Kumulativer Kompetenzaufbau durch Kernideen

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1 Handreichung 3 Version: Stand: 14. Mai 2007 ideen ATLAS KERNCURRICULUM MATHEMATIK Kumulativer Kompetenzaufbau durch Kernideen Eine Handreichung zum Kerncurriculum Niedersachsen Zu dieser Handreichung Diese Handreichung entstand im Rahmen des Projektes Atlas Kerncurriculum Mathematik. Sie stellt kein fertiges Produkt dar, sondern dient als Anregung zur kooperativen, qualitätsbezogenen, kompetenzorientierten und kerncurriculumbasierten Unterrichtsentwicklung. Download der Handreichungen: Projektverlauf Die Handreichungen des Projektes Atlas Kerncurriculum Mathematik werden kontinuierlich ergänzt und weiterentwickelt. Über Rückmeldungen zu dieser Handreichung würden wir uns freuen. Das BLK-Programm SINUS-Transfer Anstoß zu dem Programm SINUS (Steigerung der Effizienz des mathematisch-naturwissenschaftlichen Unterrichts) gaben vor rund neun Jahren die Ergebnisse der TIMS-Studie. Die Untersuchung zeigte für deutsche Schülerinnen und Schüler deutliche Schwächen im mathematischen und naturwissenschaftlichen Verständnis. Das zunächst auf fünf Jahre angelegte Programm SINUS startete 1998 bundesweit mit 180 Schulen. Eine herausragende Rolle im Projekt SINUS spielte die Kooperation zwischen den Lehrkräften. In Schulverbünden, den Sets, entwickelten Lehrerinnen und Lehrer unter wissenschaftlicher Begleitung ihre Unterrichtsmethodik weiter. Reflexion und Evaluation des eigenen Unterrichts waren zentrale Elemente. Die Schulsets wurden von Koordinatorinnen und Koordinatoren betreut, die eng auf Länder- und Bundesebene zusammenarbeiteten. Das SINUS-Programm gilt inzwischen als Referenzprogramm. Der erfolgreiche Ansatz von SINUS soll stufenweise verbreitet werden. Dazu hat die BLK ein überregionales Transfer-Programm aufgelegt. In zwei Wellen (jeweils über zwei Jahre) werden neue Schulnetze an die SINUS-Arbeit herangeführt. Zu Beginn des Schuljahres 2003/04 startete die erste Welle in 13 Bundesländern und ca. 700 Schulen. Die 2005 gestartete zweite Welle erreichte bereits ca Schulen. Mit Beginn des Schuljahres 2007/2008 endet die Unterstützung des Bundes. Die flächendeckende Implementation der hinter SINUS stehenden Ideen und Konzeptionen liegt in der Verantwortung der Länder. Nähere Informationen finden Sie unter sowie unter Lizenzbestimmungen Sie dürfen den Inhalt dieses Werkes vervielfältigen, verbreiten, bearbeiten und öffentlich aufführen, wenn Sie die Namen der Autoren bzw. der Rechteinhaber ( SINUS Niedersachsen / Jan-Peter Braun ) nennen und wenn Sie dieses Dokument nicht kommerziell verwenden. Kontakt BLK-Programm SINUS-Transfer Niedersachsen Landeskoordination Dr. Jan-Peter Braun Theodor-Heuss-Straße Peine Tel. ( ) Fax -29 braun@sinus-niedersachsen.de Handreichung 3

2 SINUS-Niedersachen: Atlas Kerncurriculum Mathematik Kumulativer Kompetenzaufbau durch Kernideen (1) Einleitung Wir leben in einer durch Mathematik geprägten Welt. Ob wir uns zu einem Kauf entschließen, eine Zeitung lesen oder eine Versicherung, eine Geldanlage oder einen Kredit wählen, wir verlassen uns auf mathematisches Verständnis. Das World Wide Web, CD-ROMs und andere Medien verbreiten riesige Mengen an Informationen. Die am Arbeitsplatz benötigten Anforderungen an mathematischem Denken und Problemlösen sind in den vergangenen beiden Jahrzehnten enorm angestiegen. In einer solchen Welt haben diejenigen, die Mathematik verstehen und anwenden können, Möglichkeiten, die andere nicht haben. Mathematische Kompetenz öffnet Türen zu einer produktiven Zukunft. Ein Mangel an mathematischer Kompetenz verschließt diese Türen. Schülerinnen und Schüler haben unterschiedliche Fähigkeiten, Bedürfnisse und Interessen. Dennoch muss jede und jeder fähig sein, Mathematik in seinem persönlichen Leben anzuwenden; am Arbeitsplatz und beim weiteren Bildungsweg. Alle jungen Menschen haben Anspruch auf Gelegenheiten, die Kraft und die Schönheit der Mathematik zu verstehen. Sie müssen mathematische Basiskompetenzen erwerben können, die sie befähigt, flüssig zu rechnen und Probleme kreativ und einfallsreich zu lösen. Die TIMS-Studie 1997 sowie die PISA-Studien 2000 und 2003 haben gezeigt, dass zu viele Kinder und Jugendlichen in Deutschland zu geringe mathematische Kompetenzen aufweisen. Sowohl die im internationalen Vergleich große Gruppe an Schülerinnen und Schülern mit sehr geringem Kompetenzstand als auch die relativ geringe Gruppe mit sehr hohem Kompetenzstand verdeutlichen den Entwicklungsbedarf im Mathematikunterricht. (2) Der Weg zur Kompetenzsteigerung bei Schülerinnen und Schülern Wie in jedem anderen Bereich auch, ist es Aufgabe des Bildungssystems und der darin tätigen Personen, kontinuierlich an einer Qualitätsverbesserung zu arbeiten. Sowohl die Effektivität als auch die Effizienz müssten ständig verbessert bzw. gesteigert werden. Hierzu sind fünf grundlegende Schritte notwendig: 1. Festlegung von am Ende des Bildungsgangs erwarteten Kompetenzen 2003/2004 wurden bundesweit gültige Bildungsstandards für den Mittleren Schulabschluss und für den Hauptschulabschluss veröffentlicht und für alle Länder verbindlich. 2. Jahrgangs- oder Doppeljahrgangsbezogene Konkretisierung der Bildungsstandards 2006 wurden in Niedersachsen Kerncurricula für die Grundschule, die Hauptschule, die Realschule und das Gymnasium veröffentlicht und für die niedersächsischen Schulen verbindlich. 3. Bestimmung und Verzahnung von mathematischen Schlüsselbereichen Zum effektiven und nachhaltigen Aufbau von Kompetenzen im Unterricht bedarf es der Bestimmung einer begrenzten Anzahl an Kernideen. Kernideen bündeln signifikanten mathematischen Ideen, Kenntnissen und Fertigkeiten. Die Kernideen müssen so gestaltet und angeordnet sein, dass die mathematischen Idee, Kenntnisse und Fertigkeiten miteinander verzahnt werden

