieben Definition: Sei Q eine Menge sei I Q sei F: Q Q [Zustände], [Anfangszustände], [Übergangsfunktion] Dann ist C = (Q, I, F) ein initialisiertes, deterministisches Transitionssystem. 3

6 Signatur Definition: Seien f 1,..., f k Symbole und seien n 1,..., n k natürliche Zalen, Dann ist = (f 1,..., f k, n 1,..., n k ) eine Signatur Bsp.: = (const, fct, 0, 1) Die Signatur einer ASM beinhaltet immer: Konstantensymbole: true, false, undef Operationssymbole: =,,, 4

7 -Algebra Definition: Sei = (f 1,..., f k, n 1,..., n k ) eine Signatur und sei S = (U, g 1,..., g k ) eine Algebra vom Typ (n 1,..., n k ) (U ist eine Menge und g i :U... U U eine Funktion über U mit der Stelligkeit n i ) Dann ist S eine -Algebra Bsp.: = (const, fct, 0, 1) -Algebra S 1 = (N, 0, suc) -Algebra S 2 = (Z, 0, pre) 5

8 ASM Eine ASM ist eine Menge bedingter Wertzuweisungen Eine ASM definiert ein Transitionssystem Jeder Zustand ist eine -Algebra Ein Schritt entsteht durch die parallele Ausführung der Wertzuweisungen Seien q 1,..., q k bedingte Zuweisungen [if then r ] Dann ist: par q 1,..., q k endpar ein sequentielles, beschränktes ASM-Programm über 6

9 Größter gemeinsamer Teiler (high level) Aufgabe: Berechnung des ggt von zwei positiven Integers Universum: PosInt Nullstellige Funktionen: A, B, Output Zweistellige Funktion: ggt: PosInt PosInt PosInt par if Output = undef then Output := ggt(a, B) endpar 7

10 Größter gemeinsamer Teiler (Euklid mit mod) par if Output = undef then if (A mod B = 0) then Output:= B else A := B B := A mod B endpar Universum: PosInt, Nat, Boolean Nullstellige Funktionen: A, B, Output mod: PosInt PosInt Nat Equal: Nat Nat Boolean Bsp.: A 77 B 28 A 28 B 21 A 21 B 7 A 21 B 7 Output 7 8

11 Größter gemeinsamer Teiler (Euklid ohne mod) par if Mode = start then AmodB := A Mode := calcmod elseif Mode = calcmod then if AmodB < B then Mode := doeuclid else AmodB := AmodB B elseif Mode = doeuclid then if AmodB = 0 then Output:= B Mode := done else A := B B := AmodB Mode := start endpar Bsp.: A 77, B 28 AmodB undef Mode start A 77, B 28 AmodB 77 A 77, B 28 AmodB 49 A 77, B 28 AmodB 21 A 77, B 28 AmodB 21 Mode doeuclid A 28, B 21 AmodB 21 Mode start A 28, B 21 AmodB

12 Größter gemeinsamer Teiler (Vergleich) mit mod: ohne mod: A 77 B 28 A 77, B 28 AmodB undef Mode start A 77, B 28 AmodB 21 Mode doeuclid A 28, B 21 AmodB 7 Mode doeuclid A 21, B 7 AmodB 7 A 28 B 21 A 77, B 28 AmodB 77 A 28, B 21 AmodB 21 Mode start A 21, B 7 AmodB 7 Mode start A 21, B 7 AmodB 0 A 21 B 7 A 77, B 28 AmodB 49 A 28, B 21 AmodB 28 A 21, B 7 AmodB 21 A 21, B 7 AmodB 0 Mode doeuclid A 21 B 7 Output 7 A 77, B 28 AmodB 21 A 28, B 21 AmodB 7 A 21, B 7 AmodB 14 A 21, B 7 AmodB 0 Output 7 Mode done 10

13 String Matching (high level) Aufgabe: Finde einen String in einem anderen String Universen: String, Nat, Character Nullstellige Funktionen: Heuhaufen, Nadel, Output Zweistellige Funktion: Finde: String String Nat par if Output = undef then Output := Finde(Nadel, Heuhaufen) endpar 11

