Wirtschaftliche Anwendung der Differentialrechnung

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1 Wirtschaftliche Anwendung der Differentialrechnung für GeoGebraCAS Letzte Änderung: 11. Mai Überblick 1.1 Zusammenfassung In der Kosten- und Preistheorie befasst sich die Wirtschaftsmathematik mit der genaueren Analyse von Kosten, Erlösen und Gewinnen sowie von Angebot und Nachfrage. Dabei werden für reale Situationen möglichst einfache mathematische Modellfunktionen entwickelt, mit deren Hilfe man Kostenverläufe, ihre Veränderungen und Auswirkungen interpretieren kann. Die Kenntnisse, die aus der Differentialrechnung bekannt sind, werden in dieser wichtigen wirtschaftlichen Anwendung als Bereitstellung von Entscheidungsgrundlagen für die Unternehmensleitung genutzt Kurzinformation Schulstufe Geschätzte Dauer Verwendete Materialien Technische Voraussetzungen Schlagwörter Mathematik Schlagwörter GeoGebraCAS Autor/in 11. Schulstufe 2 bis 3 Unterrichtseinheiten Siehe Beilage GeogebraCAS Kosten- und Preistheorie Differentialrechnung Kurvendiskussionen Ableitungen Lösen von Gleichungen Mag. Heidi Metzger-Schuhäker Download von Zusatzmaterialien 1

2 1.3 Vorwissen der Lernenden Mathematisches Vorwissen Kenntnisse über Funktionen Diskussion von Funktionen Differentialrechnung Technisches Vorwissen Grundkenntnis über GeogebraCAS 1.4 Lerninhalte und Lernziele Lehrinhalt Lösen von Gleichungen durch Verwendung gegebener Werte anhand von CAS-System Mit Hilfe von Geogebra und GeogebraCAS den Kostenfunktionsgraph erstellen und diskutieren Lernziel Funktionale Zusammenhänge erkennen Modellbildung und Analyse von Kostenfunktionen Interpretation von Funktionsgraphen Bedeutung von relativen Maximabzw.Minima in anwendungsorientierten Aufgabenstellungen erkennen Kenntnisse der Differentialrechnung nutzen um unter Verwendung von GeogebraCAS Kostenminima, Gewinnmaxima, zu berechnen Bedeutung der 1. Ableitung einer Funktion als momentane Änderungsrate 1.5 Lernzielkontrolle Mit Hilfe theoretischer Fragestellungen und unterstützender Literatur aus der Kosten- und Preistheorie kann das wirtschaftliche Verständnis der Schüler überprüft werden. Dabei soll neben der reinen Berechnung wirtschaftlicher Kennzahlen auch auf Interpretationen der Lösungen und ihre Bedeutung für Unternehmensentscheidungen Wert gelegt werden. Übungsaufgaben dazu werden zur Verfügung gestellt. 2 Vorbereitung der Lehrenden 2.1 Vorbereitung des Unterrichts Die Lehrenden sollen im Vorfeld den Schülern die allgemeine Theorie 2

3 der unterschiedlichen Kostenverläufe in einem kurzen Handout zur Verfügung stellen. Weiters wäre es ratsam, auf weiterführende Literatur sowie Links zur Vertiefung hinzuweisen. 2.2 Verwendung des GeoGebraCAS Einfache Grundkenntnisse von Geogebra und GeogebraCAS sind von Vorteil, es können aber auch fertige Applets zur Veranschaulichung verwendet werden. Die händische Berechnung dieser Aufgaben ist möglich, es müsste jedoch dafür ein längerer Zeitraum vorgesehen werden. Die wichtigen verwendeten Befehle werden hier zusammengefasst. Verwendete Befehle Solutions Vereinfache Derivative Ableitung[Funktion] Ableitung[Funktion, Grad n der Ableitung] TrendPoly[Liste von Punkten, Grad n des Polynoms]: Trendlinie[Liste#] Löst eine Gleichung nach einer Variablen Vereinfacht den ausgewählten Term Berechnet die Ableitungen einer Funktion Berechnet die Ableitung der Funktion Berechnet die n-te Ableitung der Funktion Berechnet das Regressionspolynom n-ten Grades Berechnet die lineare Regressionsfunktion einer gegebenen Liste Verwendete Werkzeuge Werkzeug Name des Werkzeugs (siehe Beispiel unten) Bewege Verschiebt das Zeichenblatt oder zieht eine Achse 3

