Anhang G - Bemerkungen zur Weylgruppe

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1 32 Anhang G - Bemerkungen zur Weylgruppe Anhang G - Bemerkungen zur Weylgruppe Sei G eine kompakte zusammenhängende (halbeinfache) Liegruppe, T G ein maximaler Torus, W = W T (G) = N G (T )/T die zugehörige Weylgruppe. Weiter sei g = L(G) die Liealgebra von G, t = L(T ), sowie die komplexifizierte Liealgebra, h = t C. g C = g R C = g + i g Die adjungierte Darstellung lässt sich auf die Komplexifizierung erweitern: Die Ableitung ist die Darstellung Ad 1 : G Aut C (g C ), mit g Ad(g) 1. ad 1 : g End C (g C ), mit u ad(u) 1. Sei Γ T L(T ) das Gitter zum Torus T, so dass T = L(T )/Γ T ist. Die Menge Γ T := {λ t : λ(γ T ) Z} nennt man das duale Gitter. Eine (infinitesimale) Wurzel von G ist eine R-lineare Abbildung α : t i R der Gestalt α = 2π i λ mit λ Γ T (also ein Element von 2πi Γ T (t ) C ), so dass gilt: 1. α Es gibt ein Element x h, x 0, so dass ad(u)x = α(u) x für alle u t ist. Sei das System der endlich vielen Wurzeln. Dann ist g C = h α g α, mit g α = {x g C : ad(u)x = α(u) x für alle u t}. Nun sei die Abbildung c : g C g C definiert durch c(y + i z) := y i z. Dann ist g = {x g C : c(x) = x}. Für u t und x = y + i z g C ist [u, c(x)] = [u, y] i [u, z] = c([u, y] + i [u, z]) = c([u, x]). Ist x g α, so ist [u, c(x)] = α(u) c(x) = α(u) c(x), also g α = c(g α ). Wir halten nun eine Wurzel α = 2πi λ fest, sowie ein Element x α g α. Dann setzen wir y α := x α + c(x α ) und z α := i (x α c(x α )). Da c(y α ) = y α und c(z α ) = z α ist, liegen y α und z α in g, genau genommen in (g α g α ) g. Insbesondere liegt dann h 0 α := [y α, z α ] in t.

2 Anhang G - Bemerkungen zur Weylgruppe 33 Für u t ist und [u, y α ] = [u, x α ] + [u, c(x α )] = α(u) (x α c(x α )) = i α(u) z α = 2πλ(u) z α [u, z α ] = i ([u, x α ] [u, c(x α )]) = i α(u) (x α + c(x α )) = i α(u) y α = 2πλ(u) y α. Ist Exp : End R (g) Aut R (g) durch die Exponentialreihe gegeben, so ist Exp(ad(u)) = Ad(exp(u)), für u t (vgl. die Beweise zu Satz 2.16 und 2.17). Also ist (Ad(exp(u)) 1)(x α ) = (Exp(ad(u)) 1)(x α ) = e α(u) x α = e 2πi λ(u) x α. Daraus folgt: und analog Ad(exp(u))y α = (Ad(exp(u)) 1)(x α + c(x α )) = e 2πi λ(u) x α + e 2πi λ(u) c(x α ) = (cos(2πλ(u)) + i sin(2πλ(u))) x α + (cos(2πλ(u)) i sin(2πλ(u))) c(x α ) = cos(2πλ(u)) y α + sin(2πλ(u)) z α, Ad(exp(u))z α = sin(2πλ(u)) y α + cos(2πλ(u)) z α. G.1 Satz. Ist α und x α g α, x 0, so bilden die Elemente y α, z α und h 0 α die Basis einer Lie-Unteralgebra k α g, die isomorph zu su(2) ist. Außerdem ist iα(h 0 α) reell und > 0. Desweiteren gibt es eine zusammenhängende, abgeschlossene Lie-Untergruppe K α G mit L(K α ) = k α, die lokal isomorph zu SU(2) ist. Beweis: Wir versehen g mit einem G-invarianten Skalarprodukt (...,...). Dann gilt für u t : (u, h 0 α) = (u, [y α, z α ]) = (u, ad(y α )z α ) = (ad(y α )u, z α ) = ([u, y α ], z α ) = 2πλ(u) (z α, z α ). Weil z α 0 ist, ist auch (z α, z α ) 0. Weil außerdem λ = 1 α auf t nicht identisch 2πi verschwindet, muss h 0 α 0 sein. Setzt man u = h 0 α ein, so erhält man i (h 0 α, h 0 α) = α(h 0 α) (z α, z α ), also α(h 0 α) 0 und i α(h 0 α) = (h 0 α, h 0 α)/(z α, z α ) > 0.

