Protokolle der Quantenkryptographie und Quantenteleportation

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1 Quantenkryptographie und Quantenteleportation Benjamin Gänger Fachbereich Physik, Technische Universität Kaiserslautern (Hauptseminarvortrag vom 3. November 010) Zusammenfassung: Zunächst werden einige quantenmechanische Grundlagen wiederholt und später benötigte Methoden vorgestellt. Im ersten Hauptteil werden die Grundzüge der Quantenkryptographie anhand des BB84-Protokolls erläutert, sowie die experimentelle Realisierung und Weiterentwicklungen dieses Protokolls besprochen. Im zweiten Hauptteil wird auf die Grundprinzipien der Quantenteleportation, sowie deren experimentelle Anwendung eingegangen. EINLEITUNG Motivation Es existieren mehrere als sicher geltende Algorithmen zur Verschlüsselung elektronischer Daten. Die Sicherheit dieser Algorithmen wird dabei durch die begrenzte Rechenleistung heutiger Computer gewährleistet, wie z. B. dem Problem der Primfaktorzerlegung groÿer Zahlen beim RSA-Algorithmus nach Rivest et. al. [1]. Durch die Entwicklung von Quantencomputern können klassische Verschlüsselungsmethoden auf absehbare Zeit nicht mehr als sicher angesehen werden. Der Shor- Algorithmus löst beispielsweise Faktorisierungsprobleme in polynomialer Laufzeit []. Eine Möglichkeit das Problem unbegrenzter Rechenkapazität zu lösen ist das One-Time-Pad nach Vernam [3]. Hier wird für jede verschlüsselte Nachricht ein einmaliger Schlüssel in der Länge der Nachricht verwendet. Lediglich die Länge der Nachricht ist für einen möglichen Angreifer sichtbar, da ohne den korrekten Schlüssel alle Nachrichten mit gleicher Länge als Entschlüsselung möglich wären. Dieses absolut sichere Verschlüsslungsverfahren hat jedoch den Nachteil, dass enorme Mengen Schlüsselmaterial zwischen den beteiligten Kommunikationspartnern ausgtauscht werden müssen. Dieses Problem ist klassisch nicht sinnvoll realisierbar. Im Folgenden soll gezeigt werden, wie eine auf quantenmechanischen Gesetzmäÿigkeiten basierende, sichere Kommunikation mit Hilfe der Quantenkryptographie, besser gesagt dem Quantenschlüsselaustausch (QKD für engl. Quantum-Key-Distribution) möglich wird. Quantenmechanische Grundlagen In den folgenden Abschnitten werden die für die einzelnen Protokolle der Quantenkryptographie und Quantenteleportation notwendigen quantenmechanischen Grundlagen wiederholt. Quantenmechanischer Strahlteiler Der quantenmechanische Strahlteiler ( für engl. Beam-Splitter) unterscheidet sich vom klassischen Strahlteiler dadurch, dass bei der formalen Betrachtung alle möglichen Ein- und Ausgänge des Strahlteilers - bei Nichtbesetzung durch den Vakuumzustand - einbezogen werden müssen, da sonst die quantenmechanischen Kommutatorrelationen verletzt werden. In Abb. 1 â 0 â 1 â 3 Abbildung 1: Quantenmechanischer Strahlteiler bezeichnen â 0, â 1 die Eingangszustände und â, â 3 die Ausgangszustände des Strahlteilers. In Erzeugerschreibweise ergibt sich dann am Beispiel eines 50:50 Strahlteilers, mit Phasensprung exp (±i π ) = ±i bei Reexion: â 0 = 1 (â + iâ 3 ) bzw. â 1 = 1 (iâ + â 3 ). Für nur ein Photon am Eingang 1 (â = ) ergibt sich für einen 50:50 Strahlteiler erwartungsgemäÿ der zu gleichen Teilen überlagerte Ausgangszustand 1 (i ). Überraschender ist hier das Resultat des Hong-Ou-Mandel-Eekts [5], bei dem an beiden Eingängen jeweils ein Photon in den Strahlteiler eintritt (â 0â = ). Durch Einsetzen der i Erzeugeroperatoren folgt sofort ( ) für den Ausgangszustand. Das bedeutet, es können nur simultane Ereignisse an einem Detektor gemessen werden. Dies lässt sich durch Einzelphotonen-Interferenz erklären, bei der sich die Zustände mit einem Photon je Detektor destruktiv überlagern. â Einzelphotonenerzeugung Zur Erzeugung von einzelnen Photonen eignet sich beispielsweise ein Kalzium-Atomstrahl, der über einen Laser eine Anregung in einen s-zustand erfährt. Von dort geht das Atom über einen p-zustand in den Grundzustand zurück und emittiert dabei ein Photon mit Frequenz ν 1 und ein Photon mit ν. Auf Grund der Impulserhaltung und der kurzen Zeitskala zwischen den Übergängen erfolgt die Emission der beiden Photonen in entgegengesetzter Richtung. Das zweite Photon kann dabei als Signal verwendet werden, dass das Messphoton emitiert wurde.

