Technische Universität Chemnitz im April 2013
|
|
- Hans Kerner
- vor 6 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Dr. Neidhart Kamprath Technisches Gymnasium an der Handwerkerschule Chemnitz Technische Universität Chemnitz im April 2013
2 Ausgangspunkt Änderung der Bildgröße mittels Photoshop Berechnungsverfahren zur Bildgrößenänderung Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 2
3 Ausgangspunkt Digitalfoto Bildgrößenänderung Entscheidung zum Berechnungsverfahren Pixelwiederholung bilinear bikubisch Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 3
4 Ausgangspunkt Digitalfoto Bildgrößenänderung Entscheidung zum Berechnungsverfahren Pixelwiederholung bilinear bikubisch Was ist bikubisch? Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 4
5 Was ist bikubisch? 1. Vollständig muss es heißen: bikubische polynomische Interpolation 2. Bikubisch bezieht sich auf ein Polynom 3.Grades, welches im R3 existiert 3. Interpolation ist die Berechnung eines Zwischenwertes zu bekannten Stützstellen, die durch eine Interpolationsfunktion erfüllt werden. Aufgabenstellung Es ist eine Funktion zu bestimmen, mit der es möglich ist, aus vorhandenen Pixelwerten Zwischenwerte für Farbe, Helligkeit oder Schwärzung für ein in der Größe verändertes Bild zu berechnen. Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 5
6 Veranschaulichung der Berechnungsverfahren zur Bildgrößenberechnung Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 6
7 Bikubische Interpolation Am einfachsten lässt sich die bikubische Interpolation für eine Bildverdopplung in zwei Achsen demonstrieren. (erste didaktische Vereinfachung) Für die Berechnung eines neuen Pixelwertes werden die 16 benachbarten Schwärzungs-, Helligkeits- oder Farbwerte einer 4x4 Pixelmatrix ausgewertet. Die Beschreibung erfolgt durch eine kubische Interpolationsfunktion mit zwei unabhängigen Variablen (x- und y-koordinaten der Pixelpositionen daher bikubisch). Für den neuen Wert werden je eine neue Spalte und eine neue Zeile mittig eingefügt. An der Kreuzung wird der Pixelwert mit der bikubischen Funktion berechnet und eingefügt. Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 7
8 Digitalfotografie als Quelle für ein mathematisches Unterrichtsproblem Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 8
9 Erarbeitung der bikubischen Interpolation - Grundlagen Vorbemerkungen Die Aufbereitung des Problems für den Unterricht erfordert einige Abstraktionen und Vereinfachungen, um das Wesentliche für Schüler sichtbar zu machen. Für die bikubische Interpolation werden 16 Werte einer 4x4-Pixelmatrix verwendet, dafür wird ein zweidimensionales Interpolationspolynom mit 16 Termen benötigt, dies ist mit einem vollständigen bikubischen Polynom möglich. Die allgemeine Definition des bikubischen Interpolationspolynoms lautet: k( x, y) := a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + a 3 x 3 + a 4 y + a 5 y 2 + a 6 y 3 + a 7 x y + a 8 x 2 y 2 + a 9 x 3 y 3 + a 10 x 2 y + a 11 x 3 y + a 12 x y 2 + a 13 x y 3 + a 14 x 2 y 3 + a 15 x 3 y 2 Damit besteht die mathematische Aufgabe darin, ein lineares Gleichungssystem für die 16 unbekannten Koeffizienten a i für i = 0,1,2,...,15 aufzustellen und zu lösen. Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 9
10 Lösungsansatz - Schrittfolge 1. Aufbereitung der Pixeldaten mittels Photoshop 2. Didaktische Vereinfachungen des fototechnischen Problems 3. Datenzusammenstellung für das Gleichungssystem in Vektor- bzw. Matrixschreibweise (Koordinaten und Schwärzungswerte) 4. Aufstellen des linearen Gleichungssystems (z.b. durch Nutzung von MathCAD) 5. Lösen des Gleichungssystems 6. Definition der Interpolationsfunktion 7. Berechnung des interpolierten Wertes 8. Grafische Veranschaulichung des Ergebnisses 9. Probe, Zusammenfassung und Dokumentation Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 10
11 Aufbereitung der Pixeldaten - Datenerfassung aus einem Digitalfoto 1. Öffnen eines Digitalfotos mit einem Bildbearbeitungsprogramm (z.b. Photoshop) 2. Umwandeln des Farbfotos in ein 8-bit Schwarz-Weiß-Bild (zweite didaktische Vereinfachung) 3. Vergrößern der Ansicht des Fotos bis die einzelnen Pixel sichtbar werden. 4. Festlegen des Untersuchungsbereiches aus einem Quadrat mit 4x4 Pixeln 5. Manuelles Auslesen und Protokollieren der Schwärzungswerte der 16 Bildpunkte 6. Festlegung einfacher Koordinaten in beide Achsenrichtungen für die Pixelwerte ( z.b. 1, 2, 3,4 ) (dritte didaktische Vereinfachung) 7. Die vierte didaktische Vereinfachung besteht darin, dass direkt mit den ausgelesenen prozentualen Schwärzungswerten gerechnet wird und auf die Umrechnung in 8-bit Helligkeitswerte verzichtet wird. Die vorgenommenen Vereinfachungen betreffen nur den fototechnischen Teil, beeinflussen damit aber nicht den mathematischen Kern der Problemlösung. Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 11
12 Auslesen der Bildpunktinformationen Einschalten der Palette für die Bildpunktinformationen Anzeige Schwärzungswert K Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 12
13 Anzeigen der Bildpunktinformation an der Cursorposition in Photoshop Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 13
14 Beispiel eines stark vergrößerten Bildes mit Anzeige der Pixeldaten Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 14
