Jurgen Dankert, Helga Dankert. Technische Mechanik. Statik, Festigkeitslehre, Ki nemati k/ki neti k

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1 Jurgen Dankert, Helga Dankert Technische Mechanik Statik, Festigkeitslehre, Ki nemati k/ki neti k

2 Jurgen Dankert, Helga Dankert Technische Mechanik Statik, Festigkeitslehre, Ki nemati k/ki neti k 3., vollstandig uberarbeitete Auflage Mit 1070 Abbildungen, 77 Tabellen sowie 390 Obungsaufgaben mit Lbsungen und zahlreichen weiteren Aufgaben im Internet Teubner B. G. Teubner Stuttgart Leipzig Wiesbaden

3 Bibliografische Information Der Deutschen Bibliothek Die Deutsche Bibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet uber <httpj/dnb.ddb.de> abrufbar. Prof. Dr.-Ing. Helga Dankert lehrte Technische Mechanik an der HAW Hamburg. Prof. Dr.-Ing. habil. JUrgen Dankert lehrt Technische Mechanik und Informatik an der HAW Hamburg, wo er Dekan des Fachbereichs Maschinenbau und Produktion ist. 1. Auflage Auflage , vollstandig uberarbeitete Auflage Januar 2004 Aile Rechte vorbehalten B. G. Teubner Verlag / GWV Fachverlage GmbH, Wiesbaden 2004 Der B. G. Teubner Verlag ist ein Unternehmen von Springer Science+Business Media. Softcover reprint of the hardcover 3rd edition 2004 Das Werk einschlieblich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschutzt. Jede Verwertung auberhalb der engen Grenzen des Urheberrechtsgesetzes ist ohne Zustimmung des Verlags unzulassig und strafbar. Das gilt insbesondere fur Vervielfaltigungen, Obersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Waren- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten waren und daher von jedermann benutzt werden durften. Umschlaggestaltung: Ulrike Weigel, Gedruckt auf saurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier. ISBN ISBN (ebook) DOI /

4 Vorwort In keinem anderen Fach muss dem Studenten so friih und so umfassend der gesamte schwierige Weg der Losung von Ingenieur-Aufgaben zugemutet werden wie in der Technischen Mechanik. Er muss Probleme analysieren, das Wesentliche erkennen und ein reales Objekt in ein physikalisches Modell iiberfiihren. Das sich daraus ergebende mathematische Problem muss gelost werden, und die Deutung der Ergebnisse, die wieder den Zusammenhang zum realen Objekt herstellt, schliebt den Kreis. Auf einem besonders schwierigen Teilstiick dieses Weges ist der Computer zu einem auberordentlich starken Helfer geworden. Die Zeit, die friiher dem miihsamen Einiiben von Losungsalgorithmen geopfert werden musste, steht heute fur die Problemanalyse und das Studium des Grundlagenwissens zur Verfiigung, das Trainieren der (so eleganten wie aufwendigen) graphischen Verfahren gehort der Vergangenheit an. Bei der angemessenen Aufbereitung der Ergebnisse (Diagramme, Funktionsverlaufe, Verformungsbilder,... ) ist der Computer ohnehin konkurrenzlos. Die ersten Auflagen dieses Buchs hieben deshalb "Technische Mechanik, computerunterstiitzt". Den Zusatz haben wir nun weggelassen, urn die heute wohl berechtigte Frage zu vermeiden: "J a, wie denn sonstt'. Der Computer und das Internet sind so selbstverstandliche Begleiter des taglichen Lebens (und natiirlich des Studiums) geworden, dass sie nicht gesondert erwiihnt werden miissen. Aber der Computer bleibt fiir den Ingenieur nur ein Werkzeug. Die eigentlichen Schwierigkeiten, die im Erfassen der Zusammenhange, dem Beherrschen von Methoden zur Analyse und Losung von Problemen liegen, kann er ihm nicht abnehmen. Er kann ihn aber von dem Ballast befreien, dessen Bewiiltigung friiher hiiufig so dominierend war, dass der Lernende nicht mehr zum Kern des Problems vordringen konnte. Der Ingenieur in der Praxis mit den "nicht-akademischen Problemen" stand sogar oft vor uniiberwindlichen Schwierigkeiten. Auf keinen Fall darf man das Verstehen der Zusammenhange durch das Erlernen des Umgangs mit der Benutzeroberflache eines Rechenprogramms ersetzen, im Gegenteil: Man sollte den Zeitgewinn, den der Computer verschafft, gerade fur die intensive Auseinandersetzung mit den haufig nicht ganz einfachen Problemen nutzen. Dieser Zeitgewinn ergibt sich genau (aber auch erst) dort, wo nach der Analyse der mechanischen Probleme und der Formulierung des physikalisch-mathematischen Modells der aufwendige, aber formale Teil der mathematischen Losung abgearbeitet werden muss. Ein angenehmer Nebeneffekt ist, dass der Zwang zur Beschrankung auf die einfachen Probleme, die der Handrechnung zuganglich sind, entfiillt. Der Student kann praxisnahe Probleme losen, dem Ingenieur in der Praxis wird damit unmittelbar geholfen. Schwierig bleibt es allemal, aber die Miihe lohnt sich. Problemanalyse und Modelldefinition, Mathematisierung, Anwendung eines Schnittprinzips sind nur wenige Beispiele fur Strategien, die der Ingenieur universell anwendet und nicht intensiv genug trainieren kann. Die Erfahrungen in der Vermittlung des Stoffes sprechen eindeutig fiir die gewiihlte induktive Darstellung, die wir auch in den Gebieten (zugunsten des Lernenden) durchgehalten haben,

