C Dritte Übungseinheit

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1 C Dritte Übungseinheit Inhalt der dritten Übungseinheit: Skript- und Funktions-M-Dateien Schleifen und Verzweigungen Fixpunkt-Iteration, ein- und mehrdimensional Aufgaben zum Newton-Verfahren für Systeme Symbolisches Differenzieren und Berechnen der Jacobi-Matrix Achtung, Befragung! Bei den Befragungen sollten Sie zum Beispiel zu folgenden Themen aus dem Vorlesungsstoff eine Antwort parat haben: Was sind polynomiale, algebraische, transzendente Gleichungen (siehe Skriptum, Kapitel 1.1)? Was ist der Unterschied zwischen solve und roots beim Lösen polynomialer Gleichungen? Bis zu welchem Grad darf man erwarten, dass solve polynomiale Gleichungen symbolisch loesen kann? Wovon hängt die Konvergenz eines Fixpunkt-Verfahrens ab? wie unterscheiden sich lineare und quadratische Konvergenz? (bezieht sich auf Aufgabe 17) präzisieren Sie die Aussage mehrfache Nullstellen sind schlecht konditioniert (bezieht sich auf Aufgabe 18) C.1 Script- und Funktionsdateien MATLAB ist mehr als ein interaktives Rechen- und Graphikprogramm; es enthält vor allem auch eine mächtige Programmiersprache. Dateien mit MATLAB-Befehlen heißen M-files. Es gibt zwei Arten solcher Dateien. Funktions-Dateien. Sie übernehmen Eingabewerte (Argumente)und liefern Resultate. Innerhalb der Funktion deklarierte Variable gelten nur lokal. Die vorige Übungseinheit hat solche Funktions-Dateien schon eingeführt. Skript-Dateien. Sie haben weder Eingabe-Argumente noch Rückgabewerte. Sie greifen auf Daten und Variable des aktuellen Workspace zu. Eine Skript- Datei wirkt so, als ob deren Anweisungen direkt im Command Window eingegeben würden. Sie eignet sich also dazu, Befehlsfolgen abzuspeichern und auszuführen. 114

2 C.1.1 Eine erste Skript-Datei Das Beispiel wird die Befehlsequenz zum Zeichnen eines Kreises zusammenfassen (siehe Abschnitt 2 der vorigen Übung). Folgen Sie dazu den folgenden Anweisungen: Öffnen Sie ein neues M-File, indem Sie im Menü File das Untermenü New M-File auswählen. Ein neues Fenster im MATLAB-Editor wird geöffnet. Geben Sie nun folgende Befehlsequenz ein (Die Befehle sollten exakt so eingegeben werden, die Kommentare können Sie modifizieren): % CIRCLE Diese Script Datei zeichnet den Einheizkreis % theta = linspace (0,2 pi,100); % erzeuge Vektor theta x = cos ( theta ) ; % erzeuge x Koordinaten y = sin ( theta ) ; % erzeuge y Koordinaten plot (x, y ) ; % plotte den Kreis axis ( equal ) ; % gleiche Skalierung der Achsen title ( Der Einheizkreis ) ; %gib einen Titel Speichern Sie die Datei unter dem Namen circle.m im Verzeichnis D:/Work. Verwenden Sie dazu das Untermenü Save as im File -Menü des MATLAB- Editors. Gehen Sie nun zurück ins MATLAB Command Window und führen Sie die erstellte Skriptdatei aus. Geben Sie dazu die folgenden Zeilen im MATLAB Command Window ein: >>help c i r c l e CIRCLE Diese Script Datei zeichnet den Einheitskreis >> c i r c l e Die erste Eingabe gibt die obersten zusammenhängenden Kommentarzeilen Ihrer Skriptdatei aus, d.h. Sie können sich Notizen (zusammenhängenden Kommentarzeilen am Anfang der Skriptdatei) in Ihrer Skriptdatei machen, die Sie zu späterer Zeit über den Inhalt der Skriptdatei informieren. Die zweite Eingabe führt die Befehlsequenz der Skriptdatei aus. C.2 Mehr über Skriptdateien Die folgenden Anleitungen zeigen Ihnen weitere Möglichkeiten zum Einsatz von Skriptdateien. 1. Zeichnen Sie den Mittelpunkt des Kreises: Ändern Sie die Skriptdatei so ab, dass Sie bei der Ausgabe des Kreises auch desses Mittelpunkt einzeichnet. Zeichnen Sie den Mittelpunkt als

