Illustrierende Aufgaben zum LehrplanPLUS

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1 Aufgaben zur Förderung grundlegender Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten Lernbereich M 6 1. Jahrgangsstufe 6 Fach Zeitrahmen Benötigtes Material Mathematik je Aufgabe bis 10 Minuten pro Schülerin und Schüler eine Aufgabenstellung (alternativ: Projektion der Aufgabenstellung, z. B. mittels Computer & Beamer oder Dokumentenkamera & Beamer) Kompetenzerwartungen des neuen Lernbereichs, auf den sich die Aufgaben indirekt beziehen (vgl. Hinweise) M6 1. Multiplikation und Division rationaler Zahlen Die Schülerinnen und Schüler berechnen auf der Grundlage tragfähiger inhaltlicher Vorstellungen zu den Operationen (z. B. Anteilsbildung, Verteilen, Aufteilen) die Werte von Produkten und Quotienten rationaler Zahlen in verschiedenen Darstellungsformen (insbesondere Bruch, gemischte Zahl, Dezimalbruch), bei angemessen gewählten Zahlen auch im Kopf. berechnen die Werte von Potenzen mit natürlichen Exponenten und rationalen Basen; sie deuten Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten als Schreibweise für Brüche mit Zähler 1, wenden dies in Rechnungen an und interpretieren Darstellungen von Alltagsgrößen, die Zehnerpotenzen mit negativen Exponenten enthalten. erkennen und nutzen Rechenvorteile, die sich durch Anwendung von Kommutativ- und Assoziativgesetz bzw. dadurch ergeben, dass man die hinsichtlich des Rechenaufwands jeweils günstigste Darstellungsform rationaler Zahlen für die Berechnung auswählt. Hinweise Die Aufgaben unterstützen das Anliegen, grundlegende Kenntnisse, Vorstellungen, Fähigkeiten und Fertigkeiten systematisch zu wiederholen, zu üben und zu vertiefen, und werden vorerst in den Jgst. und 6 für jeden Lernbereich angeboten. Aufgaben mit unmittelbarem Bezug zum neuen Lernbereich (vorbereitende Aufgaben) Die Aufgaben im ersten Abschnitt beziehen sich jeweils auf grundlegende Lehrplaninhalte vorhergehender Jahrgangsstufen (inklusive der Grundschule) sowie ggf. vorhergehender Lernbereiche der Jgst. 6, die eine wesentliche Grundlage für einen erfolgreichen Kompetenzerwerb im neuen Lernbereich darstellen (z. B. Lernbereich M6 Prozentrechnung, Daten und Diagramme : Aufgabe zur aus Lernbereich M6 1.1 bekannten Prozentschreibweise). Für den neuen Lernbereich haben diese Aufgaben somit vorbereitenden Charakter, ohne dabei dessen Inhalte vorwegzunehmen. Seite 1 von 7

2 Aufgaben ohne unmittelbaren Bezug zum neuen Lernbereich (ergänzende Aufgaben) Im zweiten Abschnitt werden jeweils ergänzend Aufgaben zu grundlegenden Lehrplaninhalten vorhergehender Jahrgangsstufen angeboten, die keinen unmittelbaren Bezug zum neuen Lernbereich oder gar zur gesamten Jahrgangsstufe haben (z. B. Lernbereich M6 1.1 Bruchteile und Bruchzahlen : Aufgabe zum aus Jgst. bekannten Zählprinzip). Die Anzahl der zu einem Lernbereich angebotenen Aufgaben ist jeweils verhältnismäßig klein gewählt. Dies soll den Lehrkräften eine zeitaufwändige Sichtung ersparen und einen unmittelbaren Einsatz der Aufgaben ermöglichen. Material zur Aufgabe In der ergänzend zum Download angebotenen Zipdatei befindet sich eine editierbare Version der Aufgaben (Word-Datei). Seite 2 von 7

