Einführung in die Graphentheorie (Mathematik IIIb)

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1 Einführung in die Graphentheorie (Mathematik IIIb) Peter Becker FH Bonn-Rhein-Sieg, FB Angewandte Informatik!" $# Vorlesung Wintersemester 2002/03 Allgemeines zur Vorlesung Es gibt eine Homepage zur Vorlesung: & ('*)) +++,-./" 0 & / &!1 0# )23,45)! 6 ) Die Vorlesung wird folienbasiert gehalten, aber die Folien enthalten nur die wichtigsten Aspekte (Definitionen, Sätze, knappe Beispiele, wichtige Bemerkung). Alles was sonst eine Vorlesung ausmacht (Erläuterungen, ausführliche Beispiele, Beweise von Sätzen, Anwendungen, Querverweise auf andere Gebiete der Informatik, etc.) gibt es nur in der Vorlesung selbst. Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 1

2 Die Folien zur Vorlesung (Skript) stehen auf der Homepage vor der Vorlesung zur Verfügung. Formate: PDF, ein- und mehrseitig Sie können also die ausgedruckten Folien mit in die Vorlesung bringen und dort mit schriftlichen Bemerkungen versehen. Benutzen Sie zum Drucken bitte die mehrseitige Version des Skriptes. Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 2 Übungen Übungen finden Montags verteilt auf drei Gruppen statt. Zuteilung zu den Übungsgruppen: siehe Aushang Erster Übungstermin: Montag, Die Ausgabe der Übungsblätter findet vor der Vorlesung statt. Bearbeitungszeit: 7 oder 14 Tage Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 3

3 Prüfung Im Rahmen der Prüfung für Mathematik III zusammen mit Mathematik IIIa Mit Bestehen der Prüfung erhalten Sie 8 Leistungspunkte für die Veranstaltung Mathematik III. Prüfungstermin: siehe Prüfungsplan Prüfungsform: schriftlich (Klausur) Hilfsmittel: Skript und Fachliteratur Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 4 Inhalt 1. Grundbegriffe und Bezeichungen 2. Durchsuchen von Graphen 3. Kreis- und Wegeprobleme 4. Bäume und Wälder 5. Planare Graphen und Färbungen 6. Flüsse und Matchings Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 5

4 Literatur D. Jungnickel, Graphen, Netzwerke und Algorithmen, Spektrum Akademischer Verlag, A. Brandstädt, Graphen und Algorithmen, Teubner, T. Ihringer, Diskrete Mathematik, Teubner, V. Turau, Algorithmische Graphentheorie, Addison-Wesley, R. Diestel, Graphentheorie, Springer, L. Volkmann, Graphen und Digraphen, Springer, F. Harary, Graphentheorie, Oldenbourg, Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 6 S. O. Krumke, H. Noltemeier, H.-C. Wirth, Graphentheoretische Konzepte und Algorithmen, ZIB Technischer Report 00-19, 2000, 7'8))9+++( 0:/7 0#; &)<;69 = )&69> 6; Weitere Verweise auf Online-Quellen finden Sie auf der Homepage der Vorlesung. Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 7

5 1 Einführung Grundbegriffe und Bezeichnungen Beispiele Darstellung von Graphen im Computern Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 8 Das Königsberger Brückenproblem Norden Neuer Pregel Pregel Insel Osten Alter Pregel Sueden Beispiel 1.1. [Euler, 1736] Gibt es einen Rundweg durch Königsberg, der jede der sieben Brücken genau einmal überquert? Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 9

6 Das Königsberger Brückenproblem (2) Die Abstraktion des Problems: Norden Insel Osten Süden Gibt es einen Rundweg, der jede Linie (Kante) genau einmal enthält? Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 10 Das Haus vom Nikolaus c b d a e Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 11

7 Labyrinth Finde einen Weg vom Start zum Ziel durch das Laby- Beispiel 1.2. rinth! Start Ziel Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 12 Repräsentation als Graph: Start Ziel Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 13

