Transzendenz von e und π

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1 Sommersemester 213 Ausarbeitung Seminar Analysis JP Dr. Tomáš Dohnal Transzendenz von e und π Dennis Kruse , Dortmund Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung Abstract Konstruierbare Zahlen 1 3 Existenz transzendenter Zahlen 6 4 Transzendenz der eulerschen Zahl 7 5 Transzendenz der Kreiszahl 11 6 Literaturverzeichnis 11

2 1 Einleitung Das berühmte Problem der Quadratur des Kreises dürfte wohl jeder schon einmal gehört haben. Hinter dieser schon seit der Antike erforschten Fragestellung steckt, ob man zu einem Kreis mit Zirkel und Lineal ein flächengleiches Quadrat konstruieren kann. Um dies durchführen zu können müsste man die Strecke π konstruieren können, was genau dann geht, wenn auch π konstruiert werden kann, wie wir später sehen werden. Dass so genannte transzendente Zahlen existieren, die nicht konstruierbar sind, wurde erst im 19. Jahrhundert von Joseph Liouville und etwas später nocheinmal von Georg Cantor bewiesen. Diese Arbeit beschäftigt sich zunächst mit der Konstruierbarkeit von Zahlen und mit dem Zusammenhang dieser zu algebraischen Zahlen. Dort wird gezeigt werden, dass konstruierbare Zahlen zwingend algebraisch sein müssen. Im weiteren Verlauf wird die Transzendenz der Eulerschen Zahl e gezeigt. Der Beweis wird geführt, indem Zahlen konstruiert werden, die es nicht erlauben, dass die Eulersche Zahl algebraisch ist. Der Umfang der Ausarbeitung gestattet es leider nicht, auch den Beweis der Transzendenz der Kreiszahl π durchzuführen, worauf allerdings am Ende nocheinmal eingegangen wird. 1.1 Abstract Surely almost everyone knows of the problem of squaring the circle. This problem means if it is possible to construct a square with compass and straight-edge with the same area as a circle. In order to realize this question one has to be able to create a line segment with the length π which is only possible when π can be constructed. The existence of transcendenteal numbers, which cannot be constructed, was first prooved in the middle of the 19th century by Joseph Liouville and shortly after by Georg Cantor. This seminar work starts with the construction of numbers with compass and straightedge and the connection to algebraic numbers. It will be shown that constructable numbers have to be algebraic. Afterwards you can find the proof that Euler s number e ist transcendenteal. The basis of this proof is the construction of numbers, which does not allow that Euler s number is algebraic. Unfortunately the extent of this work does not allow to proove the transcendence of π, which will be mentioned at the end of this seminar work. 2 Konstruierbare Zahlen Den Begriff der Konstruierbarkeit, der nun definiert wird, benötigen wir für den Rückschluss auf die Unmöglichkeit der Quadratur des Kreises. 1

3 Definition 2.1 (konstruierbar) Eine Zahl κ R heißt konstruierbar, wenn, ausgehend vom einer Strecke der Länge 1, mit Zirkel und Lineal eine Strecke der Länge κ konstruiert werden kann. Die Konstruierbarkeit mit Zirkel und Lineal bedeutet Folgendes: Wir haben ein Lineal, welches keine Markierungen hat, mit dem wir Geraden durch zwei gegebene Punkte ziehen können. Mit dem Zirkel können wir Kreise ziehen, die einen beliebigen Punkt als Mittelpunkt haben und die durch jeweils einen anderen Punkt verlaufen. Weiterhin ist das Abschlagen und Übertragen von Strecken auf eine Geraden oder Kreislinie möglich. Satz 2.2 Sei K die Menge aller konstruierbaren Zahlen. Seien weiter a, b K Dann gilt: 1. a + b K 2. a b K 3. a b K 4. a b K für b Beweis. 1. Man trage auf einer Geraden nacheinander Kreise mit den Radien a und b ab. So entsteht eine Strecke der Länge a + b 2. Entsprechend wird bei der Subtraktion die Strecke b in Richtng des Ausgangspunktes abgetragen. So erhält man eine Strecke der Länge a b 3. Für die den Beweis der Verträglichkeit mit der Multiplikation verwenden wir den Strahlensatz. Von einem Ausgangspunkt werden auf einer Geraden g die Strecken 1 und a markiert. Auf einer zweiten Gerade h, welche g im Ausgangspunkt schneidet, wird die Strecke b abgetragen. Nun legt man durch 1 und b eine Gerade. Konstruiere dann eine Parallele zu dieser Geraden die, die erste Gerade im Punkt a schneidet. Diese Parallele schneidet die zweite Gerade nun im Abstand x = a b, denn es gilt nach dem Strahlensatz x b = a 1 x = a b 4. Der Beweis der Verträglichkeit mit der Division erfolgt ähnlich. Die Strecke a wird wieder auf einer Geraden abgetragen und auf einer zweiten Gerade, die werden die Strecken 1 und b abgetragen. Durch a und b wird nun eine 2

