Algorithmen für Geographische Informationssysteme

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1 Algorithmen für Geographische Informationssysteme 3. Vorlesung: 29. April 205 Thomas van Dijk basiert auf Folien von Jan-Henrik Haunert

2 Map Matching Problemformulierung Gegeben: Das Straßennetz als planar eingebetteter Graph G = V, E Die GPS-Trajektorie als Folge P = p, p 2,, p n von Punkten Gesucht: Weg in G, der minimale Distanz zu P hat. Map Matching

3 Hausdorff-Distanz d hdorff P, P 2 = max d hdorff P, P 2, d hdorff P 2, P mit und d hdorff P, P 2 = max d p, P 2 p P d p, P 2 = min d p, p 2 p 2 P 2 P d hdorff P, P 2 P 2

4 Fréchet-Distanz Herrchen läuft entlang P ohne jemals umzukehren. Hund läuft entlang P 2 ohne jemals umzukehren. Herrchen und Hund sind über Hundeleine verbunden. Wie lang ist die Hundeleine mindestens? P 2 P

5 Fréchet-Distanz Definition: d fréchet = min α: 0, 0,m β: 0, 0,n max t 0, d p α t, p 2 β t wobei α und β monoton wachsende und stetige Funktionen sind und α 0 = β 0 =, α = m, β = n. P 2 P

6 Fréchet-Distanz Berechnung: Löse Entscheidungsproblem: Ist d fréchet ε? dann parametrische Suche... P 2 P

7 Fréchet-Distanz Ist d fréchet ε? Spezialfall: P p 0.6 P 2 p ε

8 Fréchet-Distanz Ist d fréchet ε? Spezialfall: P p 0.6 Zuordnung 0.6,0.75 ist zulässig! P 2 p ε

9 Fréchet-Distanz Ist d fréchet ε? Spezialfall: P Zuordnung 0.,0.9 ist nicht zulässig! P 2 p ε p 0.

10 Fréchet-Distanz Ist d fréchet ε? Spezialfall: P P P 2 ε P 2

11 Fréchet-Distanz Ist d fréchet ε? Spezialfall: P Zuordnung 0.6,0.75 ist zulässig! P P 2 ε P 2

12 Fréchet-Distanz Ist d fréchet ε? Spezialfall: P Zuordnung 0.6,0.75 ist zulässig! Zuordnung 0.,0.9 ist nicht zulässig! P P 2 ε P 2

13 Fréchet-Distanz Ist d fréchet ε? Spezialfall: P F ε = s, t 0, 2 d p s, p 2 t ε Freiraum hat die Form einer Ellipse! Zuordnung 0.6,0.75 ist zulässig! Zuordnung 0.,0.9 ist nicht zulässig! P P 2 F ε ε P 2

14 Fréchet-Distanz Freiraum F ε = s, t 0, 2 d p s, p 2 t ε hat die Form einer Ellipse! d fréchet ε Es gibt einen Pfad von 0,0 nach, im inneren von F ε, der in beide Richtungen monoton ist. P F ε P 2

15 Fréchet-Distanz Freiraum F ε = s, t 0, 2 d p s, p 2 t ε hat die Form einer Ellipse! d fréchet ε Es gibt einen Pfad von 0,0 nach, im inneren von F ε, der in beide Richtungen monoton ist. P F ε P 2 Hier gibt es ihn nicht, da 0,0 F ε!

16 Fréchet-Distanz Freiraum F ε = s, t 0, 2 d p s, p 2 t ε hat die Form einer Ellipse! d fréchet ε Es gibt einen Pfad von 0,0 nach, im inneren von F ε, der in beide Richtungen monoton ist. P F ε P 2 Für größeres ε gibt es einen Pfad!

