Illustrierende Aufgaben zum LehrplanPLUS

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1 Aufgaben zur Förderung grundlegender Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten Lernbereich M Jahrgangsstufe 6 Fach Zeitrahmen Benötigtes Material Mathematik je Aufgabe 5 bis 10 Minuten pro Schülerin und Schüler eine Aufgabenstellung (alternativ: Projektion der Aufgabenstellung, z. B. mittels Computer & Beamer oder Dokumentenkamera & Beamer) Kompetenzerwartungen M6 1 Rationale Zahlen M6 1.1 Bruchteile und Bruchzahlen Die Schülerinnen und Schüler deuten Aussagen, in denen Anteile vorkommen, richtig und veranschaulichen Anteile auf unterschiedliche Weise, insbesondere mit Flächendiagrammen (Kreis- und Rechteckdiagramme). Sie bestimmen Anteile, Bruchteile sowie das jeweils zugehörige Ganze. erläutern anhand von Beispielen, dass Erweitern und Kürzen den Wert eines Bruchs nicht verändern. Sie wählen beim Größenvergleich von Brüchen geeignete Strategien; bei Verwendung des Hauptnenners ermitteln sie diesen auch mithilfe eines algorithmischen (z. B. auf der Primfaktorzerlegung basierenden) Verfahrens. wissen, dass Prozentangaben eine im Alltag häufig verwendete alternative Schreibweise für Brüche sind, und bearbeiten damit einfache alltagsbezogene Fragestellungen. interpretieren Brüche als Darstellungen von Zahlen. Sie beschreiben die Zusammenhänge zwischen den natürlichen, den ganzen und den rationalen Zahlen und erläutern wesentliche Unterschiede zwischen den entsprechenden Zahlenmengen (z. B. Eindeutigkeit der Darstellung, Existenz von Vorgänger und Nachfolger). Sie stellen positive und negative Bruchzahlen auf der Zahlengeraden dar und ordnen diese begründet der Größe nach. Hinweise Die Aufgaben unterstützen das Anliegen, grundlegende Kenntnisse, Fähigkeiten und Fertigkeiten systematisch zu wiederholen, zu üben und zu vertiefen, und werden vorerst in den Jgst. 5 und 6 für jeden Lernbereich angeboten. Die Aufgaben im ersten Abschnitt beziehen sich jeweils auf grundlegende Lehrplaninhalte auch vorhergehender Jahrgangsstufen (inklusive der Grundschule), die eine wesentliche Grundlage für einen erfolgreichen Kompetenzerwerb in diesem Lernbereich darstellen (z. B. Lernbereich M6 3 Prozentrechnung, Daten und Diagramme : Aufgabe zur aus Lernbereich M6 1.1 bekannten Prozentschreibweise). Seite 1 von 7

2 Im zweiten Abschnitt werden jeweils ergänzend Aufgaben zu grundlegenden Lehrplaninhalten vorhergehender Jahrgangsstufen angeboten, die keinen unmittelbaren Bezug zum jeweiligen Lernbereich oder gar zur gesamten Jahrgangsstufe haben (z. B. Lernbereich M6 1.1 Bruchteile und Bruchzahlen : Aufgabe zum aus Jgst. 5 bekannten Zählprinzip). Die Anzahl der zu einem Lernbereich angebotenen Aufgaben ist jeweils verhältnismäßig klein gewählt. Dies soll den Lehrkräften eine zeitaufwändige Sichtung ersparen und einen unmittelbaren Einsatz der Aufgaben ermöglichen. Material zur Aufgabe In der ergänzend zum Download angebotenen zip-datei befindet sich eine editierbare Version der Aufgaben (Word-Datei). Seite 2 von 7

