Simulation quantenmechanischer Systeme

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1 Simulation quantenmechanischer Systeme Hauptseminar: Physik des Quantencomputers (SS13) Johannes Janssen Institut für Theoretische Festkörperphysik Optic fibre Photon source (SPDC) C R z (jα)h R R y (β)p V H H X Calcite beam displacer 0 D1 R z (jγ)h HR z (ω k ) D2 D3 Measurement in the 0/1 basis R z (jγ) 1 KIT Universität des Johannes Landes Baden-Württemberg Janssen - Simulation und quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik nationales Forschungszentrum in der Helmholtz-Gemeinschaft

2 Übersicht Motivation und Ziel Beliebige Systeme Systeme mit lokaler Wechselwirkung Digitale Quantensimulation Iterative Phase Estimation Algorithm 1. und 2. Quantisierung Energien des H 2 Moleküls Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik

3 Motivation und Ziel Warum überhaupt simulieren? Modell überprüfen, experimentell nicht realisierbar keine analytische Lösung Wie simulieren? Wir schauen uns die Zeitentwicklung an, um etwas über das System zu lernen. Was ist eine gute Simulation? skaliert, also Speicher und Zeitaufwand steigen höchstens polynomiell mit Systemgröße Simulationsdauer Genauigkeit Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik

4 Idee R. P. Feynman (1982): Simulating Physics with Computers nature isn t classical, dammit, and if you want to make a simulation of nature, you d better make it quantum mechanical spin waves in a spin lattice imitat[e] Bose-particles in the field theory analoge Quantensimulation Aufgabe: work out the classes of different kinds of quantum mechanical systems which are really intersimulatable Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik

5 Beliebige quantenmechanische Systeme beliebiges System Systemgröße: N Quantenzahlen Hilbertraum H wächst exponentiell mit N Zeitentwicklung: U = e iht H N Spin 1 2 Teilchen: dim H = 2 N U C 2N 2 N klassischer Digitalcomputer allein die Wellenfunktion benötigt exponentiell viel Speicher (O(2 N )) Zeitentwicklung = exponentiell große Matrixgleichung (O(4 N )) Quantencomputer Wellenfunktion benötigt nur polynomiell viele Qbits (N) aber, da H und damit U beliebig i. A. exponentiell viele Gates nötig um U darzustellen (O(4 N )) I. A. benötigt auch ein Quantencomputer exponentiell viele Rechenschritte um ein System zu simulieren Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik

6 Systeme mit lokaler Wechselwirkung Sei H = l i=1 H i, wobei H i auf einen m i dimensionalen Unterraum wirkt, mit maximal k der N Quantenzahlen. Zeitentwicklung Suzuki Trotter: e δ(a+b) = e δa e δb + O(δ 2 ) e iht (e ih 1t/n... e ih l t/n ) n nötige Rechenschritte: T n l i=1 m 2 i nlm 2 ε n(e iht/n 1 iht/n) sup normalerweise wächst l nur polynomiell (Modell nächster Nachbarn) Um Systeme mit lokaler Wechselwirkung zu simulieren, benötigt ein Quantencomputer maximal polynomiell viele Rechenschritte Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik

7 Systeme mit lokaler Wechselwirkung Beispiel: Heisenberg Modell mit N Spin 1 2 Teilchen H = J S i S j <i,j> Nachbarn pro Teilchen: p = 2d H i beschreibt die Wechselwirkung zwischen zwei Teilchen (m = 2) p N 2 H = H i, H i = JS αi S βi i=1 Darstellung der Wellenfunktion N Qbits, nötige Rechenschritte: T n l mi 2 i=1 = 2nNp 2Np/ε Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik

8 Systeme mit lokaler Wechselwirkung Vergleich klassischer Digitalcomputer Zeitentwicklung kann analog vereinfacht werden aber allein das Darstellen der Wellenfunktion benötigt exponentiell viel Speicher für große Systeme sind daher Näherungslösungen nötig, indem z. B. die erlaubten Wellenfunktionen eingeschränkt werden DFT Monte Carlo Simulation Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik

9 Digitale Quantensimulation Allgemeine Vorgehensweise 1 Zustand präparieren 0 ψ Grundzustand (z. B. adiabatisch) kanonisches Ensemble (z. B. Metropolis Algorithmus) 2 Zeitentwicklung ψ e iht ψ = e 2πiϕ ψ, wobei H ψ = ɛ ψ, ɛ = 2πϕ t Suzuki Trotter Formeln (auch höherer Ordnung) 3 Messung von Observablen ϕ bestimmen Phase Estimation Algorithm (PEA) Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik

10 (Iterative) Phase Estimation Algorithm PEA schon bekannt vom Shor Algorithmus 0 H H ϕ ψ U ψ muss N 2 2m durchgeführt werden, um ϕ auf m binäre Stellen zu bestimmen IPEA an der Tafel (PDF) 0 H R z (ω k ) H ϕ k ψ U 2k 1 ψ m Iterationen, um ϕ auf m binäre Stellen zu bestimmen Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik

11 Erste und zweite Quantisierung am Beispiel eines Moleküls Erste Quantisierung Hamiltonoperator ohne Spinfreiheitsgrade: ( ) h H = 2 2 h i 2M i i 2 2 j + e2 Z i Z j 2m j e 4πε 0 R i<j i R j + 1 r i<j i r j + Z i R i,j i r j }{{}}{{} T V Diskretisierung von kontinuierlichen Variablen Zeitentwicklung: e iht (U QFT eitt/n U QFT e ivt/n ) n ψ QFT QFT U ψ V T 1 QFT 1 n mal Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik

12 Erste und zweite Quantisierung am Beispiel eines Moleküls Zweite Quantisierung semi klassisch (Born Oppenheimer Näherung), d.h. Kernpositionen R i sind klassische Parameter der Simulation Übergang in den Fock Raum: H H(a i, a i) = h pq a pa q + 1 pq 2 h pqrs a pa qa r a s, pqrs dabei sind h pq und h pqrs klassiche Integrale Jordan Wigner Transformation: ( ) ( a j = σm z σ j, a j = σm z m<j m<j ) σ + j Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik

13 Energien des H 2 Moleküls auf Basis von Photonen realisiertes Experiment atomare 1s Orbitale bilden (anti )bindendes Molekülorbital: g, u vier Einzelelektronen Zustände: g, g, u, u antisymmetrische Kombination mittels Slater Determinate: Φ 1 = g, g = 1 ( g, g g, g ) 2 Φ 2 = g, u Φ 3 = g, u Φ 4 = g, u Φ 5 = g, u Φ 6 = u, u aus Symmetriegründen ist H blockdiagonal in vier Unterräumen {Φ 1, Φ 6 }, {Φ 2 }, {Φ 3, Φ 4 }, {Φ 5 } Bestimmung der Eigenwerte von H (1,6), H (3,4) mittels IPEA Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik

14 Energien des H 2 Moleküls Control qubit 0 H R z (ω k ) H Measurement in the 0/1 basis R z (jα) 10 8 Ground state (G) 1st excited state (E1) Register qubits n U 2k-1 n U j = R y (β) R z (jγ) R y ( β) Energy (MJ/mol) nd excited state (E2) 3rd excited state (E3) Photon source (SPDC) Optic fibre C R z (jα)h R H = 0, R V = 2/3 SPCM Analysis/prep λ/4 λ/2 Fibre coupler R H = 0, R V = 1 Interference filter Atomic separation (pm) R R y (β)p V H H X Calcite beam displacer 0 D1 R z (jγ)h HR z (ω k ) D3 Bildquelle: [Aspuru10] D2 Measurement in the 0/1 basis R z (jγ) Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik

15 Ausblick Nächste Schritte Zustand nicht klassisch präparieren (Grundzustand z.b. adiabatisch) direkte Berechnung des Zeitentwicklungsoperators U Skalierung Quantenfehlerkorrektur nötig U 2k braucht i. A. doppelt so viele Gates wie U k aber im IEPA wächst die Genauigkeit von 2 k auf 2 2k Elementary quantumgates required per time step thousands Li 200 He H H H Number of particles Bildquelle: [Aspuru08] O Total qubits required to store the wavefunction Li 100 He H 50 H H O Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik

16 Literatur I R. P. Feynman Simulating Physics with Computers doi: /bf , 1982 S. Llyod Universal Quantum Simulators doi: /science , 1996 M. H. Yung, J. D. Whitfield, S. Boixo, D. G. Tempel, A. Aspuru Guzik Introduction to Quantum Algorithms for Physics and Chemistry arxiv: , 2012 M. Dobšíček, G. Johansson, V. Shumeiko, G. Wendin Arbitrary accuracy iterative quantum phase estimation algorithm using a single ancillary qubit: A two-qubit benchmark doi: /physreva , Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik

17 Literatur II B. P. Lanyon, J. D. Whitfield, G. G. Gillett, M. E. Goggin, M. P. Almeida, I. Kassal, J. D. Biamonte, M. Mohseni, B. J. Powell, M. Barbieri, A. Aspuru-Guzik, A. G. White Towards quantum chemistry on a quantum computer doi: /nchem.483, 2010 I. Kassala, S. P. Jordanb, P. J. Lovec, M. Mohsenia, and A. Aspuru-Guzika Polynomial-time quantum algorithm for the simulation of chemical dynamics doi: /pnas , Johannes Janssen - Simulation quantenmechanischer Systeme Institut für Theoretische Festkörperphysik