Wurzeln einer Lie-Algebra und deren Quantisierung. 1 Cartan Basis und Wurzeln in einer Lie-Algebra

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1 Mohammad Sayad (Teil 1) und Christoph Piefke (Teil 2) Proseminar QMII, Universität Hamburg Wurzeln einer Lie-Algebra und deren Quantisierung Das Ziel unsere Arbeit ist, zu zeigen, dass die Idee der SU2 in jeder Lie-Algebra zu finden ist. Zur Erinnerung: Betrachten wir die folgende Strukturrelation: SU2 := {A C 2 2 ; deta = 1 A = A 1 } (1) [J i, J j ] = iɛ ijk J k (2) Mit Hilfe von J 3 und den Step-Operatoren J ± = J 1 ±J 2 können wir (0.1) umschreiben: [J +, J ] = 2J 3 [J 3, J ± ] = ±J ± (3) Die Darstellung der Kommutatorrelation in der Cartan-Sprache ist eine Verallgemeinerung von der Darstellung (0.2).Ausserdem möchten wir die Wurzeln in einer Lie-Algebra quantisieren. Dies führt uns zu einer geometrischen Darstellung der Lie-Algebra. 1 Cartan Basis und Wurzeln in einer Lie-Algebra Eine kurze Wiederholung der letzten Sitzung (Liegruppen und Liealgebren): (i) Wir haben zunächst die folgende Strukturrelation kennengelernt: [T α, T β ] = if αβγ T γ. Anschließend wurde gezeigt, dass allein die Strukturkonstanten ausreichen, um eine Lie-Algebra zu bestimmen. (ii) Die Adjungierte Darstellung (D A (T α )) γ β wurde vorgestellt. In der adjungierten Darstellung D A bilden die Strukturkonstanten die Matrixdarstellung der Generatoren und die Dimension der adjungierten Darstellung D A ist gerade die Anzahl der linarunabhängigen Generatoren. Da in der adjungierten Darstellung D A die Strukturkonstanten und die Generatoren zusammenfallen, können wir allein mit Hilfe der Generatoren eine Lie-Algebra klassifizieren. Daher untersuchen wir im folgenden die Generatoren: Zuerst untersuchen wir die Generatoren, die untereinander kommutieren: Definition 1. Die größte Menge von miteinander kommutierenden Generatoren in einer bestimmten Darstellung bilden die CARTAN-UNTERALGEBRA {H}. Die Cartan- Unteralgebra ist ein Vektorraum und es gilt die Kommutativität bezgl. der Lie-Klammern, 1

2 daher können wir nach einem Satz aus der linearen Algebra alle Elemente aus der Cartan- Unteralgebra gleichzeitig diagonalisieren und eine normierte Basis wählen, die hermitesch ist, oder mathematisch ausgedrückt: H i H, i {1,, r} Cartan-Basis [H i, H j ] = 0 H i = H i T r(h i, H j) = δ ij (4) Nun untersuchen wir die d r Generatoren, die nicht miteinander kommutieren. Die Menge von nicht miteinander kommutierenden Generatoren bezeichnen wir mit E: Wir betrachten Linearkombinatinen aus den Elementen von E, bezeichen diese mit E α und wir möchten gern in Analogie zur SU 2 folgendes konstruieren: [H i, E α ] E α (5) Dies erreichen wir durch Konstruktion der folgenden Abbildung: V = {T α α = 1,, d} ad Hi : V V v [H i, v], v V (6) ad Hi (E α ) E α Nun lösen wir die Eigenwertgleichung ad Hi (E α ) E α und erhalten: [H i, E α ] = (α) i E α (7) Definition 2. Die (α) i bezeichnen wir als Wurzeln. Wir möchten wissen, ob ( α) i Eigenwert zu E α ist. Daher betrachten wir ([H i, E α ]) : [Hi, E α ] = [E α, H i ] = [H i, E α] = (α) i E α (8) = (α) i E α Wobei wir E α mit E α identifiziert und ausserdem folgende Kommutatorregel verwendet haben: [A, B] = [B, A ]. Wir sehen auch an dieser Stelle wieder die Analogie zur SU2: (J ± ) = (J ). Nun möchten wir E ± auf einen beliebigen Zustand anwenden, um zu sehen ob sich E ± wie ein Stepoperator verhält: Hierzu betrachten eine beliebige Eigenwertgleichung H i h = h h : H i (E ±α h ) = [H i, E ±α ] h + E ±α H i h = ±(α) i E ±α h + he ±α h = (±(α) i + h) h (9) 2

