Quantencomputer. Tobias Wallner. seisfjvjd0. erfsfvr

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1 Quantencomputer Tobias Wallner erfsfvr seisfjvjd0

2 Inhaltsverzeichnis: 1.Vergleich zwischen normalen Computer und Quantencomputer:.. 2 a)der normale Computer:... 2 b)der Quantencomputer: Historischer Hintergrund von Quantencomputern: Quantencomputer Physikalische Realisierung:... 5 a)bedingungen an einen Quantencomputer:... 5 b) NMR Quantencomputer:... 6 c) Festkörper Quantencomputer: D Wave Systems:... 7 Seite 1 von 8

3 Der Quantencomputer: 1.Vergleich zwischen normalen Computer und Quantencomputer: a)der normale Computer: Ein universeller klassischer Rechner besteht aus einem Register, in dem beliebig viele Bits gespeichert sind. Ein Bit an Information entspricht einer Entscheidung zwischen zwei Möglichkeiten wie ja oder nein, 1 oder 0, wahr oder falsch. In einem Digitalrechner ist ein Bit an Information beispielsweise die Ladung eines Kondensators: Ein geladener Kondensator bezeichnet eine 1, ein entladener Kondensator eine 0. Ein weiteres Merkmal des klassischen Computers ist das Programm, das aus einer frei wählbaren und teilweise auch wiederholten Abfolge logischer Verknüpfungen besteht, die auf die Bits des Registers wirken. Üblicherweise wählt man als elementare Operationen die aus der mathematischen Logik bekannten Verknüpfungen AND, OR und NOT. Die NOT Verknüpfung ist eine einwertige Abbildung 1: Normaler Computer Grundfunktion, das heißt dass sie auf ein Eingangsbit wirkt. Das Eingangsbit wird invertiert: ist es 1, dann wird das Ausgangsbit 0 und umgekehrt. Das AND und das OR sind zweiwertige Grundfunktionen, also Verknüpfungen, die auf zwei Eingangsbits wirken. Das AND bewirkt, dass das Ausgangsbit nur dann 1 wird, wenn beide Eingangsbits 1 sind und in den sonstigen Fällen zu 0 wird. Bei der OR Verknüpfung ist das Ausgangsbit 1, wenn mindestens ein Eingangsbit 1 ist. Aus diesen drei elementaren Operationen können alle logischen Verknüpfungen erzeugt werden. Ein klassischer Rechner kann jede arithmetische Aufgabe bewältigen, wenn er über eine geeignete Auswahl von Gattern verfügt. b)der Quantencomputer: Auch in einem Quantencomputer wird Information in der Regel binär dargestellt. Dazu bedient man sich eines physikalischen Systems mit zwei Basiszuständen eines zweidimensionalen komplexen Raums, wie er in der Quantenmechanik auftritt. Ein Basiszustand repräsentiert den quantenmechanischen Zustandsvektor, der andere den Zustandsvektor. Dabei benutzt man die in der Quantenphysik gebräuchliche Dirac Notation. Bei diesen Zwei Niveau Systemen der Quantenmechanik kann es sich z. B. um den Spin eines Elektrons handeln, der entweder nach oben oder nach unten zeigt. Andere Implementierungen nutzen das Energieniveau in Atomen oder Molekülen oder die Flussrichtung eines Stroms in einem ringförmigen Supraleiter. Die Bezeichnung Qubit soll den quantenmechanischen Charakter der auf diese Weise dargestellten Bits betonen und leitet sich aus Quanten Bit ab. Eine wichtige Eigenschaft quantenmechanischer Zustandsvektoren ist in diesem Zusammenhang, dass diese eine Überlagerung anderer Zustände sein können. Dies wird auch Superposition genannt. Im konkreten Fall bedeutet dies, dass ein Qubit nicht entweder oder sein muss, wie dies für die Bits des klassischen Computers der Fall ist. Vielmehr ergibt sich der Zustand eines Qubits in dem oben erwähnten zweidimensionalen komplexen Raum allgemein zu, Seite 2 von 8

