Prozessautomatisierung 2. Praktikum

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1 Johannes Kepler Universität Linz Institut für Regelungstechnik und Prozessautomatisierung Prozessautomatisierung 2 Praktikum ẋ = Ax+Bu v u y y = Cx+Du ẇ = Âw+ ˆB u u+ ˆB y y ˆx = Ĉw+ ˆD u u+ ˆD y y K ˆx Stand: SS 2015 Sven-Olaf Lindert

2 Organisation Ansprechpersonen Bei Fragen zu den Aufgaben stehen Ihnen am Institut Sven-Olaf Lindert zur Verfügung Vor jedem Praktikum werden zwei Tutorien angeboten Die Termine werden zeitgerecht auf der Institutshomepage veröffentlicht Nach Möglichkeit bitte Fragen im Tutorium abklären Praktikumsdurchführung Das Praktikum wird grundsätzlich in Zweiergruppen absolviert Die Gruppeneinteilung erfolgt in der Vorbesprechung Die Aufgabenstellungen werden zeitgerecht auf der Institutshomepage im Downloadbereich zur Verfügung gestellt Alle PraktikumsteilnehmerInnen müssen mit der Lösung der Aufgabenstellungen vertraut sein Um dies zu überprüfen werden in unregelmäßigen Abständen Einzelaufgaben gestellt Rechnerraum Der Rechnerraum (MT Science Park 4 Stock) steht allen PraktikumsteilnehmerInnen zur Verfügung Sie können Ihre Keplerkarten für die Dauer des Praktikums freischalten lassen Folgende Punkte sind zu beachten: Der Rechnerraum muss nach dem Benützen wieder ordnungsgemäß verlassen und versperrt werden Zu zwischenspeichern Ihrer Daten nutzen Sie bitte das Laufwerk E:\> Bitte legen Sie keine Dateien dauerhaft auf den Rechnern ab Die Laufwerke werden gelegentlich von den Studentendaten gesäubert, dh bringen Sie ins Praktikum ihre Daten auf einem Datenträger (USB-Stick, externe Festplatte, CD,) mit 1

3 Stecken Sie keine dspace-verbindungskabel bei laufenden Rechnern um! Bei unsachgemäßer Behandlung kann es zur Beschädigung der dspace-karten kommen Sollten die Arbeitsplätze nicht für den Betrieb der Streckensimulatoren vorbereitet sein, so wenden Sie sich bitte an einen Institutsangestellten Sollten bei den Rechnern technische Gebrechen auftreten, so ist dies ebenfalls am Institut zu melden! Es ist nicht möglich mit den Laborrechnern ins Internet zu gelangen Nutzen Sie die Software Maple 17, Matlab R2013b und dspace Control Desk 51 Es sind auch andere installiert Kontrollieren Sie, ob ihre Dateien kompatibel sind Im Praktikum kann keine Rücksicht auf nicht funktionierende Ausarbeitungen genommen werden, und es ist nicht möglich das Praktikum mit einem privaten Rechner zu absolvieren! 2

4 Kapitel 1 Identifikation mit parametrischen Modellen und Regelungsnormalform Der erste Teil des ersten PAT 2 Praktikums steht im Zeichen der Identifikation dynamischer Systeme Im Gegensatz zu den nicht parametrischen Methoden, welche in PAT 1 behandelt werden, sollen hier so genannte parametrische Methoden zur Anwendung kommen Dabei geht es darum die Koeffizienten einer Übertragungsfunktion zu bestimmen Die Algorithmen beruhen darauf, dass ein zuvor definierter Fehler minimiert wird Dieser Fehler ist im Speziellen als die quadratische Abweichung zwischen einem Modellsignal und dem tatsächlich gemessenen Signal gegeben Ziel ist vor allem die Behandlung und praktische Anwendung von industriell bereits weitverbreiteten Identifikationsverfahren, aber auch die Vermittlung des tieferen Verständnisses dieser Verfahren Die Identifikation soll in 3 Schritten erfolgen: 1 in der Simulation, 2 am Streckensimulator, 3 am realen Modell Dazu ist es notwendig die Verfahren geeignet zu implementieren, sodass sie sowohl in der Simulation als auch am Signalprozessor getestet werden können Neben der Identifikation werden systemtheoretische Untersuchungen und die Berechnung von Normalformen behandelt 11 Matlab-Programme für die Identifikation Im ersten Teil dieses Praktikums sollen die in der Vorlesung vorgestellten Algorithmen zur Identifikation linearer zeitinvarianter Systeme in Matlab/Simulink implementiert werden 3