3 Lösungsweg: Zum Zeichnen des Kreises samt Mittelpunkt können Sie den Befehl plot(0,0, +,x,y, - ) verwenden. 2. Ändern Sie den Radius des Kreises : Modifizieren Sie die Skriptdatei circle.m, sodass sie einen Kreis mit beliebigem Radius zeichnen können. Lösungsweg: Fügen Sie Ihrer Datei die Anweisungen r = input( Geben Sie den Kreisradius ein : ) ; mx = input( x Koordinate des Mittelpunktes : ) ; my = input( y Koordinate des Mittelpunktes : ) ; hinzu, welche den Benutzer bei der Ausführung der Skriptdatei zur Eingabe von Radius und Mittelpunkts-Koordinaten auffordert. Modifizieren Sie die Berechnung der Koordinaten unter Berücksichtigung von m x und m y. x = mx + r cos ( theta ) ; y = my + r sin ( theta ) ; plot (mx,my, +,x, y, ) ; Speichern Sie die Datei und führen Sie diese aus. 3. Variablen im Workspace : Alle Variabeln in der Skriptdatei sollten nach deren Ausführung im MAT- LAB Workspace erhalten bleiben. Sie können sich die Werte und deren Dimension im Command Window von MATLAB anzeigen lassen. 4. Inhalt der Skriptdatei: Sie können den Inhalt der Skriptdatei circle.m im Command Window ausgeben, indem Sie in diesem type circle eingeben. C.3 Kontrollstrukturen Schleifen Sie haben in den Aufgaben zur vorigen Übungseinheit Fixpunkt-Iterationen oder Iterationen des Newtonverfahrens oder der Sekantenmethode gleichsam im Handbetrieb im Command Window eingegeben und, wenn die Ergebnisse sich nicht mehr geändert haben, das Verfahren beendet. Sie können diesen Ablauf auch als Programm formulieren. MATLAB bietet die üblichen Kontrollstrukturen (ähnlich wie in Java oder C++). Für den Anfang reichen for-schleifen und if-verzweigungen, wie sie dieser Abschnitt vorstellt. Eine for-schleife hat zumeist die Form for index = startwert : endwert anweisung anweisung... end 116

4 Der Index durchläuft dann die Werte startwert, startwert+1, startwert+2...endwert; er muss nicht (wie in Java oder C++) durch index++ erhöht werden. Allgemeinere Form des Schleifenkopfes: for index = startwert : schrittweite : endwert Beispiel: ein Schleifenzähler s, der mit Schrittweite 0, 1 die Werte 1; 0, 9; 0, 8;...0 durchläuft: for s = 1: 0.1:0 Verzweigungen Eine bedingte Verzweigung mit if hat die Form if ausdruck anweisung anweisung... end MATLAB wertet ausdruck aus, und wenn das Resultat logisch true oder (Unterschied zu Java!) ungleich 0 ist, führt es die folgenden Anweisungen bis zum end aus. Geschachtelte if sind möglich, jede Ebene muss mit dem entsprechenden end abgeschlossen werden. Während Java sehr streng darauf achtet, dass in einer if-anweisung nur ein logischer Ausdruck stehen darf, erlaubt MATLAB sogar Vektoren oder Matrizen. Wenn ausdruck kein Skalar ist, muss jede einzelne Komponente true oder 0 sein. Die allgemeiner Form mit elseif und/oder else hat die Form i f ausdruck1 anweisungen1 elseif ausdruck2 anweisungen2 else anweisungen3 end Musterprogramm Das folgende Musterprogramm zur Fixpunkt-Iteration stellt Schleifen und Verzweigungen vor. Es führt eine Fixpunktiteration gemäß der Vorschrift x (k+1) = φ(x (k) ) für den Startwert x (0) durch. Das Programm sollte auf den Rechnern gespeichert sein. Sie können es auch über die Homepage des Departments herunterladen: Link Lehrbetrieb Unterlagen Computereinsatz in den technischen Wissenschaften Übungsunterlagen 117