17 Fréchet-Distanz Freiraum F ε = s, t 0, m 0, n d p s, p 2 t ε P 2 d fréchet ε Es gibt einen Pfad von 0,0 nach m, n im inneren von F ε, der in beide Richtungen monoton ist. P 2 ε P P

18 Fréchet-Distanz Freiraum F ε = s, t 0, m 0, n d p s, p 2 t ε P 2 d fréchet ε Es gibt einen Pfad von 0,0 nach m, n im inneren von F ε, der in beide Richtungen monoton ist. P 2 ε P F ε kann in O mn Zeit berechnet werden. P

19 Fréchet-Distanz Freiraum F ε = s, t 0, m 0, n d p s, p 2 t ε P 2 d fréchet ε Es gibt einen Pfad von 0,0 nach m, n im inneren von F ε, der in beide Richtungen monoton ist. P 2 ε P F ε kann in O mn Zeit berechnet werden. Finde zulässigen Pfad in F ε. P

20 Fréchet-Distanz Kanten einer Freiraumzelle: B F i,j, B F i,j+, L F i,j, L F i+,j R L i,j R B i,j+ R L i+,j Teile dieser Kanten, die von (0,0) aus erreichbar sind: B R i,j, B R i,j+, L R i,j, L R i+,j B R i,j = B R i,j, L R i,j bekannt R R B i,j+, L i+,j

21 Algorithmus Fréchet-Distanz

22 Fréchet-Distanz Berechnung: Löse Entscheidungsproblem: Ist d fréchet ε? P 2 P

23 Fréchet-Distanz Berechnung: Löse Entscheidungsproblem: Ist d fréchet ε? dann parametrische Suche... O mn log mn Zeit (hier ohne Details) P 2 P

24 Map Matching Problemformulierung Gegeben: Das Straßennetz als planar eingebetteter Graph G = V, E Die GPS-Trajektorie als Folge P = p, p 2,, p n von Punkten Gesucht: Weg in G, der minimale Distanz zu P hat. Map Matching

25 Map Matching Problemformulierung Gegeben: Das Straßennetz als planar eingebetteter Graph G = V, E Die GPS-Trajektorie als Folge P = p, p 2,, p n von Punkten Gesucht: Weg in G, der minimale Fréchet-Distanz zu P hat. Map Matching

26 Map Matching Entscheidungsproblem Gegeben: Das Straßennetz als planar eingebetteter Graph G = V, E Die GPS-Trajektorie als Folge P = p, p 2,, p n von Punkten Zulässige Distanz ε Gibt es einen Weg in G, dessen Fréchet-Distanz zu P kleiner ist als ε? Map Matching

27 Map Matching Entscheidungsproblem Freiraumdiagramm für zwei Polygonzüge P 2 P

28 Map Matching Entscheidungsproblem Freiraumdiagramm für zwei Polygonzüge P 2 Idee: Freiraumdiagramm für Polygonzug und Graph P

29 Map Matching Idee: Freiraumdiagramm für Polygonzug und Graph

30 Map Matching Idee: Freiraumdiagramm für Polygonzug und Graph

31 Freiraumdiagramm für Polygonzug und eine Kante Map Matching Idee: Freiraumdiagramm für Polygonzug und Graph

32 Map Matching Suche einen zulässigen Pfad von links nach rechts. Idee: Freiraumdiagramm für Polygonzug und Graph

33 Suche einen zulässigen Pfad von links nach rechts. Map Matching Entscheidbar in O E P log E Zeit. Alt et al. 2003: Matching Planar Maps J. Algorithm.

34 Finde einen zulässigen Pfad mit minimaler Fréchet-Distanz Map Matching Lösbar in O E P log E log E P Zeit. Alt et al. 2003: Matching Planar Maps J. Algorithm.

35 Map Matching Problemformulierung Gegeben: Das Straßennetz als planar eingebetteter Graph G = V, E Die GPS-Trajektorie als Folge P = p, p 2,, p n von Punkten Gesucht: Weg in G, der minimale Fréchet-Distanz zu P hat. VIDEO Map Matching Lösbar in O E P log E log E P Zeit.

36 Map Matching Problem: GPS-Punkte der Trajektorie weisen einen relativ großen Abstand zueinander auf.

37 Map Matching Problem: GPS-Punkte der Trajektorie weisen einen relativ großen Abstand zueinander auf. Direkte Verbindung zwischen Punkten ist schlechte Näherung

38 Map Matching Problem: GPS-Punkte der Trajektorie weisen einen relativ großen Abstand zueinander auf. Ergebnis mit minimaler Fréchet-Distanz Idee: Fahrer wählen bevorzugt kürzeste Wege im Straßennetz.

39 Map Matching Problem: GPS-Punkte der Trajektorie weisen einen relativ großen Abstand zueinander auf. kürzeste Route Idee: Fahrer wählen bevorzugt kürzeste Wege im Straßennetz.

