Übungsblatt 4. Aufgabe 1. IN8009 Algorithmen und Datenstrukturen Thomas Stibor

Transkript

1 Aufgabe 1 Zeigen Sie 2n 2 = O(n 3 ), n = Ω(lgn), n 2 /2 2n = Θ(n 2 ). Übungsblatt 4 Zu zeigen: 2n 2 = O(n 3 ). O(g(n)) = {f(n) : es existieren positive Konstanten c und n 0, sodass 0 f(n) cg(n) für alle n n 0 }. Es gilt für n 1: 0 2n 2 cn cn Für c = 2 und n 0 = 1 sind die Ungleichungen 0 2n 2 cn 3 erfüllt. Zu zeigen: n = Ω(lgn). Ω(g(n)) = {f(n) : es existieren positive Konstanten c und n 0, sodass 0 cg(n) f(n) für alle n n 0 }. Wir müssen also zeigen: 0 c lgn n. Es gilt (vergl. Seite 57, (3.11)), Hieraus erhält man e x = 1+x+ x2 2! + x3 3! + und für x 1 somit ex 1+x+ x2 2. e 2 n 1+2 n+ (2 n) 2 2 n für alle n 1 und somit 2 n lgn 1 2 lgn n für alle n 1. Für c = 1/2 und n 0 = 1 sind die Ungleichungen 0 c lgn n erfüllt. 1

2 Zu zeigen: n 2 /2 2n = Θ(n 2 ). Θ(g(n)) = {f(n) : es existieren positive Konstanten c 1,c 2 und n 0, Wir müssen also zeigen: 0 c 1 n 2 n 2 /2 2n c 2 n 2. Wir betrachten ersten den linen Teil der Ungleichung. sodass 0 c 1 g(n) f(n) c 2 g(n) für alle n n 0 }. c 1 n 2 n2 2 2n c n. Für c 1 = 1 4 und n 0 = 8 ist die Ungleichung erfüllt. Nun betrachten wir den rechten Teil der Ungleichung. n 2 2 2n c 2n n c 2. Für c 2 = 1 2 und n 0 = 8 ist die Ungleichung erfüllt. Somit erfüllt c 1 = 1/4,c 2 = 1/2 und n 0 = 8 die Ungleichungen 0 c 1 n 2 n 2 /2 2n c 2 n 2. Aufgabe 2 Gegeben sei ein Feld A der Länge n, das wie folgt initialisiert ist A[1] = 1,A[2] = 2,...,A[n] = n. In der Pseudocode Sprache sind zwei Algorithmen abgebildet die eine Permutation des Feldes A erzeugen. Geben Sie die Laufzeit beider Algorithmen mit Hilfe der O-Notation an. Implementieren Sie beide Algorithmen in einer Programmiersprache ihrer Wahl (vorzugsweise C). Vergleichen Sie empirisch die Laufzeit beider Algorithmen, indem Sie für wachsende Eingaben n = 10 3, , 10 4, , 10 5, , 10 6 die Laufzeit bestimmen und graphisch bzw. tabellarisch darstellen. Vergleichen Sie die empirischen Laufzeiten mit den Laufzeiten der O-Notation. Hinweis: Die Funtion RANDOM(a,b) erzeugt eine ganze Zufallszahl zwischen a und b (d.h. RANDOM(a,b) R {a,a+1,a+2,...,b}). PERMUTE1(A) 1 n = länge[a] 2 for i = 1 to n 3 for j = 1 to n 4 if RANDOM(0,1) == 1 5 tausche A[i] A[j] 6 return A PERMUTE2(A) 1 n = länge[a] 2 for i = 1 to n 3 tausche A[i] A[RANDOM(i, n)] 4 return A 2

3 Wir nehmen an, dass die Anweisungen: tausche A[i] A[j] und RANDOM(, ) O(1) Zeit benötigen. Algorithmus PERMUTE1: Die Anweisungen (Zeile 4 5) in der inneren For-Schleife (Zeile 3) werden durch die äußere For-Schleife (Zeile 2), n+n+...+n }{{} = O(n 2 ) n mal mal aufgerufen. Algorithmus PERMUTE2: Die Anweisung (Zeile 3) wird in der For-Schleife mal aufgerufen }{{} = O(n) n mal n PERMUTE PERMUTE Tabelle 1: Laufzeitenvergleich der Algorithmen PERMUTE1 und PERMUTE2 für wachsende Eingabegröße n. Die Einheit der Laufzeit ist Seunden. Runtime of permute1 Runtime of permute2 Scaled execution time 0e+00 2e+08 4e+08 6e+08 8e+08 1e+09 Empirical Theoretical Scaled execution time Empirical Theoretical 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05 1e+06 0e+00 2e+05 4e+05 6e+05 8e+05 1e+06 Array length n Array length n (a) Vergleich der empirischen und theoretischen Laufzeit von PERMUTE1. (b) Vergleich der empirischen und theoretischen Laufzeit von PERMUTE2. 3

4 Aufgabe 3 Gilt 2 n+1 = O(2 n )? Gilt 2 2n = O(2 n )? 1. Um zu zeigen, dass 2 n+1 = O(2 n ), müssen wir Konstanten c,n 0 > 0 finden, sodass 0 2 n+1 c2 n für alle n n 0, gilt. Eine simple Zerlegung von 2 n+1 = 2 2 n ergibt die Konstanten c = 2 und n 0 = Angenommen 2 2n = O(2 n ), dann gibt es Konstanten c,n 0 > 0, sodass Durch Umformung erhählt man 0 2 2n c2 n für alle n n 0, gilt. 2 2n = 2 n 2 n c2 n 2 n c. Das ist jedoch ein Widerspruch zur der Annahme 2 2n = O(2 n ), weil eine Konstante c jemals größer ist als alle 2 n. Folglich ist 2 2n O(2 n ). Aufgabe 4 (Zusatz) Zeigen Sie die Aussage aus Übungsblatt 3 Aufgabe 2 mit einem anderen Beweis als in der Übungsblatt 3. Es gilt: +1 = ( ) n + 1 Indutionsanfang (n = 0): Wie in Übungsblatt 3 gezeigt, enthält die Potenzmenge der leeren Menge genau ein Element, nämlich die leere Menge. 0 ( ) 0 = 1 = 2 0 Indutionsvoraussetzung (IV): S ( ) S P(S) = = 2 S für alle Mengen S mit S n 4

5 Indutionsschritt (n n+1): ( ) +1 n+1 +1 = + 0 =1 = =1 =1 = + 1 =1 ( ) n = + + n+1 1 =1 = =1 = IV 2 n + 1 =1 = 2 n + = IV 2 n +2 n = 2 2 n = 2 n+1 5