5 K O = 2 > Kapitel 1 Identifikation 11 Matlab-Programme für die Identifikation Aufgabe 11 Offline- und Online-Identifikation Ein lineares, zeitinvariantes System ist durch seine z-übertragungsfunktion m b i z i G(z) = i=0 n mit a n = 1 a i z i i=0 eindeutig beschrieben Die Identifikation wird nach der Methode der gewichteten kleinsten Quadrate durchgeführt Für den Fehler e wird die Norm verwendet e Q = e T Qe mit Q = diag ( q N,q N 1,,1 ) R N N, 0 < q 1 1 Implementieren Sie in Matlab zwei Programme zur Offline-Identifikation, wobei dem ersten die Berechnung mit den Matrizen und dem zweiten die Berechnung mit den rekursiven Formeln zugrunde liegt Die Programme sollen in der Form G = identoff(u,y,m,n,q,t a ) bzw G = identoffrek(u,y,m,n,q,t a ) mit den Übergabeparametern u y n m q und dem Rückgabeparameter G T a Eingangsfolgenwerte Ausgangsfolgenwerte Nennergrad Zählergrad Gewichtungsfaktor Abtastzeit in s identifizierte Strecke ( tf-objekt) aufgerufen werden können Der Test der Algorithmen gelingt durch Vorgabe einer z-übertragungsfunktion und Simulation 2 Implementieren Sie in Matlab/Simulink den Algorithmus zur Online Identifikation mit Hilfe der gewichteten kleinsten Quadrate als Blockdiagramm Kapseln Sie das Diagramm in ein Subsystem, das die Ein- und Ausgänge nach Bild 11 aufweist E A A J E B E? = J E Abbildung 11: Simulink-Block zur Online-Identifikation Als Blockparameter sollen der Zählergrad m, der Nennergrad n, das Gewicht q und die Abtastzeit T a verwendet werden Testen Sie Ihre Implementierung anhand verschiedener einfacher Strecken in Simulink 4

6 N D Kapitel 1 Identifikation 12 Der Wassertank 12 Der Wassertank Das Labormodell Wassertank ist im Bild 12 dargestellt Dabei handelt es sich um zwei gekoppelte Behälter, deren Füllstandshöhen h 1 und h 2 mittels Pumpen beeinflusst werden können Als Aktuatoren dienen die Pumpenmotore M 1 und M 2 mit den Ankerspannungen u MP,1 und u MP,2 N K N G K D G = > K N G = > Abbildung 12: Das Labormodell Wassertank 121 Mathematische Beschreibung Für die mathematische Beschreibung dieses Aufbaus können folgende Vereinfachungen getroffen werden Die Dichte des Fluids kann als konstant angenommen werden Die Volumenströme q zu,1, q zu,2 der Aktuatoren können über die Motorspannungen u MP,1, u MP,2 nach der Beziehung q zu,1 = k MP,1 u MP,1 q zu,2 = k MP,2 u MP,2 eingestellt werden Hier wurden die Maschinenkonstanten k MP,1, k MP,2 eingeführt Die Behälter weisen die Form eines vierseitigen Pyramidenstumpfes mit quadratischer Grundfläche auf Die Kantenlängen eines Querschnittes sind durch d(x i ) = d 0,i +k i x i, i = 1,2 gegeben Die Strömungsgeschwindigkeiten des Fluids v ab,1, v ab,2 am Abfluss der Behälter können durch die Toricelli sche Ausflussformel v ab,1 = 2gh 1, v ab,2 = 2gh 2 beschrieben werden Die Abflussquerschnitte seien mit A ab,1, A ab,2 bezeichnet 5

