Liegruppen und Liealgebren

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1 Liegruppen und Liealgebren Arne Münkel 29. Januar 2013 Inhaltsverzeichnis 1 Motivation und Definition 1 2 Die Adjungierte Darstellung und die Killingform 2 3 Die Cartan Basis 4 4 Eigenschaften der Wurzeln und Wurzelvektoren 5 5 Quantisierung der Wurzeln 7 1 Motivation und Definition Im Rahmen des Vortrages werden wir den Begriff der Liealgebra einführen. Diese beschäftigt sich mit den infinitesimalen Erzeugern einer Lie-Gruppe. Beispiele für Liegruppen sind die Matrixgruppen SU(n), SO(n). Es wird ein Formalismus erarbeitet, der es einem erlaubt mit wenig Aufwand die Auf- und Absteigeoperatoren eines Systems zu konstruieren. Dann werden noch deren Eigenschaften untersucht. Wichtig! Im Folgenden wird die Summenkonvention benutzt. Definition 1.1 (Liealgebra). Eine Liealgebra L ist ein Vektorraum über einen Körper K mit einer Abbildung: [, ] : L L L die Lie-Klammer genannt wird. Mit folgenden Eigenschaften: A, B, C L; λ, µ K Bilinearität: [λa + µb, C] = λ[a, C] + µ[b, C] Antisymmetrie: [A, B] = [A, B] Jacobi-Identität: [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0 (1.1) Hierbei gehört die Bilinearität zur allgemeinen Defintion einer Algebra, die Antisymmetrie und die Jacobi-Identität sind speziell für die Liealgebra. Beispiele 1.2. Kommutator in der Quantenmechanik 1

2 Das Kreuzprodukt im R 3 Die Poissonklammer der klassischen Mechanik Bemerkungen 1.3. Eine Liealgebra beinhaltet die Infinitesimalen Erzeuger einer Liegruppe. Die Lie-Klammer zwischen Basisvektoren, auch Erzeuger genannt, der Liealgebra kann geschrieben werden als: [T α, T β ] = if γ αβ T γ (1.2) Wobei f γ αβ die Strukturkonstante genannt wird. Diese ist antisymmetrisch unter Vertauschung von α und β, es gibt aber keinen offensichtlichen Zusammenhang mit γ. Wenn man die Generatoren hermitesch wählt, ist die Strukturkonstante reell. 2 Die Adjungierte Darstellung und die Killingform Eine Darstellung der Liealgebra ist analog zur Darstellung von Gruppen definiert als Homomorphismus in die Endomorphismen eines Vektorraums. Genau wie bei Gruppen erhält man durch Linksmultiplikation eine Darstellung, die adjungierte Darstellung (A) genannt wird. Die Matrixelemente auf einer Basis sind: (D A (T α )) γ β = if γ αβ (2.1) Die Matrixelemente sind also die Strukturkonstante. Um die Strukturkonstante komplett antisymmetrisch zu machen definiert man die Killingform. Definition 2.1 (Killingform). Die Killingform ist eine symmetrische Bilinearform definiert über die adjungierte Darstellung der Liealgebra: (A, B) := Tr(D A (A)D A (B)) =: Tr A (AB) (2.2) Wendet man dies auf die Erzeuger an erhält man die Matrix: g αβ := Tr A (T α T β ) = f δ αγf γ βδ (2.3) Bemerkungen 2.2. g αβ ist symmetrisch Diese Matrix wird auch Cartanmetrik genannt Die Killingform ist nicht notwendigerweise immer positiv definit Nun kann man die Strukturkonstante total antisymmetrisch machen: f αβγ := fαβg δ δγ (2.4) 2