4 wobei wie in der kohärenten Optik beliebige Überlagerungszustände zugelassen sind. Der Unterschied zwischen klassischem und quantenmechanischem Computing ist also analog dem zwischen inkohärenter bzw. kohärenter Optik (im ersten Fall werden Intensitäten addiert, im zweiten direkt die Feldamplituden, wie etwa in der Holographie). Hierbei sind und beliebige komplexe Zahlen. Zur Normierung fordert man aber ohne Beschränkung der Allgemeinheit noch. Die Betragsquadrate der komplexen Zahlen und geben die Wahrscheinlichkeit dafür an, als Resultat einer Messung am Zustand den Wert 0 bzw. 1 zu erhalten. Beispielsweise ist also die Wahrscheinlichkeit, eine 0 zu messen. Man darf dieses probabilistische Verhalten allerdings nicht so interpretieren, dass sich das Qubit mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit im Zustand und mit einer anderen Wahrscheinlichkeit im Zustand Abbildung 2: D Wave 2x befindet, während andere Zustände nicht zugelassen sind. Ein solches ausschließendes Verhalten könnte man auch mit einem klassischen Computer erzielen, der einen Zufallsgenerator verwendet, um beim Auftreten von überlagerten Zuständen zu entscheiden, ob er mit 0 oder 1 weiterrechnet. In der theoretischen Physik kommt ein entsprechendes ausschließendes Verhalten in der sog. Statistischen Physik vor, die also im Gegensatz zur Quantenmechanik inkohärent ist. Bei Berücksichtigung der kohärenten Überlagerung erhält man dagegen allgemein wobei den Realteil der komplexen Zahl bedeutet, die konjugiert komplexe Zahl zu ist und das quantenmechanische Skalarprodukt der betreffenden Zustände ist. 2. Historischer Hintergrund von Quantencomputern: Mit dem Begriff Quantencomputer sind heute viele atemberaubende Vorstellungen verbunden, wie: 1. Exponentieller Zuwachs der Rechengeschwindigkeit gegenüber klassischen Computern 2. Erzeugung von echten Zufallszahlen 3. Effizientes Kryptoanalyse Abbildung 3: Moore's law Und viele mehr Seite 3 von 8

5 Doch neben all diesen vielversprechenden Eigenschaften, die einen Quantencomputer auszeichnen werden, muss v. a. auch auf die dringende Notwendigkeit von Quantencomputern in nicht allzu ferner Zukunft hingewiesen werden. Die historischen Ursprünge der Informatik im Allgemeinen, und des Quantum Computing im Speziellen, sollen nun im folgenden Abschnitt näher erläutert werden. In den letzten 50 Jahren fand eine dramatische Miniaturisierung in der Computertechnologie statt. In den 70 er Jahren des letzten Jahrhunderts entdeckte Gordon Moore, einer der Gründer von Intel, dass sich die Speicherkapazität eines Chips bei gleichbleibender Größe ungefähr alle anderhalb Jahre verdoppelt. Dies ist gleichbedeutend damit, dass ca. alle 18 Monate nur noch halb so viele Atome benötigt werden um ein Bit an Information zu speichern. Und wenn dieser seit 1950 bestehende exponentielle Trend anhält, wurden die Speichereinheiten eines Computers spätestens im Jahre 2020 die Größe von einzelnen Atomen besitzen. Im Bereich dieser Größenordnung spielen Quanteneffekte eine entscheidende Rolle und müssen dementsprechend bei der Konstruktion von Hardware als auch beim Design von Algorithmen berucksichtigt werden. Aus dieser, zukünftig unumgänglichen Symbiose von Computerwissenschaft und Quantenphysik tat sich ein völlig neues Gebiet der Informationstheorie auf, das heute als Quanteninformatik oder Quantum Computing bezeichnet wird. Während sich die Ursprunge der Computerwissenschaft im allgemeinem nicht genau zurück verfolgen lassen, ist die Geburt der Theoretischen Informatik hingegen eng mit den Namen Alan Turing, Alonso Church und Kurt Gödel verbunden. Sie waren die ersten, die unabhängig voneinander mathematische Modelle zur Beschreibung von Rechenprozessen entwickelten, ohne diese an eine direkte Implentierung von Computern zu knüpfen. Unter ihnen war es Alan Turing, der das bis heute wohl einflussreichste Modell entwarf. Der Hintergrund für Abbildung 4: Turingmaschine dieses Modell liegt im sogenannten Entscheidungsproblem begründet, das von dem deutschen Mathematiker David Hilbert im Jahre 1928 formulierte wurde. Hilbert fragte, ob es möglich sei einen Algorithmus zu konstruieren, der entscheiden könnte, ob eine mathematische Vermutung wahr oder falsch ist. Es stellte sich heraus, dass die Antwort auf die Frage nein lautete. Um dies zu beweisen konstruierte Turing jenes Modell, das ihm zu Ehren heute als Turing Maschine bezeichnet wird. Unter einer Turing Maschine versteht man ein idealisiertes mathematische Modell eines Computers, das von Turing eingeführt wurde, um das Konzept des Algorithmus auf eine formal strenge Basis zu stellen. Sie besteht aus einem unendlich langen Band mit unendlich vielen Feldern, in die jeweils genau ein Zeichen gespeichert werden kann, entweder 0 oder 1. Ein endliche Tabelle von Instruktionen steuert einen Lese /Schreib Kopf mit dem die Eingabe modifiziert wird. Abhängig von seinem Zustand, dem Befehl aus der Instruktionstabelle und dem Inhalt des Feldes schreibt er entweder 0 oder 1. Turing gelang es zu zeigen, dass die Turingmaschine alle Operationen durchführen kann, die innerhalb eines Axiomensystems existieren. Church kam unabhängig davon zum gleichen Ergebnis und gelangte Seite 4 von 8