7 N D Kapitel 1 Identifikation 122 Aufgaben ImWeiteren werden alsausgangsgrößendievolumenströmeq ab,1,q ab,2 unddiefüllstandshöhen h 1, h 2 verwendet 122 Aufgaben Aufgabe 12 Modellbildung des Wassertankmodells 1 Bestimmen Sie mit obigen Angaben ein mathematisches Modell des Eintankmodells (Bild 13) G K G A N J K N G = > Abbildung 13: Das Eintankmodell 2 Bestimmen Sie weiters ein mathematisches Modell des Zweitankmodells (Bild 12) unter Verwendung der Ergebnisse aus Punkt 1 Aufgabe 13 Linearisierung (mit Maple) 1 Berechnen Sie den stationären Zustand x s als Funktion der stationären Ankerspannungen u PM,1s > 0, u PM,2s > 0 für q d = 0 2 Ermitteln Sie das linearisierte Modell um einen allgemeinen stationären Arbeitspunkt Für die folgenden Simulationen und Untersuchungen sollen die Parameter = 1000kg/m 3 g = 981 m/s 2 A ab,1 = 001m 2 u MP,1 24V A ab,2 = 001m 2 u MP,2 24V k MP,1 = m 3 /Vs k MP,2 = m 3 /Vs k 1 = 05 d 0,1 = 01m k 2 = 04 d 0,2 = 02m (11) verwendet werden 6

8 Kapitel 1 Identifikation 13 Der Torsionsschwinger Aufgabe 14 Implementierung des Simulationsmodells 1 Implementieren Sie das ermittelte Zweitankmodell aus Aufgabe (12) als M-Code-S- Function (siehe Automatisierungstechnik Praktikum) in Simulink 2 Um eine S-Function auf die dspace Hardware laden zu können, ist es notwendig, diese in der Sprache C zu schreiben Eine Einführung in diese genannten C-Code-S- Functions befinden sich in der Matlab Hilfe Simulink Block Creation Host- Specific Code Dort finden Sie auch Beispiele Der S-Function-Builder ist dabei eine empfehlenswertes Tool Implementieren Sie das Eintankmodell aus Aufgabe (12) als C-Code-S-Function 3 Testen Sie beide S-Functions ausführlich Vergleichen Sie die Simulationsergebnisse der M-Code-S-Function mit den Ergebnissen von zwei kaskadierten C-Code-S- Functions Prüfen Sie die Ergebnisse auf Plausibilität (Während des Praktikums ist keine Zeit C-Programme zu debuggen!) Aufgabe 15 Offline- und Online-Identifikation 1 Bestimmen Sie für das linearisierte Modell und die stationären Eingangsgrößen u MP,1s = 20V, u MP,2s = 10V die Übertragungsmatrix [ ] G11 (s) G G(s) = 12 (s), G 21 (s) G 22 (s) wobei die Übertragungsfunktionen durch G 11 = ĥ1 û MP,1, G 12 = ĥ1 û MP,2, G 21 = ĥ2 û MP,1, G 22 = ĥ2 û MP,2 definiert sind Zeichnen Sie das Bodediagramm der Übertragungsfunktion G 21 (s) 2 Berechnen Sie die z- und q-übertragungsmatrix des linearisierten Modells für die Abtastzeit T a = 100ms sowie den unter Punkt 1 angeführten Arbeitspunkt, der auch für die weiteren Aufgabenstellungen herangezogen werden soll 3 Schalten Sie in Simulink auf das nichtlineare Zweitankmodell eine geeignete Impulsfolge auf und ermitteln Sie mit Hilfe der Offline-Identifikationsprogramme die zugehörigen z-übertragungsfunktionen Vergleichen Sie diese mit den nominellen Übertragungsfunktionen Hinweis: Beachten Sie die Arbeitspunktaufschaltung! 4 Schalten Sie in Simulink auf das nichtlineare Zweitankmodell eine geeignete Impulsfolge auf und ermitteln Sie mit Hilfe des Online-Identifikationsprogrammes aus Aufgabe 11 Punkt 2 die jeweils zugehörigen z-übertragungsfunktionen Vergleichen Sie diese mit den nominellen Übertragungsfunktionen 7