4 3 Didaktischer Hintergrund Durch den Einsatz von GeogebraCAS können die Schüler sehr anschaulich und ohne mühsame händische Rechenarbeit einer Regression ein gegebenes Datenmaterial verarbeiten, indem sie den funktionalen Zusammenhang durch eine Modellfunktion graphisch darstellen und interpretieren. Weiters können die Kostenkehre, die Grenzkostenfunktion und minimale (variable) Stückkosten mit Hilfe des CAS berechnet werden, auch wenn die Ableitungen der Funktionsterme händisch teilweise aufwendig zu berechnen wären. Die tatsächliche Anwendung der Differentialrechnung anhand empirisch erhobener wirtschaftlicher Daten ist somit für die Schüler leicht nachvollziehbar und eigenständig berechenbar. 4 Einsatz im Unterricht 4.1 Verlaufsplan Phase Inhalt Sozial- / Aktionsform Materialien Einführung Problemstellung: Kosten eines Produktionsbetriebes Allg. Theorie zu Kosten; fixe und variable Kosten Darstellung der Kosten Kurzes Vorstellen der Problemstellung im Plenum Angabe in Tabellenform Erarbeitungsphase Diskussion und Bildung einer Modellfunktion in Form einer Polynomfunktion 3. Grades Grenzkostenfunktion Stückkostenfunktion variable Stückkostenfunktion Minima der Stückkostenfunktion und variablen Stückkostenfunktion berechnen und ihre wirtschaftliche Bedeutung erklären Ausarbeitung von Fragestellungen zu versch. Kostenverläufen in Partner bzw. Gruppenarbeit Theorieteil von Lehrenden Übungsaufgaben in Einzel- bzw. Partnerarbeit Wirtschaftliche Literatur + Internet Übungsbeispiele 4

5 Phase Inhalt Sozial- / Aktionsform Materialien Zusammenfassung Zusammenfassende Erklärungen anhand der Erklärung graphischer Zusammenhänge Beantwortung vorgegebener Fragestellung in Gruppenarbeit Präsentation der Lösungen im Plenum Schriftliche Zusammenfassu ng der erarbeiteten Theorie Lernzielkontrolle Theorie: theoretische Beantwortung eines Fragenkatalogs Rechenfertigkeit: Übungsblatt Einzelarbeit als Hausübung mit anschließender Kurzpräsentation einzelner Ergebnisse Fragenkatalog Übungsblatt Anwendung / Differenzierung / Übung / Vertiefung Als Vertiefung: Begriff der Elastizität Frontalunterricht Kleingruppen Wirtschaftliche Literatur Internet Hausübung Weitere Aufgabenstellungen Partner - Einzelarbeit Übungsblatt 4.2 Unterrichtsablauf Einführung Ein Produktionsbetrieb hat seine Kosten im Laufe der Produktionsphase analysieren lassen und möchte die ermittelten Daten nutzen, um seinen Herstellungsprozess zu optimieren. Folgende Daten stehen dafür zur Verfügung: x in Mengeneinheiten Kosten in Geldeinheiten

6 1. Graphische Darstellung: Erkennen des funktionalen Zusammenhangs Anleitung: Einstellen der Skalierung Schritt 1: Rechte Maustaste ins Zeichenblatt Schritt 2: 1.1Lineare Regression: Schritt 1: Eingabe der Liste: Schritt 2: Erstellen der linearen Regression: 1.2 Regression durch Polynomfunktion 2. Grades: TrendPoly[Liste1, 2] 6

7 1.3 Regression durch Polynomfunktion 3. Grades: TrendPoly[Liste1, 3] 1.4 Diskussion über Wahl einer Modellfunktion! 1.5 Errechnen und Prognose weiterer Werte aus den Regressionskurven 2. Erarbeitungsphase Theorie zu Kostenverläufen Wir definieren die zu verwendeten Funktionen. Die Ableitungen ermitteln wir mit der Funktion Derivative und ordnen sinnvolle Bezeichner zu: Jetzt können wir in gewohnter Weise mit diesen Funktionen arbeiten: Berechnung der Kostenkehre: 7

8 K (x)=0 Kostenverläufe interpretieren: Degressive, progressive, proportionale Kostenverläufe erklären und berechnen Wir testen links von der Kostenkehre: Im diesem Bereich ist der Kostenverlauf degressiv, rechts von der Kostenkehre daher progressiv. Stückkostenfunktion: Definition: Dividiert man die Gesamtkosten durch die Durchschnittsmenge, so erhält man jene Kosten, die eine Einheit der Produktionsmenge kostet. Man bezeichnet diese Funktion als Stückkosten- bzw. Durchschnittskosten funktion. Die minimalen Stückkosten werden als Betriebsoptimum bezeichnet. Berechnung der minimalen Stückkosten: Variable Stückkostenfunktion: Falls die durchschnittlichen variablen Stückkosten ein lokales Minimum haben, wird diese Produktionsmenge als Betriebsminimum bezeichnet. 8

9 Berechnung der minimalen variablen Stückkosten 5 Anhang Zusammenfassung der Theorie Übungsaufgaben 9