2 Verschränkte Photonenpaare Das Prinzip verschränkter Photonen basiert auf dem EPR-Paradoxon nach [6, 7]. Mathematisch lassen sich solche Photonenpaare durch die vier maximal verschränkten Bell-Zustände darstellen: Ψ ± 1 = 1 ( ± ) (1) bzw. Φ ± 1 = 1 ( ± ) () erzeugt Qubits sendet an Bob Quantenkanal misst in Basis oder +, In Referenz [4] wird gezeigt, dass sich verschränkte Photonenpaare beispielsweise mit Hilfe eines β-bariumborat- Kristalls durch sogenannte parametric down-conversion (type II) erzeugen lassen. Das no-cloning Theorem Theorem. Es ist nicht möglich ein Quantensystem zu erstellen, das jedes beliebige Qubit perfekt auf ein anderes Qubit kopiert, ohne dabei das ursprüngliche zu verändern. Beweis. Annahme: Für einen beliebigen quantenmechanischen Zustand χ existieren Operationen M 0, M 1 mit M 0 0 χ = 0 0 und M 1 0 χ = 1 1, so dass für einen allgemeinen Zustand α 0 + β 1 folgt: M (α 0 + β 1 ) χ =αm 0 0 χ + βm 1 1 χ =α β 1 1 (α 0 + β 1 ) (α 0 + β 1 ) Dies ist ein Widerspruch zur Annahme. Genauere Betrachtungen ergeben, dass es nur möglich ist zueinander orthogonale Zustände zu kopieren [8]. QUANTENKRYPTOGRAPHIE Quantenkryptographie basiert im Allgemeinen auf zwei voneinander getrennten Kanälen. Der öentliche, klassische Kanal (z. B. , Telefon, etc.) dient der Kommunikation zwischen Alice (Gesprächspartner 1) und Bob (Gesprächspartner ). Dieser klassische Kanal kann von Eve (potentieller Angreifer) abgehört werden, wird aber als nicht manipulierbar vorausgesetzt. Der Quantenkanal dient zum Schlüsselaustausch zwischen Alice und Bob. Der Quantenkanal ist abhörsicher, da Manipulationen direkt erkannt werden können. BB84-Protokoll Das erste Protokoll zum quantenmechanischen Schlüsselaustausch nach Bennett und Brassard [9] basiert auf der Wahl nicht-orthogonaler Zustände, die nach nocloning Theorem nicht kopierbar sind: Basis 1 ( ): Basis ( ): Ψ 0 = 0, = 1 Ψ + = 1 ( ), Ψ = 1 ( 0 1 ) Abbildung : Veranschaulichung des BB84-Protokolls Abbildung und Tabelle I veranschaulichen den Ablauf des BB84-Protokolls. Zunächst wählt Alice absolut zufällig und unabhängig von Bob eine Basis, in der sie ein ebenfalls zufälliges Photon im Zustand 0 oder 1 sendet (die Zustände können z. B. durch Wahl der Polarisationsrichtung eingestellt werden). Bob wählt zufällig und unabhängig von Alice eine Basis und misst in dieser das ankommende Photon. Über den klassichen Kanal kommunizieren Alice und Bob nun nachträglich, ob sie in der gleichen Basis gemessen haben. Ist dies der Fall, so wird das erhaltene Bit für den Schlüssel verwendet, ansonsten verworfen. Im Falle eines Angris auf den Schlüsselaustausch durch Eve hat diese lediglich die Möglichkeit, das gesendete Photon von Alice direkt abzufangen, zu messen und an Bob weiterzuleiten. Ein Kopieren des Zustandes und nachträgliches Messen des übermittelten Zustands ist nach dem no-cloning Theorem nicht möglich. Da Eve keine Information hat, in welchen Basen Alice und Bob senden bzw. messen, kann sie bestenfalls mit einer 50%igen Wahrscheinlichkeit eine Basis