3 SINUS-Niedersachen: Atlas Kerncurriculum Mathematik Kumulativer Kompetenzaufbau durch Kernideen 4. Auswahl, Variation und Entwicklung von Aufgaben Aufgaben sind zentrales Gestaltungselement des Mathematikunterrichts. Im Rahmen des BLK- Programms SINUS-Transfer wurden eine große Anzahl an kompetenzorientierten Aufgaben entwickelt (siehe SINUS-Handreichung Literaturhinweise und Materialien zum Kerncurriculum ). Die Auswahl, Variation und Entwicklung der Aufgaben obliegt der schulischen Fachgruppe (den Lehrkräften). 5. Planung und Durchführung des Unterrichts Aus der empirischer Lehr-/Lernforschung, Schulvergleichsstudien (z.b. TIMS-Videostudie) sowie Erfahrungen von Lehrkräften in Modellversuchen (z.b. SINUS, SINUS-Transfer) lassen sich Merkmale guten Unterrichts bestimmen (siehe SINUS-Handreichung Literaturhinweise und Materialien zum Kerncurriculum ). Die Unterrichtsgestaltung, das Unterrichtsscript und die Lernumgebung ist Aufgabe der einzelnen Lehrkraft vor Ort. Kernideen Kerncurricula Bildungsstandards Unterrichtsgestaltung Kompetenzorientierte Aufgaben Maßnahmen zur Effizienzsteigerung (3) Das Kerncurriculum Mathematik Niedersachsen hat schneller als viele andere Bundesländer die Bildungsstandards durch Kerncurricula konkretisiert. Das niedersächsische Kerncurriculum soll Schülerinnen und Schüler befähigen, wichtige mathematische Konzepte und Verfahren mit Verständnis zu erlernen. Die erwarteten Kompetenzen zu erreichen, wird nicht einfach sein, aber die Aufgabe ist außerordentlich bedeutsam. Wir müssen die Kinder und Jugendlichen mit der bestmöglichen mathematischen Bildung ausstatten, mit einer Bildung, die sie befähigt, persönliche Wünsche und Berufsvorstellungen in einer sich ständig ändernden Welt zu erfüllen. Das Kerncurriculum beschreibt eine anspruchsvolle Zielsetzung für mathematische Bildung. Die ersten sechs Standards beschreiben erwartete Kompetenzen für die Prozesse des mathematischen Modellierens, Problemlösens, Argumentierens, Kommunizierens, Darstellens und Umgangs mit symbolischen, formalen und technischen Elementen. Die weiteren fünf Standards nennen erwartete Kompetenzen in den mathematischen Gebieten Zahlen und Operationen, Größen und Mes-sen, Raum und Form, Funktionaler Zusammenhang und Daten und Zufall. Gemeinsam beschreiben die Standards grundlegende Kompetenzen (Fähigkeiten und Kenntnisse), die die jungen Menschen benötigen, um im 21. Jahrhundert bestehen zu können

4 SINUS-Niedersachen: Atlas Kerncurriculum Mathematik Kumulativer Kompetenzaufbau durch Kernideen (4) Kumulativer Kompetenzaufbau In dem Kerncurriculum sind erwartete Kompetenzen formuliert, die die Schülerinnen und Schüler am Ende eine Doppeljahrgangsstufe erworben haben sollen. Die erwarteten Kompetenzen in den 6 prozessbezogenen und in den 5 inhaltsbezogenen Kompetenzbereichen sind so formuliert und sowohl in der Vertikalen als auch in der Horizontalen so angeordnet, dass sie einen kumulativen Kompetenzaufbau abbilden. Kompetenzbereich Ende Ende Ende Schuljahrgang 6 Schuljahrgang 8 Schuljahrgang 10 Kernkompetenzen Schülerinnen und Schüler Erwartungen Schülerinnen und Schüler Erwartungen Schülerinnen und Schüler Erwartungen Schülerinnen und Schüler Kompetenzaufbau Anforderung Schwierigkeit Teil II: Das Kerncurriculum verstehen Kompetenzaufbau Anforderung Schwierigkeit (5) Das Verhältnis von prozessbezogenen zu inhaltsbezogenen Kompetenzen Die prozessbezogenen Kompetenzbereiche und die inhaltsbezogenen Kompetenzbereiche haben die gleiche Wichtigkeit. Kein Kompetenzbereich steht über einem anderen. Der Aufbau von Kompetenzen in inhaltsbezogenen Kompetenzbereichen ist zum Aufbau von Kompetenzen in prozessbezogenen Kompetenzbereichen genauso notwendig wie zum Aufbau von prozessbezogenen Kompetenzen inhaltsbezogen Kompetenzen vorhanden sein müssen. Die prozessbezogenen Kompetenzen werden von den Schülerinnen und Schülern in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten er- Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden (nachhaltig) von den Schülerinnen und Schülern durch mathematische Prozesse (6) Warum Kernideen? Das Kerncurriculum weist prozessbezogene und inhaltsbezogene Kompetenzen aus. Die ausgewiesenen Erwartungen, Kernkompetenzen und Kompetenzbereiche bilden keine Unterrichtseinheiten ab. Bewusst haben die Curriculum-Designer darauf verzichtet, detaillierte Arbeitspläne, die Inhalte und Prozesse verknüpfen, vorzugeben. Es gibt viele Wege, die geforderten Kompetenzen aufzubauen. Es gibt keinen Königsweg. Es ist davon auszugehen, dass Schulbuchverlage, Lehrmittelhersteller, Wissenschaftler/Fachdidaktiker und freie Autoren konkurrierende Konzepte zum gezielten und systematischen Kompetenzaufbau entwicklen werden

5 SINUS-Niedersachen: Atlas Kerncurriculum Mathematik Kumulativer Kompetenzaufbau durch Kernideen Voraussetzung für einen kumulativen Kompetenzaufbau ist ein (schuleigenes) Curriculum, in dem der Aufbau von Wissen und der Aufbau von Können systematisch miteinander verflochten werden. Sowohl Schülerinnen und Schüler als auch Lehrerinnen und Lehrer benötigen einen Roten Faden, der den Unterricht durchzieht. Die einen benötigen ihn aus lern- und motivationspsychologischen Gründen, die anderen aus pragmatischen Gründen. Es bedarf daher der Bestimmung von Kernideen. Kernideen sind mathematische Schlüsselbereiche. Sie sind in ihrer Anzahl begrenzt und bündeln signifikante mathematischen Ideen, Fragestellungen, Probleme, Kenntnissen und Fertigkeiten. An ihnen lassen sich ganze Themenkomplexe erschließen Kernideen sorgen für Klarheit im Dschungel aufzubauender Kompetenzen. Kernideen sollen verhindern, dass die Mathematik als kilometerbreit und zentimetertief gelehrt und wahrgenommen wird. Es wird empfohlen, Kernideen als Fragen zu formulieren. Im Laufe des gesamten Mathematikunterrichts sollte ein systematischer Rückgriff auf bereits bearbeitete Kernideen erfolgen. (8) Die Anordnung der Kernideen Sollen Kompetenzen effektiv aufgebaut und nachhaltig verfügbar gehalten werden, so kommt dem kumulativen Kompetenzaufbau eine zentrale Bedeutung zu. Die Anordnung der Unterrichtsinhalte muss so gestaltet sein, dass Schülerinnen und Schüler die aufgebauten Kompetenzen immer wieder nutzen müssen; spüren, wie sie in ihrer fachbezogenen Kompetenzentwicklung voranschreiten; eine Vorstellung darüber entwickeln, wie Lerninhalte aufeinander aufbauen und miteinander verzahnt sind. Kernideen müssen, soll ein kumulativer und nachhaltiger Kompetenzaufbau sichergestellt werden, in Beziehung zueinander entwickelt und gesehen werden. Die Kernideen müssen so gestaltet und angeordnet sein, dass die mathematischen Idee, Kenntnisse und Fertigkeiten miteinander verzahnt werden. Kernidee B Kernidee C Kernidee D Kernidee E Schwerpunkt: Aufbau inhaltsbezogener Kompetenzen Schwerpunkt: Nutzung prozessbezogener Kompetenzen Kernidee A Schwerpunkt: Anbahnung inhaltsbezogener Kompetenzen Kernidee C Schwerpunkt: Aufbau prozessbezogener Kompetenzen Schwerpunkt: Nutzung inhaltsbezogener Kompetenzen Kernidee B Schwerpunkt: Anbahnung prozessbezogene Kompetenzen Kernidee D Schwerpunkt: Aufbau inhaltsbezogener Kompetenzen Schwerpunkt: Nutzung prozessbezogener Kompetenzen Kernidee C Schwerpunkt: Anbahnung inhaltsbezogener Kompetenzen Kernidee E Schwerpunkt: Aufbau prozessbezogener Kompetenzen Schperunkt: Nutzung inhaltsbezogener Kompetenzen Kernidee E Schwerpunkt: Anbahnung prozessbezogene Kompetenzen Kernidee F