5 VI Vorwort wo die Versuchung grob ist, die VersUindlichkeit der haufig eleganter erscheinenden deduktiven Methode zu opfern. Komplett vorgeflihrte Beispiele sind durchgangig zu finden. Unsere Erfahrungen zeigen, dass der Anreiz flir den Studierenden, die Grundlagen der Technischen Mechanik zu erlernen, wesentlich gefardert wird durch die Gewissheit, dass mit den heute verfligbaren Software-Produkten die Lasung von Problemen maglich ist, die erheblich tiber die tiblichen "akademischen Aufgabenstellungen" hinaus gehen. Andererseits sollte die Nutzung dieser Hilfsmittel auch tatsachlich erprobt werden, denn zur Ausbildung im Fach Technische Mechanik gehort unbedingt das Deuten der Ergebnisse. Den Fachkollegen, die die Technische Mechanik lehren, kannen wir die Erfahrung weitergeben, dass es sich lohnt, auf geeignete Software zu verweisen und zu ihrer Anwendung zu ermuntern. Der Zeitanteil, der flir formale, nicht das Verstandnis fordernde Arbeit anfallt, ist so deutlich geringer als beim Eintiben der klassischen Verfahren, von denen viele wirklich mit gutem Gewissen geopfert werden kannen. Die Verftigbarkeit extrem leistungsfahiger Software rtickt ein in der Vergangenheit oft stark vernachlassigtes Problem in den Vordergrund, das Verifizieren von Ergebnissen. Wir greifen deshalb im Anhang B, in dem wir einen kleinen Ausblick auf die "Mechanik jenseits des Grundkurses" geben, dieses Problem an jedem geeigneten Beispiel auf. Einem Buch einen Datentrager mit einschlagigen Program men beizulegen, macht heute keinen Sinn mehr. Es gibt hervorragende Produkte, die auch flir Studenten erschwinglich sind. Und vieles gibt es (auch in sehr guter Qualitat) im Internet zum Nulltarif. Wir wollten aber noch deutlich weiter gehen und haben flir die Leser dieses Buchs die Internetsite eingerichtet, die stan dig aktualisiert und erweitert wird. Dort findet man eine erweiterte Auswahl von Ubungsaufgaben, Erganzungen zu den Themen, die im Buch behandelt werden, in erster Linie aber Hinweise auf geeignete Software-Produkte flir die Lasung der Probleme der Technischen Mechanik und (zum Teil sehr detaillierte) Beschreibungen zur Realisierung der Lasung. Dass sich mit diesem Medium auch manches anschaulicher darstellen lasst, ist ein angenehmer Nebeneffekt: Auf einer Internet-Seite kann sich ein Mechanismus bewegen, das ist im "Print-Medium" leider (noch) nicht maglich. Wir kannen nattirlich nicht alle verfligbaren Software-Produkte auf diesem Wege in angemessener Weise auf ihre Tauglichkeit flir die Lasung von Mechanik-Problemen untersuchen und empfehlen. Deshalb bitten wir alle Leser, uns Tipps zu geben, wie welches Problem mit welcher Software ge16st werden kann. Wir stellen gem die Beschreibung des Lasungsweges (nattirlich mit Angabe des Autors) ins Internet, auch Hinweise auf existierende Seiten, auf die wir Links legen sollten, sind willkommen. Die im Vorwort tibliche Danksagung kann auch flir diese Auflage kurz ausfallen. Der Inhalt entstammt unseren eigenen Vorlesungen, wir haben Text und Zeichnungen eigenhandig in den Computer gebracht, jede Internetseite selbst erzeugt und jede Programmzeile der zum Download bereitgestellten Programme selbst geschrieben. Bleibt eigentlich nur ein herzlicher Dank an die Studenten und die Fachkollegen, die sich mit zahlreichen Hinweisen zu den ersten Auflagen geaubert haben, und an Herrn Dr. Feuchte (GWV Fachverlage) flir seine Geduld und sein Engagement daflir, dass das Buch in dieser Form erscheinen kann. lesteburg, Sommer 2003 Helga und Jiirgen Dankert