9 Kapitel 1 Identifikation 13 Der Torsionsschwinger E ) 4 ) ) ) M M M!! K ) K K E?? G G G! / A E? D I J H = J H E A >, H A D B A H = I I A 5? D M E C A H A I I K C Abbildung 14: Schematischer Aufbau des Torsionsschwingers 13 Der Torsionsschwinger Bild 14 zeigt den schematischen Aufbau des Labormodells Torsionsschwinger Dabei wird an eine permanenterregte Gleichstrommaschine ein mechanisches System, bestehend aus drei Schwungmassen, die über zwei Torsionsfedern verbunden sind, angekoppelt Unter der Voraussetzung, dass keine Sättigungseffekte auftreten, lautet das mathematische Modell der Gleichstrommaschine i A = 1 L A (u A R A i A k m ω 1 ) ω 1 = 1 Θ 1 (k m i A M Last ) mit der Ankerspannung u A, dem Ankerstrom i A, der Drehwinkelgeschwindigkeit ω 1, der Ankerinduktivität L A, dem Ankerwiderstand R A, der Motorkonstanten k m, dem Trägheitsmoment Θ 1 und dem Lastmoment M Last Das vom Motor erzeugte Moment beträgt demnach M A = k m i A Mit Θ 1, Θ 2 und Θ 3 werden die Trägheitsmomente der drei Stränge und mit c 1 und c 2 die Torsionssteifigkeiten der beiden Kopplungsfedern bezeichnet Weiters wirken in den Lagern geschwindigkeitsproportionale Reibmomente mit den Reibkoeffizienten d 1, d 2 und d 3 sowie auf die Schwungmasse 2 ein Lastmoment M L 131 Das Labormodell Beim Labormodell wurden nachfolgende Daten experimentell festgestellt L A = 8957µH Θ 1 = kgm 2 R A = 6382Ω Θ 2 = kgm 2 k m = Nm/A Θ 3 = kgm 2 u A 24V d 1 = Nms c 1 = Nm/rad d 2 = Nms c 2 = Nm/rad d 3 = Nms 8

10 Kapitel 1 Identifikation 132 Aufgaben 132 Aufgaben Aufgabe 16 Modellbildung des Torsionsschwingers Die Motorspannung u A dient als Stellgröße, als Ausgangsgröße wird die Winkelgeschwindigkeit ω 3 herangezogen Für die Untersuchungen der ersten beiden Punkte gilt M L = 0 1 Ist das System mit den Zustandsgrößen x T = [i A, ϕ 1, ϕ 2, ϕ 3, ω 1, ω 2, ω 3 ] vollständig erreichbar / vollständig beobachtbar? Führen Sie diese Untersuchungen (mit symbolischen Parametern) in Maple durch 2 Istdas Systemmitden Zustandsgrößenx T = [i A, ϕ 2 ϕ 1, ϕ 3 ϕ 2, ω 1, ω 2, ω 3 ] vollständig erreichbar / vollständig beobachtbar? 3 Den Ausgangspunkt für die folgenden Betrachtungen bildet das Zustandsmodell (des vollständig erreichbaren und beobachtbaren Systems) [ ] ua ẋ = Ax+B y = c T x Implementieren Sie dieses Modell in Simulink unter Verwendung obiger Daten 4 Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G(s) mit û A als Eingangsgröße und ˆω 3 als Ausgangsgröße 5 Berechnen Sie die Übertragungsfunktionen G(z) und G # (q) mit T a = 10ms M L Aufgabe 17 Offline- und Online-Identifikation 1 Schalten Sie in Simulink auf das Modell des Torsionsschwingers eine geeignete Impulsfolge auf und ermitteln Sie mit Hilfe der Offline-Identifikationsprogramme die zugehörige z-übertragungsfunktion Vergleichen Sie diese mit der nominellen Übertragungsfunktion 2 Schalten Sie in Simulink auf das Modell des Torsionsschwingers eine geeignete Impulsfolge auf und ermitteln Sie mit Hilfe des Online-Identifikationsprogrammes aus Aufgabe 11 Punkt 2 die zugehörige z-übertragungsfunktion Vergleichen Sie diese mit der nominellen Übertragungsfunktion 9