3 Nun mochten wir die Kommutatorrelation [E α, E β ] untersuchen. Hierfür benötigen wir die Jacobi-Identität: [A, [B, C]] + [B, [C, A]] + [C, [A, B]] = 0. [H i [E α, E β ] = [E α [E β, H i ]] [E β [H i, E α ]] = [E α [H i, E β ]] (α) i [E β, E α ] = (α + β) i [E α, E β ] (10) Fallunterscheidung bezüglich der Wurzel(α + β) i : (i) α + β = 0 Aus (1.7) folgt, dass wenn α + β = 0, d.h. wenn β = α, dann kommutieren alle H i mit [E α, E β ] und daher sind die [E α, E β ] Element der Cartan Unter-Algebra: [E α, E α ] = λ i H i (11) An dieser Stelle betrachetn wir als Vergleich die SU2:[J +, J ] = J 3 (ii) α + β 0 und (α + β) i eine mögliche Wurzel, so gilt: [E α, E β ] = N αβ E α+β (12) (iii) α + β 0 und (α + β) i keine Wurzel, so gilt Nαβ = 0: Eigenschaften 1 (von Wurzeln und Auf-und Absteigerpopertatoren). Wir untersuchen das Skalarprodukt von {H i } und {E α }. In der adjungierten Darstellung hat das Skalarprodukt die folgende Form: A B = T r A (A B)(Killingform). Ausserdem benötigen wir folgende Eigenschaft der Spur: T r([a, B]C) = T r([b, C]A) = T r([c, A]B). Als erstes betrachten wir H i E α : H i E α = T r A ([H j, E α ]H i ) = T r A ([H j, H i ]E α ) = 0 (13) Da T r A ([H j, E α ]H i ) = α j T r A (E α H i ), folgt H i E α = 0 für α j 0. Mit der gleichen Strategie zeigen wir, dass E α E β = 0: E α E β = T r A ([H i, E α ]E β ) = (α) i E α E β = T r A ([E β, E α ]H i ) = T r A ([H i, E β ]E α ) = (β) i E β E α (α + β) E α E β = 0 E α E β = 0 (α + β) i 0 (14) E α E α = E α E α = 1 (15) 3

4 Die H i, i = {1,, r} sind orthnormierte Basis der Cartan Unteralgebra (vgl. (0.1)), daher gilt: Nun bleibt noch zu zeigen, dass λ j = α j : H i H j = δij (16) [E α, E α ] H j = λi H i H j = λ j Andererseits gilt: [E α, E α ] H j = [H j, E α ] E α = (α) j E α E α (17) λ j = α j. = (α) j 2 Quantisierung der Wurzel und Wurzeldiagramme Motivation: Im letzten Abschnitt haben wir gelernt, dass jede Lie-Algebra in SU(2)- Unteralgebren zerfällt. Man kann folgende Eigenwertgleichungen aufstellen: [H 1, E α ] = (α) 1 E α [H 2, E α ] = (α) 2 E α.. (18) [H r, E α ] = (α) r E α Wobei H H, der Menge der vertauschenden Operatoren, auch Cartan-Unteralgebra genannt, E α E, die Menge der Linearkombination der nicht vertauschenden Operatoren, I = 1... und (α) i R. Definition 3 (Wurzelvektor). Die endliche Folge {(α) i } 1 i r der Wurzel bezüglich der adjungierten Darstellung einer Lie-Algebra nennt man Wurzelvektor. Beispiel einer anderen Wurzel: Wähle E β E so dass [H i, E β ] = (β) i E β β := {(β) i } 1 i r (19) Definition 4 (Skalarprodukt der Wurzelvektoren). Im wesentlichen wenden wir auf die oben definierten Folgen, die Wurzelvektoren, das kanonische Skalarprodukt aus l 2 an. α β := i (α) i (β) i (α) i (β) i α = ((α) i (α) i ) 1 2 (20) Erinnerung an das kanonische Skalarprodukt im R 3 : α β := α β cos(θ) (21) 4

