Quanten-Fehler-Korrektur

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1 Quanten-Fehler-Korrektur Hauptseminar Physik des Quantencomputers, SS 2013 Martin Koppenhöfer Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP) Correct Error M M 0 KIT Universität des M. Landes Koppenhöfer Baden-Württemberg Quanten-Fehler-Korrektur und Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP) nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Übersicht Wozu Fehlerkorrektur? Klassische Fehlerkorrektur Formalismus 3-Bit-Code (klassisch) Quantenmechanische Fehlerkorrektur Grundlagen 3-Bit-Code (quantenmechanisch) Stabilizer-Formalismus Grundlagen Generatoren der Stabilizer-Gruppe Threshold-Theorem Implementierung von Quantenalgorithmen Konkatenierte n-qubit-codes Bestimmung des threshold-value M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

3 Wozu Fehlerkorrektur? Störeffekte in realen (Quanten)Computern: Spannungsabfall & +5V R1 = A D1 C B D2 Rauschen Vorbereitungshilfe P1-Versuch Schaltlogik. S(ω) = 2 hω R coth hω 2kT Wechselwirkung mit der Umgebung (Relaxierung, Dephasierung) Fehler in der Datenverarbeitung H 0 H = H 0 + H M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

4 Klassische Fehlerkorrektur Formalismus Fehlermodell führt zu Codierung erlaubt Fehlerkorrektur Fehlermodell entwickeln Codierung führt Redundanzen ein: 0 1 p p 0 p 1 1 p 1 nach [KLM07], Fig logisches Bit + Hilfsbits = codiertes Bit 1 + hh 111 Fehlerkorrektur ermittelt error syndrome und korrigiert Zustand M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

5 Klassische Fehlerkorrektur Formalismus Fehlermodell führt zu Codierung erlaubt Fehlerkorrektur Fehlermodell entwickeln Codierung führt Redundanzen ein: 0 1 p p 0 p 1 1 p 1 nach [KLM07], Fig logisches Bit + Hilfsbits = codiertes Bit 1 + hh 111 Fehlerkorrektur ermittelt error syndrome und korrigiert Zustand M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

6 Klassische Fehlerkorrektur Formalismus Fehlermodell führt zu Codierung erlaubt Fehlerkorrektur Fehlermodell entwickeln Codierung führt Redundanzen ein: 0 1 p p 0 p 1 1 p 1 nach [KLM07], Fig logisches Bit + Hilfsbits = codiertes Bit 1 + hh 111 Fehlerkorrektur ermittelt error syndrome und korrigiert Zustand M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

7 Klassische Fehlerkorrektur 3-Bit-Code (klassisch) Bitwert in zwei Hilfsbits kopiert korrigiert einen Bit-Fehler alle möglichen Fehler: 000 { }{{} 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, }{{}}{{}}{{} 111} (1 p) 3 p(1 p) 2 p 2 (1 p) p 3 error syndrome: Vergleiche Bitwerte, abweichendes Bit fehlerhaft Wahrscheinlichkeit für nicht erkannten Fehler: 3 p 2 (1 p) + p 3 O(p 2 ) (mit 3-Bit-Code) p O(p) (ohne 3-Bit-Code) M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

8 Klassische Fehlerkorrektur 3-Bit-Code (klassisch) Bitwert in zwei Hilfsbits kopiert korrigiert einen Bit-Fehler alle möglichen Fehler: 000 { }{{} 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, }{{}}{{}}{{} 111} (1 p) 3 p(1 p) 2 p 2 (1 p) p 3 error syndrome: Vergleiche Bitwerte, abweichendes Bit fehlerhaft Wahrscheinlichkeit für nicht erkannten Fehler: 3 p 2 (1 p) + p 3 O(p 2 ) (mit 3-Bit-Code) p O(p) (ohne 3-Bit-Code) M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

9 Klassische Fehlerkorrektur 3-Bit-Code (klassisch) Bitwert in zwei Hilfsbits kopiert korrigiert einen Bit-Fehler alle möglichen Fehler: 000 { }{{} 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, }{{}}{{}}{{} 111} (1 p) 3 p(1 p) 2 p 2 (1 p) p 3 error syndrome: Vergleiche Bitwerte, abweichendes Bit fehlerhaft Wahrscheinlichkeit für nicht erkannten Fehler: 3 p 2 (1 p) + p 3 O(p 2 ) (mit 3-Bit-Code) p O(p) (ohne 3-Bit-Code) M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

10 Klassische Fehlerkorrektur 3-Bit-Code (klassisch) Bitwert in zwei Hilfsbits kopiert korrigiert einen Bit-Fehler alle möglichen Fehler: 000 { }{{} 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, }{{}}{{}}{{} 111} (1 p) 3 p(1 p) 2 p 2 (1 p) p 3 error syndrome: Vergleiche Bitwerte, abweichendes Bit fehlerhaft Wahrscheinlichkeit für nicht erkannten Fehler: 3 p 2 (1 p) + p 3 O(p 2 ) (mit 3-Bit-Code) p O(p) (ohne 3-Bit-Code) M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

