Wintersemester 2004/ Januar 2005

Transkript

1 Lehrtuhl für Praktiche Informatik III Norman May B,, Raum C0.0 8 Mannheim Telefon: (0) 8 norman@pi.informatik.uni-mannheim.de Matthia Brantner B,, Raum C0.0 8 Mannheim Telefon: (0) 8 mb@pi.informatik.uni-mannheim.de Algorithmen und Datentrukturen. vorchlag Winteremeter 00/0. Januar 00 Aufgabe Punkte Implementieren Sie Rot-Schwarz-Bäume ohne Verwendung de Parent-Zeiger. Wenn Ihnen diee Implementierung zu chwer it, geben Sie eine Implementierung mit Parent- Zeiger an (- %). Befolgen Sie bei der Implementierung folgende Schnitttelle Ihr Programm wird gegen diee Schnitttelle getetet. Weitere Hilffunktionen können hilfreich ein. public cla RBTreeNode { } / liefere den Wert, der in dem Knoten gepeichert it / public Comparable getvalue() { } / true, wenn roter Knoten, ont fale / public boolean ired() { } / liefere linken Kindknoten / public RBTreeNode getleft() { } / liefere rechten Kindknoten / public RBTreeNode getright() { } / Textrepraeentation de Knotenwert und de Rot Schwarzwert (e.g. (r)) / public String tostring() { } public cla RedBlackTree { / liefere den NIL Wert / public tatic RBTreeNode getnil() { } / liefere den Wurzelknoten de Baum / public RBTreeNode getroot() { }

2 / erzeuge einen leeren red black tree / public RedBlackTree() { } / loeche Knoten z au dem Baum / public RBTreeNode delete(rbtreenode z) { } / fuege value in den Baum ein / public RBTreeNode inert(comparable value) { } / uche nach einem Knotem mit Wert value / public RBTreeNode lookup(comparable value) { } } (iehe BinaryTree.java, RBTreeTet.java, RBTreeNode.java und RedBlackTree.java, RBTree P.java, RBTreeNode P.java) Punkteverteilung: RBTreeNode Punkt, lookup Punkte, delete und inert je Punkte. Aufgabe Punkte Zeichnen Sie den Rekurionbaum von MERGE-SORT für ein Feld von Elementen. Erklären Sie, warum Memoization zur Steigerung der Effizienz eine guten Teile-und- Herrche-Algorithmu wie MERGE-SORT unwirkam it. Rekurionbaum für Merge-Sort:,...,,...,8,...,,...,,...,8,...,...,,,,,8,0,,, 8 0 Da Problem der Sortierung eine Array mit Elementen wird durch den MERGE- SORT-Algorithmu in nicht überlappende Teilprobleme zerlegt.

3 Aufgabe 8 Punkte Die Fibonacci-Zahlen ind definiert durch folgende Rekurenz: F 0 = 0 F = F i = F i + F i Aufgabe a) Punkte Geben Sie am Beipiel der Berechnung von F 0 an, wieviele Teilberechnungen in dieem Beipiel ingeamt redundant augeführt werden? F 0 = F + F 8 = F 8 + F + F + F = F 8 + F + F = F + F + (F + F ) + F + F = F + F + F + F =... Ingeamt duplizierte Rechnungen (iehe Fibonacci.java). Aufgabe b) Punkte Implementieren Sie die Fibonacci-Zahlen und verwenden Sie Memoization, um wiederholte Berechnungen von F i zu vermeiden. (iehe Fibonacci.java) Aufgabe c) Punkte Implementieren Sie die Berechnung der Fibonacci-Zahlen mit dynamichem Programmieren. (iehe Fibonacci.java) Übrigen gilt für k 0: F k+ = + k i=0 F i. Aufgabe Punkte

4 Sei A, A, A, A, A, A eine Matrizenequenz und, 0,,,, 0, die dazugehörige Dimenionenequenz. Betimmen Sie ein optimal geklammerte Produkt der gegebenen Matrizenequenz. m j A A A A A A j i i Optimale Klammerung: (A A )((A A )(A A )) Aufgabe Punkte Sei da in der Vorleung vorgetellte Aktivitätauwahlproblem gegeben. It diee Problem ein Matroid? Beweien Sie Ihre Auage. Sei E die Menge der Aktivitäten und S die Menge der kompatiblen Aktivitäten. Bewei durch Gegenbeipiel: Sei A S und B S mit B < A. Dann erfüllt da Element x nicht die Autaucheigenchaft, da A = A {x} / S. Die Elemente von A ind nicht mehr kompatibel.

5 A f B x f f t Aufgabe Punkte Die Schlüel,,,,, 8,, 0,,, ollen in einen B-Baum mit t = eingefügt werden. Geben Sie den B-Baum an, der durch da Einfügen der Schlüel in einen leeren B-Baum entteht. einfügen einfügen einfügen einfügen einfügen 8 einfügen einfügen einfügen einfügen einfügen einfügen 8 0 Aufgabe Punkte

6 Zeigen oder widerlegen Sie folgende Auagen. Aufgabe a) Punkte f(n) = Θ(f(n/)) Gegenbeipiel: f(n) = n. 0 n c n/ 0 n/ n/ c n/ 0 n/ c Wa ein Widerpruch zur Unbechränktheit der Natürlichen Zahlen it. Aufgabe b) Punkte f(n) = O(g(n)) g(n) = Ω(f(n)) f(n) = O(g(n)) 0 f(n) cg(n) 0 /cf(n) g(n) g(n) = Ω(f(n)) Aufgabe c) Punkte o(f(n)) + ω(f(n)) = Θ(f(n)) Gegenbeipiel: f(n) = n. Für f(n) = n gilt n = ω(f(n)) und n = o(f(n)). Da o(f(n)) + ω(f(n)) = Θ(max(o(f(n)), ω(f(n)))) gilt, und n Θ(n), it die Auage falch.