8 S T U V Beispielgraph Ein Graph besteht aus Knoten und Beispiel 1.3. Kanten. DRQ DFE DJI DHG DHK DNM DJL DPO XWZY\[]Y.^;Ỳ _ sind Knoten. Diese Knoten werden durch die Kanten a b bis ac miteinander verbunden Ein Graph symbolisiert die max. zweistelligen Beziehungen zwischen den Elementen einer Menge. Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 14 Graph Definition 1.1. Ein Graph (graph) dfe gfh Y0i]Ykjml ist ein Tripel bestehend aus: h, einer nicht leeren Menge von Knoten (vertices), ni, einer Menge von Kanten (edges) und oj, einer Inzidenzabbildung (incidence relation), mit jqp isrut vxwzyw { h Y~} ywzy ƒ Zwei Knoten WZY8[o h heißen adjazent (adjacent) gdw. a i p`j ĝ a l e v.wzy8[5ƒ. W h und a oi heißen inzident (incident) gdw. W Šj ĝ a l. Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 15

9 S T U V Beispielgraph (2) D Q DFE D I DHG DHK D M DJL D O h e v WZY8[]YŒ^Y3_;ƒ i e v a b Y až YŽ / / Y a c ƒ j e v ĝ a b Ŷ v WZY\[>ƒ*l.Y gxa Yxv WZY.^ƒ*l Y ĝ a3 Ŷ v.wzy3_;ƒ8l Y ĝ až Ŷ vx[]y.^ƒ*l Y ĝ a3 Ŷ vx[]y.^ƒ*l Y ĝ a Y0v$^;Ỳ _;ƒ*l Y ĝ a Ŷ v$^y3_;ƒ*l.y ĝ ac Ŷ v Wƒ*lkƒ Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 16 Endliche Graphen Definition 1.2. Ein Graph d e gfh Y0i]Ykjml heißt endlich (finite) gdw. die Knotenmenge h und die Kantenmenge i endlich sind. Bemerkung 1.1. Wir treffen folgende Vereinbarung: Im weiteren werden nur endliche Graphen betrachtet. Der Zusatz endlich wird dabei weggelassen. Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 17

10 Schlichte Graphen Definition 1.3. Eine Kante a ni heißt Schlinge (loop) gdw. a nur zu einem Knoten inzident ist. Zwei Kanten a b Y a heißen parallele Kanten (parallel edges) gdw. sie zu den selben Knoten inzident sind. Ein Graph heißt schlicht (simple) gdw. d keine Schlingen und keine parallelen Kanten enthält. Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 18 Beispiel 1.4. c Bemerkung 1.2. Ein schlichter Graph d e gfh Y0i l wird beschrieben durch eine Knotenmenge h und die Kantenmenge i, wobei i eine Menge zweielementiger Teilmengen von h ist, also is{ vkṽ Ŷ ššƒ*y Y š h Ỹ œ e šžƒ b a d e Wir betrachten im folgenden fast ausschließlich schlichte Graphen. h e v.wzy8[ÿy ^YŽ_ Y a ƒ i e v v WZY\[>ƒ.Ŷ v WZYŽ_;ƒ.Yxv WZY a ƒ.ŷ vˆ[ÿy ^ƒ.y vx[]yž_;ƒ.ŷ vx[]y a ƒ.ŷ v\^ỳ _ƒœŷ v _ Y a ƒkƒ Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 19

11 Diagramme Graphen können durch Diagramme veranschaulicht werden. p q r Der selbe Graph kann viele verschiedene Diagramme haben. t s q Beispiel 1.5. dfe gfh Ŷ i l mit h e v 1Y Ŷ Y Y\ `ƒ i e vkv Y/ ƒ.ŷ v Y ƒ.ŷ v 1Y\ `ƒœŷ v Y0 /ƒœy v~ Y ƒ.ŷ v~ Y\ `ƒœy0vk Y ƒ.ŷ v8 Y$ `ƒkƒ t p s q t r p s r Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 20 Knotengrade Definition 1.4. Zahl der zu inzidenten Kanten. Hierbei zählen Schlingen doppelt. Der Grad (degree) _ aª«g «l eines Knotens h ist die Der Maximalgrad g\d l eines Graphen d ist definiert durch g\d l e max v _ aª«g «lœy h ƒ Der Minimalgrad ± g$d l eines Graphen d ist definiert durch ± g$d l e min v _ aª«g «lœy h ƒ Ein Knoten ² h mit degg «l é ³ heißt isoliert. Ein Knoten ² h mit degg «l e } heißt Blatt. Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 21