40 Map Matching Ansatz über kürzeste Wege Lou et al.: Map-Matching for Low-Sampling-Rate GPS Trajectories, Proc. ACM GIS Ein Punkt etwa alle zwei Minuten P. Newson und J. Krum: (z.b. zur Aufzeichnung & Analyse von Hidden Markov Map Matching Taxirouten) Through Noise and Sparseness, Proc. ACM GIS 2009 Eisner et al.: Algorithms for Matching and Predicting Trajectories, Proc. ALENEX 20

41 Map Matching Ansatz über kürzeste Wege Lou et al.: Map-Matching for Low-Sampling-Rate GPS Trajectories, Proc. ACM GIS P. Newson und J. Krum: Hidden Markov Map Matching Through Noise and Sparseness, Proc. ACM GIS 2009 = Maximum-likelihood estimation + Markov Chains + Hidden Markov Models Eisner et al.: Algorithms for Matching and Predicting Trajectories, Proc. ALENEX 20

42 Maximum-likelihood estimation Probability versus Likelihood Flipping a coin: P[heads] = p P tails = p Do three independent flips. The coin is fair (p = ½). Model Parameter value Outcome? What is the probability of getting outcome x=(h,h,t)? P x = H, H, T ; p = 2 p is not a random variable! P x = H, H, T p = 2 = = 0.25

43 Maximum-likelihood estimation Probability versus Likelihood Flipping a coin: P[heads] = p P tails = p Did three independent flips. The result was x=(h,h,t). Model Parameter value? Outcome What is the likelihood that the coin is fair (p = ½)?

44 Maximum-likelihood estimation Likelihood functions Given the outcome x, how likely is a certain parameter value θ? Assuming parameter value θ, what is the probability of outcome x? Define likelihood function L θ x = P[x; θ] Not a probability! The result was (H,H,T). What is the likelihood that the coin is fair (p = ½)? L p = 2 x = H, H, T = = 0.25 L p = 0. x = H, H, T = = L p = 2 3 x = H, H, T = = 0. 48

45 Maximum-likelihood estimation Predictions versus Estimates Most probable outcome Given parameter p = 2 3 the most probably outcome is (H, H, H). Maximum-Likelihood Estimate ( MLE ) Given outcome (T, H, T) maximum-likelihood estimate is p = 3. This value of p best explains the observed outcome. This value of p makes the outcome least surprising.

46 Maximum-likelihood estimation Maximum-likelihood map matching? Model? Parameter? Outcome? Most probable outcome Given a path in a road network what is the most probable GPS trajectory to observe? (Noisy.) Maximum-Likelihood Estimate (MLE) Given the observed GPS trajectory (noisy) what is the most likely path through the road network? Which path through the network best explains the observed GPS trajectory?

47 Пафну тий Чебышёв Ма рков Chains Андре й Ма рков Георгій Вороний Бори с Делоне Wacław Sierpiński

48 Chebyshev Ма рков Chains Markov Voronoi Delaunay Sierpinski

49 Markov Chains Sequence of random variables X, X 2, X 3, Markov Property: Pr X n+ X n = x n, X n = x n,, X = x ] = Pr X n+ X n = x n ] Given the present, the future is independent of the past. Represent as Pr [X ], Pr [X 2 X ], Pr X 3 X 2,

50 Markov Chains Example Possible states Z = Sonne, Regen Pr [ X = Regen ] = 0.3 Pr X = Sonne = 0.7 Pr X n+ = Regen X n = Regen ] = 0.7 Pr X n+ = Sonne X n = Regen ] = 0.3 Pr X n+ = Regen X n = Sonne ] = 0.2 Pr X n+ = Sonne X n = Sonne ] = 0.8

51 Markov Chains Example Possible states Z = Sonne, Regen Pr [ X = Regen ] = 0.3 Pr X = Sonne = 0.7 Pr X 2 = Sonne? 0.8 Sonne 0.2 Regen

52 Markov Chains Example Possible states Z = Sonne, Regen Pr [ X 2 = Regen ] = 0.35 Pr X 2 = Sonne = 0.65 Pr X 3 = Regen? 0.8 Sonne 0.2 Regen

53 Hidden Markov Models Markov Chain At every time step, it has a certain state But the states are hidden We cannot see its state Emission ( output ) At every time step, get an observation Probability distribution depends on state Emission at each step is independent

54 This slide intentionally left blank.

55 Using maximum likelihood estimation

56 . Für jeden GPS-Punkt p i suche Menge von Kandidatenkanten e i,, e i k, die (teilweise) innerhalb eines Kreises mit Radius r um p i liegen. Map Matching

57 Map Matching. Für jeden GPS-Punkt p i suche Menge von Kandidatenkanten e i,, e i k, die (teilweise) innerhalb eines Kreises mit Radius r um p i liegen. 2. Suche Menge von Kandidatenpunkten c i,, c i k, wobei c i j der nächste Punkt auf e i j zu p i ist.