3 Aufgaben 1 Aufgaben mit unmittelbarem Bezug zum Lernbereich M6 1., Multiplikation und Division rationaler Zahlen Aufgabe 1 (natürliche Zahlen schriftlich multiplizieren und dividieren) a) Berechne schriftlich: i) ii) 681:17 b) Ergänze die drei fehlenden Ziffern: = 1 Aufgabe 2 (ganze Zahlen multiplizieren und dividieren) a) Juli hat sich die Vorzeichenregeln für die Multiplikation und Division ganzer Zahlen in der. Klasse vereinfacht aufgeschrieben. Ergänze sinngemäß: Regel 1: Plus mal Plus ergibt Plus und Plus durch Plus ergibt. Regel 2: Plus mal Minus ergibt und Plus durch Minus ergibt. Regel : Minus mal Plus ergibt und Minus durch Plus ergibt. Regel : Minus mal Minus ergibt und Minus durch Minus ergibt. b) Gib die Besonderheiten an, die bei der Multiplikation und Division hinsichtlich der Zahl Null zu beachten sind. c) Berechne im Kopf. i) 17 ( ) ii) 91: 7 iii) ( 1) 2 iv) ( ) v) 1 : ( 6) Aufgabe (das Rechnen mit Größen im Sachzusammenhang erläutern) Verfasse zu den Rechenausdrücken jeweils eine kurze Rechengeschichte; gib auch jeweils das Ergebnis der Rechnung an. a) 17kg : 00 g b) m : 9 c) 2cm 0cm Aufgabe (Bruchzahlen in verschiedenen Darstellungen angeben) a) Die Zeile für die erste Zahl ist bereits ausgefüllt. Vervollständige die anderen Zeilen entsprechend. vollständig gekürzter Bruch falls möglich: gemischte Zahl Dezimalbruch 2 2,7 2 b) Beschreibe, wie man bei einem vollständig gekürzten Bruch erkennen kann, ob sich dieser in einen endlichen Dezimalbruch umwandeln lässt , Seite von 7

4 Aufgabe (Werte von Potenzen mit natürlichen Exponenten berechnen) a) Vor langer, langer Zeit lag ein reicher Vater von zwölf Kindern im Sterben. Er legte noch fest, dass sein erstes Kind eine Goldmünze, sein zweites Kind zwei Goldmünzen, sein drittes vier Goldmünzen, sein viertes Kind acht Goldmünzen usw. bekommen soll. Berechne, wie viele Goldmünzen das zwölfte Kind demnach bekommen wird. Gib auch einen möglichst kurzen Term an, mit dem man diese Anzahl berechnen kann. b) Ergänze die richtigen Fachbegriffe der Potenzrechnung: Im Term 7 heißt die Zahl 7 und die Zahl. Der Term selbst ist eine. c) Berechne jeweils im Kopf. i) v) ii) vi) ( ) iii) vii) d) Gib jeweils eine passende Zahl für das Kästchen an. i) = 12 ii) ( ) 1 = 1 iii) iv) ( ) viii) ( ) ( ) = 81 iv) = 2 Aufgabe 6 (große Zahlen mithilfe von Zehnerpotenzen darstellen) a) Berechne und gib das Ergebnis in Worten an. (Beispiel: 10 = 1000 = 000 ; in Worten: dreitausend) i) 7 10 ii) b) Schreibe mithilfe von Zehnerpotenzen möglichst einfach. (Beispiel: = 10 ) i) ii) 70 Billiarden c) Berechne und gib das Ergebnis mithilfe einer Zehnerpotenz an d) Der Andromedanebel (eine Galaxie) ist das fernste Objekt, das man mit bloßem Auge in 18 klaren Nächten sehen kann. Er ist etwa 2 10 km von der Erde entfernt. Rechne diese Entfernung in Meter um und gib sie ohne Potenzschreibweise an. Aufgabe 7 (Kommutativ- und Assoziativgesetz der Multiplikation anwenden) a) Nenne jeweils den Namen des Rechengesetzes, das für alle a,b,c Z bzw. alle a,b Z gilt. ( a b) c = a ( b c) Name: a b = b a Name: b) Gib jeweils ein Zahlenbeispiel an, das zeigt, dass die beiden obigen Rechengesetze nicht auf die Division übertragen werden können. c) Berechne vorteilhaft durch Anwenden der beiden Rechengesetze: i) ( 8) ii) ( ) iii) ( ) ( ) Seite von 7