4 Gerade gezogen und die dazu parallele Gerade durch den Punkt 1 auf der zweiten Gerade trägt auf der ersten Gerade genau die Strecke x = a b ab, denn es gilt: Beispiel ist konstruierbar. x a = 1 b x = a b Abbildung 1: Konstruktion von 2 Für die Konstruktion von 2 benötigen wir zunächst ein rechtwinkliges Dreieck, welches wir nun konstruieren werden. Wir tragen also auf einer Geraden die Strecken 2 und 1 nacheinander ab; die Endpunkte bezeichnen wir mit C und B und den Startpunkt mit A. Als nächstes konstruiert man den Mittelpunkt M der Strecke der Länge 3. Diesen Mittelpunkt benutzt man auch als Mittelpunkt eines Thaleskreises, der den Abstand von M zu A als Radius hat. Nun konstruiert man eine senkrechte Gerade durch C. Man hat nun ein rechtwinkliges Dreieck ABD, mit B Schnittpunkt von Kreis und Senkrechte. Behauptung ist nun, dass die Strecke x := CD die Länge 2 hat. Man kann den Satz des Pythagoras anwenden: AD 2 + BD 2 = AB 2 x x =(2 + 1) 2 x 2 =2 x = 2 Dies kann man analog für alle Wurzeln von rationalen Zahlen anwenden, indem man die 2 durch die gewünschte rationale Zahl ersetzt. Damit kommen wir zu folgendem Korollar: Korollar 2.4 Die Quadratwurzeln rationaler Zahlen sind konstruierbar. 3

5 Nachfolgend bezeichne M[z] die Menge der Polynome (mit Argument z) mit Koeffizienten in M C. Wir wollen nun den Begriff algebraisch und damit auch den Begriff der Transzendenz definieren. Definition 2.5 (algebraisch, transzendent) Eine Zahl a C heißt algebraisch, wenn ein Polynom P (z) = m k= b kz k Q[z] existiert mit degp = m 1, sodass P (a) =. Die Menge aller algebraischen Zahlen wird mit A bezeichnet. Zahlen, die nicht algebraisch sind (also aus C \ A), heißen transzendent Bemerkung 2.6 A ist ein Körper. Der Begriff Transzendenz wurde durch Euler gebildet, der transzendente Zahlen als Zahlen beschrieb, die die Wirksamkeit algebraischer Methoden überschreiten (transzendieren). Beispiel ist algebraisch: x 2 3 = liefert als Nullstelle Sei p q Q. Dann ist p q algebraisch: qx p = liefert p q als Nullstelle. Der nächste Satz zeigt den Zusammenhang zwischen algebraischen und konstruierbaren Zahlen. Satz 2.8 Konstruierbare Zahlen sind algebraisch. Beweis. Nach Satz 2.2 ist die Menge aller konstruierbaren Zahlen K ein Unterkörper der reellen Zahlen R. Insbesondere ist Q K. Man kann Schnittpunkte von Geraden und Kreisen konstruieren. Denn diese sind Lösungen quadratischer Gleichungen und damit rationale Zahlen oder Wurzeln von rationalen Zahlen und diese sind konstruierbar: =ax + by + c (1) =x 2 + y 2 + 2αx + 2βy + γ (2) 4