6 sogar zu einer noch stärkeren Aussage. Diese ist heute als Church Turing These (1936) bekannt und besagt: Jede Funktion, die intuitive berechenbar ist, kann auch mit einer Turing Maschine berechnet werden. Eine Turingmaschine kann damit ganz allgemein dafür eingesetzt werden, um Entscheidungsprobleme zu lösen, d. h. Fragen, die mit ja oder nein zu beantworten sind. Dabei wird das Anhalten der Turing Maschine als ja und das Nicht Anhalten als nein interpretiert. Unentscheidbare (also nicht beweis oder widerlegbare) Aussagen sind damit äquivalent, dass eine Turingmaschine unendlich lange braucht, um sie zu bearbeiten. Darüber hinaus lässt sich zeigen, dass jedes mathematische Problem als Entscheidungsproblem formulierbar ist, indem man fragt, ob ein bestimmter Wert eine Lösung für ein konkretes Problem ist. Somit ist jede mögliche Funktion durch eine Turing Maschine simulierbar. Doch mit einer Turingmaschine kann man weit mehr, als nur eine Vielzahl an Funktionen berechnen. Überaschenderweise lässt sich zeigen, dass man mit einer Turing Maschine, trotz ihrer Einfachheit, alle Operationen simulieren kann, die auf einem hochmodernen Rechner laufen. Eine weniger abstrakte Formulierung der Church Turing These lautet daher: Jedes algorithmische Problem, das in irgendeiner Programmiersprache programmiert und auf irgendeinem dafür geeigneten Computer ausgeführt werden kann (sogar auf Computern, die noch nicht gebaut sind, aber prinzipiell gebaut werden könnten), und selbst wenn es unbeschränkt viel Zeit und Speicherplatz für immer größere Eingaben benötigt jedes solche Programm ist auch durch eine TuringMaschine lösbar. Die Church Turing These gilt als die vielleicht wichtigste These in der Theoretischen Informatik ist bis zum heutigen Tag gültig. Mit dem Bau eines Quantencomputers könnte diese These jedoch erstmals widerlegt werden. 3. Quantencomputer Physikalische Realisierung: a)bedingungen an einen Quantencomputer: Zur Realisierung eines Quantencomputers müssen eine Reihe von Bedingungen erfüllt sein: 1. Identifikation einzelner Qubits 2. Adressierbarkeit und Auslesen der Bits 3. Implementierung von Quanten Gates 4. Schwache Dekohärenz 5. Effiziente Implementierung von Fehlerkorrektur 6. Skalierbarkeit von wenigen auf viele Qubits Ein entscheidender Punkt bei der Realisierung eines Quantencomputers ist, dass der Satz der möglichen Zustände endlich sein muss. Darüber hinaus ist es wünschenswert ein symmetrisches System zu haben, um die Auswirkungen der Dekohärenz auf ein Minimum zu reduzieren. Betrachten wir beispielsweise ein Spin 1/2 Teilchen. Es lebt in einem zweidimensionalen Hilbert Raum, der von den Zuständen +i und i aufgespannt ist und kann keine Zustände außerhalb dieses Vektorraums annehmen. Ausreichend isoliert wäre es daher ein nahezu perfektes Qubit. Es kann jede unitäre Transformation durch einen Satz von One Qubit Gates kombiniert mit CNOT Gates erzeugt. Seite 5 von 8

