AUTOMATISIERUNGS- & REGELUNGSTECHNIK

Transkript

1 - FACHVERTIEFUNG AUTOMATISIERUNGS- & REGELUNGSTECHNIK Übung SS 2015 Univ.-Prof. Dr. techn. Andreas Kugi

2 Fachvertiefung Automatisierungs- und Regelungstechnik Übung SS 2015 Univ.-Prof. Dr. techn. Andreas Kugi TU Wien Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik Gruppe für komplexe dynamische Systeme Gusshausstrasse Wien Telefon: Internet: Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik, TU Wien

3 Inhaltsverzeichnis

4 0 Organisation 0.1 Inhalt Diese Übung ist Teil der Lehrveranstaltung VU Fachvertiefung Automatisierungs- und Regelungstechnik. Voraussetzung für die Teilnahme an der Übung ist der Besuch des zugehörigen Vorlesungsteils sowie der Vorlesungen Automatisierung und Modellbildung. Das Ziel dieser Übung ist es, einen Einblick in die Modellbildung von mechatronischen Systemen basierend auf physikalischen Gesetzmäßigkeiten sowie in den Entwurf und die Implementierung von linearen Reglern zu erhalten. Es werden vier Übungseinheiten abgehalten. Nach einer Einführung in die Softwarepakete Maple und Matlab/Simulink werden die Themen Modellbildung und Simulation sowie der Zustandsreglerentwurf und der Reglerentwurf mittels Frequenzkennlinienverfahren erarbeitet. 0.2 Ablauf Vorbereitung Rechtzeitig vor den Übungsterminen wird der entsprechende Teil dieses Skriptums ausgegeben. Lösen Sie zur Vorbereitung auf die jeweilige Übungseinheit in Zweier-Gruppen alle in diesem Skriptum gestellten Aufgaben. Selbst wenn die Vorbereitung in Zweier- Gruppen erfolgt, müssen alle Teilnehmenden die gestellten Aufgaben eigenständig lösen können. Wenden Sie sich bei Problemen oder Fragen rechtzeitig an die in den jeweiligen Übungsangaben genannten Ansprechpersonen. Insbesondere wird während der Übung keine Zeit mehr für die Korrektur fehlerhaft oder unvollständig ausgearbeiteter Vorbereitungen zur Verfügung stehen. Studentenlizenzen für die zur Bearbeitung der Aufgaben benötigten Softwarepakete können Sie z. B. beim Zentralen Informatikdienst der TU Wien ( beziehen. Ferner stehen Ihnen im Computerlabor des Instituts (Labor 8, Raum CA0426) Montag bis Freitag in der Zeit von 9.00 bis Uhr Rechner zur Verfügung, sofern der jeweilige Tag nicht vorlesungsfrei ist und der

5 0.3 Termine Seite 2 Raum nicht durch Lehrveranstaltungen belegt ist. Der Raum wird bei Bedarf aufgeschlossen. Die Rechnerzugangsdaten werden bei der Vorbesprechung bekanntgegeben. Auf den Rechnern im Computerlabor sind Maple 18 sowie Matlab R2014b installiert Laborübung Während der vierstündigen Übungseinheiten werden einerseits die von Ihnen ausgearbeiteten Lösungen der Aufgaben sowie die zugrunde liegende Theorie besprochen und andererseits weiterführende Aufgaben bearbeitet. Schließlich werden Sie Gelegenheit haben, einige Ihrer Regelungsalgorithmen an praktischen Laborversuchen zu erproben Anforderungen und Beurteilung Während der Übungseinheiten besteht Anwesenheitspflicht. In die Beurteilung gehen die Vollständigkeit und Richtigkeit Ihrer vorbereiteten Lösungen sowie Ihre Mitarbeit und Leistung während der Laborübung ein. Für eine positive Gesamtbeurteilung müssen Sie bei jeder Übungseinheit anwesend sein und mindestens drei der vier Übungseinheiten positiv abschließen. 0.3 Termine Die Vorbesprechung zur Lehrveranstaltung findet am von 10:00 bis 10:30 Uhr im Hörsaal EI 3 Sahulka statt. Es ist notwendig, dass alle Teilnehmenden zur Vorbesprechung anwesend sind. Die Einteilung in Zweiergruppen erfolgt online im Zuge der Anmeldung zur Lehrveranstaltung und ist später unter abrufbar. Alle weiteren Übungstermine werden zu den nachfolgend genannten Zeiten im Computerlabor des Instituts (Labor 8, Raum CA0426) abgehalten. Datum Zeit Übungseinheit Donnerstag :00 bis 12:00 Übung 1 13:00 bis 17:00 Donnerstag :00 bis 12:00 Übung 2 13:00 bis 17:00 Donnerstag :00 bis 12:00 Übung 3 13:00 bis 17:00 Donnerstag :00 bis 12:00 Übung 4 13:00 bis 17:00

6 0.4 Ansprechpersonen für organisatorische Belange Seite Ansprechpersonen für organisatorische Belange Bei Fragen oder Anregungen organisatorischer Natur wenden Sie sich bitte an Herwig Koppauer <koppauer@acin.tuwien.ac.at>. 0.5 Weitere Informationen Aktuelle Informationen zur Lehrveranstaltung sind auf der Instituts-Homepage abrufbar. Dort sind auch weitere Materialien (vor allem Maple- und Matlab-Dateien) für Sie zum Download bereitgestellt.

7 1 Systemanalyse mit Maple Ziel dieser Übung ist es, das Computeralgebraprogramm Maple für die Systemanalyse einzusetzen. Alle Aufgabenstellungen dieser Übungseinheit sind mit diesem Softwarepaket zu lösen. Studieren Sie als Vorbereitung auf die Übung zumindest folgende Skripten: Skriptum zur VU Automatisierung (WS 2014/15) [1.1] Kapitel 1, vollständig Kapitel 2, vollständig Kapitel 3, Abschnitt 3.1 bis inkl. 3.4 Skriptum zur VU Fachvertiefung Automatisierungs- und Regelungstechnik (WS 2014/15) [1.2] Kapitel 3.1, vollständig Skriptum zur VU Modellbildung (SS 2014) [1.3] Kapitel 2.3, vollständig Bei Fragen oder Anregungen zu dieser Übung wenden Sie sich bitte an Martin Müller oder Jan-Frederik Mennemann Im Rahmen der VU Fachvertiefung Automatisierungs- und Regelungstechnik wird Maple ausschließlich im Worksheet Mode und nicht im Document Mode verwendet, wobei für Eingabezellen das Text-Format (Maple Notation) und nicht Math-Format (2D-Math Notation) zu verwenden ist. Eine neue Arbeitsblatt-Datei im Worksheet Mode erhält man unter File New Worksheet Mode. Damit Maple automatisch im richtigen Modus startet, kann unter Tools Options... Display im Feld Input display der Wert Maple Notation sowie unter Tools Options... Interface im Feld Default format for new worksheets der Wert Worksheet ausgewählt werden. Im Computerlabor des Institutes steht Maple in der Version 18 zur Verfügung. 1.1 Grundlegende Befehle von Maple Nachfolgend sind grundlegende Befehle von Maple beschrieben. Sollten Sie mit Maple bereits vertraut sein, können Sie gleich bei Abschnitt 1.2 fortsetzen. Neben der Programmhilfe von Maple sind weiterführende Dokumentationen z. B. in den Referenzen [1.4] [1.8] zu finden.