6 SINUS-Niedersachen: Atlas Kerncurriculum Mathematik Kumulativer Kompetenzaufbau durch Kernideen (10) Ein Vorschlag zur Bestimmung von Kernideen Kernideen bilden den roten Faden des Unterrichts über 5 bzw. 6 Jahrgangsstufen. Es wird empfohlen, pro Schuljahr ca. 6 Kernideen zu benennen, 3 schwerpunktmäßig prozessbezogene und 3 schwerpunktmäßig inhaltsbezogenen. Jede Kernidee sollte mit dem vorherigen eng verknüpft werden und die kurz zuvor aufgebauten Kompetenzen systematisch abfordern. Ergänzend werden früher erworbene Kompetenzen punktuell abgerufen und die Anwendung gefordert. Für den anschließende Kernidee geforderte Kompetenzen werden angebahnt. Die Kernideen sollten abwechselnd einen inhaltlichen und einen prozessbezogenen Schwerpunkt haben. Mit Schwerpunkt ist der Blick gemeint, mit dem bei der Entwicklung und Anordnung auf den Kernideen geschaut wird. Die schulische Fachschaft bzw. die Lehrkraft wird bei Auswahl, Variation und Entwicklung von Aufgaben für die einzelnen Kernideen ebenfalls eher die Prozessbrille oder die Inhaltsbrille aufsetzen. (11) Ausblick Die Bestimmung von ihre sinnvolle Anordnung sind Voraussetzung für einen systematischen und nachhaltigen Kompetenzaufbau. Kernideen sind für die Aufgabenauswahl, die Unterrichtsplanung und Unterrichtsdurchführung von zentraler Bedeutung. Kernideen sind bestimmendes Element des Unterrichtsgangs. Bis jetzt (Mai 2007) sind keine auf das niedersächsische Kerncurriculum Mathematik abgestimmten Kernideen bestimmt worden. Wissenschaftler/Fachdidaktiker, Schulbuchverlage, freie Autoren und die schulischen Fachschaften sind aufgefordert, Kernideen zu entwickeln und sinnvoll anzuordnen. Um den o.g. Gruppen Anregungen zu geben und um den niedersächsischen Haupt- und Realschulen schnellstmöglich Unterstützung bei der Entwicklung eines Schulcurriculums (schuleigener Arbeitsplan) bieten zu können, sind beispielhaft für Jahrgangsstufe 7/8 und 9/10 Kernideen bestimmt worden. Der vorgelegte Entwurf dient als Anregung zur Diskussion. Nach Bestimmung von Kernideen kann die schulische Fachschaft mit der Entwicklung eines Schulcurriculums beginnen

7 Kompetenzaufbau und Kernideen in Jahrgang 5 Die zusammenhanglose Segmentierung von Inhalten verhindert wie Erkenntnisse der Lehr-/Lernforschung und der empirischen Unterrichtsforschung zeigen den effektiven und nachhaltigen Kompetenzaufbau. Es wird daher empfohlen, die im Kerncurriculum ausgewiesenen Kompetenzen (Erwartungen) in einer begrenze Anzahl an Kernideen zu bündeln. In Kernideen werden gemeinsam aufzubauende mathematischen Ideen, Kenntnissen, Fertigkeiten, Fragestellungen und Probleme zusammengefasst. Als Fragen formulierte Kernideen bilden einen durch die Schulmathematik verlaufenden Rote Faden. Durch sie erleben die Schülerinnen und Schüler, wie die im Laufe der Jahrgangsstufen erarbeiteten Inhalte zusammenhängen, wie sie aufeinander aufbauen und welche vielfältigen Querverbindungen bestehen. Die Schülerinnen und Schüler spüren, dass sich die jeweils aktuellen Tätigkeiten sinnvoll in ein größeres Ganzes einordnen lassen. So ist zum einen die einzelne Unterrichtsstunde in einen umfassenden Themenkreis eingebettet, der andererseits seinerseits Bedeutung im gesamten Netz der Schulmathematik besitzt. Es wird empfohlen, pro Schuljahr 6 Kernideen zu benennen, 3 schwerpunktmäßig prozessbezogene und 3 schwerpunktmäßig inhaltsbezogenen (mit Schwerpunkt ist der Blick gemeint, mit dem bei der Entwicklung und Anordnung auf den Kernideen geschaut wird; die schulische Fachschaft bzw. die Lehrkraft wird bei Auswahl, Variation und Entwicklung von Aufgaben für die einzelnen Kernideen ebenfalls eher die Prozessbrille oder die Inhaltsbrille aufsetzen). Inhaltsbezogene prozessbezogene Kernideen sollten einander abwechseln. Jede Kernidee sollte mit dem vorherigen eng verknüpft werden und die kurz zuvor aufgebauten Kompetenzen systematisch abfordern. Ergänzend werden früher erworbene Kompetenzen punktuell abgerufen und die Anwendung gefordert. Für die anschließende Kernidee geforderte Kompetenzen werden angebahnt. Teilweise werden Kompetenzen des jeweils anderen Kompetenzbereichs gebündelt mit aufgebaut. Daher enthalten einige Zeilen sowohl prozessbezogene Kompetenzen als auch inhaltsbezogene Kompetenzen. Bestimmte Kompetenzen werden quasi nebenbei aufgebaut; sei es, dass sich auf Grund ihrer übergeordneten Bedeutung eine Zuordnung zu einer Kernkompetenz nicht anbietet; sei es, dass sich auf Grund ihrer Komplexität der Aufbau über einen längeren Zeitraum, d.h. über mehrere Kernideen erstreckt. Solche Erwartungen sollten einer Jahrgangsstufe (und nicht einer Kernidee) zugewiesen werden Übergreifende Kompetenzen Bestimmte Kompetenzen (Erwartungen) haben eine mehrere Kernideen übergreifende Bedeutung bzw. auf Grund ihrer Komplexität erstreckt sich der Kompetenzaufbau über mehrere Kernkompetenzen. prozessbezogene Kompetenzen Die prozessbezogenen Kompetenzen werden in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten o Zuerst bzw. schwerpunktmäßig werden die bei der vorherigen Kernidee aufgebauten inhaltsbezogenen o Zuletzt werden einige der bei der folgenden Kernidee aufzubauenden inhaltsbezogenen Kompetenzen angebahnt. inhaltsbezogene Kompetenzen Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden (nachhaltig) durch mathematische Handlungen (Prozesse) o Zuerst bzw. schwerpunktmäßig werden die bei der vorherigen Kernidee aufgebauten prozessbezogenen o Zuletzt werden einige der bei der folgenden Kernidee aufzubauenden prozessbezogenen Kompetenzen angebahnt