11 4 + Kapitel 1 Identifikation 14 Ein elektrisches Netzwerk 14 Ein elektrisches Netzwerk Bild 15 zeigt ein aktives elektrisches Netzwerk mit der Eingangsspannung u E und der Ausgangsspannugu A DerOperationsverstärkerwirdfürdienachfolgendenBetrachtungen als ideal angenommen K + 4! + 4 K - K + 4 " K ) 4 # Abbildung 15: Elektrisches Netzwerk 141 Das Labormodell Die Realisierung dieses Modells beruht auf folgenden Bauteilwerten R 1 = 330kΩ R 3 = 110kΩ R 5 = 100kΩ C 1 = 100nF R 4 = 100kΩ C 2 = 33nF, wobei der Widerstand R 2 als Potentiometer ausgeführt ist und im Bereich von 322kΩ bis 332 kω variiert werden kann 142 Aufgaben Aufgabe 18 Modellbildung des elektrischen Netzwerks 1 Bestimmen Sie das mathematische Modell des elektrischen Netzwerks und implementieren Sie dieses in Simulink Achten Sie darauf, dass die Parameter einfach zu verändern sind 2 Berechnen Sie den Wert von R 2 so, dass für die Eigenwerte λ i des Systems gilt Re(λ i ) = 0 3 Berechnen Sie die Übertragungsfunktion des Systems im s-, z- und q-bereich für T a = 1ms 10

12 Kapitel 1 Identifikation 15 Realisierung am DSP 4 Berechnen und zeichnen Sie in Abhängigkeit von R 2 die Pol- und Nullstellen der Übertragungsfunktionen 5 Ist das elektrische Netzwerk vollständig erreichbar / vollständig beobachtbar? Aufgabe 19 Offline- und Online-Identifikation Wählen Sie dazu einen Wert für R 2, für den das System BIBO-stabil ist 1 Schalten Sie in Simulink auf das Modell des elektrischen Netzwerks eine geeignete Impulsfolge auf und ermitteln Sie mit Hilfe der Offline-Identifikationsprogramme die zugehörige z-übertragungsfunktion Vergleichen Sie diese mit der nominellen Übertragungsfunktion 2 Schalten Sie in Simulink auf das Modell des elektrischen Netzwerks eine geeignete Impulsfolge auf und ermitteln Sie mit Hilfe des Online-Identifikationsprogrammes aus Aufgabe 11 Punkt 2 die zugehörige z-übertragungsfunktion Vergleichen Sie diese mit der nominellen Übertragungsfunktion 15 Realisierung am DSP Sowohl bei der Identifikation als auch bei der Implementierung von Regelungsaufgaben hat man das Problem, Echtzeitanforderungen erfüllen zu müssen Im Praktikum werden wir ein inzwischen sehr weit verbreitetes System der Firma dspace verwenden, welches es erlaubt, die Algorithmen für den digitalen Signalprozessor (DSP), graphisch unter Matlab/Simulink zu entwickeln Durch den in der Umgebung integrierten C-Codegenerator, C-Compiler und Linker kann aus dem Simulink-Blockschaltbild der Echtzeit-Assemblercode für den digitalen Signalprozessor erstellt werden Um unter Matlab/Simulink auch die am Signalprozessorboard vorhandenen Analog/Digital Converter (ADC) und Digital/Analog Converter (DAC) ansprechen zu können, stellt dspace eine zusätzliche Bibliothek für Simulink zur Verfügung, welche ADC- und DAC- Blöcke enthält, die somit einfach in das Blockschaltbild integriert werden können Auf der Institutshomepage im Downloadbereich finden Sie ein Datenblatt dieses Signalprozessorsystems (dspace DS1104), welches Ihnen einen Einblick in dessen Leistungsfähigkeit und Architektur geben soll 151 Streckensimulator Der Streckensimulator wird dazu verwendet, die mathematischen Modelle der Strecke getrennt von der Stellgrößenaufschaltung (bzw später vom Regler) ablaufen zu lassen Hierzu sollen jeweils 2 Signalprozessorsysteme zusammengeschaltet werden, wobei einer das Eingangssignal bzw das digitale Regelgesetz realisiert und der zweite DSP die Strecke darstellt Der Vorteil gegenüber der reinen Simulation liegt darin, dass dabei die Strecke asynchron zum Regler ablaufen kann und alle realen Störungen wie Mess- und Quantisierungsrauschen, sowie die Wandlungszeit der A/D- und D/A-Wandler bereits auf das Gesamtsystem wirken 11