8 1.2 Einfache Rechnungen mit Maple Seite 5 Maple-Arbeitsblatt-Dateien besitzen die Endung *.mw. Als Beispiel können Sie das Arbeitsblatt start_here.mw von der Homepage der Lehrveranstaltung herunterladen. Aufgabe 1.1. Öffnen Sie die Datei start_here.mw mit Maple und arbeiten Sie beginnend bei der Eingabezelle restart; alle Befehle schrittweise durch. Zum Ausführen eines Befehls ist der Cursor in die jeweilige Eingabezelle zu stellen und die Eingabe-Taste zu drücken. Versuchen Sie alle Befehle zu verstehen und machen Sie gegebenenfalls von der Hilfefunktion und den oben genannten Referenzen Gebrauch. 1.2 Einfache Rechnungen mit Maple Aufgabe Lösen Sie die folgenden lineare Gleichungssysteme mit Hilfe des Befehls solve(). Analysieren Sie, ob und wieviele Lösungen existieren. x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 5 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 (1.1) 3x 1 + 2x 2 = 1 x 1 8x 2 + 2x 3 = 1 2x x 2 3x 3 = 1 (1.2) 3x 2 x 3 = 3 x 1 8x 2 + 2x 3 = 2 2x x 2 3x 3 = 1 (1.3) 3x 2 x 3 = 3 2. Stellen Sie die linearen Gleichungssystem in Matrixform dar und bestimmen [ ] T Sie die jeweiligen Lösungsvektoren x = x 1 x 2 x 3 unter Zuhilfenahme des Packages LinearAlgebra. Aufgabe 1.3. Tabelle 1.1 zeigt bekannte Resultate der z-transformation. 1. Zeigen Sie die Gültigkeit der in Tabelle 1.1 angegebenen Korrespondenzen durch Auswertung der jeweiligen Laurent-Reihe. Sie können dazu den Befehl sum() verwenden. 2. Führen Sie die Rechnung erneut mit Hilfe des Befehls ztrans() durch.

9 1.3 Ein mechanisches System Seite 6 Abtastfolgen z-bildbereich (f k ) f z (z) (1) z z 1 (kt a ) (e akta ) (kt a e akta ) T a z (z 1) 2 z z e ata T a ze ata (z e ata ) 2 Tabelle 1.1: Einige Korrespondenzen der z-transformation. 1.3 Ein mechanisches System Es wird der in Abbildung 1.1 skizzierte translatorische Zweimassenschwinger betrachtet. Die beiden Starrkörper m 1 und m 2 gleiten in x 0 -Richtung reibungsfrei auf einer Unterlage. Ihre Position wird mit den Koordinaten (Freiheitsgraden) s 1 und s 2 bezeichnet. Die Geschwindigkeiten werden mit w 1 = ṡ 1 und w 2 = ṡ 2 benannt. Der Stelleingang u des Systems ist die Kraft F 1, die Störung d ist die Kraft F 2. Als Ausgang y wird die Länge der Feder mit der Federkonstante c 12 gewählt. s 1 s 2 d 1 F 1 d12 F 2 y 0 c 1 m 1 c 12 m 2 x 0 Abbildung 1.1: Translatorischer Zweimassenschwinger. Die beiden Federn sind nichtlinear und besitzen im entspannten Zustand die Längen s 10 0 und s Sie setzen einer Längenänderung die Federkräfte ( ) s1 f c1 (s 1 ) = c 1 sinh 1 (1.4a) s ( 10 ) s2 s 1 f c12 (s 2 s 1 ) = c 12 sinh 1 (1.4b) s 120 entgegen. Die beiden Dämpfer (Dämpfungskoeffizienten d 1 und d 12 ) sind viskos, d. h. sie erzeugen eine geschwindigkeitsproportionale Kraft.

10 1.3 Ein mechanisches System Seite 7 Hinweis: Ein ähnliches, allerdings lineares System wird im Skriptum zur VU Fachvertiefung Automatisierungs- und Regelungstechnik (WS 2014/15) [1.2] Beispiel 3.2 analysiert Lagrange-Formalismus Im Folgenden wird zur Herleitung der Bewegungsgleichungen der Lagrange-Formalismus [ ] T verwendet. Als generalisierte Koordinaten werden die Freiheitsgrade q = s 1 s 2 festgelegt. Die kinetische Energie des Systems ergibt sich zu T = 1 2 m 1w m 2w 2 2. (1.5) Für die in einer Feder mit der Länge s und der entspannten Länge s 0 gespeicherte Energie gilt V c (s) = s s 0 f c (ξ)dξ, (1.6) woraus die potentielle Energie ( ) ) ( ( ) ) s1 s2 s 1 V = c 1 s 10 (cosh c 12 s 120 cosh 1 1 s 10 s 120 (1.7) des Systems folgt. Die dissipative Wirkung der Dämpfer wird mit Hilfe der Rayleighschen Dissipationsfunktion R = 1 2 d 1w d 12(w 2 w 1 ) 2 (1.8) berücksichtigt. Ferner ergibt sich der Vektor der verallgemeinerten (äußeren) Kräfte τ = [ ] T. F 1 F 2 Mit Hilfe der Lagrange-Funktion L = T V folgen aus dem Lagrange-Formalismus ( ) d dt q L q L + q R = τ T (1.9) die Bewegungsgleichungen des Systems. Diese können als System von Differentialgleichungen erster Ordnung in der Form d x = f(x, u, d) dt (1.10a) y = g(x, u, d) dargestellt werden. Im vorliegenden Fall gilt mit x = (1.10b) [ s 1 w 1 s 2 w 2 ] T, u = F1 und

11 1.3 Ein mechanisches System Seite 8 d = F 2 d dt s 1 = w 1 (1.11a) d dt w 1 = 1 ( ( ) ( ) s1 s2 s 1 c 1 sinh 1 d 1 w 1 + c 12 sinh 1 m 1 s 10 s 120 ) (1.11b) + d 12 (w 2 w 1 ) F 1 sowie d dt s 2 = w 2 d dt w 2 = 1 ( ( ) ) s2 s 1 c 12 sinh 1 d 12 (w 2 w 1 ) F 2 m 2 s 120 y = s 2 s 1. (1.11c) (1.11d) (1.11e) Bestimmung der Ruhelage Nimmt der Stelleingang den stationären Wert u R = F 1R und die Störung den stationären Wert d R = F 2R an, so folgt für die Ruhelage des Systems aus f(x R, u R, d R ) = 0 mit (1.11) ( )) F1R + F 2R s 1R = s 10 (1 asinh c 1 w 1R = 0 ( )) ( F1R + F 2R s 2R = s 10 (1 asinh + s asinh w 2R = 0. Es existiert also genau eine Ruhelage, in welcher für den Ausgang ( )) F2R y R = s 120 (1 asinh c 1 c 12 ( )) F2R c 12 (1.12a) (1.12b) (1.12c) (1.12d) (1.12e) gilt Linearisierung Linearisiert man das System (1.11) gemäß Skriptum zur VU Automatisierung (WS 2014/15) [1.1] Satz 2.6 um die Ruhelage (1.12), so erhält man mit den neuen Koordinaten x = x x R, dem Stelleingang u = u u R, der Störung d = d d R und dem Ausgang y = y y R das lineare System d dt x = A x + b u u + b d d y = c T x + d u u + d d d (1.13a)

12 1.4 Gleichstrommaschine mit Propeller Seite 9 mit (F 1R + F 2R ) 2 + c 2 1 F2R 2 + c2 12 d 1 + d 12 F2R 2 + c2 12 d 12 A = m 1 s 10 m 1 s 120 m 1 m 1 s 120 m 1, F2R 2 + c2 12 d 12 F2R 2 + c2 12 d 12 m 2 s 120 m 2 m 2 s 120 m b u = m 1, b d = 0 0, (1.13b) 0 1 m [ ] 2 c T = , d u = 0 und d d = 0. Aufgabe 1.4. Arbeiten Sie das zum Download auf der Homepage der Lehrveranstaltung verfügbare Maple-Arbeitsblatt aufgabe_1_4.mw durch. Es zeigt, wie obige Rechnungen mit Unterstützung von Maple durchgeführt werden können. 1.4 Gleichstrommaschine mit Propeller Abbildung 1.2 zeigt schematisch eine permanenterregte Gleichstrommaschine (Index GSM), die über eine linear elastische und dämpfende Welle (konstante Steifigkeit c GSMP, viskose Dämpfung d GSMP ) einen Propeller (Index P) antreibt. Die Freiheitsgrade q des Systems sind die Drehwinkel q = [ ϕ GSM ] T. ϕ P Die zugehörigen Winkelgeschwindig- [ ] T ω GSM ω P benannt. Im Folgenden wird stets von ωgsm > 0 keiten werden mit q = und ω P > 0 ausgegangen, so dass Haftreibungseffekte beim Nulldurchgang der Geschwindigkeit hier unberücksichtigt bleiben können. Propeller M rgsm L GSM R GSM igsm M P J P c GSMP J GSM M GSM M GSM u indgsm u GSM ϕ P, ω P d GSMP ϕ GSM, ω GSM ϕ GSM, ω GSM (a) (b) Abbildung 1.2: Gleichstrommaschine mit Propeller, (a) mechanisches Teilsystem, (b) elektrisches Teilsystem.