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9 Kompetenzaufbau und Kernideen in Jahrgang 6 Übergreifende Kompetenzen Bestimmte Kompetenzen (Erwartungen) haben eine mehrere Kernideen übergreifende Bedeutung bzw. auf Grund ihrer Komplexität erstreckt sich der Kompetenzaufbau über mehrere Kernkompetenzen. prozessbezogene Kompetenzen Die prozessbezogenen Kompetenzen werden in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten o Zuerst bzw. schwerpunktmäßig werden die bei der vorherigen Kernidee aufgebauten inhaltsbezogenen o Zuletzt werden einige der bei der folgenden Kernidee aufzubauenden inhaltsbezogenen Kompetenzen angebahnt. () ) (...) () () inhaltsbezogene Kompetenzen Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden (nachhaltig) durch mathematische Handlungen (Prozesse) o Zuerst bzw. schwerpunktmäßig werden die bei der vorherigen Kernidee aufgebauten prozessbezogenen o Zuletzt werden einige der bei der folgenden Kernidee aufzubauenden prozessbezogenen Kompetenzen angebahnt. () () ()

10 Kompetenzaufbau und Kernideen in Jahrgang 7 Übergreifende Kompetenzen Bestimmte Kompetenzen (Erwartungen) haben eine mehrere Kernideen übergreifende Bedeutung bzw. auf Grund ihrer Komplexität erstreckt sich der Kompetenzaufbau über mehrere Kernkompetenzen. prozessbezogene Kompetenzen Die prozessbezogenen Kompetenzen werden in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten o Zuerst bzw. schwerpunktmäßig werden die bei der vorherigen Kernidee aufgebauten inhaltsbezogenen o Zuletzt werden einige der bei der folgenden Kernidee aufzubauenden inhaltsbezogenen Kompetenzen angebahnt. Wozu brauche ich Variablen? (Symbolische, formale und technische Elemente / Funktionaler Zusammenhang) vereinfachen Variablenterm verwenden Variablen als Platzhalter in funktionalen Zusammenhängen stellen Sachzusammenhänge durch Funktionen dar nutzen Fehler zur Veränderung von Denk- und Lernprozessen (Kommunizieren) erläutern Mitschülerinnen und Mitschülern ihre Überlegungen, die zur Lösung geführt haben (Kommunizieren) inhaltsbezogene Kompetenzen Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden (nachhaltig) durch mathematische Handlungen (Prozesse) o Zuerst bzw. schwerpunktmäßig werden die bei der vorherigen Kernidee aufgebauten prozessbezogenen o Zuletzt werden einige der bei der folgenden Kernidee aufzubauenden prozessbezogenen Kompetenzen angebahnt. (Funktionaler Zusammenhang) unterscheiden und beschreiben nichtproportionale, proportionale, antiproportionale und lineare Zusammenhänge erfassen Zusammenhänge zwischen zwei Größen als antiproportional verwenden Eigenschaften der Proportionalität und Antiproportionalität zur Ermittlung gesuchter Größen deuten die Parameter linearer Funktionen in Funktionsgleichungen und in Darstellungen im Koordinatensystem wechseln zwischen Funktionsgleichung, Graf, Tabelle und verbaler Beschreibung von linearen Zusammenhängen erkennen den Funktionstyp anhand seines Grafen geben zu vorgegebenen Grafen und Funktionstermen Sachsituationen an verwenden die Steigung bei der Beurteilung linearer Zusammenhänge (konstante Änderungsrate lösen Sachprobleme mit antiproportionaler Struktur (Zahlen und Operationen) ordnen zusammengesetzten Größen proportionale Zuordnungen zu (Geschwindigkeit, Dichte) (Größen und Messen)

