Das Konzept der Symmetrie (Hermann Weyl)

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2 Das Konzept der Symmetrie (Hermann Weyl) Werkzeugkiste: Transformationsgruppen Dreieck Drehung Dreieck R.P. Feynman: Ein Objekt heißt symmetrisch, wenn man mit ihm etwas anstellen kann, ohne es am Ende, wenn man fertig ist mit der Prozedur, geändert zu haben.

3 Die Themen Beispiel: die Diedergruppen D n ; Allgemeine Definition einer Gruppe; Symmetrien in der Physik: äußere und innere Symmetrien; Beispiel Rotationsgruppen; Beispiel unitäre Gruppen Matrix-Gruppen; Darstellungen von Gruppen und Lie-Algebra; SU(2)-Darstellung und Spin; Die Lorentz-Gruppe als Symmetriegruppe der Minkowski RaumZeit Spinoren.

4 D 3 Symmetrie eines gleichseitigen Dreiecks Decktransformationen: 3 Drehungen + 3 Spiegelungen 6 Möglichkeiten: die identische Abbildung e; die Drehung d um 120 um den Mittelpunkt des Dreiecks; die Drehung d² um 240 um den Mittelpunkt des Dreiecks; drei Spiegelungen s 1, s 2 und s 3 an den drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.

5 D 3 Cayley Gruppentabelle * e d d² s 1 s 2 s 3 e e d d² s 1 s 2 s 3 d d d² e s 3 s 1 s 2 d² d² e d s 2 s 3 s 1 s 1 s 1 s 2 s 3 e d d² s 2 s 2 s 3 s 1 d² e d s 3 s 3 s 1 s 2 d d² e Untergruppe

6 Untergruppe Die Diedergruppe D 4

7 Die Diedergruppe D 8 Isometriegruppen des regelmäßigen 8-Ecks # Elemente = 2x8 = 16

8 Definition einer Gruppe Lit.: W.K.Tung, Group Theory in Physics (85) A. Wipf, Symmetrien in der Physik (SS 2007 Web) Eine Gruppe { G, } ist Menge G mit Multiplikation so dass a, b, c G, 1. a bg Closure 2. a b c a bc a bc Assoziativität 3. unique I G I a a I a Identität a G a a a a I Inverse Gruppe { G, } heißt normalerweise einfache Gruppe (simple group) G und a b = ab.

9 Beispiele von Gruppen äußere Symmetrien orthogonale Gruppen SO (n) : SO(3) - SO(1,3) innere Symmetrien Heute bekannt als Eichsymmetrien unitäre Gruppen SU(n) : SU(2) SU(3) SU(5)

10 Arten von Gruppen Endliche Gruppe : Gruppe mit endlicher Anzahl von n Elementen. n = Ordnung der Gruppe. Diskrete Gruppe : 1-1 Abb. zwischen G & einer Untermenge nat. Zahlen. ( label of elements of G is discrete ) Kontinuierliche Gruppe (Lie Gruppe) n-parameter : 1-1 Abb. G Teilm. R n. Abelsche Gruppe : ist kommutativ, d.h., ab ba a, bg 2 n Zyklische Gruppe C n der Ordnung n : Cn a, a,, a I Gruppe {G, } ist homomorph zur Gruppe { H, } : Abb. f : G H die Multiplikationen respektiert, d.h. a b c a, b, c G C n Abelsch f a f b f c Untergruppe der Gruppe {G, } : Untermenge, closed unter.

11 SO(2): Rotation Einheits-Kreis Rotation in der x-y Ebene um den Winkel : r R r I R 0 x cos sin x y sin cos y R R R R R 1 R R G R, 1-D kontinuierliche Abelsche Lie-Gruppe.

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13 1 0 0 R 1 0 cos sin 0 sin cos R 3 cos sin 0 sin cos SO(3) - Rotationen in 3D Jede Rotation kann in 3 Rot zerlegt werden R 2 ds² = (dx) T. (dx) bleibt invariant R() T R() = I cos 0 sin sin 0 cos

14 Euler Winkel - Drehung in 3 Schritten Gruppenmannigfaltigkeit SO(3) ist eine Sphäre S³ mit Radius π. SO(3) ist eine sog. nicht-abelsche kompakte Lie-Gruppe.

15 Unitäre Gruppen operieren in komplexen Räumen Jeder Punkt der Ebene steht für eine komplexe Zahl. Die gewöhnlichen reellen Zahlen kommen da auch vor, die horizontale Achse ist die gewohnte Zahlengerade.

16 U(1): Rotation Einheits-Kreis in C

17 U + U = I and det(u) = 1 Zwei komplexe Parameter a, b mit Norm = 1 U = Äquivalent durch 3 Winkel U =

18 p N n 22

19 Lawrence Berkeley Nat. Lab 1950 SU(3)-Multipletts: pi, D 1961Der acht-fache Weg Singlett MeV MeV D D D D D 0

20 SU(n) Innere Symmetrien Isospin Symmetrie => (p, n)-dublett SU(3) Symmetrie => Hadronen chirale Symmetrie => Pi-Mesonen SU(3) Farb-Symmetrie => Quark WW elektroschwache Symmetrie: => SU(2)xU(1) Schwacher Isospin + Y

21 Spezielle Matrix-Gruppen

22 Darstellung von Gruppen Eine Darstellung einer Gruppe ist ein Satz linearer Transformationen eines Vektorraumes, der die gleiche Multiplikationstabelle wie die Gruppe selber erfüllt. Matrix Darstellung : Darstellung mit linearen Transformationen mittels invertierbarer Matrizen (durch Wahl einer geeigneten Basis). Unitäre Darstellung : Darstellung mittels unitärer Matrizen. Jede Matrix-Darstellung ist isomorph zu einer unitären Darstellung.