13 1.4 Gleichstrommaschine mit Propeller Seite 10 Auf den Propeller (Massenträgheitsmoment J P ) wirkt ein Lastmoment der Form M P = d cp + d vp ω P + d qp ω 2 P + M ext, (1.14) wobei d cp die Coulombsche Reibkonstante, d vp die viskose Dämpfungskonstante, d qp der Koeffizient des zum Geschwindigkeitsquadrat proportionalen Dämpfungsanteils und M ext ein zusätzliches externes Moment ist. Das Massenträgheitsmoment der Gleichstrommaschine wird mit J GSM bezeichnet. Die Lagerung des Ankers verursacht ein Reibmoment der Form M rgsm = d cgsm + d vgsm ω GSM (1.15) mit der Coulombschen Reibkonstante d cgsm und der viskosen Dämpfungskonstante d vgsm. Das von der (idealen) Gleichstrommaschine erzeugte elektrische Moment ist M GSM = k GSM i GSM, wobei k GSM für die Ankerkreiskonstante steht. Für die induzierte Spannung gilt u indgsm = k GSM ω GSM. Die Ankerkreisinduktivität wird mit L GSM, der Ankerkreiswiderstand mit R GSM und die Eingangsspannung mit u GSM bezeichnet. Parameter Wert L GSM 1.4 mh R GSM 0.46 Ω k GSM 0.1 Nm/A J GSM kg m 2 d cgsm Nm d vgsm Nm s/rad J P kg m 2 d cp Nm d vp Nm s/rad d qp Nm s 2 /rad 2 c GSMP Nm/rad d GSMP Nm s/rad Tabelle 1.2: Parameter des Systems Gleichstrommaschine mit Propeller. Aufgabe Berechnen Sie das mathematische Modell des mechanischen Teilsystems nach Abbildung 1.2(a) unter Zuhilfenahme des Lagrange-Formalismus. Stellen Sie das Modell in der Form d dt x m = f m (x m, u m, d) (1.16)

14 1.4 Gleichstrommaschine mit Propeller Seite 11 [ ] T, dar. Wählen Sie die Zustandsgrößen x m = ϕ GSM ω GSM ϕ P ω P den Eingang u m = M GSM und die Störung d = M ext. Als Grundlage Ihrer Berechnungen können Sie die in Aufgabe 1.4 verwendete Maple-Datei heranziehen. 2. Beachten Sie, dass im resultierenden System (1.16) die Größen ϕ GSM und ϕ P stets in Form der Differenz (ϕ GSM ϕ P ) = ϕ GSMP auftreten. Mit Hilfe der nichtregulären Zustandstransformation ϕ GSMP x M = ω GSM = x m (1.17) ω P kann daher eine Differentialgleichung eingespart werden. Führen Sie diese Transformation durch, d. h. bestimmen Sie wobei u m = u M gelten soll. d dt x M = f M (x M, u M, d), (1.18) 3. Bestimmen Sie das mathematische Modell des elektrischen Teilsystems nach Abbildung 1.2(b) in der Form d dt x E = f E (x E, u E ). (1.19) Verwenden Sie den Zustand x E = i GSM und die Eingänge u E = [ ω GSM u GSM ] T. 4. Vereinigen Sie die beiden Teilmodelle (1.18) und (1.19) so, [ dass ] das resultierende System vierter Ordnung den Zustandsvektor x T = x E xm T = ] [i GSM ϕ GSMP ω GSM ω P, den Eingang u = u GSM und die Störung d = M ext besitzt. Als Ausgang des Systems soll y = ω P verwendet werden. Bestimmen Sie für stationäre Eingangswerte die Ruhelage dieses Systems und linearisieren Sie es bezüglich derselben. 5. Berechnen Sie (numerisch) die Eigenwerte der Dynamikmatrix des unter 4 linearisierten Systems, wobei die Parameterwerte aus Tabelle 1.2 und für die stationären Werte u GSMR = 5.6 V und M extr = 0 Nm zu verwenden sind. Kontrollhinweis: Die Eigenwerte des linearisierten Systems sind λ 1 = s 1, λ 2 = s 1 + I s 1, λ 3 = s 1 I s 1 und λ 4 = s 1.

15 1.5 Gewöhnliche Differentialgleichung Seite Berechnen Sie die Übertragungsfunktion G(s) = y(s) u(s) (1.20) Hinweis: des unter 4 linearisierten Systems, wobei wieder die Parameterwerte aus Tabelle 1.2 und für die stationären Werte u GSMR = 5.6 V und M extr = 0 Nm zu verwenden sind. Die Berechnung der Ruhelage wird besonders einfach, wenn Sie die Gleichungen schrittweise auflösen. Dabei können die unbekannten Zustandsgrößen in folgender Reihenfolge eliminiert werden: ω GSM, ϕ GSMP, i GSM und ω P. Weisen Sie Parameterwerte nicht direkt den gleichnamigen Variablen zu, sondern speichern Sie diese in Form von Wertelisten (z. B. liste:=[lgsm=1.4e-3, RGSM=0.46,...]), die nur im Bedarfsfall mit dem Befehl eval(...,liste) angewandt werden. Dies entspricht dem Prinzip, Rechnungen weitgehend algebraisch durchzuführen und erst abschließend numerische Ergebnisse für spezielle Parameterwerte zu bestimmen. 1.5 Gewöhnliche Differentialgleichung Gegeben ist die gewöhnliche Differentialgleichung ÿ(t) + 2αẏ(t) + y(t) = β (1.21) mit der beliebigen aber konstanten Inhomogenität β. Für die Konstante α gilt 0 < α < 1. Aufgabe Lösen Sie die Differentialgleichung (1.21) mit Hilfe des Befehls dsolve(). Treffen Sie anhand der Nullstellen des charakteristischen Polynoms eine Aussage über die Stabilität des Systems. 2. Schreiben Sie die Differentialgleichung (1.21) durch Einführung geeigneter Koordinaten in Zustandsraumdarstellung mit dem Eingang β und dem Ausgang y an. Treffen Sie anhand der Eigenwerte der Dynamikmatrix eine Aussage über die Stabilität des Systems. Berechnen Sie die allgemeine Lösung des Systems, z. B. mit Hilfe der Lösungsformel für lineare, zeitinvariante Systeme (siehe Skriptum zur VU Automatisierung (WS 2014/15) [1.1] Satz 2.4). 3. Berechnen Sie numerisch die Lösung für die Parameterwerte α = 1/6, β = 1 und die Anfangsbedingungen y(0) = 1, ẏ(0) = 1. Stellen Sie die Lösungstrajektorie t [ y(t), ẏ(t), t ] für Zeiten t [ 0, 30 ] als Plots der Zustände dar. Kontrollhinweis: An der Stelle t = 10 sollte die Lösung den Wert y(10) =