15 Beispiel für die prozentuale Flächendeckung eines pixelreduzierten Bildes aus 13 x 15 Pixel im Vergleich zum Originalbild mit 163 x 194 Pixel Auslesen der Schwärzungswerte der 4x4 Pixel-Matrix Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 15
16 Datenzusammenstellung für das Gleichungssystem Ausgelesene Schwärzungswerte K KW := Festgelegte, vereinfachte Koordinaten xk := yk := Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 16
17 Mathematische Voraussetzungen für die Problemlösung Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 17
18 Beitrag der Informatik zur Lösung des Problems Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 18
19 Entwurf des MathCAD-Arbeitsblattes für die bikubische Interpolation 1. Gestaltung der Dateneingabe für die Schwärzungswerte und die zugehörigen x- und y-koordinaten. 2. Aufbereitung der Eingabedaten durch Bereitstellung einer mittigen Leerzeile und mittigen Leerspalte in einer erweiterten 5x5 Datenmatrix für den in der Mitte liegenden Interpolationswert. 3. Vorbereitungen zur Erzeugung der Koeffizientenmatrix (MathCAD Anweisungen: stapeln, erweitern, transponieren, submatrix) 4. Erzeugung der Koeffizientenmatrix (MathCAD Anweisung: vektorisieren) 5. Erzeugung des Spaltenvektors der Schwärzungswerte 6. Lösung des Gleichungssystems (MathCAD Anweisungen: Matrixinversion, Matrizenmultiplikation, llösen) 7. Funktionsdefinition der bikubischen Interpolationsfunktion 8. Berechnung und Ausgabe des interpolierten Wertes 9. Grafische Veranschaulichung der Interpolationsfunktion im Geltungsbereich des ausgelesenen Bereiches 10. Probe, Plausibilitätskontrollen, Vergleiche Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 19
20 Aufstellen und Lösen des Gleichungssystems, Berechnung des interpolierten Wertes siehe MathCAD Programm Bikubische_Interpolation_SAXSIM_CAS_2013 Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 20
21 Ableitung der Einsatzbereiche des mathematischen Unterrichtsgegenstandes Mathematik Sekundarstufe II Als Praxisbeispiel für die Interpolation und zur Veranschaulichung der Anwendungsmöglichkeiten linearer Gleichungssysteme, Übung zur Matrizenrechnung, ggf. Variantenvergleich verschiedener Lösungsmöglichkeiten mit unterschiedlichen Werkzeugen, Funktionen im R3 Schulung in MathCAD Bikubische Interpolation - Didaktische Potenzen des mathematischen Gegenstandes Vertiefte Übung und Veranschaulichung zur Anwendung der Matrizenrechnung für die Lösung eines linearen Gleichungssystems und zu Berechnungen mit Funktionen mit zwei Variablen, 3D-Grafik Unterrichtsfach Fotografie Theoretische Vertiefung eines Standardproblems der digitalen Bildbearbeitung, mathematischer Hintergrund wird mittels der fertigen MathCAD-Lösung propädeutisch erläutert Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 21
22 Zusammenhang von Quellen und Zielen des Unterrichtsgegenstandes Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 22
23 Zusammenfassung Bikubische Interpolation - Didaktische Potenzen des mathematischen Gegenstandes 1. Aus Neugier kann eine unerwartete Aufgabe mit konkretem Praxisbezug entstehen. 2. Mit den didaktisch notwendigen Vereinfachungen entfernt man sich zwar von der wesentlich komplizierteren Realität der Bildgrößenänderung, aber man gewinnt fachübergreifend in der Mathematik eine konkrete und anschauliche Aufgabenstellung. 3. Durch die Nutzung von MathCAD werden Aufgaben lösbar, die bisher nicht als Unterrichtsgegenstand verwendbar waren. 4. Für den lehrenden Techniker sollte sichtbar werden, dass sich komplizierte fachwissenschaftliche Sachverhalte durch geeignete Vereinfachungen gut in einen Unterrichtsfachgegenstand überführen lassen. Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 23
24 Ergänzungsmaterial zum Vortrag 1. Aufgabenstellung für Schüler zur bikubischen Interpolation 2. MathCAD-Quelltext zur bikubischen Interpolation Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 24
25 Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit. Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 25
26 Dr. Neidhart Kamprath SAXSIM 2013 MathCAD-Workshop 26
Bikubische Interpolation am Beispiel der Bildbearbeitung (2013)
Übungen Computer-Algebra-System MathCAD Bikubische Interpolation am Beispiel der Bildbearbeitung () Dateneingabe Umrechnung in Helligkeitswerte - 8 bit Datenumfang Eingabe der Schwärzungswerte KW jedes
MehrFotografie * Informatik * Mathematik * Computer-Algebra * Handreichung für Lehrer
BIKUBISCHE INTERPOLATION AM BEISPIEL DER DIGITALEN BILDBEARBEITUNG - AUFGABENSTELLUNG FÜR SCHÜLER Problem Bei Veränderung der Größe eines Digitalbildes sind entweder zuviel Pixel (Verkleinerung) oder zuwenig
MehrTechnische Universität Chemnitz im März 2015
Dr. Neidhart Kamprath Technisches Gymnasium an der Handwerkerschule Chemnitz Technische Universität Chemnitz im März 2015 Problem Prozesse in Natur, Technik und Wirtschaft werden von mehr als einer Ursache
MehrMatrizenrechnung am Beispiel linearer Gleichungssystemer. für GeoGebraCAS
Matrizenrechnung am Beispiel linearer Gleichungssystemer für GeoGebraCAS Letzte Änderung: 08/ April 2010 1 Überblick 1.1 Zusammenfassung Lösen von linearen Gleichungssystemen mit Hilfe der Matrizenrechnung.