6 Inhalt 1 Grundlagen der Statik 1.1 Die Kraft Axiome der Statik Das Schnittprinzip 5 2 Das zentrale ebene Kraftsystem Aquivalenz Gleichgewicht 13 3 Das allgemeine ebene Kraftsystem (Aquivalenz) Graphische Ermittlung der Resultierenden Parallele Krafte Kraftepaar und Moment Das Moment einer Kraft Aquivalenz Versetzungsmoment Analytische Ermittlung der Resultierenden 23 4 Schwerpunkte Schwerpunkte von K6rpem Fliichenschwerpunkte Linienschwerpunkte Experimentelle Schwerpunktermittlung Flachenschwerpunkte, Computer-Verfahren Eine durch einen Polygonzug begrenzte ebene Flache Durch zwei Funktionen begrenzte Flache Flachen- und Linienlasten Aufgaben 40 5 Gleichgewicht des ebenen Kraftsystems Die Gleichgewichtsbedingungen Lager und Lagerreaktionen in der Ebene Statisch bestimmte Lagerung Aufgaben 51 6 Ebene Systeme starrer Korper Statisch bestimmte Systeme Stabe und Seile als Verbindungselemente 59

7 VIII Inhalt 6.3 Lineare Gleichungssysteme Fachwerke Statisch bestimmte Fachwerke Berechnungsverfahren Komplizierte Fachwerke, Computerrechnung Aufgaben 79 7 Schnittgro8en Definitionen Differenzielle Zusammenhange Erganzende Bemerkungen zu den Schnittgrofien Aufgaben 94 8 Raumliche Probleme Zentrales Kraftsystem Raumliche Fachwerke Allgemeines Kraftsystem Momente Das Moment einer Kraft Aquivalenz und Gleichgewicht Schnittgrofien Aufgaben Haftung Coulombsches Haftungsgesetz Seilhaftung Aufgaben Elastische Lager Lineare Fedem Gleichgewicht bei steifen Fedem Gleichgewicht bei weichen Fedem Beurteilung der Gleichgewichtslagen Aufgaben Seilstatik, Kettenlinien, Stiitzlinien Das Seil unter Eigengewicht Das Seil unter konstanter Linienlast Grundlagen der Festigkeitslehre Beanspruchungsarten Spannungen und Verzerrungen Der Zugversuch Hookesches Gesetz, Querkontraktion 158

8 Inhalt Festigkeitsnachweis, zuhissige Spannung 13.1 Belastungsarten 13.2 Dauerfestigkeit 13.3 Gestaltfestigkeit Kerbwirkungen OberfHichenbeschaffenheit und Bauteilgr6Be 13.4 ZuIassige Spannungen Statische Belastung Dynamische Belastung Festigkeitsnachweis Zug und Druck 14.1 Spannung, Dehnung 14.2 Statisch unbestimmte Probleme 14.3 Temperatureinfluss, FehlmaBe 14.4 Aufgaben Der Stab als finites Element 15.1 Die Finite-Elemente-Methode 15.2 Fluchtende Stabelemente 15.3 Ebene Fachwerk-Elemente 15.4 Temperaturdehnung, Anfangsdehnung 15.5 Nutzung von Finite-Elemente-Programmen 15.6 Aufgaben IX Biegung Biegemoment und Biegespannung Flachentragheitsmomente Definitionen Einige wichtige Formeln Der Satz von Steiner Zusammengesetzte FIachen Haupttragheitsmomente, Hauptzentralachsen Formalisierung der Berechnung Durch Polygonztige begrenzte Flachen, Computer -Rechnung Gtiltigkeit der Biegespannungsformel, Widerstandsmomente, Beispiele Aufgaben Verformungen durch Biegemomente 17.1 Differenzialgleichung der Biegelinie 17.2 Integration der Differenzialgleichung 17.3 Rand- und Ubergangsbedingungen 17.4 Einige wichtige Formeln 17.5 Statisch unbestimmte Systeme 17.6 Superposition 17.7 Aufgaben