3 Lemma 2.3. f αβγ ist total antisymmetrisch Beweis. Zunächst hat man: Jetzt benutzt man die Zyklizität der Spur: Tr A ([T α, T β ]T γ ) = if δ αβtr(t δ T γ ) = ifαβg δ δγ (2.5) = if αβγ Tr([A, B]C) = Tr([B, C]A) = Tr([C, A]B) (2.6) Aus der Antisymmetrie der Lie-Klammer folgt nun die Antisymmetrie von f αβγ : f αβγ = f γαβ = f αγβ usw. Definition 2.4 (Unteralgebra). Eine Unteralgebra von L, ist eine Menge S L die abgeschlossen bezüglich der Verknüpfung ist: [A, B] S A, B S (2.7) Die durch die Unteralgebra induzierte Gruppe ist eine Untergruppe der Gruppe induziert durch die gesamte Algebra. Eine normale Untergruppe wird durch eine invariante Unteralgebra induziert, diese wird auch Ideal genannt. Definition 2.5 (Ideal). Ein Ideal I ist eine Untermenge der Algebra L, wobei die Lieklammer mit irgendeinem Element der Algebra in I liegt, man schreibt: [I, L] I Besonders interressante Liealgebren sind einfache Liealgebren. Dies sind Liealgebren, die nur die Null und die Algebra selbst als Ideal enthalten. Halbeinfache Liealgebren sind die, die keine abelschen (kommutative) Ideale enthalten. Man kann nun zeigen, dass folgende Aussagen äquivalent sind L ist halbeinfach g αβ ist regulär, also det(g αβ ) 0 die Killingform nicht entartet ist also: (A, X) = 0 X L A = 0 Satz 2.6. Eine halbeinfache Liealgebra L ist das direkte Summe von einfachen Liealgebren. Beweis. Wir nehmen an L enthalte ein Ideal I. Nun nehmen wir das orthogonale Komplement (P ) bezüglich der Killingform. (Im Folgenden: A, B I und C, D P ) P ist auch eine Subalgebra, da: Tr A (AC) = 0 A, C (2.8) Tr A ([C, D]A) = Tr A ([D, A]C) = Tr A (BC) = 0 [C, D] P (2.9) 3

4 Durch ausnutzen der Zyklizität der Spur und dass I ein Ideal ist. Außerdem gilt: Tr A ([D, A]B) = Tr A ([A, B]D) = 0 (2.10) Aus den beiden Gleichungen folgt, dass [A, C] ortogonal zu allen Elementen der Liealgebra ist und somit gelten muss [A, C] = 0 A, C. Dies muss gelten, da die Algebra halbeinfach ist, ist die Killingform nicht entartet. Also gilt: L = I P. Wenn I odeer P nun noch nicht einfach ist, wiederholt man den Prozess. Man kann also eine halbeinfache Liealgebra als direkte Summe einfacher Liealgebren darstellen. 3 Die Cartan Basis In diesem Abschnitt beschäftigen wir uns nun mit halbeinfachen Liealgebren und werden eine Basis suchen, die besonders für die Quantenmechanik geeignet ist. Für die Algebra SU(2) kennen wir bereits 2 mögliche Basen: und [J i, J j ] = iɛ ijk J k (3.1) [J 3, J ± ] = ±J ± (3.2) [J +, J ] = 2J 3 (3.3) Im Folgenden wird nun die zweite Version verallgemeinert, also eine Basis mit kommutierenden Operatoren und Auf- und Absteigeoperatoren. Zunächst sucht man die maximale Anzahl an kommutierenden Operatoren einer Liealgebra der Dimension d und findet dabei: Definition 3.1 (Cartan Unteralgebra). Die Cartan Unteralgebra von Rang r enthält die r kommutierenden Erzeuger der Algebra, d.h.: [H i, H j ] = 0 i, j 1,..., r (3.4) Nun werden die anderen d r Erzeuger (E α ) so gewählt, dass sie Auf- und Absteigeoperatoren entsprechen. [H i, E α ] = α i E α α = (1,..., d r) (3.5) Das ist genau das Gleiche, wie wenn wir die adjungierte Darstellung der Cartan Unteralgebra diagonalisieren. [H i, X] = λx mit λ = 0 für X in der Cartan Unteralgebra. In Matrixform sieht das dann so aus: (D A (H i )) γ α λδα γ = 0 if γ iα λδγ α = 0 if iαβ λg αβ = 0 det(c αβ λg αβ ) = 0 (3.6) 4

5 Wobei C αβ = if iαβ ist. Wichtig ist, dass die Eigenwerte ( 0) nicht entartet sind, man findet also zu jedem Eigenwert einen eindeutigen Operator E α. Da man in der Physik hermitesche Operatoren benutzt, sind die Strukturkonstanten reell. Also ist C rein imaginär, antisymmetrisch, damit hermitesch und hat damit reelle Eigenwerte. r davon sind null und d r nicht null. Man hat nun E α gefunden mit [H i, E α ] = α i E α. Man kann jetzt die anderen Kommutatoren von E α berechen. Mit der Jacobi-Identität erhält man für j i: Daraus erhält man: [H i, [H j, E α ]] = [H j, [H i, E α ]] [E α, [H i, H j ]] = [H }{{} j, [H i, E α ]] (3.7) =0 [H i, [H j, E α ]] = α i [H j, E α ] (3.8) Also ist [H j, E α ] auch Leiteroperator zu H i. Da die Eigenwerte nicht entartet sind muss folgen: [H j, E α ] = α j E α (3.9) Dies gilt für alle Erzeuger H j. Es gibt also einen r-dimensionalen Vektor, genannt Wurzel, α = (α 1,..., α r ) für jeden Operator E α, auch Wurzelvektor genannt. 4 Eigenschaften der Wurzeln und Wurzelvektoren Als nächstes untersuchen wir die Kommutatorrelationen der Wurzelvektoren. Dazu benutzen wir den Kommutator [H i, [E α, E β ]] und die Jacobi-Identität und erhalten: [H i, [E α, E β ]] = [E α, [E β, H i ]] [E β, [H i, E α ]] = α i + β i [E α, E β ] (4.1) Also gibt es drei Möglichkeiten: 1. [E α, E β ] ist ein Wurzelvektor 2. α + β = 0 β = α 3. [E α, E β ] = 0 Bei 2. ist [E α, E β ] in der Cartan Subalgebra, da es mit H i kommutiert. Man hat demnach: [E α, E α ] = λ i H i (4.2) [E α, E β ] = N αβ E α+β (β α) (4.3) Mit N αβ = 0, wenn α + β keine Wurzel ist. Für die erste Gleichung brauchen wir noch: Lemma 4.1. Wenn α eine Wurzel ist, so ist α auch eine und es gilt: E α = E α. 5