5 function x = Fixpunkt ( phi, x0) % Fixpunkt Iteration % Das Verfahren i t e r i e r t gemaess der Vorschrift % x i+1 = phi ( x i ) % bis Aenderungen unter eine Toleranzschwelle sinken % oder maximale Iterationszahl ueberschritten wird. % % Eingabe x0... Startwert % phi... Funktion, deren Fixpunkt gesucht i s t % Ausgabe x.... Bei Konvergenz : Fixpunkt, % sonst : NaN % NMI, CiT,CTW SS04 C. Brand itmax = 100; % maximale Iterationszahl errlim = 1. e 9; % Fehlerschranke for i =1: itmax x = feval ( phi, x0 ) ; % Funktionsauswertung x=phi (x0) if abs(x x0)<errlim % Abbruchkriterium : absoluter Fehler return end x0 = x ; end x = NaN; Die Anweisung feval Das Musterprogramm führt die Fixpunkt-Iteration nicht für eine konkrete Funktion namens phi aus, sondern kann in der Form >> result = Fixpunkt startwert ) für eine beliebige Funktion durchgeführt werden. Die Funktion wird in Form eines function handle an das Fixpunkt-Programm übergeben. Auf Deutsch könnte man grob übersetzen: dem Programm wird als Eingabe-Argument der Funktions- Henkel übergeben. Der Henkel ist erkennbar an vor dem Funktionsnamen. Mit diesem Henkel kann das Programm auf die Funktion zugreifen und sie auswerten. Das Auswerten von Funktionen, die als Henkel übergeben wurden, erfolgt durch die Anweisung feval. C.4 Fixpunkt-Iteration Eindimensional Beispiel: Aufgabe 10 sucht den Fixpunkt der Funktion function y=heron (x) y=(x+13/x )/2; Aufruf der Fixpunkt-Funktion: >> Fixpunkt (@heron,13) 118

6 Mehrdmensionale Fixpunkt-Iteration, vektorwertige Funktionen Dieses Programm kann aber ebenso mehrdimensionale Fixpunkt-Iteration durchführen. In der Vorlesung wurde der Fixpunkt einer vektorwertigen Funktion Φ : R 2 R 2 als Beispiel behandelt: x 1 = 1 4 (x 2 x 1 x 2 + 1) x 2 = 1 6 (x 1 log(x 1 x 2 ) + 2) Die Funktion Φ(x) kann so implementiert werden: function y = phi (x) x1=x ( 1 ) ; x2=x ( 2 ) ; y = [ (x2 x1. x2 + 1)/4 (x1 log (x1. x2)+2)/6 ] ; Aufruf der Fixpunkt-Funktion: >> Fixpunkt (@phi, [ 1 ; 1 ] ) C.5 Aufgaben bis zur nächsten Übungseinheit Diese Aufgaben sind bis zur nächsten Übungseinheit vorzubereiten. Speichern Sie Ihre Skript- und Funktions-M-Dateien auf einem Datenträger und bringen Sie sie nächstes Mal mit. Verwenden Sie Kommentare, sodass help jeweils eine Kuzinformation zu Ihren Dateien ausgibt; orientieren Sie sich am Stil der obigen Beispiele. Aufgabe 19 Formulieren Sie analog zum Fixpunkt-Musterprogramm eine Funktions-M-Datei zur Sekantenmethode. Der Aufruf SekantenMeth(@igendeineFunktion, x0, x1) soll, ausgehend von den Startwerten x (0) und x (1) eine Nullstelle der Funktion finden. Testen Sie das Verfahren, indem Sie alle positiven Lösungen der folgenden Gleichung suchen: sin x = x/2 Rechnen Sie zum Vergleich auch mit fzero die Lösung. 119