9 X Inhalt 18 Computer-Verfahren fiir Biegeprobleme Das Differenzenverfahren Differenzenforrneln Biegelinie bei konstanter Biegesteifigkeit Biegelinie bei veranderlicher Biegesteifigkeit Der Biegetrager als finites Element Element-Steifigkeitsmatrix fur Biegetrager Element-Belastungen (Linienlasten) Biegesteife Rahmentragwerke Aufgaben Spezielle Biegeprobleme Schiefe Biegung Der elastisch gebettete Trager Lasung der Differenzialgleichung der Biegelinie Numerische Lasung Spezielle Rand- und Ubergangsbedingungen Der gekriimmte Trager SchnittgraBen Spannungen infolge Biegemoment und Norrnalkraft Verformungen des Kreisbogentragers Numerische Berechnung der Verformungen Aufgaben Querkraftschub Ermittlung der Schubspannungen Diinnwandige offene Profile, Schubmittelpunkt Schubspannungen in Verbindungsmitteln Verforrnungen durch Querkrafte Aufgaben Torsion Torsion von Kreis- und Kreisringquerschnitten Saint-Venantsche Torsion beliebiger Querschnitte Saint-Venantsche Torsion diinnwandiger Querschnitte Diinnwandige geschlossene Querschnitte Diinnwandige offene Querschnitte Formeln fur die Saint -Venantsche Torsion Numerische Lasungen Aufgaben Zusammengesetzte Beanspruchung Modelle der Festigkeitsberechnung Zusammengesetzte Norrnalspannung Der einachsige Spannungszustand Der ebene Spannungszustand 372

10 Inhalt XI 22.5 Festigkeitshypothesen Ebener Spannungszustand Berechnung von Wellen Aufgaben Knickung Stabilitatsprobleme der Elastostatik Stab-Knickung Differenzialgleichung 4. Ordnung Numerische Lasung von Knickproblemen Aufgaben Formanderungsenergie Arbeitssatz Formanderungsenergie fur Grundbeanspruchungen Satz von Castigliano Satz von Castigliano (statisch unbestimmte Systeme) Aufgaben Rotationssymmetrische Modelle Rotationssymmetrische Scheiben Spezielle Anwendungsbeispiele Diinnwandige Behalter (Membranspannungen) Aufgaben Kinematik des Punktes Geradlinige Bewegung des Punktes Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung Kinematische Diagramme Allgemeine Bewegung des Punktes Allgemeine Bewegung in einer Ebene Beschleunigungsvektor, Bahn- und Normalbeschleunigung Winkelgeschwindigkeit, Winkelbeschleunigung Darstellung der Bewegung mit Polarkoordinaten Allgemeine Bewegung im Raum Aufgaben Kinematik starrer Korper Die ebene Bewegung des starren Karpers Translation und Rotation Der Momentanpol Geschwindigkeit und Beschleunigung Ebene Relativbewegung eines Punktes Bewegung des starren Karpers im Raum Rotation Allgemeine Bewegung Relativbewegung eines Punktes 475

11 XII Inhalt 27.4 Systeme starrer Karper Aufgaben Kinetik des Massenpunktes Dynamisches Grundgesetz Krafte am Massenpunkt Geschwindigkeitsabhangige Bewegungswiderstande Massenkraft, das Prinzip von d' Alembert Numerische Integration von Anfangswertproblemen Eine Differenzialgleichung 1. Ordnung Differenzialgleichungssysteme und Differenzialgleichungen haherer Ordnung Integration des dynamischen Grundgesetzes Der Impulssatz Arbeit, Energie, Leistung Der Energiesatz Aufgaben Kinetik starrer Korper Reine Translation Rotation urn eine feste Achse Massentragheitsmomente Massentragheitsmomente einfacher Karper Der Satz von Steiner Deviationsmomente, Hauptachsen Beispiele zur Rotation urn eine feste Achse Allgemeine Beispiele Auswuchten von Rotoren Ebene Bewegung starrer Karper Schwerpunktsatz, Drallsatz Das Prinzip von d' Alembert Energiesatz Beispiele Raumliche Bewegung starrer Karper Schwerpunktsatz, Drallsatz Karperfeste Koordinaten, Eulersche Gleichungen, Kreiselbewegung Das Kreiselmoment Aufgaben Kinetik des Massenpunktsystems Schwerpunktsatz, Impulssatz, Drallsatz StoB Der gerade zentrische StoB Der schiefe zentrische StoB Der exzentrische StoB Aufgaben 580