6 Beweis. Zunächst betrachtet man die Eigenwertgleichung (3.6). Wir transponieren diese Gleichung. Die Determinante ist invariant unter Transposition. Nun ist C αβ antisymmetrisch und g αβ symmetrisch. Man bekommt: Somit ist α auch eine Wurzel. Für E α = E α hat man: Hierbei wird benutzt, dass H i hermitesch ist. det(c t αβ λg t αβ) = det( C αβ λg αβ ) (4.4) (αe α ) = αe α = [H i, E α ] = [H i, E α] (4.5) Jetzt untersucht man die Killingform der gewählten Basis. α j Tr A (E α H i ) = Tr A ([H j, E α ]H i ) = Tr A ([H j, H i ]E α ) = 0 (4.6) Da α j 0 erhält man (H i, E α ) = 0 Ähnlich findet man: (E α, E β ) = 0 (4.7) Für eine nicht entartete Killingform darf (E α, E α ) nicht null sein, mit geeigneter Normalisierung bekommt man (E α, E α ) = 1. Die Untermatrix (H i, H j ) darf nicht entartet sein. Mit geeigneter Wahl erhält man ebenfalls: (H i, H j ) = δ ij (4.8) Aus der Gleichung folgt sofort ([E α, E α ], H j ) = λ j. Mit der Zyklizität der Spur erhält man: Tr A ([E α, E α ]H j ) = Tr A ([H j, E α ]E α ) = α j Tr A (E α E α ) = α j (4.9) Damit gilt λ j = α j. Die so erarbeitete Basis heißt Cartan-Weyl-Basis. Zum Schluss kommt noch eine Zusammenfassung der wichtigsten Eigenschaften dieser Basis. [H i, H j ] = 0 [H i, E α ] = α i E α [E α, E α ] = α i H i [E α, E β ] = N αβ α + β 0 (4.10) (H i, H j ) = δ ij (H i, E α ) = 0 (E α, E α ) = 1 (E α, E β ) = 0 α + β 0 (4.11) 6

7 5 Quantisierung der Wurzeln Jede Wurzel stellt einen r dimensionalen Vektor da. Man definiert das Skalarprodukt wie üblich α β = α i β i und α H = α i H i. Nun definiert man sich die neuen Operatoren: H α := 2 α H (5.1) Die Kommutatoren zwischen diesen Operatoren verschwinden, da sie Linearkombinationen der H i sind. Von der zweiten Gleichung von (4.10) erhält man Die dritte Gleichung gibt Als Spezialfall von (5.2) bekommt man [H α, E β ] = 2α β E β (5.2) [E α, E α ] = 1 2 α2 H α (5.3) [H α, E ±α ] = ±2E ±α (5.4) Die letzten beiden Gleichungen haben die gleiche Struktur, wie die Drehimpulsalgebra. Dies erkennt man durch die Identifizierung von J 3 = 1H 2 2 α und J ± = E ±α. Die Drehimpulsalgebra kann durch die SU(2)-Algebra dargestellt werden. Es gibt also für jede Wurzel α eine zugehörige SU(2)-Algebra S α. Da J 3 halbzahlige Eigenwerte hat, muss H α ganzzahlige haben. Die Operatoren E ±α erhöhen bzw. erniedrigen den Eigenwert um 2. Die Wirkung eines Operators E β auf H α ist eine Erhöhung oder Erniedrigung um 2α β, welches also ganzzahlig sein muss: 2α β = n n Z (5.5) Mit Hilfe der Cauchy-Schwartz-Ungleichung erhält man 2α β α β α 2 β 2 2β α β 2 4 Man kann nun einen allgemeinen Winkel zwischen den Wurzeln definieren cos θ := α β α β Drückt man diese Gleichungen über Quantenzahlen aus, erhält man mit n 1 = 2α β n 2 = 2β α β 2 n 1 n 2 4 (5.6) (5.7) und cos θ = 1 (5.8) n1 n 2 2 Im Folgenden wird benutzt 0 n 2 n 1 außerdem 0 θ π. Die anderen Möglichkeiten 2 erhält man, indem man das Vorzeichen von α oder β ändert, oder diese austauscht. 7

