Gruppe SU(3) und Quarkmodell

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1 WESTFÄLISCHE WILHELMS-UNIVERSITÄT MÜNSTER Institut für theoretische Physik Seminarvortrag über Gruppe SU() und Quarkmodell von Babak Alikhani am 5..

2 Inhaltverzeichnis. Die Gruppen U(n) und SU(n). Die Generatoren der U(n) und SU(n).. Generatoren der SU().. Generatoren der SU(). T-, U-, V- Multiplett. Konstruktion der SU()-Multipletts 5. Das Quark-Modell 5.. Das kleinste triviale Multiplett 5.. Das kleinste nichttriviale Multiplett 5.. Konstruktion aller SU()-Multipletts aus den elementaren Darstellungen

3 . Die Gruppen U(n) und SU(n) U eine unitäre quadratische n n-matrix, d.h. U + U I, U U +, det U () Die Matrix U lässt sich durch eine invertierbare Matrix S diagonalisieren, also U SUS eine Diagonalmatrix ist. (U, ) bilden eine Gruppe bzgl. Matrizenmultiplikation; diese Gruppe wird mit U(n) bezeichnet, was unitäre Gruppe in n Dimensionen andeuten soll. H eine hermitische quadratische n n-matrix, d.h. H + H; die diagonale Eigenwerte sind reell: H ii H * ii Spur(H) reell. () Die Matrix U kann so geschrieben werden: U e ih () Wenn U diagonal ist, muss auch H diagonal sein. Daher gilt: H L ih H L e detexp M O M H L nn H e det M e i(spurshs ) e H e L L O L i(spurss e H) M H nn e e i(spurh) i( H + H + L+ H ) e iα e i(spurh ) det U α oder mπ (5) Diese einschränkten Matrizen bilden eine Gruppe, die so genannte Spezielle unitäre Gruppe in n Dimensionen SU(n). Sie hat n - Parameter und ist eine Untergruppe von U(n).. Die Generatoren der U(n) und SU(n) Die Gruppe U(n) hat n Parameter φ j und daher auch n Generatoren λ i Da H hermitisch sein muss kann man im Fall der U(n) n unabhängige n n-matrizen als Generator nehmen. Es gilt also: λ, λ ic λ (6) [ i j] ijk k Analog könne Generatoren der SU(n) irgendwelche (n -) linear unabhängige hermitischen n n-matrizen mit Spur Null genommen werden. Letzteres ist notwendig, damit det U erfüllt ist... Generatoren der SU() In diesem Fall ist n, also SU() hat Generatoren, die Paulischen Spinmatrizen: i σ, σ, σ (7) i die linear unabhängigen hermitischen -Matrizen sind, die mit Einheitsmatrix den -Matrizenraum vollständig aufspannen. Die Vertauschungsbeziehungen der σ i lauten: σ, σ i ε σ (8) Üblicherweise nimmt man [ i j] ijk k Si σi als Generatoren der SU(). Die S i beschreiben die Spins. Die Operatoren der φ i j S j SU() können mit () durch U e dargestellt werden... Generatoren der SU() SU() hat 8 Generatoren. Da SU() Untergruppe von SU() Generatoren von SU() aus der SU()-Generatoren durch Erweiterung i ; λ i ; λ λ ()

4 λ ; λ 5 i i ; λ 6 ; λ 8 i; λ 8 i (9) Vertauschungsbeziehungen λ, λ if λ () [ i j ] ijk k fijk:: Strukturkonstante, antisymmetrisch gegen Austausch zweier benachbarter Indizes, d.h.: fijk fjik fikj usw. () ijk f ijk Üblicherweise: Fi λi [ F i, Fj ] if ijk Fk () Nach Gell-Mann Fi : F-Spin Wir führen die sphärische Darstellung ein: T F i F, V F i F 5, U F6 i F 7 T F, Y F8 () Einige Vertauschungsbeziehungen: [ T,T ] T [ T, U ] m U [ T,V ] V Y,T Y, U U Y,V V [ ] [ ] [ ] [ T,Y] () Y und T kommutieren gemeinsame Eigenzustände von Y und T : T Y T Y T T Y, Ŷ T Y Y T Y (5) Was passier, wenn man die Operatoren T, U und V auf den Zustand Also, analog gilt: [, Vˆ ] Vˆ ( Vˆ Vˆ ) Vˆ T Y Vˆ T Y Vˆ erhöht bzw. erniedrigt die Quantenzahl T um ½. Vˆ erhöht bzw. erniedrigt die Quantenzahl Y um. erniedrigt bzw. erhöht die Quantenzahl T um ½. erhöht bzw. erniedrigt die Quantenzahl Y um. erhöht bzw. erniedrigt die Quantenzahl T um. erhöht bzw. erniedrigt die Quantenzahl Y nicht. Vˆ Y T T Y T Y anwendet? Vˆ ( Vˆ T Y ) T ( Vˆ T Y ) (6) T Y

