Studienbücher Informatik

Transkript

1 Studienbücher Informatik

2 Die Reihe Studienbücher Informatik wird herausgegeben von Walter Hower.

3 Michael Schenke Logikkalküle in der Informatik Wie wird Logik vom Rechner genutzt?

4 Prof. Dr. Dr. Michael Schenke Hochschule Merseburg Merseburg Deutschland ISBN DOI / ISBN (ebook) Die Deutsche Nationalbibliothek verzeichnet diese Publikation in der Deutschen Nationalbibliografie; detaillierte bibliografische Daten sind im Internet über abrufbar. Springer Vieweg Springer Fachmedien Wiesbaden 2013 Das Werk einschließlich aller seiner Teile ist urheberrechtlich geschützt. Jede Verwertung, die nicht ausdrücklich vom Urheberrechtsgesetz zugelassen ist, bedarf der vorherigen Zustimmung des Verlags. Das gilt insbesondere für Vervielfältigungen, Bearbeitungen, Übersetzungen, Mikroverfilmungen und die Einspeicherung und Verarbeitung in elektronischen Systemen. Die Wiedergabe von Gebrauchsnamen, Handelsnamen, Warenbezeichnungen usw. in diesem Werk berechtigt auch ohne besondere Kennzeichnung nicht zu der Annahme, dass solche Namen im Sinne der Warenzeichen- und Markenschutz-Gesetzgebung als frei zu betrachten wären und daher von jedermann benutzt werden dürften. Gedruckt auf säurefreiem und chlorfrei gebleichtem Papier Springer Vieweg ist eine Marke von Springer DE. Springer DE ist Teil der Fachverlagsgruppe Springer Science+Business Media

5 Vorwort Das vorliegende Buch geht zurück auf Beobachtungen aus Schenke (1997) zu Verbindungen zwischen verschiedenen Logiken, die dort aber nicht weiter verfolgt wurden. Dort lag das Augenmerk auf anderen Fragen, nämlich der sicheren Implementierung von Realzeitsystemen. Trotzdem schien es mir schon damals lohnend, der Frage genauer nachzugehen, inwieweit verschiedene Logiken auf einer gemeinsamen Basis gegründet sein und in einem Lehrbuch dargestellt werden können. Im Laufe der Jahre hat sich mir dann die Gelegenheit geboten, verschiedene Logiken und die Verbindungen zwischen ihnen aus verschiedenen Perspektiven in einer Reihe von Lehrveranstaltungen vorzustellen und auch in Skripten darzustellen, die die Grundlage zu diesem Buch bilden. Inhaltlich steht aber immer die Frage der Anwendbarkeit der Logiken für die Informatik im Vordergrund, das heißt in diesem Fall die Frage nach Kalkülen, die als Grundlage einer Implementierung dienen können. Natürlich können Kalküle, also die syntaktischen Formalismen, nicht alleine untersucht werden. Werden neben den syntaktischen auch die semantischen Grundlagen der Logiken genauer behandelt, so kommen automatisch typische Fragen wie die nach Korrektheit, Vollständigkeit oder Entscheidbarkeit der verschiedenen Kalküle auf. Für mich ist es wichtig, in diesem Buch auch die Hintergründe der Logiken mit zu betrachten, bis hinein in andere Wissenschaften, etwa Philosophie oder Sprachwissenschaft. Das Wesentliche dieses Buches ist die Darstellung der verschiedenen Logiken, ihrer Hintergründe und der Querbeziehungen zwischen ihnen. Allerdings erhebe ich keinen Anspruch darauf, in diesem Buch wissenschaftliches Neuland bezüglich der Logiken an sich betreten zu haben; neu ist lediglich die Perspektive. Die Lektüre dieses Buches soll nicht die Lektüre der hervorragenden Bücher ersetzen, die sich auf die einzelnen Logiken spezialisiert haben. In diesem Buch bieten die einzelnen Kapitel einen gedrungenen aber befriedigenden Überblick über die Logiken, soweit es für das Verständnis der Querverbindungen zwischen den Formalismen nötig ist. Ein am jeweiligen Thema interessierter Leser, der nur einen Überblick ohne zu viele Details sucht, wird genau das finden. Deshalb werden auch nur recht wenige exakt ausformulierte Beweise in diesem Buch vorgestellt. In vielen Lehrbüchern laufen solche Beweise doch sehr oft auf zwar zwingende aber durch unübersichtliche Notationen und Formulierungen belastete Darstellungen hinaus, welche die Tendenz V