12 Inhalt XIII 31 Schwingungen Harmonische Schwingungen Freie ungedampfte Schwingungen Schwingungen mit kleinen Ausschlagen Elastische Systeme Nichtlineare Schwingungen Freie gedampfte Schwingungen Erzwungene Schwingungen Schwingungen mit harmonischer Erregung der Masse Erregung tiber Feder und Dampfer Unwuchterregung Biegekritische Drehzahlen Aufgaben Systeme mit mehreren Freiheitsgraden Freie ungedampfte Schwingungen Torsionsschwingungen Eigenschwingungen linear-elastischer Systeme Biegekritische Drehzahlen Zwangsschwingungen, Schwingungstilgung Aufgaben Prinzipien der Mechanik Prinzip der virtuellen Arbeit Prinzip der virtuellen Arbeit fur Potenzialkrafte, Stabilitat des Gleichgewichts Prinzip von d' Alembert in der Fassung von Lagrange Lagrangesche Bewegungsgleichungen Generalisierte Krafte, Potenzialkrafte Virtuelle Arbeit der Massenkrafte Lagrangesche Gleichungen 2. Art Prinzip vom Minimum des elastischen Potenzials Das Verfahren von Ritz Randwertproblem und Variationsproblem Verfahren von Ritz und Finite-Elemente-Methode Aufgaben 651 Anhang A (Losungen zu den Aufgaben) 652 Anhang B 674 Bl Ergebnisse verifizieren 674 B2 Spezielle Aufgaben 677 Aufgabe B2.1 Gerader Trager mit Gelenk, mehrfeldrig, statisch unbestimmt 677

13 XIV Inhalt B3 Literatur Index Aufgabe B2.2 Statisch bestimmtes System, schwierig zu entkoppelnde Gleichungen 679 Aufgabe B2.3 3D-Fachwerk, statisch unbestimmt 682 Aufgabe B2.4 Ebener biege- und dehnsteifer Rahmen, hochgradig statisch unbestimmt 684 Aufgabe B2.5 Dreidimensionaler Rahmen mit biege-, dehn- und torsionssteifen Elementen, hochgradig statisch unbestimmt 686 Aufgabe B2.6 Nichtlineares Anfangswertproblem, ein Freiheitsgrad, geschwindigkeitsproportionale Dlimpfung 688 Aufgabe B2.7 Lineares Anfangswertproblem, zwei Freiheitsgrade, geschwindigkeitsproportionale Dlimpfung 691 Aufgabe B2.8 Doppelpendel, zwei Freiheitsgrade, nichtlineares Anfangswertproblem, Differenzialgleichungen sind in den Beschleunigungsgliedern gekoppelt 693 Aufgabe B2.9 Laufkatze, zwei Freiheitsgrade, nichtlineares Anfangswertproblem, Differenzialgleichungen sind in den Beschleunigungsgliedern gekoppelt, zeitabhlingiges und wegabhlingiges Ereignis 697 Finite-Elemente-Methode als Nliherungsverfahren 699 B3.1 Ein- bzw. zweidimensionale FEM-Modelle 700 B3.2 Reduktion der Elementlasten, Realisierung der Lagerung 703 B3.3 Kompatibilitlit und Gleichgewicht 704 B3.4 Die Element-Steifigkeitsmatrix 704 Aufgabe B3.1 Scheibentheorie, Finite-Elemente-Methode, unterschiedliche Elementtypen, Einfluss der Vernetzung auf die Ergebnisse 708 Aufgabe B3.2 Biegetheorie, verlinderlicher Querschnitt, Einfluss der Vernetzung auf die Ergebnisse 711 Aufgabe B3.3 Saint-Venantsche Torsion, Torsions-Trligheitsmoment des Rechteckquerschnitts, Einfluss der Vernetzung auf die Ergebnisse