MehrHTL Kapfenberg SPLINE Interpolation Seite 1 von 7.
HTL Kapfenberg SPLINE Interpolation Seite von 7 Roland Pichler roland.pichler@htl-kapfenberg.ac.at SPLINE Interpolation Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Polynome, Gleichungssysteme, Differenzialrechnung
MehrKlassische Polynom Interpolation.
Klassische Polynom Interpolation. Bestimme ein Polynom (höchstens) n ten Grades p n (x) = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n, das die gegebenen Daten interpoliert, d.h. p n (x i ) = f i, 0 i n. Erster
MehrAufgabenkomplex 4: Lineare Gleichungssysteme
Technische Universität Chemnitz 8. Dezember 9 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I. Aufgabenkomplex 4: Lineare Gleichungssysteme Letzter Abgabetermin: 5. Januar (in Übung oder Briefkasten bei Zimmer
Mehr$Id: linabb.tex,v /01/09 13:27:34 hk Exp hk $
Mathematik für Ingenieure I, WS 8/9 Freitag 9. $Id: linabb.tex,v.3 9//9 3:7:34 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 9 Lineare Abbildungen 9. Lineare Abbildungen Der folgende Satz gibt uns eine einfachere Möglichkeit
Mehr7.1 Matrizen und Vektore
7.1 Matrizen und Vektore Lineare Gleichungssysteme bestehen aus einer Gruppe von Gleichungen, in denen alle Variablen nur in der 1. Potenz vorkommen. Beispiel Seite 340 oben: 6 x 2 = -1 + 3x 2 = 4 mit
Mehr8 Interpolation. 8.1 Problemstellung. Gegeben: Diskrete Werte einer Funktion f : R R an n + 1 Stützstellen. x 0 < x 1 <... < x n.
8 Interpolation 81 Problemstellung Gegeben: Diskrete Werte einer Funktion f : R R an n + 1 Stützstellen x 0 < x 1 < < x n Eingabedaten: (x 0, f 0 ),(x 1, f 1 ),,(x n, f n ) Gegebene Daten (x j, f j ) Analysis
Mehr3 Lineare Gleichungen
Aufgabe 3. Man löse die lineare Gleichung a 2 x b 2 a a(b ax) b + b2 a = a, a b nach der Unbekannten x auf und diskutiere die möglichen Fälle. a 2 x b 2 a a(b ax) b + b2 a = a a b a 2 bx b 3 a 2 b + a
MehrLineare Gleichungen. Mathematik-Repetitorium. 3.1 Eine Unbekannte. 3.2 Zwei oder drei Unbekannte. 3.3 Allgemeine lineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungen 3.1 Eine Unbekannte 3.2 Zwei oder drei Unbekannte 3.3 Allgemeine lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungen 1 Vorbemerkung zu Kapitel 1 Gleichungen (Unbekannte) (Variablen, Parameter)
MehrNumerische Verfahren
Numerische Verfahren Interpolation Prof Dr-Ing K Warendorf, Prof Dr-Ing P Wolfsteiner Hochschule für Angewandte Wissenschaften München Fakultät 03 WS 13/14 Prof Dr-Ing K Warendorf (Fakultät 03) Numerische
MehrRepetitorium A: Matrizen, Reihenentwicklungen
Fakultät für Physik R: Rechenmethoden für Physiker, WiSe 5/6 Dozent: Jan von Delft Übungen: Benedikt Bruognolo, Dennis Schimmel, Frauke Schwarz, Lukas Weidinger http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/lehre/5r/
MehrPartialbruchzerlegung
Partialbruchzerlegung Lucas Kunz 27. Januar 207 Inhaltsverzeichnis Theorie 2. Definition.................................... 2.2 Nullstellen höheren Grades........................... 2.3 Residuen-Formel................................
MehrVorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7
Vorbereitungskurs Mathematik zum Sommersemester 2011 Tag 7 Timo Stöcker Erstsemestereinführung Informatik TU Dortmund 22. März 2011 Heute Themen Lineare Gleichungssysteme Matrizen Timo Stöcker https://fsinfo.cs.tu-dortmund.de/studis/ese/vorkurse/mathe
MehrVorkurs Mathematik Übungen zu linearen Gleichungssystemen
Vorkurs Mathematik Übungen zu linearen Gleichungssystemen Lineare Gleichungssysteme lösen Aufgabe. Lösen sie jeweils das LGS A x = b mit ( ( a A =, b = b A =, b = 6 Aufgabe. Berechnen Sie für die folgenden
MehrVerarbeitung von Messdaten
HTL Steyr Verarbeitung von Messdaten Seite von 8 Bernhard Nietrost, HTL Steyr Verarbeitung von Messdaten Mathematische / Fachliche Inhalte in Stichworten: Regression, Polynominterpolation, Extremwertberechnung,
Mehr$Id: lgs.tex,v /11/26 08:24:56 hk Exp hk $ Definition 5.1: Ein lineares Gleichungssystem besteht aus m linearen Gleichungen
$Id: lgs.tex,v 1.2 2008/11/26 08:24:56 hk Exp hk $ II. Lineare Algebra 5 Lineare Gleichungssysteme Definition 5.1: Ein lineares Gleichungssystem besteht aus m linearen Gleichungen a 11 x 1 + a 12 x 2 +
MehrSkript EXCEL Matrizenrechnung/Lineare Gleichungssysteme
Skript EXCEL 2010 Matrizenrechnung/Lineare Gleichungssysteme 1. Einleitung Eine Matrixformel kann mehrere Berechnungen durchführen und dann entweder ein einzelnes Ergebnis oder mehrere Ergebnisse liefern.
Mehr3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren
3.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 3.6. Einleitung Eine quadratische n n Matrix A definiert eine Abbildung eines n dimensionalen Vektors auf einen n dimensionalen Vektor. c A x c A x Von besonderem Interesse
MehrLineare Gleichungssysteme: eine Ergänzung
Lineare Gleichungssysteme: eine Ergänzung Ein lineares Gleichungssystem, bei dem alle Einträge auf der rechten Seite gleich sind heiÿt homogenes lineares Gleichungssystem: a x + a 2 x 2 +... + a n x n
Mehr5 Interpolation und Approximation
5 Interpolation und Approximation Problemstellung: Es soll eine Funktion f(x) approximiert werden, von der die Funktionswerte nur an diskreten Stellen bekannt sind. 5. Das Interpolationspolynom y y = P(x)
MehrNachholtutorium A: Matrizen, Reihenentwicklungen Aufgaben
Fakultät für Physik Jan von Delft, Olga Goulko, Florian Bauer T: Rechenmethoden für Physiker, WiSe /3 http://homepages.physik.uni-muenchen.de/~vondelft/lehre/t/ Nachholtutorium A: Matrizen, Reihenentwicklungen
MehrUntersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen linear oder nicht linear sind. x y
Aufgabe 1 Untersuchen Sie, ob die folgenden Abbildungen linear oder nicht linear sind. (( )) 3x x (a) Sei f : R 2 R 3 mit f = 2y + x y x y ( ) 4 (b) Sei f : R R 2 mit f(x) = x + 1 (( )) ( ) x x y (c) Sei
Mehr05. Lineare Gleichungssysteme
05 Lineare Gleichungssysteme Wir betrachten ein System von m Gleichungen in n Unbestimmten (Unbekannten) x 1,, x n von der Form a 11 x 1 + a 12 x 2 + a 13 x 3 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + a
MehrCorinne Schenka Vorkurs Mathematik WiSe 2012/13
4. Lineare Gleichungssysteme Ein lineares Gleichungssystem ist ein System aus Gleichungen mit Unbekannten, die nur linear vorkommen. Dieses kann abkürzend auch in Matrizenschreibweise 1 notiert werden:
MehrProgrammieren: Bildbearbeitung
Programmieren: Bildbearbeitung Das Thema der folgenden Aufgaben ist Bildbearbeitung. Sie erhalten dazu ein Rahmenprogramm, das bereits Bilder lesen und darstellen kann. Dieses Rahmenprogramm basiert auf
MehrLineare Gleichungssystem
Lineare Gleichungssystem 8. Juli 07 Inhaltsverzeichnis Einleitung Der Gauß-Algorithmus 4 3 Lösbarkeit von Gleichungssystemen 6 Einleitung Wir haben uns bisher hauptsächlich mit dem Finden von Nullstellen
MehrH.J. Oberle Analysis II SoSe Interpolation
HJ Oberle Analysis II SoSe 2012 7 Interpolation 71 Allgemeine Problemstellung Interpolation ist die Kunst, zwischen den Zeilen einer Tabelle zu lesen (Rutishauser) Von f : R R seien Funktionswerte (x j,
MehrAllgemeine Funktionsgleichungen. Eine allgemeine Funktionsgleichung besteht aus Parametern (Koeffizienten) und der zugehörigen Funktionsvariablen.