5 Diese Relation wenden wir auch an auf die oben definierten Wurzelvektoren. Weiterhin betrachten wir jetzt das r-tupel der H i H. Wir können bilden: α H := i (α) i H i (22) Wir benötigen noch eine weitere Konstruktion, um den Brückenschlag von H und E zur SU(2)-Unteralgebra zu schaffen: Definition 5 (Linearkombination H α der H i ). Eigenschaften 2 (von H α, E α ). (i) (ii) H α := 2 α 2 αh = 2 α 2 [H α, H β ] = 4 α 2 β 2 [(α) ih i, (β) j H j ] (α) i H i (23) i = 4(α) i(β) j α 2 β 2 [H i, H j ] = 0 [H α, E β ] = 2 α 2 α[h, E β] = 2 α 2 αβe β Spezialfall (den wir später noch brauchen werden): (iii) wegen Definition 3. [H α, E ±α ] = ±2E ±α [E α, E α ] = α i H i = αh = α2 2 H α Jetzt aktivieren wir den scharfen, mathematischen Blick und stellen folgende Kommutatoren gegenber: [J 3, J ± ] = ±J ± [J +, J ] = 2J 3 [H α, E ±α ] = ±2E ±α [E α, E α ] = α2 2 H α In der oberen Zeile steht die aus der Quantenmechanik bekannte Drehimpulsalgebra (ohne die ). Die zweite Zeile, eine Zusammenfassung der bisherigen Ergebnisse, sieht dieser auffallend ähnlich. Man identifiziere: 5

6 Einsetzen zum Test: J H α 2 J ± α 2 E ±α (24) 2 2 [ α 2 E α, α 2 E α] = α2 2 [E α, E α ] = H α = 2J 3 = [J +, J ] (25) Können wir jetzt aus unserer Kenntnis der Eigenschaften der Drehimpulslgebra nützliche Informationen ber die Eigenschaften von E α und H α gewinnen? Die Antwort ist ja! Dazu eine kurze Erinnerung an die Drehimpulsalgebra. Eigenschaften 3 (Drehimpulsalgebra). Sei jm Eigenzustand des Drehimpulsoperators. Dann gilt: (i) (ii) J 3 jm = m jm J 3 (J ± jm ) = (m ± 1) jm J ± erhöht bzw. verringert nach und nach den Eigenwert von J 3 um eins. (iii) J + jmmax = 0 J jm min = 0 Die Kette bricht also oben und unten irgendwann ab. Es gilt: mmax = j, m min = j, mmax m min = 2j und es gibt 2j + 1 Stück dieser Eigenwerte. Weiter wissen wir, dass die 2j ganzzahlig und nicht negativ sind j {0, 1 2, 1, 3 2, 2,...}. Die nun folgende Argumentation ist sehr um-die-ecke-gedacht und ebenso wichtig für den Rest des Vortrages. Aus dem Vergleich der vorher entwickelten SU(2)-Algebra (E ±α und H α ) mit der bekannten Drehimpulsalgebra wollen wir allgemeine Erkenntnisse über die Eigenschaften von Wurzeln gewinnen. Betrachten wir zunächst E ±α. Es ist 6