6 mit a, b, c, α, β, γ Q. Umstellen der Geradengleichung nach y und einsetzen in die Kreisgleichung ergibt: =x 2 + ( ax + c ) 2 + 2αx 2β( ax + c ) + γ b b =... ) = (1 + a2 b }{{} =:A ( 2ac x 2 + ) 2αβ b 2 + 2α b }{{} =:B Man erhält eine quadratische Gleichung der Form: mit A, B, C Q und den Lösungen = Ax 2 + Bx + C ( c 2 x + b 2 1 ) b 2βc + γ }{{} =:C x 1/2 = B ± B 2 4AC. 2A Alle konstruierbaren Punkte sind entweder Schnitte von Geraden und Kreisen oder von Kreisen und Kreisen, genügen also einer quadratischen Gleichung, immer ausgehend von einem bereits konstruierten Punkt. Wir konstruieren einen Körper mit festen k Q K 1 := {a + b k a, b Q}. K 1 ist in der Tat ein Körper, denn er ist abgeschlossen bezüglich Multiplikation und Addition und besitzt ein Neutrales und ein Inverses. Weiterhin gilt das Distributivgesetz. Darauf aufbauend definieren wir für ein festes k 1 K 1 den Körper K 2 := {a 1 + b 1 k1 a 1, b 1 K 1 }. Es gilt: K 1 K 2. Nach n Schritten erhalten wir für festes k n 1 K n 1 den Körper K n := {a n 1 + b n 1 kn 1 a n 1, b n 1 K n 1 }, Jede konstruierbare Zahl κ K liegt also in einem solchen K m, das durch endlich viele Schritte wie oben angegeben erreicht werden kann. Setze K := Q. Dann haben wir also eine Körperfolge Q = K K 1 K 2... K n K Nun ist jedes K j+1 ein Vektorraum der Dimension 2 über K j und daher gilt: dim Q K m = 2 m Da κ K m sind die 2 m + 1 Elemente 1, κ, κ 2,..., κ 2m linear abhängig. Daher existieren Koeffizienten b j Q mit 2 m l= b l κ l = Daraus folgt direkt, dass die beliebige konstruierbare Zahl κ algebraisch ist. Dies war zu zeigen. 5

7 3 Existenz transzendenter Zahlen Die Existenz von transzendenten Zahlen ist nicht unbedingt direkt ersichtlich. In der Mitte des 19. Jahrhunderts hat J. Liouville Zahlen konstruiert, von denen gezeigt werden kann, dass sie nicht algebraisch sein können. Nähere Ausführungen hierzu findet der Leser in [1] Beispiel Eine andere Möglichkeit, die Existenz transzendenter Zahlen zu zeigen stammt von G. Cantor. Diese besteht aus mengentheoretischen Überlegungen und soll hier vorgestellt werden. Satz 3.1 Die Menge A der algebraischen Zahlen ist abzählbar. Beweis. Sei f : Q m+1 Q m [z], f(b,..., b m ) := m b k z k. f ist offensichtlich surjektiv. Da nun Q m+1 abzählbar ist, ist wegen der Surjektivität auch Q m [z] abzählbar. Nach einem bekannten Satz der Analysis gilt außerdem, dass die (höchstens) abzählbare Vereinigung (höchstens) abzählbarer Mengen (höchstens) abzählbar ist. Daraus folgt, dass auch Q[z] := Q m [z] m= abzählbar ist. Ein Polynom kann nur endlich viele Nullstellen haben (Details: [1], Satz 1.5). Daher existiert eine surjektive Abbildung ν p, die von N auf die Menge der Nullstellen von einem Polynom P abbildet. Definiere nun g : Q[z] N A mit g(p, n) := ν P (n). Diese Abbildung ist surjektiv und da Q[z] N abzählbar ist, ist auch A abzählbar. Mit der Abzählbarkeit der algebraischen Zahlen ist nun klar, dass es nicht-algebraische, also transzendente Zahlen geben muss. Korollar 3.2 Die Menge der transzendenten Zahlen ist nichtleer und sogar überabzählbar. Beweis. Es gilt: C = A T mit T Menge der transzendenten Zahlen. Wäre T leer, so würde dies zu einem Widerspruch führen, da A abzählbar ist und C bekanntermaßen überabzählbar ist. Also ist T nichtleer. Wie schon erwähnt ergeben abzählbare Vereinigungen abzählbarer Mengen wieder abzählbare Mengen. Daher folgt, dass T überabzählbar sein muss. k= 6

