Über teleparallele Gravitationstheorien

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1 Diplomkolloquium Über teleparallele Gravitationstheorien Uwe Münch 24. September 1997 Übersicht: Geometrische Größen Gravitation als Eichtheorie der Translationen: Teleparallelismus-Theorien Alternative Theorien Rosen-Yilmaz-Metrik Theorie von Kaniel und Itin Institut für Theoretische Physik (Universität zu Köln)

2 Wieso teleparallele Theorien? [... ] gravity is that field, which corresponds to a gauge invariance with respect to displacement transformations. R. P. Feynman Eichpotential der Translationen in Raum und Zeit, die Kobasis ϑ α (4 Kovektoren), und deren Feldstärke, die Torsion T α = Dϑ α, treten explizit im Lagrangian auf Einfachere Struktur als Einsteinsche Allgemeine Relativitätstheorie: nur Potential und 1. Ableitungen im Lagrangian analog zu Quantenfeldtheorien der anderen Wechselwirkungen (elektroschwache und starke Wechselwirkung) niederenergetischer Spezialfall einer Theorie mit höherer Symmetrie, der metrisch-affinen Gravitationstheorie. Eichpotential der Lorentz-Transformationen (3 räumliche Drehungen und 3 Boosts): Konnexion Γ β α (6 Kovektoren) 1

3 Die geometrischen Größen Basis-Vektorfelder e α und Kobasis ϑ β dual zueinander: ϑ β (e α ) = δ β α. Konnexion Γ β α : beschreibt Parallelverschiebung von Vektoren. Die folgenden Bilder gelten infinitesimal. Γˆ1ˆ1γ e γ eˆ1 q eˆ1 p eˆ1 eˆ0 q Γˆ1ˆ0γ e γ q eˆ0 p eˆ1 eˆ1 p p eˆ0 p 2

4 Die Torsion T α = Dϑ α : Feldstärke der Verschiebungen Γˆ1ˆ0γ e γ eˆ0 q [eˆ0, eˆ1 ] q eˆ0 p eˆ1 T(eˆ0, eˆ1 ) Γˆ0ˆ1γ e γ eˆ1 p eˆ1 p eˆ0 eˆ1 r p eˆ0 p r 3

5 Die Krümmung: Feldstärke der Lorentz-Transformationen w p v p ew q := w p v p us R(u, v)w w p u p vr s u s q v p v r p w p u p r w p u p 4

6 Teleparallelismus wegunabhängige Parallelverschiebung: Krümmung R α β = 0 Lagrangian (T α = Dϑ α ): L GR = V (ϑ α, T α ) + L Materie (ϑ α, Ψ, DΨ) + R α β λ α β Aufspaltung des Eich-Lagrangian V = 1 Rumpf): 2l 2 ρ 1 (1) V + ρ 2 (2) V + ρ 4 (4) V (1) V = T α T α (reiner Yang-Mills Typ), (2) V = T α ϑ α T β ϑ β, (4) V = T α ϑ β T β ϑ α., wobei (nach 5

7 Variation des Lagrangians ergibt Materiefeldgleichung, Nebenbedingung R α β = 0 und Gravitations-Feldgleichung: Energie-Impuls des Eichfelds z} { D V + Dϑ {z α } Erregung V ϑ = Σ α α := L Materie. ϑ {z α } Quelle: Energie-Impuls der Materie Konkrete Berechnung der Erregung und des Energie-Impulses des Eichfelds (allgemeiner Fall, zusätzlich mit unabhängigen Metrikkomponenten g αβ ) mit Regel δ Φ = δφ δϑ α (e α Φ) + δϑ α e α Φ + ϑ α e β Φ 1 «Φ g αβ δg αβ. 2 In Literatur nicht immer korrekt durchgeführt. Konkrete Durchführung der Variation erzeugt längere Ausdrücke für die partiellen Ableitungen Überprüfung der Ausdrücke durch Einsetzen in Noether-Identitäten. 6

8 Einstein-Wahl Eich-Lagrangian V des Teleparallelismus für Koeffizientenwahl äquivalent zu Einstein-Lagrangian ρ 1 = 0, ρ 2 = 1 2, ρ 4 = 1. V Einstein = 1 2l 2 e Rαβ ϑ α ϑ β = 1 2l 2 q det(g µν ) R mit Ric αβ := e R γαβ γ und R := Ric α α. Hieraus erhält man die Einsteinsche Feldgleichung: G αβ := Ric αβ 1 2 g αβr = 2l 2 T αβ (Energie-Impuls-Tensor). 7

9 Alternative Theorien Auch Quantisierung des Teleparallelismus noch nicht gelungen. Problem (u.a.): Raumzeit nur lokal wie Minkowski-Raumzeit betrachtbar. In Quantenfeldtheorien aber ausgedehnte Wellenfunktionen. Daher Ansätze: lokales Äquivalenzprinzip ( Einstein-Aufzug ) erweitern, gravitative Felder als effektive Felder auf Minkowski-Hintergrund. Also: Wie sieht eine Kobasis ϑ α aus, die eine Art globales Äquivalenzprinzip erfüllt? Rosen-Yilmaz-Kobasis Bei Variation nach nicht-geometrischen Feldern (z.b. nach elektromagnetischem Potential A) gilt δ A = δa. Eingeschränkte Variationen? Theorie nach Kaniel und Itin 8