7 durch Vergleich von Eigenschaft 2.(ii) (Spezialfall) und Eigenschaft 3.(ii) ersichtlich, dass E ±α den Eigenwert von H α um ±2 ändert. Hierfür haben wir vorher in Eigenschaft 3.(ii) α = β gesetzt. Wenn wir diese Annahme fallen lassen, kann man sich vorstellen, dass der Eigenwert eben gerade um den Wert ± 2αβ geändert wird. Dies ist ein sehr α 2 wichtiges Ergebnis! Und noch ein wichtiges Ergebnis hinterher, die Eigenwerte von H α sind ganzzahlig, denn sie sind proportional zu 2j, wie man aus der Definition oben ablesen kann. Zusammenfassen lassen sich diese beiden Ergebnisse wie folgt: m := 2αβ α 2 Z (26) Und wenden wir das gleich ein wenig an, um den Umgang zu üben und die Quantisierung der Wurzeln zu entwickeln, die in der Überschrift so vollmundig angepriesen worden ist. Nochmal zum Vergleich: H α E β = 2αβ }{{} α 2 E β (27) m J 3 jm = m jm = 2αβ jm (28) α2 Und mit einem anderen Mitgliede Cartan-Unteralgebra: H β E α = 2βα β }{{} 2 E α (29) m Erinnern wir uns zurück an die Definition des Skalarproduktes für Wurzeln und betrachten das Produkt von m und m wie in (1.10) und (1.12): m m = ( 2αβ α 2 )(2βα β 2 ) (2 2) α 2 β 2 α 2 β 2 = 4 (30) Da der Betrag des Skalarproduktes immer kleiner-gleich dem Produkt der Beträge der Argumente ist. Wenn man jetzt noch die Definition aus Gleichung (21) einsetzt und die Beträge der Wurzelvektoren kürzt, erhält man: m m 4 (31) 1 4 m m = cos 2 (θ) 1 (32) 1 2 (m m ) = cos(θ) 1 (33) 7

8 Damit ist das große Werk getan, die Wurzeln sind Quantisiert! Die verschiedenen Werte von m und m können jetzt nur noch diskrete Werte annehmen, den sie müssen immer dieser Relation (33) genügen, sie stehen also in definierten Winkeln zueinander. Mehr noch, man kann sogar aussagen über ihre Längenverhältnisse machen, denn: m m = 2αβ α 2 2βα = β2 α 2 (34) β 2 Fassen wir die damit möglichen Einstellmöglichkeiten für die beiden Wurzelvektoren zusammen: m m θ Längenverhältnis , 120 α = β 2 45, α = β 3 30, α = β 4 0, 180 Die 4 nimmt dabei eine besondere Stellung ein, dieser Wert wird nämlich nicht angenommen, wie ich kurz zeigen möchte. A : m = 4 m m 4 m = 1 cos(θ) = 1 2 (mm ) 1 2 = θ = 0 (i) β = α, dieser Fall ist erlaubt, aber bekannt. zwei Fälle: (ii) β = 2α, dieser Fall erfüllt auch die Gleichung und soll näher betrachtet werden. Zunächst kann er nicht durch die Leiteroperatoren generiert werden, denn [E α, E α ] = 0 gilt immer. Genausowenig können wir 3α verwenden, denn erstens [E α, E 2α ] = [E α, [E α, E α ]] = 0. Und zweitens: { 0 oder: [E α, E 2α ] = E α Im ersten Fall gilt dann: [E 2α, [E α, E α ]] =[E 2α, [E α, E α ]] = [E α, [E α, E 2α ]] [E } {{ } α, [E 2α, E α ]] = 0 aber: } {{ } =0 =0 = [E 2α, α2 2 H α] = 2α 2 E 2α 8