8 Wir haben nun gesehen, dass transzendente Zahlen existieren. Es scheint auch so, dass die Transzendenz bestimmter Zahlen nicht unbedingt sofort ersichtlich ist. Für eine bekannte Zahlen soll im Folgenden die Transzendenz explizit gezeigt werden. 4 Transzendenz der eulerschen Zahl Für den Beweis der Transzendenz der eulerschen Zahl wird zunächst eine Eigenschaft eben dieser gezeigt. Lemma 4.1 Für alle k N gilt: x k e x dx = k! Beweis. Der Beweis dieser Aussage benutzt die partielle Integration sowie die vollständige Induktion. Für den Induktionsanfang sei also k = 1. Dann gilt: x e x dx = [ e x x ] e x 1dx = + 1 = 1 = 1! Damit stimmt die Behauptung für k = 1 Die Behauptung gelte nun für ein k N. k (k + 1) Dann gilt unter Verwendung der Induktionsbehauptung: x k+1 e x dx = [ e x x k+1] = + k!(k + 1) =(k + 1!) Damit gilt die Behauptung für alle k N. Satz 4.2 Die eulersche Zahl e ist transzendent. e x x k (k + 1)dx Beweis. Zu zeigen ist also nun, dass e nicht algebraisch ist, also für jedes n N und für alle a, a 1,..., a n Z mit a und a n gilt: a n e n + a n 1 e n a 1 e + a Diese Definition ist Äquivalent zu Definition 2.5, da jedes rationale Polynom, welchen Null gesetzt wird, durch Multipliaktion mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der 7

9 Koeffizienten in ein ganzzahliges Polynom überführt werden kann. Um dies zu beweisen, sollen nun Zahlen r, s R und p Z konstruiert werden, sodass sie bei gegebenen a, a 1,..., a n Z, n N und a a n die folgenden Eigenschaften erfüllen: r (a n e n + a n 1 e n a 1 e + a ) = s + p (3) mit s < 1 und p. Mit p Z und den letzten beiden Forderungen folgt, dass die rechte Seite nicht Null sein kann. Damit folgt auch, dass keiner der Faktoren auf der linken Seite Null sein kann. Damit hätten wir die Behauptung gezeigt. Konstruieren wir nun also diese Zahlen mit den geforderten Eigenschaften. Dazu definieren wir: g(x) := x(x 1)(x 1)...(x n); x R h(x) := (x 1)(x 2)...(x n)e x ; x R Weiterhin definieren wir mit festem aber noch beliebigem k N f(x) := (g(x) k )h(x) = x k ((x 1)(x 2)...(x n)) k+1 e x mit x R. Diese Funktion kann man auch darstellen durch die Summe k+n(k+1) f(x) = e x b j x j. Die Faktoren b j sind hierbei aus Z und insbesondere gilt für b k = ±(n!) k 1. Als nächstes sehen wir uns das folgende Integral an: w = f(x)dx = j=k k+n(k+1) j=k b j x j e x dx Mit Lemma 4.1 gilt, dass die Integrale ganze Zahlen sind, die durch k! teilbar sind. Weiter gilt, dass diese für j > k sogar durch (k + 1)! teilbar. Damit: w = ±(n!) k+1 k! + c (k + 1)! mit c Z. Setze nun und spalte w auf in mit r = w k! = ±(n!)k+1 + c (k + 1) w = v i + w i v i = i f(x)dx 8