10 Rosen-Yilmaz-Metrik Lösungen sind äquivalent darstellbar als orthogonale Kobasis oder als Metrik. Die Schwarzschild-Kobasis (Lösung der Teleparallelismus-Theorie mit Einstein- Wahl) führt zur Schwarzschild-Metrik (SSM) (in geometrischen Einheiten: c = 1, G = 1): Typische Teilchen-Bahn: ĝ = 1 2m «dt 2 1 r 1 2m dr 2 r r 2 dθ 2 + sin 2 (θ)dφ 2 Sender h=44,96m ω Lichtstrahl SSM erfüllt lokales ÄP. Z. B. gravitative Rotverschiebung auf Erde mit Masse M: Empfaenger Detektor ω + ωgrav ω grav ω = U grav = M r r 2. 9

11 Erweiterung des ÄP: gültig entlang radialer Kurven. Dann Integral bildbar: Z r 0 dω ω = Z r 0 du U= m r = ω(r) ω( ) = t( ) t(r) = exp m r «. Daher Bedingung an Rosen-Yilmaz-Metrik: gˆtˆt = e 2m r dt 2. Zwei mögliche Metriken, die das erweiterte ÄP erfüllen: eg = e 2m r dt 2 e 2m r dr 2 r 2 dθ 2 + sin 2 θ dϕ 2, g = e 2m r dt 2 e 2m r dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 θ dϕ 2 (Rosen-Yilmaz-Metrik). 10

12 Näherungen der Metriken: Schwarzschild-Metrik: ĝˆtˆt = 1 2m r (exakt), ĝˆrˆr = 1 + 2m r + 4m2 r 2 + 8m3 r 3 + O m 4 r 4. Metriken, die erweitertes ÄP erfüllen: Faktoren analog SSM: Isotrope Faktoren (auf Form der SSM transformiert): egˆtˆt = 1 2m r + 2m2 4 m 3 r 2 3 r + O m 4 3 r 4 egˆrˆr = 1 + 2m r + 2m2 + 4 m 3 r 2 3 r + O m 4 3 r 4 gˆtˆt = 1 2m r gˆrˆr = 1 + 2m r + 5m2 r m 3 + 9m3 r 3 r 3 + O + O m 4 r 4 m 4 r 4 Im Rahmen der heutigen Meßgenauigkeit: Keine Abweichungen der Rosen-Yilmaz-Metrik von Schwarzschild-Metrik bei klassischen Tests der Allgemeinen Relativitätstheorie: u. a. Perihel-Drehung des Merkur und Lichtablenkung an der Sonne korrekt beschrieben.,.., 11

13 Zur Theorie von Kaniel und Itin Lagrangian mit Koableitung d := d, nach der Idee von Kaniel und Itin: V KI = dϑ α dϑ α + d ϑ α d ϑ α. Eingeschränkte spurfreie Variation: volumenerhaltend: δϑ α = ω β α ϑ β mit ω γ γ = 0. Antisymmetrische Variation: δ = δ, symmetrisch-spurfreie Variation: δ = δ. Damit Feldgleichung: ϑ α = Σ α. Aufspaltung in ϑ α e α `ϑ γ ϑ γ = Σ α (spurfrei) ϑ γ ϑ γ = ϑ γ Σ γ (Spur-Anteil). Rosen-Yilmaz-Kobasis ist Lösung dieser Feldgleichungen für Σ α = 0 und T γ γ := (ϑ γ Σ γ ) = 2m r 2 e m r «2. 12

14 m 2 T γ γ T γ γ = 2m r 2 e m r Gesamtmasse des Sterns: 2 Eigenschaften des Sternmodells: Materie des Sterns reicht ins Unendliche, exponentiell abfallend, r m Maximum der Massenverteilung bei r = m 2, wesentliche Masse des Sterns innerhalb des Schwarzschild- Radius r s = 2m (klassischer Radius Schwarzer Löcher), 1 2 Z 0 T γ γ r 2 dr = Z 0 m 2 2πr 2 e 2m r dr = m Z 0 e x dx = m. 13

15 Zusammenfassung Teleparallelismus als Eichtheorie der Translationen allgemein untersucht, geometrische Größen veranschaulicht, Verbindung mit Einsteinscher Theorie für spezielle Koeffizienten, Rosen-Yilmaz-Metrik erfüllt eine Art globales Äquivalenzprinzip, zur Schwarzschild-Metrik ähnlich, Theorie von Kaniel und Itin: eingeschränkte volumenerhaltende Variation, Wellengleichung als Feldgleichung Rosen-Yilmaz-Kobasis Lösung des spurfreien Anteils der Feldgleichung, Spur-Anteil liefert benötigte Massenverteilung eines Sterns. 14