9 Also ein Widerspruch. Im zweiten Fall: =0 =0 { }} { { }} { [[E α, E 2α ], E } {{ } α ] = [E 2α, [E α, E α ]] + [E 2α, [E α, E α ]] } {{ } E α E α Auf diese Weise kann man alle weiteren Vielfachen von α als Wert von β auf einen Widerspruch führen. Also kann der Wert 4 von mm nicht vorkommen. Obige Grafik soll die angesprochenen Längenverhältnisse, die aus der Quantisierung der Wurzeln folgen, verdeutlichen. Dies können die Wurzelvektoren einer Gruppe vom Rang zwei sein. Die Wurzelvektoren sind dann zweidimensional. Zu Beginn wurde gesagt, dass α und β willkürlich gewählt sind. Gibt es noch andere Wurzeln? Und können wir diese irgendwie aus bekannten Wurzeln konstruieren? Im vorherigen Vortrag haben wir gesehen, dass man durch [E β, E α ] = N αβ E α+β mit α + β 0 neue Wurzeln erzeugen kann. Auerdem wissen wir (z.b. aus der Drehimpulsalgebra), dass diese Kette irgendwann abbricht. Es gibt also p und q N, so dass [E β, [E β, [E β,... [E β, E α ]] = 0 =: (E β ) p+1 E α [E β, [E β, [E β,... [E β, E α ]] = 0 =: (E β ) p+1 E α Betrachten wir in Analogie wieder einmal den Drehimpuls. Dort existieren auch p, q N, so dass: J 3 (J p + jm ) = m max jm = j jm und J 3 (J p+1 + jm ) = 0 J 3 (J p jm ) = m min jm = j jm und J 3(J p+1 jm ) = 0 Daraus folgt durch Vergleich: H α (E p β E α(α + pβ) α ) = (E p β E α ) = j(e p β E α ) α 2 H α (E p β E α(α qβ) α ) = (E p β E α ) = j(e p β E α ) α 2 Ergebnis: Alle Wurzeln α + kβ sind wieder Wurzeln mit q k p. Wendet man in obigen Gleichungen eine andere Linearkombination (z.b. bezüglich β) der Cartan- Unteralgebra an, erhält man: Also: H β (E p β E β(α + pβ) α ) = (E p β E α ) = j(e p β E α ) H α (E p β E α ) = β 2 β(α qβ) β 2 (E p β E α ) = j(e p β E α ) (35) (36) (37) βα β 2 + p = j βα β 2 q = j (38) 9

10 (i) Durch Addition 2βα 2βα + p q = 0 p + q = β2 β 2 m (ii) und durch Subtraktion p + q = 2j Nochmal zur Erinnerung: alle Wurzeln mit β + kα sind wieder Wurzeln mit q k p, also auch β + (p q)α, denn Und es gilt: 0 < p < p + q q q < p q < p β + (p q)α = β 2βα β 2 =: σ α (β) ist auch wieder eine Wurzel! σ lässt sich auch als Vorschrift zur Gewinnung neuer Wurzeln verstehen. Lemma 1 (Die Weyl-Reflexion oder Konjugation). Seien α und β Wurzeln einer Lie- Algebra. Dann ist die Reflexion von β an der Hyperebene senkrecht zu α wieder eine Wurzel. Das Reflexionsgesetz lautet: σ α (β) := β 2β α β 2 (39) Bemerkung: Mit diesem Reflexionsgesetz haben die Wurzeln wieder Gruppenstruktur. Man nennt diese Gruppe die Weyl-Gruppe. Die geometrische Veranschaulichung für kleine Dimensionen erinnert an das Gram-Schmidt-Orthonormalisierungsverfahren. Beispiel SU(3) SU(3) ist eine Lie-Gruppe vom Rang 2. Also hat H zwei Elemente von insgesamt acht Generatoren. Die Generatoren T α := 1 2 λ α lauten in der kanonischen Darstellung (also nicht in der adjungierten): λ 1 = λ 5 = i i 0 0 λ 2 = 0 i 0 i 0 0 λ 6 = λ 4 = λ 7 = i 0 i 0 (40) 10