7 Aufgabe 20 Formulieren Sie die Iterationsvorschrift des Newton-Verfahrens zur Lösung von sin x = x/2 als Fixpunkt-Verfahren. Programmieren Sie die entsprechende Funktion und rufen Sie das Fixpunkt-Musterprogramm auf. Finden Sie damit Lösungen der obigen Gleichung. Aufgabe 21 Formulieren Sie analog zum Fixpunkt-Musterprogramm eine Funktions-M-Datei zur Intervallhalbierung. Der Aufruf IntervHalb(@igendeineFunktion, x0, x1) soll, ausgehend von den Startwerten x (0) und x (1) eine Nullstelle der Funktion finden. Testen Sie das Verfahren, indem Sie Nullstellen folgender Funktion suchen: f(x) = x 2 3 tanx + 1 Anfangsintervalle mit Vorzeichenwechsel sind: [0, 1], [1, 2], [4.5, 4.7]. Findet Intervallhalbierung für alle drei Intervalle eine Nullstelle? Was findet fzero, wenn Sie obige Intervallgrenzen als Startwerte geben? Aufgabe 22 Suchen Sie die Nullstellen der Funktion f(x) = e x 3x 2 mit Hilfe des Newton-Verfahrens und einfacher Fixpunkt-Iteration (mehrere Umformungen möglich). Vergleichen Sie (bei denselben Startwerten) die Anzahl der Iterationen. Schätzen Sie bei den Verfahren mit linearer Konvergenz den Reduktionsfaktor C. Findet Ihre Fixpunkt-Formulierung alle Nullstellen? Aufgabe 23 Das Vorlesungsskriptum diskutiert die Gleichung r = K q 1 1 q n für r = 900,K = ,n = 180. Schreiben Sie ein MATLAB-Programm, das allgemein für Eingabewerte r, K und n die Lösung q findet. Aufgabe

8 Das Vorlesungsskriptum diskutiert die Gleichung λ = 1 (2 log 10 (Re λ) 0, 8) 2 Schreiben Sie ein MATLAB-Programm, das für gegebene Reynoldszahl Re den Widerstandsbeiwert λ liefert. Implementieren Sie sowohl das Newton-Verfahren als auch eine einfache Fixpunkt-Itertation. Testen Sie mit Werten 1 Re Aufgabe 25 Gegeben sei das Gleichungssystem 8x 1 + x 2 x 3 = 8, 2x 1 + x 2 + 9x 3 = 12, x 1 7x 2 + 2x 3 = 4. Formulieren Sie ein Fixpunktverfahren. Überlegen Sie, aus welcher Gleichung sie x 1 ausdrücken sollen, aus welcher x 2 und x 3. Hinweis: Unbekannte möglichst aus jener Gleichung ausdrücken, in der sie den stärksten Einfluss (den größten Koeffizienten) haben. Testen Sie das Verfahren. Aufgabe 26 (Wenn Sie die Unterlagen durchgearbeitet haben, ist diese Aufgabe eigentlich schon gelöst) Gegeben sei ein System von zwei Gleichungen in zwei Unbekannten: f(x,y) = 4x y + xy 1 = 0 g(x,y) = x + 6y + log xy 2 = 0 Formulieren Sie dafür ein Fixpunktverfahren und testen Sie! Aufgabe 27 Newton-Verfahren für Systeme: In der Vorlesung wird das Newton-Verfahren für Systeme nichtlinearer Gleichungen besprochen. Im Skriptum (Seite 25) ist für das Gleichungssystem der vorigen Aufgabe ein Zahlenbeispiel durchgerechnet. Schreiben Sie MATLAB-Funktionen f(x) und Df(x), die Funktion und Jacobi- Matrix auswerten. (f(x) soll einen Spalten-Vektor ausgeben, Df(x) eine 2 2- Matrix!) [ f(x) = 4x 1 x 2 + x 1 x 2 1 x 1 + 6x 2 + log(x 1 x 2 ) 2 ] [ ] 4 + x2 1 + x 1, D f = x x 2 Ein Schritt des Newton-Verfahrens in MATLAB sieht dann so aus: (Der Operator \ (Backslash, Bergab-Schrägstrich) löst das Gleichungssystem mit Matrix df(x0) und rechter Seite f(x0), wird noch genauer behandelt) 121