3 3 Anhang G - Bemerkungen zur Weylgruppe Sei nun a α := i α(h 0 α) und hα := 2 a α h 0 α, ỹ α := 2 aα y α und z α := 2 aα z α. Dann ist [ h α, ỹ α ] = [h 0 a α aα α, y α ] = 2πλ(h 0 a α aα α) z α = i α(h 0 a α aα α) z α = aα z α und analog = 2 z α, [ h α, z α ] = 2ỹ α und [ỹ α, z α ] = 2 h α. Bildet man nun die Basis {i H, U, V } von su(2) (vgl. Kapitel 2, Anfang von 3) auf { h α, ỹ α, z α } ab, so erhält man einen Algebra-Isomorphismus von su(2) auf eine Unteralgebra k α von g. Offensichtlich wird k α von h 0 α, y α und z α erzeugt. Zu der Liealgebra k α gibt es eine zusammenhängende, abgeschlossene Untergruppe K α G mit L(K α ) = k α. Natürlich ist K α eine kompakte Liegruppe. Da eine Liegruppe in der Nähe der Eins durch ihre Liealgebra bestimmt wird, ist K α lokal isomorph zu SU(2). Damit ist rg(k α ) = 1. Man kann zeigen, dass dann K α = SU(2) oder = SO(3) sein muss (vgl. [Brö-tDie], chapter V). G.2 Satz. Es gibt ein Element r α K α N G (T ), so dass das dadurch definierte Element w α W (G) auf t die orthogonale Spiegelung an der Hyperebene H α := {u t : α(u) = 0} induziert. Insbesondere wird dabei h 0 α in h 0 α überführt. Beweis: Wir machen den Ansatz r α = exp(ty α ), mit einem noch zu bestimmenden Faktor t R. Dann ist t n Ad(r α ) = Exp(t ad(y α )) = n! (ad(y α)) n (in End(g)). Ist u H α = α 1 (0) t, so ist n=0 ad(y α )u = [y α, u] = [u, y α ] = 2πλ(u) z α = i α(u) z α = 0, also Ad(r α )u = u (wenn man die vorige Zeile in die Exponentialreihe einsetzt). Wir benutzen die Zahl a α := i α(h 0 α) > 0. Dann ist

4 Anhang G - Bemerkungen zur Weylgruppe 35 ad(y α )h 0 α = [h 0 α, y α ] = i α(h 0 α) z α = a α z α und ad(y α )z α = h 0 α. Per Induktion folgt: Daraus ergibt sich: Ad(r α )h 0 α = ad(y α ) 2k h 0 α = ( a α ) k h 0 α und ad(y α ) 2k+1 h 0 α = ( a α ) k+1 z α. k=0 t 2k (2k)! ( a α) k h 0 α + k=0 t 2k+1 (2k + 1)! ( a α) k+1 z α = cos( a α t) h 0 α a α sin( a α t) z α. Setzen wir t := π/ a α, so erhalten wir Ad(r α )h 0 α = h 0 α. Offensichtlich ist t = H α Rh 0 α. Die Summe ist sogar orthogonal, weil (u, h 0 α) = i α(u) (z α, z α ) = 0 ist, für u H α (siehe Beweis zu Satz G.1). Da t von Ad(r α ) invariant gelassen wird, gehört r α zum Normalisator N G (T ), entspricht also einem Element der Weylgruppe. Es ist klar, dass Ad(r α ) t die orthogonale Spiegelung an H α ist. Die Bedeutung dieses Satzes liegt darin, dass gezeigt wurde, dass die Spiegelungen an den Hyperebenen H α zur Weylgruppe gehören. Man kann sogar zeigen, dass die Weylgruppe von diesen Spiegelungen erzeugt wird.