58 Map Matching. Für jeden GPS-Punkt p i suche Menge von Kandidatenkanten e i,, e i k, die (teilweise) innerhalb eines Kreises mit Radius r um p i liegen. 2. Suche Menge von Kandidatenpunkten c i,, c i k, wobei c i j der nächste Punkt auf e i j zu p i ist. 3. Bewerte jeden Kandidatenpunkt c i j mit einer Wahrscheinlichkeit N c i j N c i j = j d p i,c 2 i 2πσ e 2σ 2 (Normalverteilung) σ = 20 m

59 Map Matching. Für jeden GPS-Punkt p i suche Menge von Kandidatenkanten e i,, e i k, die (teilweise) innerhalb eines Kreises mit Radius r um p i liegen. 2. Suche Menge von Kandidatenpunkten c i,, c i k, wobei c i j der nächste Punkt auf e i j zu p i ist. 3. Bewerte jeden Kandidatenpunkt c i j mit einer Wahrscheinlichkeit N c i j 4. Bewerte jedes Paar aufeinander folgender Kandidatenpunkte mit einer Übergangswahrscheinlichkeit r s T c i, c i = d p i, p i Länge des kürzesten Weges von r r s c d shortest path c i, c i nach c s i im Straßennetz i

60 Map Matching. Für jeden GPS-Punkt p i suche Menge von Kandidatenkanten e i,, e i k, die (teilweise) innerhalb eines Kreises mit Radius r um p i liegen. 2. Suche Menge von Kandidatenpunkten c i,, c i k, wobei c i j der nächste Punkt auf e i j zu p i ist. 3. Bewerte jeden Kandidatenpunkt c i j mit einer Wahrscheinlichkeit N c i j 4. Bewerte jedes Paar aufeinander folgender Kandidatenpunkte mit einer Übergangswahrscheinlichkeit r s T c i, c i

61 Map Matching. Für jeden GPS-Punkt p i suche Menge von Kandidatenkanten e i,, e i k, die (teilweise) innerhalb eines Kreises mit Radius r um p i liegen. 2. Suche Menge von Kandidatenpunkten c i,, c i k, wobei c i j der nächste Punkt auf e i j zu p i ist. Ziel: Wähle für jeden Punkt p i einen Kandidatenpunkt c i aus der Menge c i,, c i k, so dass N c T c, c 2 N c 2 T c 2, c 3 N c n maximal ist. 3. Bewerte jeden Kandidatenpunkt c i j mit einer Wahrscheinlichkeit N c i j 4. Bewerte jedes Paar aufeinander folgender Kandidatenpunkte mit einer Übergangswahrscheinlichkeit r s T c i, c i

62 Map Matching Ziel: Wähle für jeden Punkt p i einen Kandidaten-punkt c i aus der Menge c i,, c i k, so dass log N c T c, c 2 + log N c 2 T c 2, c log N c n T c n, c n + log N c n maximal ist.

63 Map Matching Ziel: Wähle für jeden Punkt p i einen Kandidaten-punkt c i aus der Menge c i,, c i k, so dass log N c T c, c 2 + log N c 2 T c 2, c log N c n T c n, c n + log N c n maximal ist. Modellierung als Graph-Problem: s 3 c 2 c 2 2 c c c 2 c 3 3 c 3 2 c 3 t Kandidatenmenge für p

64 Map Matching Ziel: Wähle für jeden Punkt p i einen Kandidaten-punkt c i aus der Menge c i,, c i k, so dass log N c T c, c 2 + log N c 2 T c 2, c log N c n T c n, c n + log N c n maximal ist. Modellierung als Graph-Problem: s 3 c 2 c 2 2 c c c 2 c 3 3 c 3 2 c 3 t Kandidatenmenge für p 2