11 Wie kann ich schnell und sicher Aufgaben bearbeiten? (Symbolische, formale und Elemente) nutzen die Standardfunktionen des Taschenrechners nutzen Tabellenkalkulationssoftware nutzen Nachschlagewerke nutzen das Internet wählen technische Hilfsmittel unter Berücksichtigung der Kriterien Genauigkeit, Zeitökonomie und Fehleranfälligkeit aus Wie kann ich komplexes mathematisches Problem vereinfachen? (Problemlösen / Größen und Messen / Raum und Form) gliedern das Problem in Teilprobleme auf nutzen systematische Probierverfahren nutzen dynamische Geometriesoftware (Ebene und Raum) (Symbolische, formale und technische Elemente) Wobei helfen mir Gleichungen? (Funktionaler Zusammenhang) lösen lineare Gleichungen systematisch und verwenden sie in Anwendungszusammenhängen stellen lineare Zusammenhänge als Funktionsgleichung und im Koordinatensystem dar Wie kann ich Prozente und Zinsen bestimmen? (Zahlen und Operationen) verwenden Prozent- und Zinsrechnung sachgerecht (Größen und Messen) berechnen Flächeninhalt und Umfang von Dreieck, Parallelogramm, Raute, Trapez und Drachen berechnen Flächeninhalt und Umfang zusammengesetzter Figuren rechnen alltagsnahe Flächeneinheiten in benachbarte Einheiten um bilden Figuren durch Kongruenzabbildungen ab (Achsenspiegelung, Punktspiegelung, Verschiebung, Drehung) (Raum und Form) nutzen Linien und Punkte im Dreieck zur Lösung von Problemen (Seitenhalbierende/Schwerpunkt, Winkelhalbierende/Inkreis, Mittelsenkrechte/Umkreis) (Raum und Form)

12 Wie kann ich die Umwelt möglichst genau zeichnen? (Raum und Form / Größen und Messen) erkennen und benennen die Eigenschaften der Dreiecks- und Viereckstypen und ordnen sie nach ihren Eigenschaften zerlegen bzw. ergänzen zusammengesetzte ebene Figuren (geometrische Grundformen) konstruieren geometrische Figuren mit Zirkel und Geodreieck sowie dynamischer Geometriesoftware erkennen und erstellen Modelle, Ansichten, Skizzen, Schrägbilder und Netze von Prismen bestimmen zur Berechnung notwendige Längen zeichnerisch (Größen und Messen) rechnen Längen maßstäblich um (Größen und Messen) erstellen maßstäbliche Zeichnungen (Größen und Messen)

13 Kompetenzaufbau und Kernideen in Jahrgang 8 Übergreifende Kompetenzen Bestimmte Kompetenzen (Erwartungen) haben eine mehrere Kernideen übergreifende Bedeutung bzw. auf Grund ihrer Komplexität erstreckt sich der Kompetenzaufbau über mehrere Kernkompetenzen. prozessbezogene Kompetenzen Die prozessbezogenen Kompetenzen werden in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten o Zuerst bzw. schwerpunktmäßig werden die bei der vorherigen Kernidee aufgebauten inhaltsbezogenen o Zuletzt werden einige der bei der folgenden Kernidee aufzubauenden inhaltsbezogenen Kompetenzen angebahnt. Wie genau kann ich mit der Mathematik die Realität beschreiben? (Modellieren) wählen Modelle und begründen ihre Wahl beschreiben die Grenzen mathematischer Modelle an Beispielen interpretieren das Ergebnis in Bezug auf die Realsituation (Problemlösen) ermitteln durch Schätzen, Überschlagen und Plausibilitätsüberlegungen Näherungswerte des erwarteten Ergebnisses übernehmen Rollen in der Gruppenarbeit zur effektiven Lösung mathematischer Probleme (Kommunizieren) inhaltsbezogene Kompetenzen Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden (nachhaltig) durch mathematische Handlungen (Prozesse) o Zuerst bzw. schwerpunktmäßig werden die bei der vorherigen Kernidee aufgebauten prozessbezogenen o Zuletzt werden einige der bei der folgenden Kernidee aufzubauenden prozessbezogenen Kompetenzen angebahnt. (Größen und Messen) wählen Einheiten des Volumens situationsgerecht aus schätzen die Größe des zu erwartenden Ergebnisses ab und begründen ihren Schätzwert berechnen Volumen und Oberfläche des Prismas rechnen alltagsnahe Volumeneinheiten in benachbarte Einheiten um erkennen und benennen Eigenschaften von Prismen (Raum und Form) Wie rechne ich mit weniger als 0? (Zahlen und Operationen) ordnen verschiedenen Sachverhalten des täglichen Lebens negative Zahlen zu vergleichen und ordnen rationale Zahlen wenden die vier Grundrechenarten auf rationale Zahlen an