14 String Matching (als 'template') if not fertig then if keineweiterenkandidaten then Fehlermitteilung else if möglicherkandidat then Kandidat weiter testen else nächster Kandidat Terme und Regeln in einem 'template' sind Makros Makros werden durch einen Term oder eine Regel ersetzt Terme: fertig, keineweiterenkandidaten, möglicherkandidat: Regeln: Fehlermitteilung, Kandidat weiter testen, nächster Kandidat 12

15 String Matching [naive brute force, (n)] 1/3 if not fertig then if keineweiterenkandidaten then Fehlermitteilung else if möglicherkandidat then Kandidat weiter testen else nächster Kandidat 0stellige Funktionen: Index, Output, Heuhaufen, Nadel 1stellige Funktion: Länge: String Nat 3stellige Funktion: Substr: String Nat Nat String [Eingabe StartPos StringLänge] Bsp.: Index Länge(Nadel) 3 FOOANDBAR Heuhaufen Substr(Heuhaufen, 1, 2) OO AND Nadel 13

16 String Matching [naive brute force, (n)] 2/3 if not fertig then if keineweiterenkandidaten then Fehlermitteilung else if möglicherkandidat then Kandidat weiter testen else nächster Kandidat 0stellige Funktionen: Index, Output, Heuhaufen, Nadel 1stellige Funktion: Länge: String Nat 3stellige Funktion: Substr: String Nat Nat String nächster Kandidat: Index := Index + 1 Fehlermitteilung: Index := undef keineweiterenkandidaten: Index > Länge(Heuhaufen) Länge(Nadel) möglicherkandidat: Substr(Heuhaufen, Index, Länge(Nadel)) = Nadel Kandidat weiter testen: Output := Index fertig: Output ¹ undef or Index = undef 14

17 String Matching [naive brute force, (n)] 3/3 Makros eingesetzt... par if not Output ¹ undef or Index = undef then if Index > Länge(Heuhaufen) Länge(Nadel) then Index := undef else if Substr(Heuhaufen, Index, Länge(Nadel)) = Nadel then Output := Index else Index := Index + 1 endpar 0stellige Funktionen: Index, Output, Heuhaufen, Nadel 1stellige Funktion: Länge: String Nat 3stellige Funktion: Substr: String Nat Nat String 15

18 String Matching [naive brute force, (n 2 )] 1/3 if not fertig then if keineweiterenkandidaten then Fehlermitteilung else if möglicherkandidat then Kandidat weiter testen else nächster Kandidat Zusätlich: 0stellige Funktion: Offset 2stellige Funktion: CharAt: String Nat Character Bsp.: Index FOOANDBAR Heuhaufen AND Nadel 012 Offset CharAt(Heuhaufen, Index + Offset)?¹ CharAt(Nadel, Offset) 16

19 String Matching [naive brute force, (n 2 )] 2/3 if not fertig then if keineweiterenkandidaten then Fehlermitteilung else if möglicherkandidat then Kandidat weiter testen else nächster Kandidat Zusätlich: 0stellige Funktion: Offset 2stellige Funktion: CharAt: String Nat Character mögl.kandidat: CharAt(Nadel, Offset) = CharAt(Heuhaufen, Index + Offset) Kandidat weiter testen: if Offset = Length(Nadel) then Output := Index else Offset := Offset + 1 nächster Kandidat: Index := Index + 1 Offset := 0 Alle weiteren Makros bleiben unverändert! 17

20 String Matching [naive brute force, (n 2 )] 3/3 Makros eingesetzt... par if not Output ¹ undef or Index = undef then if Index > Länge(Heuhaufen) Länge(Nadel) then Index := undef else endpar if CharAt(Nadel, Offset) = CharAt(Heuhaufen, Index + Offset) then if Offset = Length(Nadel) then Output := Index else Offset := Offset + 1 else Index := Index + 1 Offset := 0 0stellige Funktionen: Index, Output, Heuhaufen, Nadel, Offset 1stellige Funktion: Länge: String Nat 2stellige Funktion: CharAt: String Nat Character 3stellige Funktion: Substr: String Nat Nat String 18

21 Literatur Yuri Gurevic: Sequential Abstract-State Machines Capture Sequential Algorithms, ACM Tansactions on Computational Logic Vol. 1, No 1, Juli 2000, Seite James K. Huggins, Charles Wallace: An Abstract State Machine Primer, Michigan Technological University, CS-TR-02-04, 2002 Wolfgang Reisig: Vorlesung Systementwurf, Kapitel 4, Humboldt-Universität zu Berlin,