16 1.6 Literatur Seite annehmen. Hinweis: Verwenden Sie für Zahlenwerte wieder eine Werteliste (z. B. liste:= [alpha=1/6,beta=-1,...]), die nur im Bedarfsfall mit dem Befehl eval(...,liste) angewandt wird. 1.6 Literatur [1.1] A. Kugi, Skriptum zur VU Automatisierung (WS 2014/15), < Institut für Automatisierungsund Regelungstechnik, TU Wien, [1.2], Skriptum zur VU Fachvertiefung Automatisierungs- und Regelungstechnik (WS 2014/15), < Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik, TU Wien, [1.3], Skriptum zur VU Modellbildung (SS 2014), < Institut für Automatisierungsund Regelungstechnik, TU Wien, [1.4] C. Eberhart, Problem Solving with Maple - A handbook for calculus students, < [1.5] A. Heck, Introduction to Maple, 3. Aufl. New York: Springer-Verlag, [1.6] M. Kofler, G. Bitsch und M. Komma, Maple - Einführung, Anwendung, Referenz, 5. Aufl. München: Addison-Wesley, [1.7] Maplesoft. (2011). Maple user manual, Adresse: http : // documentation_center/. [1.8] L. Bernardin, P. Chin, P. DeMarco, K. Geddes, D. Hare, K. Heal und G. Labahn. (2011). Maple programming guide, Maplesoft, Adresse: com/documentation_center/.

17 2 Systemanalyse mit Matlab/Simulink Ziel dieser Übung ist es, das Computernumerikprogramm Matlab und die zugehörige Simulationsumgebung Simulink zur Systemanalyse sowie zur Simulation dynamischer Systeme einzusetzen. Alle Aufgabenstellungen dieser Übungseinheit sind mit diesem Softwarepaket zu lösen. Im Computerlabor des Instituts steht Matlab/Simulink in der Version R2014b zur Verfügung. Studieren Sie als Übungsvorbereitung zumindest folgende Skripten: Skriptum zur VU Automatisierung (WS 2014/15) [2.1] Kapitel 3, vollständig Kapitel 6, bis Kapitel 6.4 Skriptum zur VU Fachvertiefung Automatisierungs- und Regelungstechnik (WS 2014/15) [2.2] Kapitel 3, vollständig Abschnitt 4.7 Bei Fragen oder Anregungen zu dieser Übung wenden Sie sich bitte an Robert Brauneis Bernhard Bischof 2.1 Matlab Matlab ist ein Computernumerikprogramm. Der Name ist eine Abkürzung für Matrix Laboratory, womit bereits angedeutet wird, dass das Programm zum Rechnen mit Vektoren und Matrizen geeignet ist. Der Matlab-Desktop (das eigentliche Programmfenster) enthält in der Standardeinstellung folgende Fenster. (Dies kann jedoch individuell angepasst werden.) Command Window Es stellt den Eingabebereich dar, welcher auf jeden Fall angezeigt werden muss. Hier können alle Befehle hinter der Eingabeaufforderung >> eingegeben und direkt ausgeführt werden. Schließt man eine Befehlssequenz mit einem Semikolon ab, so wird die Ausgabe von Matlab unterdrückt. Das Drücken der Eingabe-Taste bewirkt die sofortige Ausführung der Befehlszeile. Im Falle mehrzeiliger Befehlseingaben kann mit der Umschalt- und der Eingabe-Taste in eine neue Zeile gesprungen werden.

18 2.1 Matlab Seite 15 Editor Im Editor können Funktionen, Skripte oder Programm-Code (z. B. C-Code) erstellt und editiert werden. Es werden die in Programmierumgebungen üblichen Möglichkeiten zum schrittweisen Ausführen der Befehlssequenzen, zum Debuggen, etc. zur Verfügung gestellt. Skripte werden auch M-files genannt; sie besitzen die Dateiendung *.m und werden zur Laufzeit von einem Interpreter abgearbeitet. Skripte enthalten Matlab-Befehlssequenzen, wie sie prinzipiell auch direkt im Command Window eingegeben werden können. Funktionen besitzen ebenfalls die Dateiendung *.m. Sie erhalten meist Übergabeparameter und geben Rückgabewerte zurück. Workspace Browser Die aktuellen Variablen werden in Matlab im so genannten Workspace angezeigt. Sie können durch Anklicken aufgerufen und verändert werden. Current Folder Browser Im Current Folder Browser wird das aktuelle Arbeitsverzeichnis dargestellt. Dateien und Ordner können geöffnet, angelegt, bearbeitet, etc. werden. Es ist zu empfehlen, dass alle Dateien, auf die während der Rechnung oder Simulation zugegriffen wird, in einem gemeinsamen, lokalen (aktuellen) Verzeichnis liegen. Als Beispiel für M-files können Sie die folgenden Dateien aus dem zip-archiv U2.zip von der Homepage der Lehrveranstaltung () herunterladen. cds_matlab_intro_part1.m: Grundlegende Befehle. cds_matlab_intro_part2.m: Grafische Darstellung von Ergebnissen. cds_matlab_intro_part3.m: Beispiele zur Control System Toolbox. mittelwert.m: Beispiel einer Funktion (zur Berechnung des Mittelwertes zweier Zahlen) Grundlegende Befehle Aufgabe 2.1. Öffnen Sie die Datei cds_matlab_intro_part1.m im Matlab-Editor und arbeiten Sie alle Befehle schrittweise durch. Beachten Sie, dass die Funktion mittelwert.m aufgerufen wird, welche sich daher im aktuellen Arbeitsverzeichnis befinden muss. Zum Ausführen einzelner Befehlssequenzen markieren Sie diese im Editor und drücken F9. Zum Ausführen eines ganzen M-files geben Sie entweder dessen Name (ohne Dateiendung) im Command Window ein oder Sie öffnen die Datei im Editor und drücken F5. Versuchen Sie alle Befehle zu verstehen und machen Sie gegebenenfalls von der Hilfefunktion Gebrauch.

19 2.1 Matlab Seite 16 Aufgabe 2.2. Gegeben ist das Gleichungssystem x 1 + 2x 2 + 4x 3 = 5 2x 1 + 2x 2 + x 3 = 4 (2.1) 3x 1 + 2x 2 = 1. Schreiben Sie dieses Gleichungssystem in Matrixdarstellung an und bestimmen Sie den Lösungsvektor x = [x 1, x 2, x 3 ] T. Führen Sie die Rechnung einmal mit dem Befehl inv() und einmal mit dem Befehl mldivide() (oder in seiner Kurzform \) durch. Überlegen Sie sich die Unterschiede der beiden Befehle und wann welcher angewandt werden sollte. Aufgabe 2.3. Öffnen Sie die Datei cds_matlab_intro_part2.m im Matlab-Editor und arbeiten Sie alle Befehle schrittweise durch. Versuchen Sie alle Befehle zu verstehen und machen Sie gegebenenfalls von der Hilfefunktion Gebrauch. Aufgabe 2.4. Gegeben ist die beim n-ten Summanden abgebrochene Fourier-Reihenentwicklung der Rechteckfunktion rect(x) A n k=1 4 sin((2k 1)x), (2.2) π(2k 1) wobei A die Amplitude bezeichnet. Stellen Sie mit Hilfe einer for-schleife diese Rechteckfunktion für n = 1, 2,..., 100 im Intervall x [0, 10] dar. Nutzen Sie zur Darstellung der Funktion in der for-schleife den pause-befehl. Hinweis: Wählen Sie eine geeignete Schrittweite x so, dass das Abtasttheorem erfüllt ist. Aufgabe 2.5. Gegeben ist das Polynom und p 2 (s) sei das charakteristische Polynom der Matrix p 1 (s) = s 3 + 8s s + 12, (2.3) [ ] 1 2 A =. (2.4) Berechnen Sie in Matlab das Polynom p 3 (s) = p 1 (s)p 2 (s). 2. Schreiben Sie eine Funktion mit der Schnittstelle pd = polydiff(p), welche als Argument p die Koeffizienten eines beliebigen Polynoms p(s) erhält und als Rückgabewert pd die Koeffizienten des abgeleiteten Polynoms dp(s)/ds zurückgibt.