14 Warum ist das so? (Argumentieren) präzisieren Vermutungen, um sie mathematisch prüfen zu können stellen die Fragen Gibt es Gegenbeispiele?, Wie lautet die Umkehrung der Aussage? begründen Aussagen in begrenzten Inhaltsbereichen durch vorliegende Sätze finden Fehler in falschen oder Lücken in unvollständigen Argumentationen und korrigieren sie Wie können mir Darstellungen helfen? (Darstellen) entnehmen Informationen aus komplexeren Grafiken sowie längeren Texten ordnen Informationen aus verschiedenen Darstellungen einander zu erstellen umfangreichere Darstellungen strukturieren Darstellungen übersichtlich beurteilen Darstellungen in Hinblick auf ihre Sachangemessenheit wählen geeignete Strukturierungsmittel aus Was können mir Daten sagen? (Daten und Zufall) planen selbstständig einfache statistische Erhebungen sammeln und nutzen Daten aus Sekundärquellen bilden Klassen von Daten stellen Daten in Kreisdiagrammen und eindimensionalen Streudiagrammen dar nutzen Software nutzen zur Datenauswertung arithmetisches Mittel, Median, Modus berechnen relative Häufigkeiten vergleichen verschiedene Darstellungen derselben Daten äußern auf Daten basierende Schlussfolgerungen und begründen diese

15 Wie kann ich Wahrscheinlichkeiten vergleichen? (Daten und Zufall) führen Nicht-Laplace Zufallsexperimente durch und werten sie aus (Streichholzschachtel, Heftzwecke) führen zweistufige Zufallsexperimente durch und stellen sie im Baumdiagramm dar (zwei Münzen, zwei Würfel, Kombination Münze-Würfel) stellen das Maß für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses durch eine Zahl zwischen 0 und 1 dar (Bruch, Dezimalbruch, Prozentsatz) bestimmen die Wahrscheinlichkeit zweistufiger Zufallsexperimente bestimmen Wahrscheinlichkeiten näherungsweise über relative Häufigkeiten (Gesetz der großen Zahl)

16 Kompetenzaufbau und Kernideen in Jahrgang 9 Übergreifende Kompetenzen Bestimmte Kompetenzen (Erwartungen) haben eine mehrere Kernideen übergreifende Bedeutung bzw. auf Grund ihrer Komplexität erstreckt sich der Kompetenzaufbau über mehrere Kernkompetenzen. prozessbezogene Kompetenzen Die prozessbezogenen Kompetenzen werden in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten o Zuerst bzw. schwerpunktmäßig werden die bei der vorherigen Kernidee aufgebauten inhaltsbezogenen o Zuletzt werden einige der bei der folgenden Kernidee aufzubauenden inhaltsbezogenen Kompetenzen angebahnt. Welche Problemlösestrategie ist die sinnvollste? (Problemlösen) vergleichen Vorgehensweisen des Problemlösens bzgl. der angewandten Strategien und bewerten diese nutzen eine Formelsammlung (Symbolische, formale und technische Elemente) beurteilen die Gruppenarbeit und schlagen Verbesserungen vor (kommunizieren) inhaltsbezogene Kompetenzen Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden (nachhaltig) durch mathematische Handlungen (Prozesse) o Zuerst bzw. schwerpunktmäßig werden die bei der vorherigen Kernidee aufgebauten prozessbezogenen o Zuletzt werden einige der bei der folgenden Kernidee aufzubauenden prozessbezogenen Kompetenzen angebahnt. bestimmen näherungsweise den Flächeninhalt nicht geradlinig begrenzter Flächen und das Volumen unregelmäßig geformter Körper (Größen und Messen) zerlegen bzw. ergänzen zusammengesetzte Körper (Grundkörper) (Raum und Form) Wie kann ich Volumina und Massen beliebiger Körper bestimmen? (Größen und Messen) berechnen Flächeninhalt und Umfang des Kreises berechnen Volumen und Oberfläche von Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel berechnen Volumen und Oberfläche zusammengesetzter Körper erkennen und benennen Eigenschaften geometrischer Grundkörper (Zylinder, Pyramide, Kegel, Kugel) (Raum und Form) erkennen und erstellen Modelle, Ansichten, Skizzen, Schrägbilder und Netze geometrischer Körper (Raum und Form) erkennen und benennen Symmetrien einfacher Körper (Rotation) (Raum und Form)

17 Welches Modell bildet die Realität am sinnvollsten ab? (Modellieren) entnehmen Informationen aus komplexen, nicht vertrauten Situationen nähern sich der Realsituation durch Verknüpfung mehrerer Modelle genauer an nutzen zur Lösung einer komplexen Aufgabe mehrere Modelle und verknüpfen sie vergleichen ihr Modell mit möglichen anderen Modellen vergleichen und bewerten unterschiedliche Lösungswege und Ergebnisse (Kommunizieren) Wie argumentiere ich schlüssig? (Argumentieren) unterscheiden zwischen experimentell gewonnenen Vermutungen und logisch gewonnenen Argumenten stellen die Frage Gibt es Spezial- oder Extremfälle? unterscheiden Behauptung, Voraussetzung und Beweis unterscheiden log. Schließen von Methoden anderer Wissenschaften erläutern ihre Überlegungen und Lösungswege adressatengerecht (Kommunizieren) Welche anderen Zahlendarstellungen sind hilfreich? (Zahlen und Operationen) stellen Zahlen in Zehnerpotenzschreibweise dar, vergleichen und ordnen sie stellen Zahlen im Dualsystem dar rechnen mit Zehnerpotenzen in Anwendungszusammenhängen wandeln Einheiten der Zeit von Dezimalbruch- in konventionelle Darstellung um (Größen und Messen) (Raum und Form) erkennen Ähnlichkeiten und begründen sie mit ihren Eigenschaften konstruieren ähnliche Figuren durch Streckung (Maßstab)