12 Knotengrade (2) Jede Kante liefert genau zweimal einen Beitrag zu der Summe der Grade über alle Knoten. Lemma 1.1. [Handschlaglemma] Für jeden endlichen Graphen d e gfh Y0i]Ykjml gilt: µ _ aª«g «l e 5y¹i y 3 9 Korollar 1.2. In endlichen Graphen ist die Anzahl der Knoten mit ungeradem Grad gerade. Beweis. Andernfalls wäre die Summe der Grade ungerade; Wdsp. zum Handschlaglemma. º Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 22 Vollständiger Graph, Komplement Definition 1.5. Sei d e gfh Y0i l ein Graph. Gilt vf Y šžƒ1»i für alle Y š h Ỹ œ e š, dann heißt d vollständig (complete). Mit ¼¾½ wird der vollständige Graph mit Bemerkung 1.3. ¼ ½ hat À ½ Á e ½1ÂýŸÄbˆÅ Knoten bezeichnet. Kanten. Definition 1.6. Es sei d e g h Y0i l ein Graph. Dann heißt der Graph dæe g h Y i l mit i e v vf Y šžƒ*y Y š h Ỹ œ e ššƒ ÇÈi Komplementgraph (complementary graph) von d. Beispiel 1.6. Tafel. Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 23

13 Untergraph Definition 1.7. Sei d e gfh Y$i l ein Graph. Ein Graph É e g Ê YxËl mit Ê { h und ËÌ{Íi heißt Untergraph (subgraph) von G. Gilt Ê e h, dann heißt É aufspannender Untergraph (spanning subgraph) von d. Gilt Ë e v vf Y šžƒ*yvf Y šžƒÿ i-y Y š Ê ƒœy dann heißt É induzierter Untergraph (induced subgraph) von d. Für solch einen induzierten Untergraphen schreibt man auch d g Ê l. Beispiel 1.7. Tafel. Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 24 Wege und Kreise Definition 1.8. Es sei díe gfh Y0i l ein Graph. Eine Folge g Î/Y b Ỳ 3 Yk Ï l von Knoten mit ažð p e ṽ ÐPÄb Y Ð ƒñ i für ÒÓe }&Ŷ uy3 3 / Ŷ Ô heißt Kantenzug (walk). Gilt Î e Ï, so spricht man von einem geschlossenen Kantenzug (closed walk). Ein Kantenzug, bei dem die ažð alle verschieden sind heißt Weg (trail). Die Länge des Weges ist Ô. Ein Weg für den Î e Ï gilt heißt Kreis (closed trail). Ein Weg bzw. Kreis heißt einfach (path bzw. cycle) gdw. die Õ paarweise verschieden sind (bzw. mit Ausnahme von Î e Ï ). Beispiel 1.8. Tafel. Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 25

14 d Zusammenhang Definition 1.9. Es sei dfe g h Y0i l ein Graph. Zwei Knoten Y š h heißen verbindbar (connected) gdw. ein Weg von nach š existiert. heißt zusammenhängend (connected) gdw. je zwei Knoten von d verbindbar sind. Eine Zusammenhangskomponente (connected component) von d ein durch eine Knotenmenge Ö { h induzierter Untergraph d g Ö l, der zusammenhängend und bezüglich der Knotenzahl maximal ist. Beispiel 1.9. Tafel. ist Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 26 Zusammenhang (2) Lemma 1.3. Ein Graph dæe g h Ŷ i l ist genau dann zusammenhängend, wenn für jede disjunkte Zerlegung h é hmb;øùh mit hmb Y h eœ Ú ein Kante a e ṽ YxšŠƒ existiert mit hmb und š h. Beweis. Tafel. º Satz 1.4. Jeder zusammenhängende Graph d e g h Y0i l mit Ô Knoten hat mindestens Ô ÛÍ} Kanten. Beweis. Tafel. º Einführung in die Graphentheorie FH Bonn-Rhein-Sieg, WS 02/03 27