7 Das oberste Ziel für angewandte Quantenrechnungen ist daher diese beiden Formen von logischen Gates zu realisieren. Eine der größten Herausforderungen, um vernünftige Rechnungen durchzufuhren, ist die möglichst exakte Preparation des Anfangszustands. Dies kann im Fall von Qubits äußerst aufwendig sein, abhängig vom gewählten System. Obwohl Qubits, die sich in zufälligen Superpositionen befinden, für relativ lange Zeit stabil bleiben, ist es aufgrund von thermischer Erwärmung äußerst schwierig alle Qubits eines Systems in dem selben Zustand zu halten. Des weiteren gibt es jedoch auch Probleme, die mit dem Meßprozeß des Outputs einer Quantenrechnung verbunden sind. Beispielsweise können ineffiziente Photonenzähler und thermisches Rauschen aufgrund des Verstärkers zu einem erheblichen Verlust der gemessenen Information führen. Selbst wenn die Theorie schon einigermaßen fortgeschritten ist, so steckt die Realisierung von Quantencomputern doch noch in den Kinderschuhen und stellt Techniker vor ungeahnte Herausforderungen. So liefert die Theorie des fehlerhaften Quantenrechnens einen Wert in der Größenordnung von 10 5 als relative Ungenauigkeit pro Rechenschritt bzw. Gate Operation. Mit anderen Worten, von Operationen darf höchstens eine Operation fehlerhaft sein, damit der Quantencomputer noch funktioniert. Andererseits sollte auch nicht vergessen werden, welch enorme Fortschritte in der klassischen Informationsverarbeitung innerhalb eines halben Jahrhunderts erzielt worden sind. b) NMR Quantencomputer: Ein vollkommen anderes Konzept wird mit Quantencomputern verfolgt, die auf NMR Effekten basieren. Hier besteht der Computer aus einer Flüssigkeit, wobei jedes Molekül der Flüssigkeit als individuelles Quantum Memory Register fungiert. Jedes Qubit wird durch den Kernspin eines Atoms innerhalb eines jeden Moleküls realisiert. Somit ist die Anzahl der Qubits pro Quantum Memory Register gleich der Anzahl der Atome pro Molekül. Da aber jedes einzelne Molekül der Flüssigkeit einen Quantencomputer für sich darstellt, wäre die Gesamtzahl der, bei einem Rechenprozess involvierten, Qubits bedeutend höher. Bei einer Anzahl von ²³ Molelülen pro mol besäße ein auf NMR basierender Quantencomputer somit enorme Redundanz. Diese große Anzahl von einzelnen Quantencomputern erfordert wiederum eine völlig andere Herangehensweise beim Extrahieren des Outputs. Während das Ergebnis bei vorher genannten Modellen dadurch ausgelesen wurde, dass man durch einen Meßprozess den Wert einer Observablen bestimmte, ist dies bei einem NMR Quantencomputer nicht möglich. Um dessen Zustand zu messen, musste man den Mittelwert einer bestimmten Observablen über das ganze Ensemble bilden. Ein erhebliches Problem bei der Realisierung eines derartigen NMR Quantencomputers liegt jedoch in den hohen veranschlagten Kosten, sowie in der immensen Größe dafür benötigter Apparaturen. c) Festkörper Quantencomputer: Für künftige praktische Anwendungen mit technologischem Potential kommt der Festkörperphysik eine besondere Bedeutung zu. Denn hier gibt es ein wissenschaftliches Umfeld mit Erfahrung in der Erzeugung von immer kleineren geordneten Strukturen (Mikrochips, Nanotechnologie), auf die man aufbauen kann. Für Quantenspeicher und operationen in Festkörpern ist allerdings die Dekohärenz in vielen Fällen ein vorrangiges Problem. Als Beispiel zur Realisierung eines Quanten Gates ist auf Experimente von Yasunobu Nakamura und Irinel Chiorescu mit Cooper Paaren in Josephson Kontakten hinzuweisen. Nakamura verwendeten kleine Kästchen eines supraleitenden Materials, die über einen Kondensator mit einem Josephson Kontakt verbunden wurden. Unter einem Cooper Paar von Elektronen versteht man zwei über Gitterschwingungen gekoppelte Elektronen mit gemeinsamer Wellenfunktion. Diese können durch den Isolator in das Kästchen tunneln. Das Seite 6 von 8