3 Aufgaben 1 Aufgaben mit unmittelbarem Bezug zum Lernbereich M6 1.1, Bruchteile und Bruchzahlen Aufgabe 1 (Daten in einem Säulendiagramm darstellen) Das Matteus-Gymnasium in Maldorf hat genau 1000 Schülerinnen und Schüler, von denen zufälligerweise exakt die Hälfte Mädchen sind. Tierisch lustig findet die SMV, dass die Anzahl der Haustiere der Schülerinnen und Schüler und die Anzahl der Lehrkräfte zusammen genau der Anzahl der Schülerinnen und Schüler entsprechen. Weiter verkündet die SMV: Das ist echt witzig, es gibt genau neunmal so viele Haustiere wie Lehrkräfte. So hat es auf jeden Fall die Umfrage unter den Schülern ergeben. Stelle die Anzahlen der Schülerinnen und Schüler, der Mädchen, der Jungen, der Lehrkräfte und der Haustiere in einem Säulendiagramm dar. Aufgabe 2 (Aussagen zu Zahlenmengen überprüfen) Fünf Freunde machen ein Rechenspiel: Emil darf in jeder Runde zwei beliebige natürliche Zahlen wählen und muss diese nennen. Anschließend addiert Alia diese beiden Zahlen, Basti subtrahiert sie, Cedric multipliziert sie und Dorina dividiert sie. Die fünf Freunde überlegen, welche Zahlen sich dabei als Ergebnisse ergeben können. Fülle die Tabelle aus, indem du in die leeren Felder ein passendes Beispiel oder nicht möglich einträgst. Die Zeile für die Addition ist bereits ausgefüllt Das Ergebnis kann eine natürliche Zahl sein. eine negative ganze Zahl sein. eine Zahl sein, die keine ganze Zahl ist. Alia (Addition zweier natürlichen Zahlen) Bsp.: = 11 nicht möglich nicht möglich Basti (Subtraktion zweier Cedric (Multiplikation zweier Dorina (Division zweier Seite 3 von 7

4 Aufgabe 3 (Größenangaben, die Bruchteile beschreiben, in anderen Schreibweisen darstellen) Ergänze die Sätze jeweils, indem du die Größe in einer anderen passenden Einheit angibst. Beispiel: Sonja wohnt einen halben Kilometer vom Schwimmbad entfernt, das sind 500 m. a) Xenia fährt eine Dreiviertelstunde mit dem Bus zur Schule, das sind. b) Detlef benötigt für seinen Kuchen 1 4 der 1-kg-Packung Mehl, das sind. c) Eine Tafel Schokolade wiegt nur ein Zehntel von einer 1-kg-Packung Mehl, das entspricht. d) In das Saftglas von Sanja passt in etwa ein Drittel von einer 1-Liter-Flasche, das sind ungefähr. e) Udo behauptet, dass ein Fünftel der 864 Schülerinnen und Schüler an seinem Gymnasium Fußball-Fans sind, das wären ungefähr. Aufgabe 4 (natürliche Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegen) a) Bestimme zu den Zahlen jeweils die Primfaktorzerlegung und verwende bei der Darstellung die Potenzschreibweise. Beispiel: 48 = (1) 360 (2) 722 (3) 1323 b) Schreibe eine Zahl auf, deren Primfaktorzerlegung drei unterschiedliche Primfaktoren jeweils genau zweimal enthält. Aufgabe 5 (ganze Zahlen der Größe nach ordnen und an einer Zahlengeraden darstellen) Gib neun Zahlen zwischen 100 und an, für die Folgendes gilt: An der Zahlengeraden ist der Abstand der zweiten von der dritten Zahl doppelt so groß wie der Abstand der ersten von der zweiten Zahl; der Abstand der dritten von der vierten Zahl ist doppelt so groß wie der Abstand der zweiten von der dritten Zahl, usw. Schreibe deine neun Zahlen als Ungleichungskette und veranschauliche die Zahlen so genau wie möglich an einer geeigneten Zahlengeraden. Seite 4 von 7