raten. Wählt sie die falsche Basis, erzeugt sie ein zufälliges Ereignis, da durch die Messung der Zustand der eigentlichen Basis je mit gleicher Wahrscheinlichkeit auf einen Zustand der anderen Basis projiziert wird. Das an Bob weitergeleitete Photon entspricht nicht mehr dem von Alice erzeugten Zustand. Alice und Bob können durch Paritätsbildung von Schlüsseluntermengen überprüfen, ob während der Übertragung ein Eingri auf den Quantenkanal stattgefunden hat. Ist dies der Fall, wird der Schlüssel verworfen und die Schlüsselerzeugung beginnt erneut. Tabelle I: Schema des BB84-Protokolls nach [10] A Basis A Bit Wert A gesendet B Basis B Bit Basis gleich X X A&B teilen Test OK OK Schlüssel 0 1

3 3 Experimentelle Realisierung des BB84-Protokolls Das oben beschriebene Protokoll wurde erstmals nach Bennett et. al. [10] realisiert. Alice, Bob und Eve werden über voneinander unabhängige Computersysteme simuliert. Als Photonenquelle dient eine grüne LED. Durch eine optischen Aufbau wird die Intensität so stark verringert, dass sich pro Puls durchschnittlich 0,1 Photonen im Strahlengang benden. Alice stellt mittels zweier Pockels-Zellen einen der vier möglichen Polarisationszustände ein. Der Quantenkanal besteht hier aus 3 cm Luft. Bob kann nach der Übertragungsstrecke mittels einer Pockel-Zelle seine Messbasis wählen und über ein Wollaston Prisma die Polarisationsrichtung selektieren. Eine Kontrolleinheit synchronisiert Alice und Bob und gibt ein Zeitfenster von zwischen Abstrahlung eines Pulses und Detektion eines Zustandes vor. Dadurch werden Dunkel-Messungen vermieden. Mit diesem ersten Prototypen wird ca. jeder 400. Puls korrekt übertragen. Für das gesamte Experiment ergibt dies bei erzeugten Pulsen.000 Pulse, die bei Bob in der korrekten Basis ankommen. Durch Prüfen, ob ein potentieller Angreifer mitgehört hat, reduziert sich der Schlüssel auf 1379 Bit. Der Aufwand zur Erzeugung eines Quantenschlüssels ist also enorm. Eine Analyse zeigt jedoch, dass Eve von diesen 1379 Bit Schlüsselmaterial lediglich 10 6 Bit kennt [10]. Bei korrekter Durchführung liefert das BB84-Protokoll also einen absolut sicheren Schlüssel, der zur Verschlüsslung mittels One-Time-Pad verwendet werden kann. Es ist wichtig, dass die Anzahl der Photonen pro Puls nicht gröÿer als eins wird. Dies ist notwendig, um zu verhindern, dass mehrer Photonen mit der gleichen Information im Kanal sind. Angenommen es wären zwei identische Photonen im Quantenkanal, so könnte Eve eines der Photonen (z. B. mittels halbdurchlässigen Spiegel) auskoppeln und zwischenspeichern, bis Alice und Bob ihre Messbasen über den oenen Kanal ausgetauscht haben. Mit Hilfe dieser Information könnte Eve nachträglich in der korrekten Basis messen und somit den exakten Zustand des Photons bestimmen. Fehler bei der Übertragung erfolgen hier beispielsweise durch Dark-Counts, also Photoneneinfang am Detektor, obwohl kein Photon als Signal vorliegt. Die experimentellen Apparaturen sind sehr sensibel und stellen eine groÿe Fehlerquelle dar. Abhängig vom Typ des Detektors sind Angrie auf den Schlüsselaustausch möglich [11, 1]. Das Protokoll an sich gilt jedoch als sicher. erzeugt Qubits sendet an Bob Quantenkanal misst in Basis oder +, Abbildung 3: Veranschaulichung des B9-Protokolls Bob in der Basis, für a = 1 in der Basis. Für den Fall, dass Bob bei seiner Messung eine Eins misst, stellen a und a den Schlüsselraum dar. Dies ist nur der Fall für a = 0 und a = 1 a oder umgekehrt. Über den klassischen Kanal wird hier nur das Ergebniss der Messung von Bob ausgetauscht. Zur Überprüfung der Sicherheit des Schlüsselaustausches kann analog zum BB84-Protokoll ein Teil des Schlüsselraumes verglichen werden. Da die Zustände nicht orthogonal sind, ist die Sicherheit des Protokolls trotz geringerer Anzahl an Sendezuständen gewahrt. Ekert-Protokoll Das Protokoll nach Ekert [8, 14] basiert auf verschränkten Photonenpaaren. Das Protokoll ist in Abb. 4 dargestellt. Von einer EPR-Quelle wird der Zustand Ψ = 1 ( 0 A 0 B + 1 A 1 B ) erzeugt. Je ein Photon wird dann an Alice und Bob gesendet. Beide können über einen Phasenschifter (PS) und einen polarisationsabhängigen Strahlteiler (P) ihre Messbasen unabhängig voneinander festlegen und ihr Photon ausmessen. Messen Alice und Bob in der selben Basis, so weiÿ beispielsweise Alice beim Detektieren des Zustandes 0 A sofort, dass auch Bob den Zustand 0 B gemessen hat und sie somit die selbe Information besitzen. Im Gegensatz zu den Protokollen nach Bennett und Brassard entfällt bei diesem Verfahren die zufällige Wahl der Sendebasis. EPR-Quelle PS P B9-Protokoll Eine Vereinfachung des oben beschriebenen Protokolls ergibt sich nach Bennett [13] durch die Verwendung von zwei statt vier Sendezuständen. Der Ablauf des Protokolls ist in Abbildung 3 schematisch dargestellt. Zunächst erzeugt Alice ein zufälliges Bit a. Der Bitwert 0 lässt sich in der Basis durch Ψ 0 = 0, der Wert 1 in der Basis durch Ψ + = 1 ( ) darstellen. Bob erzeugt ebenfalls ein zufälliges Bit a. Für a = 0 misst PS P Abbildung 4: Veranschaulichung des Ekert-Protokolls

4 4 QUANTENTELEPORTATION Ein weiteres Anwendungsgebiet der Quantenoptik ist die Quantenteleportation. Diese darf nicht mit dem sogenannten Beamen populärer Science Fiction Literatur gleichgesetzt werden. Überlichtschneller Transport von Information oder allgemein das Teleportieren von Materie sind physikalisch nicht möglich. Mit Hilfe der Quantenteleportation lassen sich nur Quantenzustände übertragen. Dieses Verfahren kann z. B. für die Übertragung von Qubits in Quantencomputern Anwendung nden. Protokoll nach Bennett et. al. Das erste Protokoll zur Quantenteleportation nach Bennett et. al. [15] beschreibt den Transport eines beliebigen, unbekannten quantenmechanischen Zustands, z. B. mittels Photonen oder Spin- 1 -Teilchen. Das Protokoll nutzt dabei ein verschränktes Photonenpaar, um den zu teleportierenden Zustand zu "verpacken". Dieses Verfahren basiert auf den Bell-Zuständen nach den Gln. (1) und (). Das Protokoll ist in Abb. 5 ver- EPR-Quelle Abbildung 5: Prinzip der Quantenteleportation