11 Und die beiden Elemente der Cartan-Unteralgebra: λ 3 = λ 2 = Diese Darstellung ist normiert, denn im Sinne der Notation der letzen Vorträge gilt hier: T a, T b = Spur(D(T a )D(T b )) = 1 2 δ ab. Und gilt wirklich λ 3, λ 8 H? Ja, denn [λ 3, λ 8 ] = = = Aus diesen Matrizen definiere ich analog zur SU(2) die Auf- und Absteigeoperatoren als Linearkombination der Elemente von E, also die erstgenannten sechs Generatoren. λ 1±i2 := λ 1 ± iλ 2 λ 4±i5 := λ 4 ± iλ 5 (41) λ 6±i7 := λ 6 ± iλ 7 Bestimmt ist das nicht die einzige Mglichkeit, die Generatoren zu berlagern, man kann sie bestimmt auch zyklisch vertauschen. Welche Eigenwertgleichungen haben wir jetzt zu lösen? Genau die, die zur adjungierten Darstellung führt: also für m = 1, 4, 6 und n = 2, 5, 7: ad H : V V v [H, v] (42) λ 3 λ m±in = (α) x λ m±in λ 8 λ m±in = (α) y λ m±in (43) Wobei eben z.b. λ 3 λ 1±i2 = [λ 3, λ 1±i2 ] (44) ist. Wenn man jetzt diese ganzen 3 3-Matrizen hinschreibt, geduldig ausrechnet und unterwegs kein Minus verliert, kann man folgende Kommutatorrelationen verifizieren: [λ 3, λ 1±i2 ] = ±2λ 1±i2 [λ 8, λ 1±i2 ] = 0 [λ 3, λ 4±i5 ] = ±λ 4±i5 [λ 8, λ 4±i5 ] = ± 3λ 4±i5 [λ 3, λ 6±i7 ] = λ 6±i7 [λ 8, λ 6±i7 ] = ± 3λ 6±i7 (45) 11

12 T α = 1 2 λ a und der Vergleich mit den Eigenwertgleichungen liefern dann für die sechs Wurzelvektoren, die hier zweidimensional sind (zwei Generatoren vertauschen): ( ) ±1 α 1±i2 = 0 ( ) ± 1 α 4±i5 = 2 (46) ( ) 1 α 6±i7 = 2 3 Was aufgetragen in einem Wurzeldiagramm ungefähr so ausieht: Zusammenfassung ± 1 2 Jeder dieser Vektoren spannt also einen eindimensionalen Unterraum auf, in dem sich einer der Leiteroperatoren befindet. Durch anwenden der Leiteroperatoren kann man von einem Ast zum anderen springen. Die beiden Generatoren der Cartan-Unteralgebra befinden sich auf der Null. Anwendung finden diese Wurzeldiagramme z.b. in der Teilchenphysik, um bestimmte Elementarteilchen miteinander in Verbindung zu bringen, Stichwort Baryonenoktett, Quarkzustände. (i) Mit den richtigen Skalarprodukten bildet die adjungierte Darstellung einer Lie- Gruppe eine SU(2)-Unteralgebra (ii) Aus der adjungierten Darstellung erhält man Wurzelvektoren, deren Einstellmöglichkeiten zueinander quantisiert sind (iii) Durch Anwendung der Leiteroperatoren kann man weitere Wurzeln erhalten (iv) Die Wurzelketten brechen oben und unten ab (v) Die Gemeinschaft aller Wurzeln einer adjungierten Darstellung einer Gruppe bildet wieder eine Gruppe, man nennt sie die Weyl-Gruppe. Die Gruppenverknüpfung ist die Weyl-Reflexion. (vi) Wurzeldiagramme finden ihre Anwendung z.b. in der Teilchenphysik Literatur (i) H.F. Jones, Groups, Representations and Physics, Adam Hilger, 1998 (ii) Vorlesung, Lie-Gruppen in der Physik, J. Baacke, WS 2004/

13 (iii) Robert N. Cahn, Semi-Simple Lie Algebras and Their Representation, (iv) Skript von J. Brödel 13