20 2.1 Matlab Seite Schreiben Sie eine Funktion mit der Schnittstelle s0 = findzero(p,sstart), welche als Argument p die Koeffizienten eines beliebigen Polynoms p(s) sowie einen Startwert sstart erhält. Die Funktion soll mittels des Newton-Verfahrens ausgehend vom Startwert sstart eine Nullstelle s0 des Polynoms p(s) suchen und zurückgeben. Überlegen Sie sich ein geeignetes Abbruchkriterium. Sie können in Ihrem Algorithmus gegebenenfalls die Funktion polydiff() verwenden. 4. Testen Sie die Funktion findzero() anhand des Polynoms p 3 (s). Sie können dazu natürlich p 3 (s) zunächst grafisch darstellen. 5. Bestimmen Sie mit dem Befehl roots() die Nullstellen von p 3 (s). 6. Ist A eine Hurwitzmatrix? 7. Zeigen Sie, dass die Matrix A ihr charakteristisches Polynom p 2 (s) erfüllt, also dem Satz von Cayley-Hamilton genügt (siehe Skriptum zur VU Automatisierung (WS 2014/15) [2.1] Satz 8.1). Sie können dazu den Befehl polyvalm() verwenden. Hinweis: Polynome können in Matlab als Vektoren der absteigend geordneten Polynomkoeffizienten dargestellt werden, d. h. p(s) = a n s n + a n 1 s n a 1 s+a 0 wird als Vektor p = [a n, a n 1,..., a 1, a 0 ] T eingegeben. Zur Auswertung eines Polynoms an einer bestimmten Stelle s kann der Befehl polyval() verwendet werden. Zur Bestimmung des charakteristischen Polynoms einer quadratischen Matrix kann der Befehl poly() verwendet werden. Die Multiplikation zweier Polynome entspricht der Faltung ihrer Koeffizientenvektoren. Die (diskrete) Faltungsoperation kann mit dem Befehl conv() durchgeführt werden Control System Toolbox Toolboxen sind Sammlungen von Funktionen, meist in Form von M-files, die den Funktionsumfang des Basisprogramms erweitern. Nach der erstmaligen Installation werden Toolboxen automatisch beim Programmstart von Matlab geladen. Eine Übersicht über die installierten Toolboxen erhält man mit dem Kommandozeilenbefehl ver. Die Toolbox Control System ist häufig bei regelungstechnischen Aufgabenstellungen nützlich. Sie unterstützt bei der Analyse und dem Reglerentwurf von linearen dynamischen Systemen. Aufgabe 2.6. Öffnen Sie die Datei cds_matlab_intro_part3.m im Matlab-Editor und arbeiten Sie alle Befehle schrittweise durch. Versuchen Sie alle Befehle zu verstehen und machen Sie gegebenenfalls von der Hilfefunktion Gebrauch.

21 2.1 Matlab Seite 18 Zur Bestimmung der numerischen Lösung einer gewöhnlichen Differentialgleichung in Zustandsraumdarstellung ẋ = f(x, u), x(0) = x 0 (2.5) werden in Matlab verschiedene Integrationsalgorithmen zur Verfügung gestellt. Aufgabe Schreiben Sie ein M-file, in welchem die gewöhnliche Differentialgleichung ẋ 1 = x 2, x 1 (0) = 0, (2.6a) ẋ 2 = x 1 x 2 + u, x 2 (0) = 0 (2.6b) mit Hilfe der Matlab Funktion ode45 gelöst wird. Wählen Sie hierzu den Simulationszeit t sim = 10 s und einen Einheitsprung u = σ(t) als Eingangssignal. Die Funktion ode45 arbeitet mit einer Schrittweitensteuerung, sodass das Eingangssignal zu den entsprechend richtigen Gitterpunkten t k interpoliert werden muss. Hierzu kann der Matlab Befehl interp1 verwendet werden. Dieser interpoliert das Eingangssignal u(t) auf dem Zeitgitter t am Gitterpunkt t k und gibt den interpolierten Wert u k zurück. Speichern Sie die Daten des Eingangssignals in der Struktur input. 2. Schreiben Sie ein weiteres M-file, in welchem das Differentialgleichungssystem (2.6) mit Hilfe des expliziten Euler-Verfahrens x k+1 = x k + T a f(x k, u k ), (2.7) mit x k = x(kt a ), k = 0, 1,... und der Schrittweite T a = 0.5 s gelöst wird. Wählen Sie hierzu den Simulationszeitraum t sim = 10 s, einen Einheitssprung u = σ(t) als Eingangssignal. Geben Sie die Stabilitätsfunktion R(κ) des expliziten Euler-Verfahrens (2.7) an und berechnen Sie die maximale Schrittweite T a,max, für die das explizite Euler-Verfahren (2.7) das Differentialgleichungssystem (2.6) numerisch stabil löst. Verifizieren Sie Ihr Ergebnis simulativ. 3. Berechnen Sie unter Verwendung des Befehl step() der Control System Toolbox die Sprungantworten des kontinuierlichen Systems (2.6) und des zugehörigen Abtastsystems. Verwenden Sie zur Bestimmung des Abtastsystems den Befehl c2d() (Halteglied nullter Ordnung) mit einer Abtastzeit von T a = 0.5 s. Vergleichen Sie Ihre numerischen Ergebnisse Simulink Simulink ist eine Erweiterung von Matlab zur Simulation und Analyse dynamischer Systeme. Simulink-Modelle besitzen die Dateiendung *.slx. Die grafische Bedienoberfläche erlaubt die Erstellung von Blockschaltbildern der untersuchten Modelle. Einerseits stellt Simulink eine Bibliothek mit vorgefertigten Funktionsblöcken zur Verfügung, andererseits können benutzerdefinierte Blöcke erstellt werden. Eine flexible Möglichkeit dafür

22 2.1 Matlab Seite 19 sind so genannte S-function-Blöcke. S-functions können z. B. als Matlab M-file oder in C programmiert werden. Sie erlauben die Implementierung dynamischer Modelle in einem Block. Mit dem Befehl simulink wird der Simulink Library Browser geöffnet. Er enthält die Funktionsblöcke, welche per Drag & Drop in das Simulink-Modell gezogen werden können. Die Blöcke sind mittels Signalflußleitungen zu verbinden. Besonders häufig benötigte Blöcke sind in der Gliederung des Simulink Library Browsers z. B. in den folgenden Gruppen zu finden. Continuous: Blöcke zur Simulation zeitkontinuierlicher Systeme, unter anderem der zeitkontinuierliche Integrator 1/s. Math Operations: Einige mathematische Operationen, z. B. Addieren, Multiplizieren, Quadrieren. Sinks: Blöcke, die nur einen Eingang (mehrere Eingänge), aber keinen Ausgang besitzen. Beispielsweise werden Scopes zur grafischen Darstellung von Signalen genützt. Signale können an beliebiger Stelle direkt von Signalflußleitungen abgegriffen werden. Der Block To Workspace erlaubt den Export von Simulationsergebnissen in den Matlab-Workspace, wo sie dann als Variable zur weiteren Auswertung zur Verfügung stehen. Sources: Blöcke, die nur einen Ausgang (mehrere Ausgänge), aber keinen Eingang besitzen, wie etwa Signalgeneratoren. Zur effizienten Arbeit mit Simulink wird folgendes Vorgehen empfohlen: 1. Parameterwerte werden nicht direkt in Simulink eingetragen, sondern zusammengefasst in einem M-file definiert, welches vor der Simulation ausgeführt wird. Damit können die Parameter einfach und an zentraler Stelle geändert werden. Zum Update der Parameter muss das M-file erneut ausgeführt werden. Hinweis: Alle Variablen, die sich im Matlab-Workspace befinden, stehen auch in Simulink zur Verfügung. 2. Werden die mathematischen Ausdrücke umfangreicher, empfiehlt es sich, die Verschaltung vieler Einzelblöcke durch die Verwendung benutzerdefinierter (programmierter) Blöcke zu umgehen. Die entsprechenden Blöcke befinden sich in der Gruppe User-Defined Functions. Im Block Fcn können sowohl Matlab Funktionen als auch benutzerdefinierte Funktionen verwendet werden. Für dynamische Systeme eignet sich der Block level 2 Matlab S-Function. 3. Eine weitere Möglichkeit die Übersichtlichkeit von Modellen zu verbessern, ist die Verwendung von Subsystemen (Ports & Subsystems Subsystem). 4. Um die Anzahl der am Bildschirm dargestellten Signalflußleitungen zu reduzieren, können die Blöcke From und Goto aus der Gruppe Signal Routing verwendet werden.