11 Klassische Fehlerkorrektur 3-Bit-Code (klassisch) Bitwert in zwei Hilfsbits kopiert korrigiert einen Bit-Fehler alle möglichen Fehler: 000 { }{{} 000, 100, 010, 001, 110, 101, 011, }{{}}{{}}{{} 111} (1 p) 3 p(1 p) 2 p 2 (1 p) p 3 error syndrome: Vergleiche Bitwerte, abweichendes Bit fehlerhaft Wahrscheinlichkeit für nicht korrigierbaren Fehler: 3 p 2 (1 p) + p 3 = O(p 2 ) (mit 3-Bit-Code) p = O(p) (ohne 3-Bit-Code) M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

12 Quantenmechanische Fehlerkorrektur Grundlagen: Unterschiede zur klassischen Fehlerkorrektur Messung des codierten Bits nicht erlaubt ψ = α 0 + β 1 no cloning-theorem ψ ψ ψ Bit-Flip und Phasenfehler möglich Fehler sind kontinuierlich E = exp (iɛσ x ) = cos(ɛ)i + i sin(ɛ)σ x M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

13 Quantenmechanische Fehlerkorrektur Grundlagen: Unterschiede zur klassischen Fehlerkorrektur Messung des codierten Bits nicht erlaubt ψ = α 0 + β 1 no cloning-theorem ψ ψ ψ Bit-Flip und Phasenfehler möglich Fehler sind kontinuierlich E = exp (iɛσ x ) = cos(ɛ)i + i sin(ɛ)σ x M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

14 Quantenmechanische Fehlerkorrektur Grundlagen: Vereinfachung Fehlerfunktion wirkt auf einzelnem Qubit, d.h.: Fehler = 2 2-Matrix Basis {I, σ x, σ y, σ z } ( ) 0 1 X = X 0 = 1 (Bit-Flip) 1 0 ( ) X 1 = Z = Z 0 = 0 (Phase-Flip) 0 1 ( ) Z 1 = 1 0 i iy = ixz = i 0 vollständige Quantencodes: simultane Korrektur von X und Z-Fehlern M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

15 Quantenmechanische Fehlerkorrektur Grundlagen: Vereinfachung Fehlerfunktion wirkt auf einzelnem Qubit, d.h.: Fehler = 2 2-Matrix Basis {I, σ x, σ y, σ z } ( ) 0 1 X = X 0 = 1 (Bit-Flip) 1 0 ( ) X 1 = Z = Z 0 = 0 (Phase-Flip) 0 1 ( ) Z 1 = 1 0 i iy = ixz = i 0 vollständige Quantencodes: simultane Korrektur von X und Z-Fehlern M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

16 Quantenmechanische Fehlerkorrektur Grundlagen: Vereinfachung Fehlerfunktion wirkt auf einzelnem Qubit, d.h.: Fehler = 2 2-Matrix Basis {I, σ x, σ y, σ z } ( ) 0 1 X = X 0 = 1 (Bit-Flip) 1 0 ( ) X 1 = Z = Z 0 = 0 (Phase-Flip) 0 1 ( ) Z 1 = 1 0 i iy = ixz = i 0 vollständige Quantencodes: simultane Korrektur von X und Z-Fehlern M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

17 Quantenmechanische Fehlerkorrektur Grundlagen: Vereinfachung Fehlerfunktion wirkt auf einzelnem Qubit, d.h.: Fehler = 2 2-Matrix Basis {I, σ x, σ y, σ z } ( ) 0 1 X = X 0 = 1 (Bit-Flip) 1 0 ( ) X 1 = Z = Z 0 = 0 (Phase-Flip) 0 1 ( ) Z 1 = 1 0 i iy = ixz = i 0 vollständige Quantencodes: simultane Korrektur von X und Z-Fehlern M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

18 Quantenmechanische Fehlerkorrektur 3-Bit-Code (quantenmechanisch) kein vollständiger Quantencode Codierung: 0 0 L = L = X error syndrome: Parität der Bit-Paare vergleichen [DN11], Fig. 2. Correct Error M M [DN11], Fig M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

19 Quantenmechanische Fehlerkorrektur 9-Qubit-Code (Shor-Code) 0 L = 1 8 ( ) ( ) ( ) 1 L = 1 8 ( ) ( ) ( ) Codierung. [DN11], Fig. 4. Korrektur von Z-Fehlern. [DN11], Fig M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