Allgemeine Funktionsgleichungen Eine allgemeine Funktionsgleichung besteht aus Parametern (Koeffizienten) und der zugehörigen Funktionsvariablen. Beispiele: Lineare Funktion: f(x) = a*x +b Quadratische
MehrLineare Algebra 1. Roger Burkhardt
Lineare Algebra 1 Roger Burkhardt roger.burkhardt@fhnw.ch Fachhochschule Nordwestschweiz Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft HS 2010/11 1 Einführung Lineare Gleichungen Definition
MehrPolynominterpolation
Polynominterpolation In der numerischen Mathematik versteht man unter Polynominterpolation die Suche nach einem Polynom, welches exakt durch vorgegebene Punkte (z. B. aus einer Messreihe) verläuft. Dieses
MehrWissen und Fertigkeiten Berthold Mersch
Wissen und Fertigkeiten Y= WINDOW ZOOM TRACE GRAPH TBLSET TABLE CALC DRAW Y= Darstellung: Stil Darstellung: Ja/Nein Term: Variable WINDOW? GRAPH ZOOM Wähle den Mittelpunkt der Vergrößerung/Verkleinerung
Mehr6. Polynom-Interpolation
6. Polynom-Interpolation 1 6.1. Klassische Polynom-Interpolation 2 6.2. Lösung mit Hilfe Lagrange scher Basisfunktionen 3 6.3. Lösung mit Hilfe Newton scher Basisfunktionen 4 6.4. Fehlerabschätzung für
MehrAlgorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen
Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen Rekonstruktion kontinuierlicher Daten Interpolation multivariater Daten Ulrich Rüde Lehrstuhl für Systemsimulation Sommersemester
MehrMethode der kleinsten Quadrate
1. Phase: Methode der kleinsten Quadrate Einführung Im Vortrag über das CT-Verfahren hat Herr Köckler schon auf die Methode der kleinsten Quadrate hingewiesen. Diese Lösungsmethode, welche bei überbestimmten
MehrMischungsverhältnisse: Nehmen wir an, es stehen zwei Substanzen (zum Beispiel Flüssigkeiten) mit spezifischen Gewicht a = 2 kg/l bzw.
Kapitel 5 Lineare Algebra 51 Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Man begegnet Systemen von linearen Gleichungen in sehr vielen verschiedenen Zusammenhängen, etwa bei Mischungsverhältnissen von Substanzen
Mehr( ) Lineare Gleichungssysteme
102 III. LINEARE ALGEBRA Aufgabe 13.37 Berechne die Eigenwerte der folgenden Matrizen: ( ) 1 1 0 1 1 2 0 3 0 0, 2 1 1 1 2 1. 1 1 0 3 Aufgabe 13.38 Überprüfe, ob die folgenden symmetrischen Matrizen positiv
MehrModerne Lineare Algebra
Sommersemester 20 Dr. Horn Hochschule für Wirtschaft und Recht Berlin Berlin School of Economics and Law Moderne Lineare Algebra Ein Überblick MSB Modul M 22: Mathematik und Statistik HWR LV-Nr. 200 69.0:
MehrBildinterpolation in virtuellen 3-D-Szenen. Lars Groenhagen
Bildinterpolation in virtuellen 3-D-Szenen Einleitung Seminarthema: Algorithmen zur Erzeugung von Panoramabildern Zylindrisches oder sphärisches Panorama: fester Standpunkt des Beobachters Wählbarer Standpunkt
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG. Winter 2013 Prof. H.-R. Künsch. , a R. det(a) = 0 a = 1.
b Musterlösung Lineare Algebra und Numerische Mathematik D-BAUG. Multiple Choice) Gegeben sei die folgende Matrix Winter 3 Prof. H.-R. Künsch A = a a) deta) = genau dann wenn gilt x a =. a =. ), a R. x
MehrZeilenstufenform eines Gleichungssystems
Zeilenstufenform eines Gleichungssystems Ein lineares Gleichungssystem mit einer m n-koeffizientenmatrix lässt sich mit Gauß-Transformationen auf Zeilenstufenform (Echelon-Form) transformieren: Ax = b...
MehrLineare Algebra für Ingenieure
TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN SS 4 Fakultät II - Mathematik J Liesen/F Lutz/R Seiler Lineare Algebra für Ingenieure Lösungen zur Juli-Klausur Stand: 4 September 4 Rechenteil Aufgabe (8 Punkte Berechnen
MehrBasiswissen Matrizen
Basiswissen Matrizen Mathematik GK 32 Definition (Die Matrix) Eine Matrix A mit m Zeilen und n Spalten heißt m x n Matrix: a a 2 a 4 A a 2 a 22 a 24 a 4 a 42 a 44 Definition 2 (Die Addition von Matrizen)
MehrNur Matrizen gleicher Dimension können addiert oder subtrahiert werden. Zur Berechnung werden zwei Matrizen A und B in den Matrix-Editor eingegeben.
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 14.02.2014 Casio fx-cg20 Operationen mit Matrizen Bei nachfolgend beschriebenen Matrizenoperationen wird davon ausgegangen, dass die Eingabe von Matrizen in
MehrLineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen
Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Lineare Gleichungssysteme mit 2 Variablen Einzelne lineare Gleichungen mit zwei Variablen Bis jetzt haben wir nur lineare Gleichungen mit einer Unbekannten (x)
MehrDefinition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem
Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben /3 Aufgaben Matrizen Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Lernziele - die Bezeichnung der Matrixelemente kennen und verstehen. - den
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München WiSe 07 / 08 Institut für Informatik Univ-Prof Dr Hans-Joachim Bungartz Michael Obersteiner Philipp Samfass Numerisches Programmieren, Übungen Musterlösung 3 Übungsblatt:
MehrTest 2, Musterlösung. Name, Klasse: Semester: 1 Datum: Teil ohne Matlab
Test 2, Musterlösung Lineare Algebra donat.adams@fhnw.ch Institut für Mathematik und Physik Name, Klasse: Semester: Datum: 2..26. Teil ohne Matlab. Lineare Abbildungen Zeigen Sie, dass die folgenden Abbildungen
MehrAufgabenkomplex 1: Funktionen, Interpolation, Grenzwerte, Ableitung
Technische Universität Chemnitz 8. April 203 Fakultät für Mathematik Höhere Mathematik I.2 Aufgabenkomple : Funktionen, Interpolation, Grenzwerte, Ableitung Letzter Abgabetermin: 30. April 203 in Übung
MehrRechner. Verlauf ansehen. Ausdruck teilen. Graph Gleichungen. OXY Seite öffnen. SCI/ENG Schreibweise. Eigene Gleichung zuweisen
Rechner Taste Funktion Verlauf ansehen Ausdruck teilen Zurück (bis zu 30 Schritte) Vorwärts (bis zu 30 Schritte) Graph Gleichungen Eigene Gleichung zuweisen OXY Seite öffnen Bruch/Grad Konvertierung SCI/ENG
MehrLineare Gleichungssysteme
Kapitel 6 Lineare Gleichungssysteme 6. Gaußalgorithmus Aufgabe 6. : Untersuchen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme mit dem Gaußalgorithmus auf Lösbarkeit und bestimmen Sie jeweils die Lösungsmenge.