nach [16] anschaulicht. Der zu teleportierende Zustand wird allgemein durch = α β 1 1 (mit α + β = 1) dargestellt. Dieser ist für Alice und Bob unbekannt. Von einer EPR-Quelle wird der verschränkte Hilfszustand Ψ 3 = 1 ( 0 1 ) erzeugt, wobei zu Alice und 3 zu Bob gesendet wird. Mit Hilfe einer Bell-Zustandsmessung durch Alice ergibt sich folgender Gesamtzustand für das System: 3 = Ψ 3 = (α β 1 1 ) 1 ( 0 1 ) = 1 [ Ψ 1 ( α β ) + Ψ + 1 ( α + β ) + Φ 1 (α + β ) + Φ + 1 (α β )] (3) Bei der Messung erhält Alice einen der Bellschen Zustände (Gln. (1), ()), wobei nur Ψ 1 verwertbar ist, da dies der einzige vollständig antisymmetrische Zustand unter Teilchenaustausch ist und somit als einziger eindeutig bestimmt werden kann. Durch die Bell- Zustandsmessung wird 3 in einen eindeutigen Zustand projiziert (Gl. (3)). Der Zustand wird bei der Messung zerstört. Alice teilt Bob über den klassischen Kanal mit, welche Bell-Basis sie erhalten hat. Bob kann mittels einer unitären Transformation sein Teilchen Ψ 3 in den teleportierten Zustand von überführen. Für Ψ 1 ergibt sich bis auf das Vorzeichen exakt der zu teleportierende Zustand. auslesen. In Abb. 7 a) ist das theoretisch zu erwartende Messergebnis für +45 Polarisierung von dargestellt. Aufgetragen sind dreifach-koinzidenzen für simultane Ereignisse an den Detektoren D 1, D (Bell-Basis Ψ 3 ) und D 3 (reektierter Anteil bei Bob) in Abhängigkeit des Laufzeitunterschiedes der beiden Strahlengänge von und Ψ in µm. Grau eingezeichnet ist der Be- D 1 D Experimentelle Realisierung nach Zeilinger et. al. Durch Zeilinger et. al. wurde dieses Protokoll 1997 experimentell realisiert [16]. Das Schema ist in Abb. 6 dargestellt. Alice erzeugt mit Hilfe eines β-bariumborat Kristalls (BBO) ein verschränktes Photonenpaar Ψ, Ψ 3. Ein Teil des Strahls durchdringt den Kristall und wird an einem Spiegel zurück in den Kristall reektiert. Dabei wird der zu teleportierende Zustand erzeugt. Das zusätzlich ausgesandte Photon dient an Detektor D 0 als Signal, dass ein Zustand zur Teleportation vorliegt. und Ψ werden durch die Zustandsmessung am Strahlteiler () überlagert. Bob kann den Zustand des verschränkten Photons Ψ 3 an seinem Strahlteiler Ψ D 0 BBO D 3 Ψ 3 D 4 Abbildung 6: Experimentelle Quantenteleportation nach [16]

5 5 (a) (b) Abbildung 7: Theoretische Erwartungen (a) und experimentelle Ergebnisse (b) für 45 Polarisierung aus [16] reich, in dem eine korrekte Quantenteleportation möglich ist. Der Laufzeitunterschied muss möglichst gering sein, um im Strahlteiler von Alice eine Bell-Zustandsmessung durchführen zu können. Abbildung 7 b) zeigt die experimentellen Ergebnisse, wobei hier vierfach-koinzidenzen gegen den Laufzeitunterschied aufgetragen sind. Zusätzlich wird hier noch das Referenzsignal an D 0 mitbetrachtet. Bei einer experimentellen Durchführung der Gruppe Zeilinger im Jahr 007 konnten so Quantenzustände über eine Distanz von 144 km von der Insel La Palma auf die Insel Teneria teleportiert werden [17]. SCHLUSSBETRACHTUNG Die hier dargestellten Protokolle