23 Darstellung von D 3 in E³ D 3 = { e, d, d², s 1, s 2, s 3 } E R 1 R 2 R 3 R 4 R 5 z.b. gilt:

24 Lie-Algebra einer Gruppe [ X, Y ] = X*Y Y*X

25 Lie Algebra = Tangentialraum an Identität e SO(3) = S³

26 Lie-Algebra Jacobi-Identität

27 Lie Algebra der Matrix-Gruppen

28 Ex: Lie Algebra der SU(2)

29 Darstellungen der su(2) Starte mit 2 diagonalisierten Operatoren J z und J 2 jm J Z j' m m jj' mm jm J 2 j' m j( j 1) 2 jj' mm j m j 0, 1 2 N ganzzahlig 2,1,...( SU (2) j, 3 2 j 1, j 2... oder Spin) j 1, halbzahlig j (2 j 1Terme)

30 1 ), ( 1 ), ( jm m j C jm J jm m j C jm J 1) )( ( ), ( 1) )( ( ), ( m j m j m j C m j m j m j C z z z y x J J J J J J J J J J J J ij J J 2 ], [ 0 ], [ ], [ 2 2 2

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32 Die Lorentz Gruppe Lichtkegel der Minkowski RaumZeit invariant

33 ) / ( 0 0 ) / ( x x x x c v c v x x x x Lorentz Transformationen in x Vektor Notation für Ereignisse (m,n=0,..,3) n n m m x x Einstein Summationskonvention

34 LT als Pseudo-Rotation

35 Die Minkowski Metrik 1908 Abstand zwischen 2 benachbarten Ereignissen ds 2 c 2 d 2 c 2 dt 2 dx 2 dy 2 dz 2 ds² = (dx) T (dx) mn

36 Invarianz der Minkowski Metrik Eine Lorentz-Trafo lässt den Abstand ds inv ds² = (dx) T (dx) = (dx ) T (dx ) = T,dx ) = (dx), (dx) = (dx 0,dx i ) T Die Matrizen der Lorentz Transformationen bilden eine 6D Lie-Gruppe Lorentz-Gruppe SO(1,3), analog zur Rotationsgruppe SO(4), die als 4x4 Rotationsmatrizen R in E 4 realisiert sind R T I 4x4 R = I 4x4, I

37 LG Rotationen in 3D

38 3 Rotationen und 3 Boosts

39 Die Lorentz Gruppe 0 0 > 1, < -1

40 4 Lorentz Gruppen Die Lorentz Gruppe als Isometrie-Gruppe der Minkowski-RaumZeit zerfällt in 4 Untergruppen: Eigentliche Lorentz- Gruppe Spiegelungen Zeitspiegelung Raum- + Zeitspiegelung.

41 Lie Algebra der Lorentz Gruppe

42 Lie Algebra Lorentz Gruppe Lie Algebra zerfällt in su(2) x su(2) (a,b)

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46 Zusammenfassung In der Physik unterscheiden wir zwischen äußeren (extern) Symmetrien (Raum und Zeit) und inneren (intern) Symmetrien (Feldzustände). Symmetrien werden durch Gruppen repräsentiert: SO(3), SO(1,3), SU(2), SU(3), SU(n) Darstellungen der Lorentz-Gruppe bestimmen die möglichen komplexen Wellengleichungen. Darstellungen der SU(3) spielten eine wichtige Rolle in der Klassifikation der Mesonen und Baryonen in den 60er Jahren (Gell-Mann). Heute: Das Standard-Modell der Teilchenphysik wird durch U Y (1)xSU L (2)xSU C (3) als Eichsymmetrie definiert (Hyperladung, schwacher Isospin und starke Farbladung).

47 Anhang Vektoren und Tensoren (+,-,-,-) Minkowski Vektoren und Tensoren 4-Vektoren m A A A 0 (, ) ( m=0,1,2,3) Skalarprodukt (Lorentz-invariant!) m 0 0 A B A Bm A B A B mn AB m n

48 Minkowski Metrik (Cartesische Koordinaten) mn Gradienten Operator: 1 m,,, c t x y z m mn 1 n, -, -, - c t x y z

49 4-Geschwindigkeit und 4-Impuls 4-Position ( Weltlinie ) x m ( ct, x) E p pmu c m 4-Impuls, m 4-Beschleunigigung m U ( c, v) ( c, v) 1 2 v c 2 2 m U U U U c m 2

50 Weltlinie mit 4-Acceleration 4-Velocity u ist zeitartig, 4-Acceleration a ist ein raumartiger Vektor.

51 Lorentz Tensoren Tensoren transformieren kovar. unter LTs: Bsp.: Energie-Impuls, Produkte Vektoren n n C B A T m m m m x A A x A A,, n m mn T T

52 Higher Rank Tensors Dual Tensors

53 Antisymmetrischer 2-Tensor - 2-Form x y z x z y y z x z y x B B E B B E B B E E E E F mn Faraday Tensor

54 Elektromagnetisches Feld LG Transformationen n m mn F F ~ ~ ) ( ) ( E v B B B B B v E E E E

55 Faraday und der Duale Tensor

56 Energie-Impuls Tensor

57 ED Erhaltungssätze

58 Die Gesetze der Physik in Spezieller Relativität Schreibe sie als Tensor-Gleichungen (Tensoren sind Lorentz-kovariant). E und B Felder in Maxwells Theorie sind nicht kovariant benutze Faraday Tensor. Verwende Erhaltung von Energie und Impuls als Divergenzgleichung! Leite Feldgleichungen wenn möglich aus Lagrange-Theorien ab (Variationsprinzip).