65 Map Matching Ziel: Wähle für jeden Punkt p i einen Kandidaten-punkt c i aus der Menge c i,, c i k, so dass log N c T c, c 2 + log N c 2 T c 2, c log N c n T c n, c n + log N c n maximal ist. Modellierung als Graph-Problem: s 3 c 2 c 2 2 c c c 2 c 3 3 c 3 2 c 3 t Kandidatenmenge für p 3

66 Map Matching Ziel: Wähle für jeden Punkt p i einen Kandidaten-punkt c i aus der Menge c i,, c i k, so dass log N c T c, c 2 + log N c 2 T c 2, c log N c n T c n, c n + log N c n maximal ist. Modellierung als Graph-Problem: s 3 c 2 c 2 2 c c c 2 c 3 3 c 3 2 c 3 t Dummy-Knoten

67 Map Matching Ziel: Wähle für jeden Punkt p i einen Kandidaten-punkt c i aus der Menge c i,, c i k, so dass log N c T c, c 2 + log N c 2 T c 2, c log N c n T c n, c n + log N c n maximal ist. Modellierung als Graph-Problem: s 3 c 2 c 2 2 c c c 2 c 3 3 c 3 2 c 3 t Jeder s-t-pfad steht für eine Lösung des Map-Matching-Problems

68 Map Matching Ziel: Wähle für jeden Punkt p i einen Kandidaten-punkt c i aus der Menge c i,, c i k, so dass log N c T c, c 2 + log N c 2 T c 2, c log N c n T c n, c n + log N c n maximal ist. Modellierung als Graph-Problem Definiere Kantenlängen: s 3 c 2 c 2 2 c c c 2 c 3 3 c 3 2 c 3 t log N c 3 0 log N c T c, c 2

69 Map Matching Ziel: Wähle für jeden Punkt p i einen Kandidaten-punkt c i aus der Menge c i,, c i k, so dass log N c T c, c 2 + log N c 2 T c 2, c log N c n T c n, c n + log N c n maximal ist. Lösung: Modellierung als Graph-Problem Definiere Kantenlängen: s 3 c 2 c 2 2 c c c 2 c 3 3 c 3 2 c 3 t Längster s-t-pfad 0 log N c T c, c 2 log N c 3

70 Map Matching Ziel: Wähle für jeden Punkt p i einen Kandidaten-punkt c i aus der Menge c i,, c i k, so dass log N c T c, c 2 + log N c 2 T c 2, c log N c n T c n, c n + log N c n maximal ist. Lösung: Modellierung als Graph-Problem Definiere Kantenlängen: Längster s-t-pfad Allgemein ist das Longest-Path-Problem NP-schwer! s c 3 c 2 c c 2 2 c 2 c 3 3 c 3 2 c 3 t

71 Map Matching Ziel: Wähle für jeden Punkt p i einen Kandidaten-punkt c i aus der Menge c i,, c i k, so dass log N c T c, c 2 + log N c 2 T c 2, c log N c n T c n, c n + log N c n maximal ist. Lösung: Modellierung als Graph-Problem Definiere Kantenlängen: s 3 c 2 c 2 2 c c c 2 c 3 3 c 3 2 c 3 t Längster s-t-pfad Für gerichtete azyklische Graphen mit m Kanten und n Ecken ist das Longest-Path-Problem in O mn Zeit lösbar!

72 Map Matching Ziel: Wähle für jeden Punkt p i einen Kandidaten-punkt c i aus der Menge c i,, c i k, so dass log N c T c, c 2 + log N c 2 T c 2, c log N c n T c n, c n + log N c n maximal ist. Lösung: Modellierung als Graph-Problem Definiere Kantenlängen: s Längster s-t-pfad Für gerichtete azyklische Graphen mit m Kanten und c 3 c 2 c c 2 2 c 2 n Ecken ist das Longest-Path-Problem in O mn Zeit lösbar! Wie? c 3 3 c 3 2 c 3 t

73 Map Matching Aufgabe: Finde längsten Pfad in gerichtetem azyklischen Graphen. Lösung:. Bringe die Ecken in topologische Ordnung v v n 2. Löse das Problem durch dynamische Programmierung: d v, v = 0 for i = 2 to n // Berechne d v, v i = Länge eines längsten v -v i -Pfades max = for v j, v i A if d v, v i + l v i, v j > max then // l v j, v i = Länge der Kante v j, v i max = d v, v i + l v i, v j d v, v j = max predecessor j = i

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