23 2.1 Matlab Seite 20 Simulationseinstellungen können im Menü Simulation Model Configuration Parameters vorgenommen werden. Besonders wesentlich ist dabei die Wahl der Simulationsdauer und des Integrationsalgorithmus. Ferner können für den Integrationsalgorithmus Schranken der Zeitschrittweite und Genauigkeitsanforderungen eingestellt werden. Im Rahmen dieser Einführung soll auf eine detaillierte Diskussion der verwendeten Algorithmen verzichtet werden. Einen Überblick über einige in Matlab zur Verfügung stehende Löser für Anfangswertprobleme erhalten Sie in der Hilfe ode23, ode45, ode113, ode15s, ode23s, ode23t, ode23tb (aufrufbar z. B. mit doc ode45) unter der Überschrift Algorithms. Diese Algorithmen werden, neben anderen, auch von Simulink verwendet. Ferner sei auf die Fachliteratur, z. B. [2.3], [2.4], verwiesen. Die Simulation kann durch Anklicken des Startknopfes oder durch Drücken der Tasten Strg und T gestartet werden. Um eine Simulation alternativ aus dem Eingabefenster oder einem M-file zu starten, kann der Befehl sim() verwendet werden. Die Implementierung eines dynamischen Systems, für das ein Modell in Form einer (expliziten) Differentialgleichung existiert, kann entweder als Blockschaltbild oder als S- function erfolgen. Beides wird im Folgenden kurz erläutert. Implementierung von dynamischen Systemen als Blockschaltbild Aufgabe 2.8. Laden Sie die Dateien set_params_simulink_testfile.m und simulink_testfile.slx aus dem zip-archiv U2.zip von der Homepage der Lehrveranstaltung () herunter. Führen Sie die Parameterdatei set_params_simulink_testfile.m aus und starten Sie die Simulation des Modells simulink_testfile.slx. Versuchen Sie anhand der nachfolgenden Beschreibung die Funktion aller Blöcke zu verstehen und machen Sie gegebenenfalls von der Hilfefunktion Gebrauch. Lösung von Aufgabe 2.8. Das Modell enthält die Implementierung eines einfachen PT 2 -Gliedes in Form von Blockschaltbildern. Die Übertragungsfunktion eines PT 2 - Gliedes lautet bekanntlich G(s) = V 1 + 2ξTs + (st) 2. (2.8) Um sie in Form eines Blockschaltbildes mit Integratoren (1/s) darzustellen, kann zunächst die Beschreibung des Systems in Zustandsraumdarstellung ẋ 1 (t) = x 2 (t) ẋ 2 (t) = 1 T 2 x 1(t) 2ξ T x 2(t) + V T 2 u(t) (2.9a) (2.9b) mit den Anfangszuständen x 1 (0) = 0, x 2 (0) = 0, (2.10)

24 2.1 Matlab Seite 21 dem Ausgang y = x 1 und dem Eingang u oder in integrierter Form x 1 (t) = x 2 (t) = t 0 t ( 0 x 2 (τ)dτ 1 T 2 x 1(τ) 2ξ T x 2(τ) + V T 2 u(τ) ) dτ (2.11a) (2.11b) angeschrieben werden. Aus der Integraldarstellung (2.11) kann direkt eine mögliche Implementierung als Blockschaltbild in Simulink abgelesen werden. Dies ist in Abbildung 2.1 gezeigt. Anfangszustände ungleich Null können im Bedarfsfall als Parameter dem Block 1/s übergeben werden. Abbildung 2.1: Mögliche Implementierung des PT 2 -Gliedes in Simulink. Für lineare zeitinvariante Systeme ist eine einfachere Implementierung mit Hilfe der Control System Toolbox möglich. Dabei kann ein LTI-System direkt in Form einer Übertragungsfunktion (z. B. (2.8)) oder einer Zustandsraumdarstellung (z. B. (2.9)) an den Block LTI System aus der Gruppe Control System Toolbox übergeben werden. Aufgabe 2.9. Ermitteln Sie die numerische Lösung x(t) der nichtlinearen Differentialgleichung... x + cos(x) 2 ẍ + ẋ + e x u = 0 (2.12) wobei u den Eingang darstellt und für die Anfangsbedingungen ẍ(0) = 0, ẋ(0) = 0 und x(0) = 0 gelten soll. Stellen Sie dazu die Differentialgleichung in Zustandsraumdarstellung dar und erstellen Sie das entsprechende Blockschaltbild in einem Simulink-Modell. Testen Sie die Simulation für u(t) = sin(t).

25 2.1 Matlab Seite 22 Implementierung von dynamischen Systemen als S-function Sollen umfangreichere Systeme simuliert werden, geht die Übersichtlichkeit der in Form von Blockschaltbildern implementierten Modelle relativ rasch verloren. Hier kann die Verwendung von S-functions Abhilfe schaffen, wobei im Rahmen dieser Lehrveranstaltung ausschließlich so genannte Level 2 Matlab S-functions zur Anwendung kommen. Das in Zustandsraumdarstellung gegebene System ẋ = ] [ẋ1 ẋ 2 = x 1 y = x 2 e x 1 cosh(x 2 ) [ ] x2 + sin(u 1 ) a x 1 + b u 2 (2.13a) (2.13b) mit dem Eingangsvektor u = [u 1 u 2 ] T, den Parametern a und b, den Zuständen x und dem Ausgangsvektor y wurde in einer S-function implementiert. Aufgabe Laden Sie die S-function-Datei test_sfunc_m.m gemeinsam mit dem Simulationsmodell test_sfunc.slx aus dem zip-archiv U2.zip von der Homepage der Lehrveranstaltung () herunter. Arbeiten Sie die S-function durch und führen Sie die Simulation aus. Versuchen Sie den Aufbau der S-function anhand der nachfolgenden Beschreibung zu verstehen und machen Sie gegebenenfalls von der Hilfefunktion Gebrauch. Das zentrale Element einer Level 2 Matlab S-function ist ein run-time Objekt - eine Instanz der Klasse Simulink.MSFcnRunTimeBlock. Das Objekt wird üblicherweise als block bezeichnet. Die Attribute des Objekts beinhalten für die Simulation wichtige Eigenschaften und Funktionen. Auf sie kann mit Hilfe des Punkt-Operators zugegriffen werden. Tabelle 2.1 fasst einige wichtige Attribute zusammen. Zusätzlich können einer S-function Objektname.Attributname block.inputport block.contstates block.derivatives block.outputport block.dialogprm Erklärung Eingänge u Zustände x Zeitableitung der Zustände ẋ Ausgänge y An die S-function übergebene Parameter des Systems Tabelle 2.1: Wichtige Attribute des run-time Objekts block. Parameterwerte, z. B. physikalische Parameter des Systems, übergeben werden. Damit ist die Änderung von Parametern direkt in Simulink bzw. von Matlab aus möglich, ohne die S-function selbst zu verändern.