13 Kapitel 1 Identifikation 16 Die Regelungsnormalform In Tutorial dspace Matlab2013bpdf finden Sie eine Einführung und ein erstes Beispiel Aufgabe 110 Führen Sie für das elektrische Teilsystem des Torsionsschwinger den Grenzübergang L A 0 durch Die so erhaltene algebraische Gleichung kann nach i A gelöst werden Verwenden Sie diese Beziehung, um das vollständig erreichbare und vollständig beobachtbare mathematische Modell des Torsionsschwingers um das elektrische Teilsystem zu reduzieren Implementieren Sie das reduzierte Modell am Streckensimulator Verwenden Sie für die einzelnen Modelle Subsystem-Blöcke, damit Sie diese einfach austauschen können Führen Sie weiters die Offline-Identifikation am Streckensimulator durch Aufgabe 111 Führen Sie die Online-Identifikation für das mathematische Modell des Torsionsschwingers aus Aufgabe 110 am Streckensimulator durch 16 Die Regelungsnormalform Die Eigenwertvorgabe für lineare, zeitinvariante Systeme wird besonders anschaulich und kann auch automatisiert werden, wenn das zu regelnde System in der Regelungsnormalform vorliegt Aus diesem Grund wird ein wichtiger Punkt dieses Praktikums die Transformation auf die Regelungsnormalform sein Dazu betrachten wir in einem ersten Schritt das Eingrößensystem ẋ = Ax+bu mit A = , b = Aufgabe 112 Zeigen Sie, dass dieses System vollständig erreichbar ist Aufgabe 113 Überlegen Sie sich die Vorgehensweise um die Normalformen im Eingrößenfall zu erhalten, welche im PAT2 Skriptum beschrieben ist Aufgabe 114 Normalformen 1 Transformieren Sie das System sukzessive auf die Normalform (27) ẋ 1 a x 1 0 ẋ 2 a 21 a x 2 = u ẋ n 1 a n 1,1 1 x n 1 0 ẋ n a n,1 a n,n x n 1 des PAT2 Skriptums unter Verwendung des beschriebenen Eliminationsalgorithmus Testen Sie ihr Ergebnis auf Plausibilität (Beispielsweise durch Vergleich der charakteristischenpolynome) Konstruieren Siein jedemschrittdiematrizen N i, N i,b i, b i und führen Sie ihre Berechnungen in Maple durch

14 Kapitel 1 Identifikation 16 Die Regelungsnormalform 2 Transformieren Sie das System auf die Normalform (28) ẋ 1 ẋ 2 ẋ n 1 ẋ n a n a n = 0 a a x 1 x 2 x n 1 x n u des PAT2 Skriptums unter Verwendung der Transformation, welche die einzelnen Eliminationsschritte zusammenfasst Testen Sie ihr Ergebnis auf Plausibilität (Beispielsweise durch Vergleich der charakteristischen Polynome) Der Mehrgrößenfall gestaltet sich im Vergleich zum Eingrößenfall etwas aufwändiger und soll im Praktikum programmiert werden Überlegen Sie sich vorbereitend die Vorgehensweise um die Normalformen im Mehrgrößenfall zu erhalten, welche im PAT2 Skriptum beschrieben ist 13