18 (Argumentieren) nutzen Variablen zur Überprüfung der Allgemeingültigkeit von Aussagen suchen und untersuchen Spezial- und Extremfälle nutzen Software oder einen grafikfähigen Taschenrechner zur Darstellung und Manipulation funktionaler Zusammenhänge (Symbolische, formale und technische Elemente) Wie kann ich gerade und geschwungene Linien mit Hilfe einer Formel darstellen? (Funktionaler Zusammenhang) unterscheiden und beschreiben lineare und quadratische Funktionen verwenden lineare Gleichungssysteme und quadratische Gleichungen zur Darstellung von Problemen lösen lineare Gleichungssysteme und quadratische Gleichungen durch Probieren, grafisch und algebraisch und untersuchen die Anzahl der Lösungen stellen lineare, quadratische, trigonometrische (Sinus, Kosinus) und exponentielle Funktionen grafisch dar und deuten ihre Parameter stellen Zusammenhänge durch Gleichungssysteme dar

19 Kompetenzaufbau und Kernideen in Jahrgang 10 Übergreifende Kompetenzen Bestimmte Kompetenzen (Erwartungen) haben eine mehrere Kernideen übergreifende Bedeutung bzw. auf Grund ihrer Komplexität erstreckt sich der Kompetenzaufbau über mehrere Kernkompetenzen. prozessbezogene Kompetenzen Die prozessbezogenen Kompetenzen werden in der Auseinandersetzung mit mathematischen Inhalten o Zuerst bzw. schwerpunktmäßig werden die bei der vorherigen Kernidee aufgebauten inhaltsbezogenen o Zuletzt werden einige der bei der folgenden Kernidee aufzubauenden inhaltsbezogenen Kompetenzen angebahnt. inhaltsbezogene Kompetenzen Die inhaltsbezogenen Kompetenzen werden (nachhaltig) durch mathematische Handlungen (Prozesse) o Zuerst bzw. schwerpunktmäßig werden die bei der vorherigen Kernidee aufgebauten prozessbezogenen o Zuletzt werden einige der bei der folgenden Kernidee aufzubauenden prozessbezogenen Kompetenzen angebahnt. Wie kann ich Entfernungen bestimmen, ohne zu messen? (Größen und Messen) berechnen Streckenlängen mit dem Satz des Pythagoras und Ähnlichkeitsbeziehungen berechnen Streckenlängen und Winkelgrößen mit trigonometrischen Beziehungen stellen reelle Zahlen durch Wurzeln und sachangemessen gerundet dar (Zahlen und Operationen) rechnen mit reellen Zahlen in geometrischen Zusammenhängen (Zahlen und Operationen) lösen geometrische Probleme konstruktiv (Satz des Thales, Strahlensätze, Satz des Pythagoras) (Raum und Form) Wie lässt sich Wachstum beschreiben? (Funktionaler Zusammenhang verwenden die Exponentialfunktion zur Beschreibung natürlichen Wachstums grenzen lineares, quadratisches und exponentielles Wachstum an Beispielen ab (Tabelle, Graf, Veränderungsrate) verwenden die Sinus-Funktion zur Beschreibung periodischer Vorgänge berechnen Zinseszinsen (Zahlen und Operationen)

20 (Darstellen) entnehmen Informationen aus authentischen Texten und Grafiken nutzen die erweiterten Möglichkeiten des Taschenrechners (Speicher, statistische Funktionen, Editierfunktionen) (Symbolische, formale und technische Elemente) Wie präsentiere ich einen mathematischen Sachverhalt verständlich? (Kommunizieren) stellen nach Vorbereitung Arbeitsergebnisse unter Nutzung elektronischer Hilfsmittel vor wählen die Darstellung adressatengerecht und sachangemessen aus (Darstellen) bereiten Darstellungen präsentationsgerecht auf (Darstellen) beurteilen Darstellungen in Hinblick auf ihre Adressatenangemessenheit (Darstellen) nutzen Software zur Präsentation mathematischer Sachverhalte (Symbolische, formale und technische Elemente) Welche Möglichkeit der Manipulation gibt es bei der Datendarstellung? (Daten und Zufall) beurteilen Daten und Grafiken in Medien auf mögliche Fehlschlüsse (Stichprobenrepräsentativität, Klassenbildung, grafische Verzerrung, Verteilungsschiefe) stellen Datenpaare in zweidimensionalen Streudiagrammen dar und zeichnen die Regressionsgerade nach Augenmaß nutzen die statistischen Funktionen des Taschenrechners (Daten und Zufall) beurteilen die Verteilung von Daten anhand grafischer Darstellungen (Häufigkeitsdiagramm, Boxplot) Wie kann ich den Zufall berechnen? (Daten und Zufall) simulieren Zufallsexperimente (Zufallsgeräte, Zufallszahlen, Software) berechnen Wahrscheinlichkeiten bei mehrstufigen Zufallsexperimenten (Baumdiagramm, Pfadregel) analysieren Zufallsgeräte und schließen auf Wahrscheinlichkeiten (Urne, Glücksrad)