26 2.1 Matlab Seite 23 Typischerweise enthält eine S-function für dynamische Systeme die folgenden Funktionen (siehe auch das Beispiel test_sfunc_m.m). 1. function setup(block) In dieser Funktion wird das run-time Objekt block initialisiert. Dabei wird z. B. die Länge der Eingangs-, Zustands-, Parameter- und Ausgangsvektoren festgelegt. Es ist möglich, Eingänge und Ausgänge zu so genannten Ports zu gruppieren. In der Beispieldatei test_sfunc_m.m wurden zwei Ausgangsports festgelegt, wobei Port 1 die Ausgangssignale x 1 und x 2 zusammenfasst und Port 3 den dritten Ausgang enthält, welcher durch die Funktion e x 1 cosh(x 2 ) gegeben ist. Die beiden Eingänge werden jeweils über separate Ports an die S-function übergeben. Der Parametervektor ist kein herkömmlicher Matlab-Vektor, da dessen Elemente unterschiedliche Datentypen aufweisen dürfen. In der Beispieldatei ist das dritte Element ein Vektor. Sollen sehr viele Parameter übergeben werden, ist die Verwendung von Structures zu empfehlen. Die verwendeten Feldnamen stehen dann auch in der S-function zur Verfügung, womit der Verwechslung von Parametern vorgebeugt werden kann. 2. function InitConditions(block) In dieser Funktion werden den Zuständen die Anfangswerte zugewiesen. Günstigerweise werden diese im Parametervektor an die S-function übergeben. 3. function Output(block) Berechnung der Ausgangsgleichung y = g(x, u). (2.14) 4. function Derivatives(block) Diese Funktion kommt nur bei zeitkontinuierlichen dynamischen Systemen vor. Es werden die Ableitungen berechnet, d. h. die Differentialgleichung wird in der Form eingegeben. ẋ = f(x, u) (2.15) 5. function Update(block) Diese Funktion kommt bei zeitdiskreten dynamischen Systemen vor. Es wird die Differenzengleichung in der Form implementiert. x k+1 = f(x k, u k ) (2.16) Die obigen Funktionen werden zur Laufzeit der Simulation von Simulink aufgerufen zum Teil auch mehrmals, wie beispielsweise die Funktionen Output(block), Derivatives(block) oder Update(block). Bei den angegebenen Funktionen in der Beispieldatei test_sfunc_m.m ist zu beachten, dass meist neue Variablen für die Attribute des Objektes block eingeführt wurden. Dies dient der besseren Lesbarkeit der Programme und kann den Schreibaufwand verringern. Beachten Sie im Zusammenhang mit S-functions folgende Hinweise:

27 2.1 Matlab Seite 24 Der Name des M-files, welches die S-function beinhaltet, muss mit dem Namen der S-function (in diesem Fall: test_sfunc_m) übereinstimmen. Das Simulink-Modell (*.slx) und die S-function (*.m) müssen verschiedene Namen haben, sich aber im selben Verzeichnis befinden. Verwenden Sie zum Einbinden von S-functions in Simulink-Modelle den Block User-Defined Functions level 2 Matlab S-Function. S-function-Blöcke können maskiert werden, so dass man die Parameter direkt in einer Maske eingeben kann (siehe Beispiel test_sfunc.slx). Aufgabe Erstellen Sie für das System Gleichstrommaschine mit Propeller nach Abschnitt 1.4 ein Simulink-Modell, in welchem das vollständige nichtlineare Modell (inklusive Stromdynamik nach Aufgabe 1.5, Teilaufgaben 2 bis 4) mit Hilfe einer Level 2 Matlab S-function simuliert werden kann. Wählen Sie als Eingangsvektor der S-function u = [u GSM, M ext ] T und als Ausgangsvektoren y 1 = [i GSM, ϕ GSMP, ω GSM, ω P ] T und y 2 = [M GSM, M Kopp ] T. Hierbei bezeichnet M GSM das elektrische Moment der Gleichstrommaschine und M Kopp das Kopplungsmoment zwischen Gleichstrommaschine und Propeller. Verwenden Sie als Anfangszustand die Ruhelage für u GSM = 5.6 V und M ext = 0 Nm. Die Eingangsgrößen haben die Verläufe u GSM (t) = 5.6 1σ(t 2) + 2σ(t 5) 2σ(t 8) + 4σ(t 13) und M ext (t) = 0.25σ(t 11) (u GSM in V und M ext in Nm). Beachten Sie bei der Implementierung folgende Hinweise: Zur einfacheren Wiederverwendung Ihres Simulationsmodells in späteren Übungsaufgaben sind die oben angegebenen Reihenfolgen der Ein- und Ausgänge exakt einzuhalten. Alle Systemparameter und Anfangszustände sollen als Parameter von außen an die S-function übergeben werden. Definieren Sie diese Größen in einem M-file, das Sie jeweils vor dem Start der Simulation ausführen (ähnlich der Parameterdatei set_params_simulink_testfile.m in Aufgabe 2.8). Übernehmen Sie dabei die analytischen Ausdrücke der Ruhelagen und des linearisierten Modells aus der in Aufgabe 1.5, Teilaufgabe 4 erstellen Maple- Arbeitsblatt-Datei in besagtes M-file und berechnen Sie erst dort die numerischen Werte. Damit ist es später einfach möglich, beliebige Ruhelagen zu untersuchen. Kontrollhinweis: Zum Test und zum Abgleich ihres Modells steht im zip-archiv U2.zip auf der Homepage der Lehrveranstaltung () die Datei GSM_Student_S_m.p zum Download zur Verfügung. Es handelt sich um eine chiffrierte S-function der Gleichstrommaschine. Ihre Einbindung erfolgt analog zur Level 2 Matlab S-function und ist im Simulationsmodell Simulation_GSM_out.slx gezeigt. Das Modell enthält bereits die oben genannten Verläufe der Eingangsgrößen. Um Namenskonflikte zu

28 2.1 Matlab Seite 25 vermeiden, darf die von Ihnen erstellte S-function nicht den Namen GSM_Student_- S_m.m tragen. Aufgabe Implementieren Sie das um die Stromdynamik reduzierte und um die Ruhelage u GSM = 5.6 V linearisierte Modell aus den Zusatzaufgaben der Übung 1 in Zustandsraumdarstellung mit Hilfe der Control System Toolbox in Simulink. Achten Sie auf eine korrekte Arbeitspunktaufschaltung. Verwenden Sie die Ruhelage als Anfangszustand und die gleichen Eingangsgrößen wie in Aufgabe Vergleichen Sie die Ergebnisse mit jenen des vollständigen nichtlinearen Modells aus Aufgabe Implementierung von zeitdiskreten dynamischen Systemen als Matlab-function Da Regelungs- und Beobachterstrategien meist in Digitalrechnern implementiert werden, sind diese als zeitdiskrete dynamische Systeme zu berücksichtigen. Dazu kann alternativ zu einer S-function, eine so genannte Matlab-function genutzt werden. Mit dieser ist es wie in einer S-function möglich komplexere Rechnungen durchzuführen, da auf fast alle Matlab Funktionen zurückgegriffen werden kann. Die Matlab-function hat außerdem den Vorteil, dass sie in M-Code programmiert werden kann und dieser vor dem Starten der Simulation in eine C-mex-function kompiliert wird. Neben reduzierter Rechenzeit bietet das vor allem den Vorteil, dass Matlab-functions direkt in dem Rapid Prototyping System dspace verwendet werden können. Das zeitkontinuierliche System (2.13) wurde in einer Matlab-function implementiert, wobei die Zeitableitung über das explizite Euler-Verfahren diskretisiert wurde. Aufgabe Laden Sie die Dateien test_matlabfunc.slx, set_params_test_- matlabfunc.m und PlotXPhasenraum.m aus dem zip-archiv U2.zip von der Homepage der Lehrveranstaltung () herunter. Arbeiten Sie die Matlab-function durch, führen Sie die Parameterdatei set_params_test_matlabfunc.m aus und starten Sie die Simulation. Versuchen Sie den Aufbau der Matlab-function anhand der nachfolgenden Beschreibung zu verstehen und machen Sie gegebenenfalls von der Hilfefunktion Gebrauch. Durch Doppelklick auf die Matlab-function, wechselt Matlab in den Editor. Zur Implementierung eines zeitdiskreten dynamischen Systems müssen folgende Punkte eingestellt werden: 1. Mit dem Button Edit Data wechselt Matlab in den Ports and Data Manager, in dem im ersten Schritt die Ein- und Ausgänge, die Parameter sowie das Update Verhalten des Blocks eingestellt werden müssen. Da hier ein zeitdiskretes dynamisches System mit der fixen Abtastzeit T a implementiert werden soll, muss bei Update method über das Popup Menü Discrete eingestellt werden und anschließend unter Sample Time die Abtastzeit eingetragen werden. Auf der linken Seite des Menüs können Ein- und Ausgänge sowie Parameter hinzugefügt und umbenannt werden.