6 VI Vorwort haben, die Grundideen der Gedankengänge zu verschleiern. Im vorliegenden Buch findet man hingegen sehr häufig Beweisideen, die den Lernenden vermitteln sollen, woran es liegt und worum es im Wesentlichen geht. Insgesamt geht es mir vor allem um eine vergleichende Zusammenschau der Formalismen unter Aspekten von Sprache (Syntax, Semantik), Philosophie und vor allem der Anwendbarkeit in der Informatik. In vielen Details habe ich mich auch auf Literatur anderer Autoren gestützt, bei den klassischen Logiken besonders auf Schöning (2000), Olderog (2002) und Böhme (1981), bei der Hoareschen Logik auf Apt et al. (2009), bei der modalen Logik auf Hughes, Cresswell (1968), bei der intuitionistischen, der epistemischen und der deontischen Logik auf Kreiser et al. (1990) sowie bei der epistemischen Logik auf Fagin et al. (1995) und bei den nichtmonotonen Formalismen auf Beierle, Kern-Isberner (2003). Am Ende dieser Vorbemerkungen möchte ich noch Frau Susann Ludwig für die Erstellung der noch sehr kurzen Erstfassung dieses Buches, Frau Dana Lomott für dessen Überarbeitung und Herrn Matthias Kopsch für Anfertigung der meisten Abbildungen und für die umfangreiche Arbeit mit Formatvorlagen danken. Literatur Apt KR, de Boer FS, Olderog ER (2009) Verification of Sequential and Concurrent Programs (3., rd ed.). Springer, London Beierle C, Kern-Isberner G (2003) Methoden wissensbasierter Systeme, 2. Aufl. Vieweg, Wiesbaden Böhme G (1981) Einstieg in die mathematische Logik. Hanser, München Fagin R, Halpern JY, Moses Y, Vardi MY (1995) Reasoning about Knowledge. The MIT Press, Cambridge (Massachusetts) Hughes GE, Cresswell MJ (1968) An Introduction to Modal Logic. Methuen, London. Aus d. Engl. übers. v. Coulmas F, Posner R, Wiese B (1978) Einführung in die Modallogik. de Gruyter, Berlin Kreiser L, Gottwald S, Steltzner W (1990) Nichtklassische Logik, 2. Aufl, Akademie-Verlag, Berlin Olderog ER (2002) Logik. Vorlesungsskript zum Modul Theoretische Informatik I, Oldenburg (Carl von Ossietzky Universität) Schenke M (1997) Development of Correct Real-Time Systems by Refinement. Habilitationsschrift, Oldenburg. Online verfügbar unter ~schenke/habilschrift.pdf Schöning U (2000) Logik für Informatiker. Spektrum Akademischer Verlag, Heidelberg

7 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Mathematik als Abstraktion des Wissens Logik als Abstraktion von Sprachfragmenten Syntax und Semantik Literatur Aussagenlogik Syntax Semantik der AL Der logische Folgerungsbegriff Metasprachen und Kalküle Kalküle für die Aussagenlogik Normalformen in der AL Literatur Prädikatenlogik Syntax Semantik der Prädikatenlogik Unifikation Der logische Folgerungsbegriff der PL Normalformen in der PL Ein Prädikatenkalkül Prädikatenlogisches Schließen Syllogismen Lewis Carroll Das Spiel der Logik Literatur Der SLD-Kalkül (Logik-Programmierung) Horn-Klauseln Semantik von Logik-Programmen Literatur VII

8 VIII Inhaltsverzeichnis 5 Hoaresche Logik Hoaresche Tripel Semantik von WHILE-Programmen Kalküle für Hoaresche Tripel Literatur Modale Logik Syntax Kripke Semantiken Gültigkeit Das System T Die Systeme S4 und S Intuitionistische Logik Der modale Prädikatenkalkül erster Stufe Literatur Temporale Logik Verschiedene modale Modelle der temporalen Logik Kripke-Semantiken für eine modale temporale Logik Zur Topologie der Zeit Abgeleitete Operatoren Intervall-temporale Logik Der Duration Calculus Literatur Epistemische Logik Syntax Semantik Verteiltes Wissen Literatur Deontische Logik Syntax Kodexe Zu einer Metatheorie von Kodexen Literatur Nichtmonotone Logik Truth Maintenance-Systeme Der JTMS-Algorithmus Die JTMS-Inferenzrelation Literatur

9 Inhaltsverzeichnis IX 11 Default-Logiken Syntax und Semantik von Defaults Bestimmung von Extensionen Prozessbäume Eigenschaften der Default-Logik Mathematische Grundlagen Mengen, Relationen, Funktionen Vollständige Induktion Graphen, Bäume Sachverzeichnis

10 Abkürzungsverzeichnis AForm AK AL ASym ATMS B BF DC DL DNF EL GV HK IL INT ITL JTMS KDNF KKNF KNF l LK ML MLForm MTL N NML OS PD PL Menge der korrekt geformten aussagenlogischen Formeln Aussagenkalkül Aussagenlogik Menge der Aussagesymbole Assumption-based Truth Maintenance-Systeme Menge der Booleschen Werte Barcansche Formel Duration Calculus Deontische Logik Disjunktive Normalform Epistemische Logik Menge der globalen Variablen Hilbertscher Kalkül Intuitionistische Logik Intuitionistischer Aussagenkalkül Intervall-temporale Logik Justification-based Truth Maintenance-Systeme Kanonische Disjunktive NormalforKKNKanonische Konjunktive Normalform Kanonische Disjunktive Normalform Konjunktive Normalform Länge eines Intervalls Kalkül von Lukasiewic Modale Logik Menge der korrekt geformten modallogischen Formeln Minimal Tense Logic Menge der natürlichen Zahlen Nichtmonotone Logik Old System (der DL) Beweissystem für partielle Korrektheit deterministischer Programme Prädikatenlogik XI

11 XII Abkürzungsverzeichnis R Menge der reellen Zahlen R+ Menge der nicht-negativen reellen Zahlen SDL Standardsystem der deontischen Logik SV Menge der Zustandsvariablen (state variables) TD Beweissystem für totale Korrektheit deterministischer Programme TL Temporale Logik TMS Truth Maintenance-Systeme TV Menge der temporalen Variablen Var Menge der Variablen VWL Logik für verteiltes Wissen VWLForm Menge der korrekt geformten Formeln der VWL wlp schwächste Vorbedingung (weakest liberal precondition)