20 Stabilizer-Formalismus Grundlagen Allgemeine Beschreibung der meisten Quanten-Fehler-Codes Konstruktionsregeln für Codierungs-, Korrektur- und Rechengatter, z.b: 0 L = N 1 ( I N + K i) 0 N i=1 Idee: N Qubits dim(h) = 2 N Wähle 2-dimensionalen Unterraum als logisches Qubit: 0 L, 1 L Fehler bringen 0 L, 1 L in dazu orthogonale Unterräume M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

21 Stabilizer-Formalismus Generatoren der Stabilizer-Gruppe Pauli-Gruppe (alle Elemente kommutieren oder antikommutieren): P = {±I, ±ii, ±X, ±ix, ±Y, ±iy, ±Z, ±iz } P N = P N Generatoren-Gruppe mit N 1 Elementen: { G = K i P N (i, j) : K i ψ L = ψ L [ K i, K j] } = 0 Fehler E P N kommutieren oder antikommutieren mit K i K i E ψ L = ( 1) m EK i ψ L = ( 1) m E ψ L { [ 0 E, K i ] = 0 m = 1 { E, K i} = M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

22 Stabilizer-Formalismus Stabilizer des 5-Bit-Codes Fehler K 1 (XZZXI) K 2 (IXZZX ) K 3 (XIXZZ ) K 4 (ZXIXZ ) XIIII IXIII IIXII IIIXI IIIIX ZIIII IZIII IIZII IIIZI IIIIZ IIIII M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

23 Threshold-Theorem Implementierung von Quantenalgorithmen Einzelnes Qubit: Fehlerwahrscheinlichkeit ɛ Quantenalgorithmus mit N Rechenschritten Falsches Ergebnis höchstens mit Wahrscheinlichkeit ɛ erg Fehlerwahrscheinlichkeit p pro Rechenschritt: p ɛ erg N Ansatz: n-qubit-code, der t Fehler korrigieren kann p ( t b ɛ) t+1 (b 3) M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

24 Threshold-Theorem Implementierung von Quantenalgorithmen Einzelnes Qubit: Fehlerwahrscheinlichkeit ɛ Quantenalgorithmus mit N Rechenschritten Falsches Ergebnis höchstens mit Wahrscheinlichkeit ɛ erg Fehlerwahrscheinlichkeit p pro Rechenschritt: p ɛ erg N Ansatz: n-qubit-code, der t Fehler korrigieren kann p ( t b ɛ) t+1 (b 3) M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

25 Threshold-Theorem Problem der n-qubit-codes p (t b ɛ) t+1 ( t 1 = p min exp b ) e b ɛ 1 1e-05 Fehler-W'keit p pro Schritt 1e-10 1e-15 1e-20 1e-25 n-qubit-code, ε= n-qubit-code, ε= e Anzahl korrigierbare Fehler t (n-qubit-codes) M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

26 Threshold-Theorem Konkatenierte n-qubit-codes Stelle jedes Qubit im n-qubit-code durch einen n-qubit-code dar Pro Ebene selbstähnliche Fehlerkorrektur (korrigiert t = 1 Fehler) p (1) = c ɛ 2 p (2) = c(p 1 ) 2 =. (c ɛ)4 c L L 1 p (L) = (c ɛ)2l c Falls ɛ < 1 c p threshold: lim L p (L) = nach [Pre98], Fig M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

27 Threshold-Theorem Konkatenierte n-qubit-codes Katenationstiefe L e-05 Fehler-W'keit p pro Schritt 1e-10 1e-15 1e-20 ε= threshold= e-25 n-qubit-code Konkatenations-Code 1e Anzahl korrigierbare Fehler t (n-qubit-codes) M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

28 Threshold-Theorem Bestimmung des threshold-value Aufstellung von Flussgleichungen basierend auf: Algorithmus Fehlermodell Fehlerfortpflanzung in Gattern Quantencode Näherungsweise Lösung für Shor-Algorithmus: p threshold { 10 4 ohne Speicherfehler 10 5 mit Speicherfehlern M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

29 Übersicht Wozu Fehlerkorrektur? Klassische Fehlerkorrektur Formalismus 3-Bit-Code (klassisch) Quantenmechanische Fehlerkorrektur Grundlagen 3-Bit-Code (quantenmechanisch) Stabilizer-Formalismus Grundlagen Generatoren der Stabilizer-Gruppe Threshold-Theorem Implementierung von Quantenalgorithmen Konkatenierte n-qubit-codes Bestimmung des threshold-value M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)

30 Literatur Simon Devitt and Kae Nemoto. Quantum Error Correction for Beginners. arxiv:quant-ph/ v3, Phillip Kaye, Raymond Laflamme, and Michele Mosca. An introduction to quantum computing. Oxford University Press, Oxford [u.a.], 1. publ. edition, John Preskill. Reliable quantum computers. Proc.Roy.Soc.Lond., A454: , M. Koppenhöfer Quanten-Fehler-Korrektur Institut für Theoretische Festkörperphysik (TFP)