5 Die ganzzahligen Einheiten der Y-Achse gegenüber der T-Achse um den Faktor gestaucht.. T-, U-, V- Multiplett Es gilt: [ +, ], [ +, ] Ŷ,[ Vˆ +,Vˆ ] Ŷ + Vˆ Die Operatoren {,, }{,,, }{, Vˆ,Vˆ, } Vˆ erfüllen die Lie-Algebra der SU(). T-Spin-Algebra, U-Spin-Algebra, V-Spin-Algebra sind in sich geschlossen. SU()-Multipletts setzen sich aus T-, U-, V-Multipletts zusammen. Aus SU()-Algebra (Drehimpuls- bzw. Isospinalgebra) folgt: T,max < T < +T,max SU()-Multipletts symmetrisch zur Y-Achse T-, U-, V-Algebren gleichberechtigte Unteralgebra der SU() SU()-Multipletts symmetrisch auch zur U und V Achsen. Die drei Symmetrieachsen schneiden sich unter. Daher der Nullpunkt (T, Y )ist Mittelpunkt eines jeden SU()-Multipletts. (7). Konstruktion der SU()-Multipletts Zustand mit dem größten T -Wert Ψ max T,max Y + Ψ max Ψmax Vˆ + Ψmax (8) Die Grenze der Multipletts durch wiederholte Anwendung von Vˆ auf Ψ. Das geht p mal gut und das (p + ) - te Mal gibt es Zustand anwenden. max p ( Vˆ ) ( Vˆ ) + Ψ p+ max Ψ (q + ) - te Mal gibt es max erreicht. Das geht q mal gut und das q+ p+ ( ) ( Vˆ ) Ψ max Frage : Warum im unteren Eckpunkt nach links und nicht nach rechts abbiegen? α) SU() - Multipletts Sechsech - Strukturmit - Symmetrie. Aus allg.symm β) Nullpunkt Y T als Mittelpunt enthalten. Grenze des Multipletts immer KONVEX

6 5. Das Quark-Modell SU() Symmetrienliefern Multiplettstrukturen. SU() gesuchteneuesymmetrienin der Ordnungder Elementarteilchen 5.. Das kleinste triviale Multiplett Das kleinste Darstellung der F-Spin-Algebra ist die Singulett-Darstellung mit T, Y, also das kleinste triviale Multiplett. 5.. Das kleinste nichttriviale Multiplett In SU(): die kleinste nichttriviale Darstellung das Isospindublett mit T.Da SU() Unteralgebra von SU() das kleinste SU() enthält mindestens ein T - Dublett.U,V, T Algebra gleichberechtigt SU() Multiplett muss sowohl ein T - als auch ein V - und U - Dublett enthalten. Es ergibt sich nebenstehende Figuren : Beide Darstellungen enthalten ein Isodublett T also +, nächste Aufgabe : Bestimmung der Y - Werte und ein U -Spin -Singulet Ŷ haben dieselbe Hyperladung Ŷ und jetzt Bestimmung von Da also und Ŷ Y ; ( + ) Y. Es gilt auch : und ein Isosingulett T. ; (Ŷ ) Ŷ ( aus einem V -Spin - Dublett von ( : (Ŷ + ) ) Y Ŷ + +, + ) + Insgesamt gilt : Ψ, ; Ψ,, Ψ, 5.. Konstruktion aller SU()-Multipletts aus den elementaren Darstellungen - +

7 Eine enge Analogie zur Situation bei der SU() - Drehimpulsalgebra : zu jedem Wert j,,,,...gibt es ein Multiplett der Dimension (j+ ) mit den Zuständen jm, m - j,...,,... + j. Zweiter Weg zur Konstruktion der SU() - Multipletts ist die Kopplung des fundamentalen Dubletts : j, m +, Jetzt zur SU() : Aufbau aus den fundamentalen Quarks a) Def.: Zustand mit max. Gewicht : T > T oder T [ ] bzw. Antiquarks[ ] (T, Y) hat größeres Gewicht als (T, Y ), wenn gilt T und Y > Y : Möglichkeiten Wenn Zustand mit max. Gewicht bekannt Konstruktion des Multipletts durch Schieboperatoren b) Regeln für die Reduzierung direkter Produkte aus SU()- Multipletts i) Quark-Antiquark,, Vˆ Beispiel : Pseudoskalare Mesonen ii) Quark-Quark-Quark

8 Beispiel : Baryonenoktett Beispiel : Dekuplett der Baryonenresonanzen