8 Kästchen selbst repräsentiert hier das Qubit, da es in zwei Zuständen existieren kann: In einem gibt es einen Überschuss an Cooper Paaren, im anderen nicht. Die Qubits werden nun über den Kondensator zur Wechselwirkung gebracht. Damit wird ein verschränktes Qubit Paar erzeugt. Das Team um Nakamura konnte nun nachweisen, dass das Qubit Paar verschränkt ist. Damit scheint es also tatsächlich möglich zu sein, ein logisches Quanten Gate aus Festkörper Einheiten aufzubauen. Viele solcher gekoppelter Einheiten wurden dann die Bausteine eines Quantencomputers bilden. Einen anderen experimentellen Weg ging das Team um Chiorescu: Hier wurden drei Josephson Kontakten zu einem Ring vereinigt. In diesem System bilden makroskopische Ströme aus Milliarden von Cooper Paaren, die den Ring in entgegengesetzten Richtungen durchlaufen, die Quantenzustände. Das Qubit wird hier durch einen supraleitender Aluminiumring mit einem Durchmesser von 2 Tausendstel Millimeter repräsentiert. Der Vorteil dieses Ansatzes ist die relativ günstige Produktionstechnik, so dass die Autoren glauben, hier den ersten überzeugenden Kandidaten für den Bau eines Quantencomputers gefunden zu haben. Bisher bereitet es aber noch experimentelle Probleme, zwei mit dieser Technik erzeugte Qubits zu verschränken. Für einen funktionierenden Quantencomputer mussten hunderte bis tausende solcher Qubits verschränkt werden. Zumindest die Größe der Schaltkreise macht aber keine Probleme: Ein 1000 Qubit Quantencomputer wäre nicht größer als ein Daumennagel. 4. D Wave Systems: D Wave Systems Inc. ist ein Hardwarehersteller mit Hauptsitz in Burnaby, British Columbia, Kanada. Das Unternehmen wurde 1999 gegründet und am 11. Mai 2011 durch die Entwicklung des nach ihren Angaben ersten kommerziellen Quantencomputers bekannt. D Wave wurde von Haig Farris, Geordie Rose, Bob Wiens und Alexandre Zagoskin 1999 gegründet. Sie verkauften 2011 einen Computer mit nach eigenen Angaben 128 Qubits an Lockheed Martin und erhielten daraufhin eine Finanzierung von 30 Millionen Dollar von Jeff Bezos, dem Gründer von Amazon, und dem Unternehmen In Q Tel, das dem amerikanischen Geheimdienst CIA zugeordnet wird. Im Mai 2013 wurde der Kauf eines Quantencomputers von der NASA und Google bekanntgegeben. Dieser Computer soll auf 512 Qbits rechnen können, wobei jedes Qbit durch die Flussrichtung von Strom durch supraleitende Schleifen auf einem Chip dargestellt wird. Abbildung 5: D Wave Systems Inc. Seite 7 von 8

9 Abbildungsverzeichnis: Abbildung 1: Normaler Computer... 2 Abbildung 2: D Wave 2x... 3 Abbildung 3: Moore's law... 3 Abbildung 4: Turingmaschine... 4 Abbildung 5: D Wave Systems Inc Quellenverweis: Seite 2 bis 3: muenchen.de/~milq/quantencomp/quantencomputer.pdf Seite 3 bis 7: regensburg.de/forschung/schwarz/qoptik/bauernfeind.pdf Seite 7: Wave_Systems Seite 8 von 8