10 und Damit gilt dann w i = i f(x)dx. r(a n e n + a n 1 e n a 1 e + a ) = v na n e n v 1 a 1 e k! Nun muss noch überprüft werden, ob s := v na n e n v 1 a 1 e k! + w na n e n w 1 a 1 e + w a k! und p := w na n e n w 1 a 1 e + w a k! die Bedingungen erfüllen, die an sie gestellt werden. Zunächst betrachten wir hierfür p: Die Flächen, die von f(x) x i und f( x) = f( x + i), x beschrieben werden, sind gleich. Daher: w i = ( x + i) k [( x + i 1)( x + i 2)... x...( x + i n)] k+1 e x i d x. Wir benennen wegen der Lesbarkeit die Integrationsvariable wieder in x um und erhalten: w i = (x + i) k [(x + i 1)(x + i 2)...x...(x + i n)] k+1 e x e i dx =e i (x + i) k [(x + i 1)(x + i 2)...x...(x + i n)] k+1 e x dx k+n(k+1) =e i j=k+1 bj x j x i e x dx mit b j Z j Wegen Lemma 4.1 ist jedes Integral durch (k + 1)! teilbar, also mit c i Z. Insgesamt: w i = e i c i (k + 1)! p = w na n e n w 1 a 1 e + w a k! =(c n a n c 1 a 1 + c a ) (k + 1) ± (n!) k+1 a =c(k + 1) ± (n!) k+1 a mit c Z. Wird k nun so gewählt, dass k + 1 > n und k + 1 > a und k + 1 weiterhin eine Primzahl 9

11 ist, so teilt (k + 1) nicht (n!) k+1 a. Denn wenn die genannten Bedingungen erfüllt sind, kann k + 1 die Zahl q := (n!) k+1 a nur dann teilen, wenn k + 1 ein Produkt von mehreren Zahlen 1,..., n, a ist. Da k + 1 aber eine Primzahl ist, ist dies nicht möglich. Außerdem ist (n!) k+1 a. Somit ist p = c(k + 1) ± (n!) k+1 a Damit erfüllt p die erforderliche Eigenschaft. Betrachten wie nun s: Die Funktionen g, h, f sind stetig und damit sind sie auf einem kompakten Intervall [, n] beschränkt. Es existiert also ein G > und ein H >, sodass für alle x [, n]: Also gilt auch und Damit G k H i Das ist genau dann der Fall, wenn Es folgt: g(x) G, h(x) H. f(x) G k H G k H f(x) G k H i f(x)dx = v i G k H i v i G k H i s k! = v n a n e n v 1 a 1 e v n a n e n v 1 a 1 e = v n a n e n a 1 a 1 e G k H (n a n e n a 1 e) mit z := H (n a n e n a 1 e) unabhängig von k. Damit: G k z lim s = lim k k k! Also ist für genügend große k die Ungleichung = s Gk z k! < 1 erfüllt. Es gibt unendlich viele Primzahlen (siehe Satz 4.3), daher lässt sich sicher ein k finden, sodass s < 1 und p erfüllt sind. Daher ist e transzendent. 1

12 Satz 4.3 Es gibt unendlich viele Primzahlen. Der Beweis dieses Satzes geht auf Euklid zurück (3 v. Chr.) Beweis. Angenommen, es gäbe nur endlich viele Primzahlen p 1,..., p n. Sei m die kleinste Zahl, die von allen Primzahlen geteilt wird, sprich das Produkt dieser. Wir betrachten nun m + 1. Da m + 1 größer ist als p n kann m + 1 keine Primzahl sein, denn wir haben ja bereits alle aufgezählt. Also hat m+1 einen Primteiler q. q muss dann eine der Zahlen p 1,..., p n sein, also Teiler von m. Da q nun Teiler von m und m + 1 ist, müsste q die Differenz, also 1 teilen. Dies ergibt eine Widerspruch, da 1 keinen Primteiler besitzt. Daher ist die Annahme falsch, es gibt also unendlich viele Primzahlen. 5 Transzendenz der Kreiszahl Satz 5.1 Die Kreiszahl π ist transzendent. Beweis. Nachzulesen in [1], Theorem Da nun gezeigt ist, dass die Kreiszahl π transzendent ist, ist gleichzeitig mit Satz 2.8 bewiesen, dass π keine konstruierbare Zahl sein kann, denn sonst müsste sie algebraisch sein. Daher ist die Konstruktion eines flächengleichen Quadrats zu einem Kreis und damit die Quadratur des Kreises nicht möglich. 6 Literaturverzeichnis [1] Kaballo, Winfried: Einführung in die Analysis I. 2. Auflage. Heidelberg, Berlin: Spektrum Akademischer Verlag, 2 [2] Fritsch, Rudolf: Transzendenz von e im Leistungskurs? Online im Internet: fritsch/euler.pdf (abgerufen am ) 11