5 2 Aufgaben ohne unmittelbaren Bezug zum Lernbereich Aufgabe 8 (mit Größen im Sachzusammenhang rechnen) In jedem Handy und in jedem Smartphone sind etwa 8,2 g Kupfer, 0,17 g Silber und 2mg Gold verbaut. Allein in Deutschland sind geschätzt etwa 100 Millionen Handys und Smartphones nicht mehr in Benutzung. Da sie häufig unbenutzt in Schubladen liegen, nennt man diese auch Schubladenhandys. a) Berechne für jedes der drei oben genannten Metalle die ungefähre Masse, die sich insgesamt in diesen Schubladenhandys befindet. b) Ein Kilogramm Kupfer hat einen Wert von etwa,80, ein Kilogramm Silber von etwa 60 und ein Kilogramm Gold von etwa 6000 (Stand: Mai 2018). Berechne jeweils den ungefähren Wert der Vorräte jedes der drei genannten Metalle in den Schubladenhandys in Deutschland. Aufgabe 9 (mit Flächeneinheiten verständig umgehen) Fabian schneidet aus Papier Quadrate mit der Seitenlänge 20 cm aus. a) Gib den Flächeninhalt eines solchen Quadrats in den Einheiten cm 2, dm 2 und m 2 an. b) Ermittle, wie viele solche Quadrate er benötigt, um ein Quadrat mit dem Flächeninhalt 2 1m auszulegen. Aufgabe 10 (die Unendlichkeit der Menge der natürlichen Zahlen erläutern) a) Gib jeweils den Vorgänger und den Nachfolger in der Menge der natürlichen Zahlen an. i) 17 ii) 1700 iii) 17 Milliarden iv) 17 Billionen b) Dein Banknachbar behauptet, dass er die größte natürliche Zahl gefunden hat. Er will sie dir jedoch nicht verraten. Begründe, dass diese Zahl egal wie groß sie auch sein mag nicht die größte natürliche Zahl ist. Seite von 7

6 Lösungshinweise Die Lösungshinweise dienen in erster Linie der Unterstützung der Lehrkräfte; sie enthalten keine vollständigen Lösungen der Aufgaben und gehen i. d. R. nicht auf mögliche gleichwertige alternative Lösungswege ein. zu Aufgabe 1 a) i) 070 ii) 0 b) = 10 0 zu Aufgabe 2 a) b) Multiplikation: Ist bei einem Produkt mindestens ein Faktor gleich null, so ist der Wert des Produkts gleich null. Division: Die Division durch die Zahl Null ist nicht möglich. Wird jedoch die Zahl Null durch eine ganze Zahl (ungleich null) dividiert, so ist der Wert des Quotienten gleich null. c) i) 1 ii) 1 iii) 22 iv) 0 v) 2 zu Aufgabe a) z. B.: 17kg Gips wird in 00 g-päckchen aufgeteilt. Ergebnis (Anzahl der Päckchen): b) z. B.: Ein m langes Seil wird in 9 gleich lange Seilstücke zerteilt. Ergebnis (Länge eines Seilstücks): m c) z. B.: Der Flächeninhalt eines Rechtecks mit den Seitenlängen 2cm und 0cm soll 2 bestimmt werden. Ergebnis: 120cm zu Aufgabe a) vollständig gekürzter Bruch falls möglich: gemischte Zahl Dezimalbruch 2 2,7 2, , ,87 b) Ein vollständig gekürzter Bruch ist genau dann als endlicher Dezimalbruch darstellbar, wenn die Primfaktorzerlegung des Nenners keine Zahlen außer Zweien und Fünfen enthält. zu Aufgabe a) 2 = 208. Das zwölfte Kind würde 208 Goldmünzen bekommen. b) Basis; Exponent; Potenz Seite 6 von 7

7 c) i) 81 ii) 6 iii) 12 iv) 81 v) 81 vi) 6 vii) 6 viii) 12 d) i) = ii) jede ungerade Zahl, also z. B. = 1 iii) = oder = - iv) = -2 zu Aufgabe 6 a) i) ; siebenhunderttausend b) i) c) ii) ; dreißig Billionen neunhundert Milliarden ii) d) m (Das sind 21 Nullen!) zu Aufgabe 7 a) Assoziativgesetz der Multiplikation; Kommutativgesetz der Multiplikation. b) z. B.: ( ) 8: :2 2:2 1 die Division übertragen. = =, aber ( ) 8: :2 = 8:2= ; also lässt sich das Assoziativgesetz nicht auf 2:1= 2, aber 1: 2 = 0, ; also lässt sich das Kommutativgesetz nicht auf die Division übertragen. c) i)... = 2 1 = = 100 ii) ( ( )) ( ) iii) ( ) ( )... = = = = = 9 10 = 90 zu Aufgabe 8 a) Kupfer: insgesamt 82 t ; Silber: insgesamt 17 t ; Gold: insgesamt 2, t b) Kupfer: 82 t haben einen Wert von etwa,8 Millionen. Silber: 17 t haben einen Wert von etwa 7,8 Millionen. Gold: 2, t haben einen Wert von etwa 90 Millionen. zu Aufgabe 9 a) Flächeninhalt: cm 20cm = 00cm = dm = 0,0m b) Fabian benötigt = 2 solche Quadrate. zu Aufgabe 10 a) i) 16; 18 ii) 1699; 1701 iii) ; iv) ; b) Da jede natürlich Zahl einen Nachfolger besitzt, hat auch die Zahl des Banknachbarn einen Nachfolger, kann also nicht die größte natürliche Zahl sein. Seite 7 von 7