9 >> x0 = [1; 1]; % Spaltenvektor als Startvektor! >> x1=x0-df(x0)\f(x0) x1 = Finden Sie die Nullstelle von f mit möglichst hoher Genauigkeit. Aufgabe 28 In einer wässrigen Natriumacetat-Lösung bestimmt ein nichtlineares System von vier Gleichungen die Konzentration der Ionen H +, OH, Ac und der undissoziierten Säure HAc. Gegeben sind K w = 10 14,K s = 10 4,75 und eine variable Konzentration C. (Die Vorlesungsfolien zeigen übrigens sechs Gleichungen für ein Natronlauge-Phosphorsäure-System) H + OH = K w Ionenprodukt des Wassers H + Ac = K s HAc Säure-Dissoziationsgleichgewicht HAc + Ac = C Acetat-Gesamtkonzentration Ac + OH = C + H + Elektroneutralität Wenn Sie die unbekannten Konzentrationen H +, OH, Ac, HAc mit Variablen x 1,x 2,x 3,x 4 bezeichnen, lässt sich die Aufgabe umformulieren zu K w + x 1 x 2 f(x) = 0 mit f(x) = x 1 x 3 K s x 4 C + x 3 + x 4 C + x 1 x 2 x 3 Schreiben Sie eine MATLAB-Funktion f(x,c), die für einen Eingabevektor x = (x 1,x 2,x 3,x 4 ) und gegebene Konzentration C den Vektor f(x) berechnet. (K w = 10 14,K s = 10 4,75 sind fix gegeben.) Schreiben Sie auch die entsprechende Funktion für die Jacobi-Matrix und ein Newton-Raphson-Verfahren zur Nullstellenberechnung. Haben Sie eine Lösung gefunden, dann ist log 10 x 1 der ph-wert. Bei diesem Beispiel sind gute Startwerte wichtig. Empfehlung: Zum Vergleich Testwerte für C = 0.01 x (0) = [10 7 ; 10 7 ;C; 0] >> x0=[1.e-7;1.e-7;0.01;0]; >> f(x0,0.01) 1.0e-008 * >> df(x0) 122

10 >> x0=x0-df(x0)\f(x0,0.01) x0 =

11 Aufgabe 29 Symbolisches Berechnen der Jacobi-Matrix Berechnen Sie mit MATLAB für die Funktion der vorigen Aufgabe symbolisch die Jacobi-Matrix. Finden Sie mit MATLAB symbolisch die Ableitungen der Funktionen von Aufgaben 20, 22 und 23. Anleitung: Matlab kann mit den Funktionen der Symbolic Math Toolbox die Ableitungen in der Jacobi-Matrix auch symbolisch berechnen. Für die vektorwertige Funktion von Aufgabe 25 und 26 lauten die Anweisungen dazu: >> syms x y >> deklariert x und y als symbolische Variable >> f =[4 x y+x y 1; x+6 y+log (x y) 2] f = [ 4 x y+x y 1] [ x+6 y+log (x y) 2] >> die vektorwertige Funktion f. Die einzelnen Komponenten sind durch Strichpunkte getrennt. Achtung! keinen Abstand zwischen x*y-1 und log(x*y)-2 lassen, oder auf beiden Seiten der Operators Abstand lassen, x*y - 1 und log(x*y) - 2. Geben Sie die Funktionsterme nicht in der Form x*y -1 oder log(x*y) -2 ein, MATLAB würde eine solche Eingabe nicht als zusammenhängenden symbolischen Ausdruck, sondern als zwei getrennte Ausdrücke interpretieren. >> J = jacobian ( f, [ x y ] ) J = [ 4+y, 1+x ] [ 1+1/x, 6+1/y ] >> hier rechnen Sie die Jacobi-Matrix. Sie müssen die Variablen, nach denen differenziert wird, als Zeilenvektor übergeben. >> f=exp(x) 3 xˆ2 f = exp(x) 3 xˆ2 >> jacobian ( f, x) exp(x) 6 x Die Ableitung einer reellwertigen Funktionen in einer Variablen lässt sich als Spezialfall, eine 1 1- Jacobi- Matrix, auffassen. Deswegen liefern diese Anweisungen die Ableitung der Funktion f(x) = e x 3x 2 aus Aufgabe 21. In diesem Fall kann man aber auch den folgenden Befehl verwenden: >> diff ( f ) exp(x) 6 x >> MATLAB differenziert automatisch nach x. Wenn mehr Variable vorkommen, und nicht nach x differenziert werden soll, muss man die Variable eigens angeben, z.b. diff(f,q). 124