MehrVon mathematischer Modellierung und Computeralgebra - Die Lösung eines handfesten mathematischen Problems
Von mathematischer Modellierung und Computeralgebra - Die Lösung eines handfesten mathematischen Problems Universität Paderborn Fakultät für Elektrotechnik, Informatik und Mathematik Institut für Mathematik
MehrWirtschaftliche Anwendung der Differentialrechnung
Wirtschaftliche Anwendung der Differentialrechnung für GeoGebraCAS Letzte Änderung: 11. Mai 2010 1 Überblick 1.1 Zusammenfassung In der Kosten- und Preistheorie befasst sich die Wirtschaftsmathematik mit
MehrÜbungen mit dem Applet Interpolationspolynome
Interpolationspolynome 1 Übungen mit dem Applet Interpolationspolynome 1 Ziele des Applets... 2 2 Übungen mit dem Applet... 2 2.1 Punkte... 3 2.2 y=sin(x)... 3 2.3 y=exp(x)... 4 2.4 y=x 4 x 3 +2x 2 +x...
Mehr8 Polynominterpolation
8 Polynominterpolation Interpolations-Aufgabe: Von einer glatten Kurve seien nur lich viele Punktewerte gegeben. Wähle einen lichdimensionalen Funktionenraum. Konstruiere nun eine Kurve in diesem Funktionenraum
MehrDefinition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem
Bau und Gestaltung, Mathematik, T. Borer Aufgaben / Aufgaben Matrizen Definition, Rechenoperationen, Lineares Gleichungssystem Lernziele - die Bezeichnung der Matrixelemente kennen und verstehen. - den
MehrLineare Algebra I (WS 12/13)
Lineare Algebra I (WS 12/13) Bernhard Hanke Universität Augsburg 17.10.2012 Bernhard Hanke 1 / 9 Wir beschreiben den folgenden Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme, das sogenannte Gaußsche
MehrEigenwerte und Fourier - Simulation von Massenschwingern mit Mathcad
Eigenwerte und Fourier - Simulation von Massenschwingern mit Mathcad Federschwinger mit zwei Federn Federmassenschwinger sind schön geeignet, um in Vorlesung der Ingenieurmathematik die Brücke zwischen
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
R Käppeli L Herrmann W Wu Herbstsemester 26 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Beispiellösung für Serie 2 Aufgabe 2 Welche der folgenden Aussagen sind korrekt? (i) Jedes
MehrInterpolation und Integration mit Polynomen
Interpolation und Integration mit Polynomen Philipp Andrea Zardo Universität Kassel 23. Februar 2006 / Kassel Outline 1 Einleitung Was ist numerische Mathematik? Die eulersche e-funktion Ein Wurzelalgorithmus
MehrTutorium: Analysis und Lineare Algebra. Vorbereitung der Bonusklausur am (Teil 1, Lösungen)
Tutorium: Analysis und Lineare Algebra Vorbereitung der Bonusklausur am 22.5.217 (Teil 1, Lösungen) 1. Mai 217 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 217 Steven Köhler 1. Mai 217
MehrÜbungen zu Splines Lösungen zu Übung 20
Übungen zu Splines Lösungen zu Übung 20 20.1 Gegeben seien in der (x, y)-ebene die 1 Punkte: x i 6 5 4 2 1 0 1 2 4 5 6 y i 1 1 1 1 1 + 5 1 + 8 4 1 + 8 1 + 5 1 1 1 1 (a) Skizzieren Sie diese Punkte. (b)
MehrParabel. Folie 3. Folie 4. x y. Skizziere selbst denkbare Kurven!
A UFGABEN- B LÄTTER Folie 3 Überlege, von welchen Einflüssen (Parametern) der Kurvenverlauf der Wassersäule abhängt! Skizziere selbst denkbare Kurven! Folie 4 Kannst du dich für eine entscheiden? Begründe,
MehrLösen von linearen Gleichungssystemen in zwei Variablen
für GeoGebraCAS Lösen von linearen Gleichungssystemen in zwei Variablen Letzte Änderung: 29/ März 2011 1 Überblick 1.1 Zusammenfassung Mit Hilfe dieses Unterrichtsmaterials sollen die Verfahren der Gleichsetzungs-,
MehrAllgemeines Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen. Der erste Index bezeichnet die Nummer der Zeile, der zweite die der Spalte.