5 36 Anhang H - Cohomologie-Gruppen Anhang H - Cohomologie-Gruppen Sei X eine differenzierbare Mannigfaltigkeit und G eine abelsche Gruppe (ein Z- Modul, also z.b. Z, Z 2 oder einer der Körper Q, R oder C). Ist U X offen, so verstehen wir unter Γ(U, G) die Menge aller lokal-konstanten Funktionen auf U mit Werten in G. Ist U zusammenhängend, so ist jedes Element von Γ(U, G) konstant, also Γ(U, G) = G. Im allgemeinen ist Γ(U, G) ein Z-Modul. Sei U = (U α ) α A eine offene Überdeckung von X. Für einen Multi-Index I = (α 0, α 1,..., α q ) A q+1 sei I = q + 1, U I = U α0...α q := U α0... U αq und C q (U, G) := {f = (f I ) I A q+1 : f I Γ(U I, G)}. Dann ist z.b. C 0 (U, G) = {f = (f α ) α A : f α Γ(U α, G) } und C 1 (U, G) = {g = (g αβ ) (α,β) A 2 : g αβ Γ(U αβ, G)}. Die Abbildung δ q : C q (U, G) C q+1 (U, G) sei definiert durch q+1 δ q (f) α0...α q+1 := ( 1) i f α0... α i...α q+1 Uα0...α q+1. Dann ist speziell i=0 δ 0 (f) αβ = (f β f α ) Uαβ und δ 1 (g) αβγ = (g αβ g αγ + g βγ ) Uαβγ. Definition. Ein q-dimensionaler Cozykel (zur Überdeckung U ) mit Werten in G ist ein Element f C q (U, G) mit δ q (f) = 0. Die Menge aller dieser Cozykel wird mit Z q (U, G) bezeichnet. Die Elemente von B q (U, G) := δ q 1 (C q 1 (U, G)) werden als Coränder bezeichnet, für q 1. Außerdem setzt man B 0 (U, G) = 0. Auch C q (U, G), Z q (U, G) und B q (U, G) sind Z-Moduln, δ q ist ein Homomorphismus, Z q (U, G) = Ker(δ q ) und B q (U, G) = Im(δ q 1 ). Speziell ist Z 0 (U, G) = Γ(X, G) und Z 1 (U, G) = {g = (g αβ ) C 0 (U, G) : g αγ = g αβ + g βγ auf U αβγ }. Man rechnet nach, dass δ q δ q 1 = 0 ist, also B q (U, G) Z q (U, G).