zur Quantenkryptographie und Quantenteleportation zeigen eine experimentelle Anwendung der quantenmechanischen Gesetzmäÿigkeiten im Rahmen der Quantenoptik. Mit Hilfe der dargestellten Protokolle ergibt sich die Möglichkeit, auf absehbare Zeit eine abhörsichere Kommunikation, auch über gröÿere Distanzen durchzuführen. Adresse: gaenger@physik.uni-kl.de [1] R. Rivest, A. Shamir, and L. Adleman. A Method for Obtaining Digital Signatures and Public-Key Cryptosystems. Communications of the ACM, 1:1016, [] P. Shor. Polynomial time algorithms for prime factorization and discrete logarithms on a quantum computer. SIAM J. Sci. Statist. Comput., 6: , [3] G. Vernam. Secret signaling system. American Telephone and Telegraph Company,. Juli U.S. Patent # 1,310,719. [4] C. Gerry and P. Knight. Introductory Quantum Optics. Cambridge University Press, 004. [5] C. K. Hong, Z. Y. Ou, and L. Mandel. Measurement of subpicosecond time intervals between two photons by interference. Phys. Rev. Lett., 59:044046, [6] A. Einstein, B. Podolsky, and N. Rosen. Can Quantum- Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete? Phys. Rev., 47(10):777780, [7] A. Jurenkow. Verschränkte Photonen und Bellsche Ungleichung Vortrag im Rahmen des physikalischen Hauptseminars I - Experimentelle Quantenoptik der TU Kaiserslautern. [8] D. Bouwmeester, A. Ekert, and A. Zeilinger. The Physics of Quantum Information. Springer-Verlag, 000. [9] C. H. Bennett and Brassard. Quantum Cryptography: Public Key Distribution and Coin Tossing. In Proceedings of IEEE International Conference on Computers Systems and Signal Processing, Bangalore India, pages , [10] C. H. Bennett, F. Bessette, G. Brassard, L. Salvail, and J. Smolin. Experimental Quantum Cryptography. J. Cryptol., 5:38, 199. [11] T. Kim, I. Stork, F. N. C. Wong, and J. H. Shapiro. Complete physical simulation of the entangeling-probe attac on the Bennett-Brassard 1984 protocol. Phys. Rev. Lett., 75:437437, 007. [1] L. Lydersen, C. Wiechers, C. Wittmann, D. Elser, J. Skaar, and V. Makarov. Hacking commercial quantum cryptography systems by tailored bright illumination. Nature Photonics, 4:686689, 010. [13] C. H. Bennett. Quantum Cryptography Using Any Two Nonorthogonal States. Phys. Rev. Lett., 68:311314, [14] A. K. Ekert. Quantum Cryptography Based on Bell's Theorem. Phys. Rev. Lett., 67:661663, [15] C. H. Bennett, G. Brassard, C. Crépeau, R. Jozsa, A. Peres, and W. K. Wootters. Teleporting an Unknowen Quantum State via Dual Classical and Einstein-Podolsky-Rosen Channels. Phys. Rev. Lett., 70: , [16] D. Bouwmeester, J.-W. Pan, K. Mattle, N. Eibl, H. Weinfurter, and A. Zeilinger. Experimental quantum teleportation. Nature, 390:575579, [17] R. Ursin, F. Tiefenbacher, H.Scheidl T. Schmitt- Manderbach, T. Weier, M. Lindenthal, B. Blauensteiner, T. Jennewein, J. Perdigues, P. Trojek, B. Ömer, M. Fürst, M. Meyenburg, J. Rarity, Z. Sodnik, C. Barbieri, H. Weinfurter, and A. Zeilinger. Free-Space distribution of entanglement and single photons over 144 km. Nature Phys., 3:481486, 007.