Lineare Gleichungssysteme. Einleitung Lineare Gleichungssysteme sind in der Theorie und in den Anwendungen ein wichtiges Thema. Theoretisch werden sie in der Linearen Algebra untersucht. Die Numerische
MehrAufgabe: Berechnen Sie die Aufgaben aus Kapitel 3 mit Maple resp. MatLab durch.
7 Anhang: Tools 7.1 Einbettung in die Matrizenrechnung 7.1.1 Erste Aufgaben zur Matrizenrechnung 1. Aufgabe: Definieren Sie die Matrizen A = 1 0-2 -3 5 1 4 2-1 und B = 2. Aufgabe: Matrizen addieren und
MehrK. Eppler, Inst. f. Num. Mathematik Übungsaufgaben. 12. Übung: Woche vom (Lin.Alg.
Übungsaufgaben 12. Übung: Woche vom 16. 1.-20. 1. 2017 (Lin.Alg. I): Heft Ü 3: 2.1.11; 2.1.8; 2.1.17; 2.2.1; 2.2.3; 1.1.1; 1.1.4; Hinweis 1: 3. Test (Integration, analyt. Geom.) ist seit 9.1. freigeschalten
MehrMathematik für Studierende der Fachrichtungen Biologie, Chemie, Lebensmittelchemie und Erziehungswissenschaften Blatt 2
Fakultät Mathematik WS 27/8 Institut für Mathematische Stochastik / Institut für Analysis Dr. W. Kuhlisch, Dr. F. Morherr Mathematik für Studierende der Fachrichtungen Biologie, Chemie, Lebensmittelchemie
MehrMathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010
Mathematik für Naturwissenschaftler II SS 2010 Lektion 12 8. Juni 2010 Kapitel 10. Lineare Gleichungssysteme (Fortsetzung) Umformung auf obere Dreiecksgestalt Determinantenberechnung mit dem Gauß-Verfahren
MehrA2.3 Lineare Gleichungssysteme
A2.3 Lineare Gleichungssysteme Schnittpunkte von Graphen Bereits weiter oben wurden die Schnittpunkte von Funktionsgraphen mit den Koordinatenachsen besprochen. Wenn sich zwei Geraden schneiden, dann müssen
MehrMathematik 1, Teil B. Inhalt:
FH Emden-Leer Fachb. Technik, Abt. Elektrotechnik u. Informatik Prof. Dr. J. Wiebe www.et-inf.fho-emden.de/~wiebe Mathematik 1, Teil B Inhalt: 1.) Grundbegriffe der Mengenlehre 2.) Matrizen, Determinanten
MehrLineares Gleichungssystem - Vertiefung
Lineares Gleichungssystem - Vertiefung Die Lösung Linearer Gleichungssysteme ist das "Gauß'sche Eliminationsverfahren" gut geeignet - schon erklärt unter Z02. Alternativ kann mit einem Matrixformalismus
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang Arbeitsblatt 7 6. Semester ARBEITSBLATT 7 UMKEHRAUFGABEN ZUR KURVENDISKUSSION
ARBEITSBLATT 7 UMKEHRAUFGABEN ZUR KURVENDISKUSSION Bisher haben wir immer eine Funktion gegeben gehabt und sie anschließend diskutiert. Nun wollen wir genau das entgegengesetzte unternehmen. Wir wollen
MehrFilterprogrammierung in Gimp
Rüdiger Timpe Alexander Bertschik Filterprogrammierung in Gimp Ein Vortrag im Rahmen des Seminars Manipulation und Verarbeitung digitaler Bilder Inhalt Aufgabenstellung und Motivation...3 Auswahl der Filter...3
MehrInstitut für Geometrie und Praktische Mathematik
RWTH Aachen Institut für Geometrie und Praktische Mathematik Diplom VP Numerik 13. September 004 Aufgabe 1 10 0 40 Gegeben sei die Matrix A = 80 10 10. 10 5 5 (6 Punkte) a) Skalieren (Zeilenäquilibrierung)
MehrKapitel 3. Vektorräume. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 3 Vektorräume 1 / 41. : x i R, 1 i n x n
Kapitel Vektorräume Josef Leydold Mathematik für VW WS 07/8 Vektorräume / 4 Reeller Vektorraum Die Menge aller Vektoren x mit n Komponenten bezeichnen wir mit x R n =. : x i R, i n x n und wird als n-dimensionaler
MehrKapitel 3. Vektorräume. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 3 Vektorräume 1 / 41
Kapitel 3 Vektorräume Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 3 Vektorräume 1 / 41 Reeller Vektorraum Die Menge aller Vektoren x mit n Komponenten bezeichnen wir mit R n = x 1. x n : x i R, 1 i n und
MehrLineare Gleichungssysteme
Lineare Gleichungssysteme Lineare Gleichungssysteme Das System a x + a x +... + a n x n = b a x + a x +... + a n x n = b. +. +... +. =. a m x + a m x +... + a mn x n = b m heißt lineares Gleichungssystem
MehrLösung Semesterendprüfung
MLAE Mathematik: Lineare Algebra für Ingenieure Herbstsemester Dr. Christoph Kirsch ZHAW Winterthur Lösung Semesterendprüfung Aufgabe : a Mit dem Distributivgesetz multiplizieren wir aus: und lösen nach
MehrEigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen
Eigenwerte und Eigenvektoren von Matrizen Betrachtet wird eine (n,n)-matrix A. Eine Zahl λ heißt Eigenwert von A, wenn ein Vektor v existiert, der nicht der Nullvektor ist und für den gilt: A v = λ v.