29 2.2 Literatur Seite Wie bei normalen Matlab Funktionen üblich sind innerhalb der Funktion definierte Variablen nur lokal bekannt und werden am Ende der Funktion wieder gelöscht. Soll der Wert einer Variablen auch beim nächsten Aufruf der Funktion noch bekannt sein, muss diese Variable auf persistent gesetzt und vor dem ersten Gebrauch initialisiert werden. 3. Anschließend kann wie in Matlab üblich der restliche Funktionsteil geschrieben werden (vgl.: mittelwert.m). 4. In einer Matlab-function sind nicht alle in Matlab definierte Funktionen direkt aufrufbar. Sollen eigene Funktionen verwendet werden, muss der Compiler diese mit kompilieren. Dies kann dadurch erreicht werden, indem man die Zeile %#codegen direkt unter den Funktionsheader der eigenen Funktion eingibt (vgl.: PlotXPhasenraum.m). Sollen weitere, in Matlab schon vorkompilierte und standardmäßig nicht eingebundene Funktionen dazu gelinkt werden, so kann man diese durch die Zeile coder.extrinsic{functionname} hinzufügen. Aufgabe Implementieren Sie das mit dem Befehl c2d() diskretisierte System (Abtastzeit T a = 0.1s) aus Aufgabe 2.7 in Form einer Matlab-function. 2. Implementieren Sie das System außerdem in einem LTI-Block und vergleichen Sie die Ergebnisse für verschiedene Eingangsfunktionen. 2.2 Literatur [2.1] A. Kugi, Skriptum zur VU Automatisierung (WS 2014/15), < Institut für Automatisierungsund Regelungstechnik, TU Wien, [2.2], Skriptum zur VU Fachvertiefung Automatisierungs- und Regelungstechnik (WS 2014/15), < Institut für Automatisierungs- und Regelungstechnik, TU Wien, [2.3] A. Angermann, M. Beuschel, M. Rau und U. Wohlfarth, Matlab - Simulink - Stateflow, Grundlagen, Toolboxen, Beispiele. München: Oldenbourg Verlag, [2.4] H. Schwarz, Numerische Mathematik. Stuttgart: B.G. Teubner, 1997.

30 3 Modellbildung und Simulation Das Ziel dieser Übung ist die mathematische Modellierung und die Simulation von zwei einfachen mechatronischen Systemen, dem sogenannten Rotary Flexible Joint sowie einem Durchlauferhitzer. Die für die Modellierung der Kinematik und der Dynamik von Starrkörpersystemen mit Hilfe des Lagrange-Formalismus benötigten theoretischen Grundlagen wurden bereits in der VU Fachvertiefung: Automatisierungs- und Regelungstechnik (WS 2014/15) sowie der VU Modellbildung (SS 2014) vorgestellt und anhand von mehreren Beispielen angewandt. Studieren Sie daher zur Vorbereitung dieser Übung die folgenden Skripten: Skriptum zur VU Fachvertiefung: Automatisierungs- und Regelungstechnik (WS 2014/15) Kapitel 2 3, vollständig Skriptum zur VU Modellbildung (SS 2014/15) Kapitel 2 Kapitel 3.5 und 3.11 Kapitel , 4.3 und Beachten Sie zur Lösung der nachfolgenden Aufgabenstellungen die Musterlösungen zu den in diesen Kapiteln angegebenen Beispielen und hier vor allem die auf der Institutshomepage bereitgestellten Matlab/Simulink-Dateien. Berücksichtigen Sie des Weiteren die am Ende der Beispiele angeführten Bearbeitungshinweise. Hinweis: Bringen Sie alle ausgearbeiteten Aufgaben der vorangegangenen Termine zur dritten Einheit mit, da diese zur Ausarbeitung der Zusatzaufgaben benötigt werden. Bei Fragen oder Anregungen zu dieser Übung wenden Sie sich bitte an Herwig Koppauer <koppauer@acin.tuwien.ac.at> Andreas Deutschmann <deutschmann@acin.tuwien.ac.at> 3.1 Rotary Flexible Joint Der in Abbildung 3.1 dargestellte Laborversuch Rotary Flexible Joint (RFJ) besteht im Wesentlichen aus dem Sockel, dem zum Sockel drehbar gelagerten und mit einem Synchronmotor angetriebenen Träger sowie einem Ausleger. Der Ausleger ist wiederum

31 3.1 Rotary Flexible Joint Seite 28 gegenüber dem Träger drehbar gelagert und mit Hilfe zweier Federn elastisch verbunden. Der vorliegende Versuchsaufbau kann als einfaches Modell eines elastischen Roboters, d.h. eines Roboters mit elastischen Gelenken, betrachtet werden. Träger Ausleger Synchronmotor Sockel Abbildung 3.1: Der Laborversuch Rotary Flexible Joint. In Abbildung 3.2 ist das mechanische Ersatzschaltbild des Rotary Flexible Joints dargestellt. Der Synchronmotor treibt den Träger (Drehwinkel ϕ t, Drehwinkelgeschwindigkeit ϕ t = ω t ) direkt an. Der Rotor des Motors und der Träger besitzen ein gesamtes Trägheitsmoment I t,zz und eine drehwinkelgeschwindigkeitsproportionale (viskose) Reibung mit dem Reibkoeffizienten d t sowie eine Coulomb sche Reibung mit dem Reibkoeffizienten d t,c. Im Weiteren soll angenommen werden, dass in diesen Reibkoeffizienten die Reibung des Rotors des Motors sowie des Trägers zusammengefasst sind. Der Ausleger ist drehbar gegenüber dem Träger gelagert (Drehwinkel absolut ϕ a, Drehwinkelgeschwindigkeit absolut ϕ a = ω a, siehe Abbildung 3.3), wobei die Kopplung über zwei lineare Federn (Steifigkeit c f ) erfolgt. Aufgrund der speziellen Anordnung der Federn ergibt sich ein nichtlinearer Zusammenhang der Form M c,at (ϕ a ) für das von den Federn eingebrachte Moment. Weiterhin wird angenommen, dass in der Lagerung des Auslegers eine viskose Reibung mit dem Reibkoeffizienten d a auftritt, welche proportional zur absoluten Drehwinkelgeschwindigkeit ϕ a = ω a ist. Dies ist darauf zurückzuführen, dass die Reibung im zur Messung des Winkels ϕ a eingesetzten Inkrementalencoder gegenüber der Reibung im Lager zwischen Träger und Ausleger dominiert. Zur genauen Beschreibung der Kinematik des Systems sowie der Einbausituation der M mot ϕ t, ω t ϕ a, ω a I t,zz I a,zz d t, d t,c M c,at (ϕ a, ϕ t ) d a Abbildung 3.2: Mechanisches Ersatzschaltbild des Laborversuchs Rotary Flexible Joint.