8 Lemma 5.1. Wenn α eine Wurzel ist, dann ist λα nur Wurzel für λ = ±1. Beweis. Für λ > 2 gilt n 1 3n 1 und n 2 3n 2 aus der Ungleichung (5.8) muss gelten: 3n 1 3n 2 4 (5.9) Da 0 n 1 n 2, ist dies ein Widerspruch, also λ < 3. Es gilt also [E α, E 2α ] = 0. Wir nehmen jetzt an, 2α sei eine Wurzel. Jetzt betrachtet man [E α, E 2α ]. Dieser Kommutator ist entweder 0 oder proportional zu E α. Wir nehmen zunächst an, dass der Kommutator verschwindet. Dann hat man [[E α, E α ], E 2α ] = [E α, [E 2α, E α ]] + [E α, [E 2α, E α ]] = 0 (5.10) Mit der Jacobi-Identität mit (5.3) bekommt man: [[E α, E α ], E 2α ] = [ 1 2 α2 H α, E 2α ] E 2α (5.11) Dies ist ein Widerspruch. Nimmt man an, das [E α, E 2α ] E α benutzt man den Kommutator [[E α, E 2α ], E α ]. Mit der Jacobi-Identität ist dieser ungleich null [[E α, E 2α ], E α ] = [E α, [E 2α, E α ]] + [E 2α, [E α, E α ]] 0 (5.12) benutzt man [E α, E 2α ] E α ist dieser null. Daraus folgt, dass λ 2 und damit die Behauptung. Damit kann n 1 nicht vier sein. Die übrigen Werte (außer n 1 = n 2 = 2, welches bedeutet α = β) sind: n 1 = 0 n 2 = 0 mit θ = π, die Wurzeln sind also senkrecht zu einander 2 n 1 = n 2 = 1 mit θ = π 3 und α = β n 1 = 2, n 2 = 1 mit θ = π 4 und β = 2 α n 1 = 3, n 2 = 1 mit θ = π 6 und β = 3 α Als nächstes kann man die anderen möglichen Wurzeln konstruieren. Dabei lässt man einfach einen Leiteroperator E ±β auf einen anderen E α wirken. Dadurch erhält man einen β-wurzel-strang über α, der die Wurzeln von α + pβ bis α qβ mit p, q N enthält. Die Operatoren E α+kβ bilden eine irreduzible Darstellung von S β, der Dimension 2j+1, wobei j ganz- oder halbzahlig sein kann. Damit sind ±j die betragsmäßig größten Eigenwerte von 1 2 H α. Man hat je α+pβ = [ 1 2 H β, E α+pβ ] = (α + pβ) β β 2 E α+pβ (5.13) 8

9 und damit j = j = (α + pβ) β β 2 (5.14) (α qβ) β β 2 (5.15) Hieraus ergibt sich q + p = 2j q p = 2α β β 2 = n 2 (5.16) Damit hat man dann alle Wurzeln der Liealgebra konstruiert. Als letztes kann man zeigen, dass die Wurzeln unter Weyl-Reflektion wieder auf Wurzeln abgebildet werden. Dies entspricht einer Spiegelung an Hyperebenen im Wurzelraum, die senkrecht zu den Wurzeln stehen. Definition 5.2 (Weyl-Reflektion). Unter einer Weyl-Reflektion versteht man die Abbildung σ : Φ Φ Φ f : (α, β) σ α (β) = β 2β α α (5.17) Wobei Φ der durch die Wurzeln aufgespannte Vektorraum ist, also Φ = span{α, β,...}. Satz 5.3. Wurzeln werden unter Weyl-Reflektion wieder auf Wurzeln abgebildet. Beweis. Wir betrachten den α-wurzel-strang über β. Wir wissen aus (5.16), dass p q = 2α β. Hierbei ist man q Schritte von der höchsten Wurzel hinunter gegangen. Dreht man dies nun um und geht p Schritte vom untersten nach oben, erhält man als Wurzel β + ( q + p)α = β 2α β α. Wendet man also die Weyl-Reflektion auf eine Wurzel an, erhält man wieder eine Wurzel. Literatur [1] Christoph Lüdeling: physics751: Group Theory (for Physicists) [2] HF Jones: Groups, represantation and physics, Adam Hilger 9