5 2 Aufgaben ohne unmittelbaren Bezug zum Lernbereich Aufgabe 6 (einfache Gleichungen lösen) Lilli Lustig hat Spaß daran, Mathematik-Aufgaben leicht abzuändern und zu beobachten, was dabei passiert. Sie überlegt sich, auf wie viele Arten man die Glieder der Gleichung x = 847 vertauschen kann, und ermittelt folgende Gleichungen: x = x = = x x = 847 x = = x a) Begründe ohne zu rechnen, dass je zwei Gleichungen dieselbe Lösung besitzen. b) Bestimme die Lösungen aller sechs Gleichungen. c) Schreibe ebenso für die Gleichung 847 x = 582 alle Gleichungen auf, die entstehen, wenn man die Glieder vertauscht. Bearbeite anschließend auch zu diesen Gleichungen die Aufgaben a und b. Aufgabe 7 (natürliche Zahlen schriftlich multiplizieren und dividieren und Ergebnisse überschlagen) Betrachte die folgenden Terme. (I) (II) : 4 (III) (IV) :17 (V) a) Ordne die fünf Terme ihren Werten entsprechend der Größe nach, beginnend mit dem kleinsten; bestimme dazu die ungefähren Werte durch passende Überschlagsrechnungen. b) Berechne nun die Werte der Terme schriftlich und überprüfe damit deine Anordnung der Terme aus Aufgabe a Aufgabe 8 (in Sachzusammenhängen die Anzahl von Möglichkeiten bestimmen) Für elektronische Anwendungen wird oftmals zur Sicherheit eine PIN (personal identification number) verwendet, z. B. zum Entsperren eines Handys. a) Oftmals kommt eine vierstelligen PIN zum Einsatz, wie z. B oder Bestimme die Anzahl der verschiedenen PINs, die man so bilden kann. b) Lola ist der Meinung, dass es viel sicherer wäre, anstelle von Ziffern Buchstaben zu verwenden: Man bräuchte nur eine Kombination aus drei Buchstaben und hätte schon eine größere Sicherheit als mit einer vierstelligen PIN. Beurteile die Aussage von Lola mithilfe einer Rechnung. Gehe dabei davon aus, dass nur Großbuchstaben (ohne Umlaute) erlaubt sind. c) Sven mag lieber die Handy-Sicherung durch ein Wischmuster, bei dem man mit dem Finger auf einem Feld mit neun Punkten ein Entsperrmuster zeichnen muss. Leider hat er sein Muster vergessen und weiß nur noch die ersten vier Schritte (vgl. Abbildung) und, dass sein Muster alle neun Punkte genau einmal erreicht hat. Untersuche, ob er es mit höchstens zehn Versuchen sicher schaffen kann, sein Muster zu finden, bevor sein Handy gesperrt wird. Seite 5 von 7

6 Lösungshinweise Die Lösungshinweise dienen in erster Linie der Unterstützung der Lehrkräfte; sie enthalten keine vollständigen Lösungen der Aufgaben und gehen i. d. R. nicht auf mögliche gleichwertige alternative Lösungswege ein. zu Aufgabe 1 zu Aufgabe 2 Alia (Addition zweier natürlichen Zahlen) Basti (Subtraktion zweier Cedric (Multiplikation zweier Dorina (Division zweier eine natürliche Zahl sein. Das Ergebnis kann eine negative ganze Zahl sein. eine Zahl sein, die keine ganze Zahl ist. Bsp.: = 11 nicht möglich nicht möglich Bsp.: 5 2 = 3 Bsp.: 2 5 = 3 nicht möglich Bsp.: 1 2 = 2 nicht möglich nicht möglich Bsp.: 8:2= 4 nicht möglich Bsp.: 5 : 3 = 1R2 zu Aufgabe 3 a) 45 min b) 250 g c) 100 g d) 330 ml e) 170 zu Aufgabe a) (1) 360 = (2) 722 = 2 19 (3) 1323 = b) z. B.: 900 = zu Aufgabe 5 z. B.: 99 < 98 < 96 < 92 < 84 < 68 < 36 < 28 < 156 Seite 6 von 7

7 zu Aufgabe 6 Illustrierende Aufgaben zum LehrplanPLUS a) Vertauscht man jeweils nur die beiden Summanden auf der linken Seite der Gleichung, verändert sich der Wert von x aufgrund des Kommutativgesetzes der Addition nicht. b) Gleichungen links: x = 265 ; Gleichungen Mitte : x = 265 ; Gleichungen rechts: x = 1429 c) (1) 847 x = 582 (3) 582 x = 847 (5) = x (2) x 847 = 582 (4) x 582 = 847 (6) = x Begründung: Jedes Ergebnis für x kommt zweimal vor, da immer zwei Gleichungen zusammen als Aufgabe und Umkehraufgabe verstanden werden können. Lösungen: x = 265 (Gleichungen 1 und 5); x = 1429 (Gleichungen 2 und 4); x = 265 (Gleichungen 3 und 6) zu Aufgabe 7 a) = : : 4 = = : : 20 = = Reihenfolge: (IV) < (V) < (III) < (I) < (II) b) (I) (II) (III) (IV) 368 (V) zu Aufgabe 8 a) Anzahl der Möglichkeiten: = b) Anzahl der Möglichkeiten: = Lola hat recht, da es mehr Möglichkeiten gibt und der Code damit schwerer zu knacken ist. Einfache und bekannte Kombinationen, wie z. B. SOS, sollte man nicht wählen, da diese eventuell zuerst ausprobiert werden. Dies sollte man aber bei Zahlenfolgen ebenfalls beachten und z. B. nicht 1234 als PIN wählen. c) Anzahl der Möglichkeiten: = 8 Er kann es also sicher mit zehn Versuchen schaffen. Seite 7 von 7