MehrMathematik: Mag. Schmid Wolfgang+ LehrerInnenTeam ARBEITSBLATT 6-8 UMKEHRAUFGABEN ZUR KURVENDISKUSSION
Mathematik: Mag. Schmid Wolfgang LehrerInnenTeam ARBEITSBLATT 6-8 UMKEHRAUFGABEN ZUR KURVENDISKUSSION Wir wollen uns zu diesem Aufgabenbereich noch einige komplexere Aufgabenstellungen überlegen: Beispiel:
MehrUnterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form. Auszug aus: Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme und Matrizen
Unterrichtsmaterialien in digitaler und in gedruckter Form Auszug aus: Lineare Algebra: Lineare Gleichungssysteme und Matrizen Das komplette Material finden Sie hier: School-Scout.de Thema: Lineare Algebra:
Mehrneue dokumente anlegen Menüleiste: Datei > Neu Kurzbefehl: cmd + N
neue anlegen Menüleiste: Datei > Neu Kurzbefehl: cmd + N 72 ppi bei Originalgröße für die Ausgabe am Bildschirm 300 ppi bei Originalgröße für die Ausgabe im Druck Farbmodus und Farbtiefe (in der Regel
Mehr4. Segmentierung von Objekten Video - Inhaltsanalyse
4. Segmentierung von Objekten Video - Inhaltsanalyse Stephan Kopf Inhalt Vorgehensweise Berechnung der Kamerabewegungen zwischen beliebigen Bildern Transformation eines Bildes Hintergrundbilder / Panoramabilder
Mehr6.1 Welche Matrix gehört zu der Abbildung?
Kapitel 6 Gleichungssysteme Bisher haben wir nur für spezielle Fälle (Drehungen, Spiegelungen ) die zu einer bekannten Abbildung gehörende Matrix gesucht. Da uns die Abbildung in allen Einzelheiten bekannt
MehrAbiturprüfung Mathematik 0 Baden-Württemberg (ohne CAS) Pflichtteil Aufgaben Aufgabe : ( VP) Bilden Sie die erste Ableitung der Funktion f mit f() = ( sin() + 7) 5. Aufgabe : ( VP) Berechnen Sie eine Stammfunktion
MehrFerienkurs Mathematik für Physiker I Skript Teil 3 ( )
Ferienkurs Mathematik für Physiker I WS 2016/17 Ferienkurs Mathematik für Physiker I Skript Teil 3 (29032017) 1 Lineare Gleichungssysteme Oft hat man es in der Physik mit unbekannten Größen zu tun, für
MehrEigenwertprobleme. 25. Oktober Autoren: 1. Herrmann, Hannes ( ) 2. Kraus, Michael ( ) 3. Krückemeier, Paul ( )
Eigenwertprobleme 5. Oktober Autoren:. Herrmann, Hannes (45969). Kraus, Michael (9). Krückemeier, Paul (899) 4. Niedzielski, Björn (7) Eigenwertprobleme tauchen in der mathematischen Physik an Stellen
Mehr5.4 Basis, Lineare Abhängigkeit
die allgemeine Lösung des homogenen Systems. Wieder ist 2 0 L i = L h + 0 1 Wir fassen noch einmal zusammen: Ein homogenes lineares Gleichungssystem A x = 0 mit m Gleichungen und n Unbekannten hat n Rang(A)
MehrMathematik Modul 3 -Arbeitsblatt A 3-7: LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME MIT ZWEI VARIABLEN
Schule Thema Bundesgymnasium für Berufstätige Salzburg Mathematik Modul 3 -Arbeitsblatt A 3-7: LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME MIT ZWEI VARIABLEN Unterlagen LehrerInnenteam Sehr oft treten in der Mathematik
MehrLineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG
P. Grohs T. Welti F. Weber Herbstsemester 2 Lineare Algebra und Numerische Mathematik für D-BAUG ETH Zürich D-MATH Mittsemesterprüfung HS, Typ A Name a a Note Vorname Leginummer Datum 29..2 2 4 6 Total
Mehr[5], [0] v 4 = + λ 3
Aufgabe 9. Basen von Untervektorräumen. Bestimmen Sie Basen von den folgenden Untervektorräumen U K des K :. K = R und U R = span,,,,,.. K = C und U C = span + i, 6, i. i i + 0. K = Z/7Z und U Z/7Z = span
Mehr7.1.2 Lineare Funktionen Schnittpunkte mit den Achsen - Lösungen
7.. Lineare Funktionen Schnittpunkte mit den Achsen - Lösungen. Bestimme von den nachfolgenden Funktionsgleichungen zunächst die Schnittpunkte mit den Achsen; stelle sie danach im Koordinatensystem dar.
MehrTutorium: Analysis und Lineare Algebra
Tutorium: Analysis und Lineare Algebra Vorbereitung der Bonusklausur am 14052018 (Teil 1) 7 Mai 2018 Steven Köhler mathe@stevenkoehlerde mathestevenkoehlerde 2 c 2018 Steven Köhler 7 Mai 2018 Matrizen
Mehr