6 Anhang H - Cohomologie-Gruppen 37 Definition. H q (U, G) := Z q (U, G)/B q (U, G) heißt q-te Cohomologiegruppe von X zur Überdeckung U mit Werten in G. Offensichtlich ist H 0 (U, G) = Γ(X, G). Die Cohomologieklassen in H 1 (U, G) sind Äquivalenzklassen von Elementen g = (g αβ ) Z 1 (U, G), wobei zwei Elemente g und g genau dann äquivalent genannt werden, wenn es ein f = (f α ) C 0 (U, G) gibt, so dass g = g + δ 0 f ist, also g αβ = g αβ + f β f α auf U αβ. Bemerkung. Das obige Konzept lässt sich verallgemeinern. Ist p : P X ein Faserbündel, so ist Γ(U, P ) = {s : U P (differenzierbar), mit p s = id U } der Raum der Schnitte in P über U. Mit solchen Schnitten kann man genau wie oben die Cohomologiegruppen H q (U, P ) definieren. Ist P ein Prinzipalbündel mit endlicher (abelscher) Strukturgruppe G, so erhält man wieder die oben beschriebenen Cohomologiegruppen. Das trifft zum Beispiel im Falle von Z 2 -Bündeln, also zweifachen Überlagerungen zu. Die obige Theorie hat einen Schönheitsfehler: Alles hängt von der Überdeckung U ab. Es soll nun kurz angedeutet werden, wie man sich von dieser Abhängigkeit lösen kann. Eine Überdeckung V = (V n ) n N von X heißt eine Verfeinerung von U, falls es eine Abbildung τ : N A (die Verfeinerungsabbildung ) gibt, so dass V n U τ(n) ist, für alle n N. Die Verfeinerungsabbildung induziert Abbildungen τ q : C q (U, G) C q (V, G) durch τ q (f) J := f τ(j). Weil δ τ q = τ q+1 δ ist, wird nun für jedes q eine Abbildung τ : H q (U, G) H q (V, G) induziert. Man kann zeigen, dass τ wohldefiniert und von der Verfeinerungsabbildung unabhängig ist. H.1 Satz. Die Abbildung τ : H 1 (U, G) H 1 (V, G) ist injektiv. Beweis: Sei g ein Cozykel bezüglich U und τ 1 (g) = δf, für ein f C 0 (V, G). Wir müssen zeigen, dass g schon selbst ein Corand ist. Auf V nm U α ist g τ(n)τ(m) = g τ(n)α + g ατ(m) = g ατ(m) g ατ(n). Da g τ(n)τ(m) Vnm = (f m f n ) Vnm ist, folgt: g ατ(m) f m = g ατ(n) f n auf V nm U α. Nun kann man h α auf U α definieren, durch h α Uα V n := g ατ(n) f n. So erhält man ein Element h = (h α ) C 0 (U, G), und auf U αβ V n gilt: h β h α = (g βτ(n) f n ) (g ατ(n) f n ) = g βτ(n) + g τ(n)α = g βα. Das bedeutet, dass g = δ( h) ist.

7 38 Anhang H - Cohomologie-Gruppen Man kann also H 1 (U, G) als Untergruppe von H 1 (V, G) auffassen. Bildet man nun die Vereinigung aller Cohomologiegruppen H 1 (U, G) (über alle Überdeckungen U ), so erhält man die Cohomologiegruppe H 1 (X, G), die 1. Cohomologiegruppe von X mit Werten in G. Leider funktioniert diese Konstruktion nicht mehr für höheres q. Man behilft sich dann mit der Konstruktion des induktiven Limes. Zwei Cohomologieklassen ξ H q (U, G) und η H q (V, G) heißen äquivalent, falls es eine gemeinsame Verfeinerung W von U und V (mit Verfeinerungsabbildungen τ und σ) gibt, so dass gilt: τ (ξ) = σ (η) (in H q (W, G)). Aus den Äquivalenzklassen bildet man die Cohomologiegruppe H q (X, G) = lim H q (U, G). Diese Konstruktion (die auch schon von der Definition von Funktionskeimen her bekannt ist) ist nicht so kompliziert, wie es aussieht. Man nennt eine Überdeckung U = (U α ) azyklisch, falls H q (U α, G) = 0 ist, für alle α. Solche azyklischen Überdeckungen kann man wenn X eine Mannigfaltigkeit ist immer finden. Allerdings ist das nicht trivial. Nun gilt der berühmte Satz von Leray: Ist U azyklisch, so ist H q (U, G) = H q (X, G). Es ist unmöglich, hier eine komplette Cohomologie-Theorie zu entwickeln. Ein Aspekt soll aber noch erwähnt werden: Sei F : X Y eine stetige Abbildung. Dann erhält man induzierte Abbildungen F : H q (Y ) H q (X) wie folgt: Ist U = (U ι ) eine offene Überdeckung von Y, so ist F 1 (U ) = (F 1 (U ι )) eine offene Überdeckung von X. Man erhält nun Abbildungen F q : C q (U, G) C q (F 1 (U ), G) durch (F q ξ) I := ξ I F : F 1 (U I ) G. Da dies mit dem Corand-Operator δ verträglich ist, werden Abbildungen F : H q (U, G) H q (F 1 (U ), G) induziert, und schließlich geht man noch zum induktiven Limes über. Ist z.b. j : M X die Einbettung einer Untermannigfaltigkeit in X und x H q (X, G), so ist j x H q (M, G) die Einschränkung von x auf M.