1. Vorwort zum Versuch Ziel des Versuchs Aufgabenstellung Aufgaben zur Vorbereitung Versuchsdurchführung...

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1 Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Fakultät für Physik Fortgeschrittenenpraktikum I FP I Deterministisches Chaos Inhalt A. Versuchsanleitung: Seite 1. Vorwort zum Versuch Ziel des Versuchs Aufgabenstellung Aufgaben zur Vorbereitung Versuchsdurchführung... 4 B. Technische Hinweise: 1. Versuchaufbauten (Bild) Geräteliste für den Versuch (siehe Ordner am Versuch) C. Literatur: 1. Wissenschaftliche Arbeiten Weiterführende Literatur

2 A. Versuchsanleitung 1. Vorwort zum Versuch Im Jahr 1889 wurde zum 60. Geburtstags von Oskar 11, König von Norwegen und Schweden, ein mathematischer Wettbewerb veranstaltet, in dem zu beweisen war, dass das Sonnensystem ein stabiles System darstellt, d.h. dass die Planeten sich stets um die Sonne, und die Monde immer um ihre Planeten drehen. Der Preis ging an Henri Poincaré. Er bewies, dass das Sonnensystem nicht stabil ist und dass es keine allgemeine analytische Lösung des Drei-Körper-Problems (Sonne, Erde, Mond) gibt. Er zeigt mit einer neuartigen Methode (geometrische Modelle, Phasenraum), dass es Anfangsbedingungen gibt, bei der sich die zukünftige Entwicklung des System nicht genau vorhersagen lässt. "Eine kleine Ursache, die uns entgehen mag, bewirkt einen beachtlichen Effekt, den wir nicht ignorieren können und wir sagen dann, dass dieser Effekt auf Zufall beruht." (Poincaré, "Wissenschaft und Methode", 1903). Dies ist ein typischen Merkmal für chaotische Systeme, kleine Änderungen in den Anfangsbedingungen führen zu einer vollkommen unterschiedlichen zeidichen Entwicklung. 2. Ziel des Versuchs Der Versuch dient dazu einen ersten Einblick in die Welt des deterministischen Chaos zu schaffen. An einem nicht-linearen Schwingkreis wird der Weg ins Chaos und chaotisches Verhalten untersucht und universelle Prinzipien, wie die Beschreibung chaotischer Systeme durch einfache Abbildungsvorschriften, veranschaulicht. -2-

3 3. Aufgabenstellung 3.1 Messung am linearen Schwingkreis Messen Sie die Amplitude des Spannungsabfalls am Kondensator in Abhängigkeit von der Frequenz der treibenden Spannung. Bestimmen Sie durch einen Fit an die Daten den Widerstand, die Induktivität und die Kapazität der Schaltung und vergleichen Sie diese mit den auf den Bauteilen aufgedruckten Werten. Diskutieren Sie das Ergebnis. 3.2 Messungen an verschiedenen nicht linearen Schwingkreisen Messen Sie die Amplitude des Spannungsabfalls an der Diode in Abhängigkeit von der Frequenz der treibenden Spannung. Achten sie darauf, dass die Amplitude der treibenden Spannung klein ist, damit keine Bifurkationen auftreten. Vergleichen Sie mit dem linearen Schwingkreis Beobachten Sie den sogenannten "Weg ins Chaos" und erzeugen Sie durch Variation der Amplitude der treibenden Spannung Bifurkationen bzw. Periodenverdopplungen. Nutzen Sie dabei verschiedene Darstellungsmöglichkeiten mit dem Oszilloskop, z.b. x-y-darstellung, mit der treibenden Spannung als x und dem Spannungsabfall an der Diode als y. Bestimmen Sie die ersten Folgenglieder an und dn, die gegen die Feigenbaumkonstanten a und Ö konvergieren Bestimmen Sie die erste Wiederkehrabbildung für mindestens zwei System und vergleichen Sie mit der logistischen Abbildung. Welche Gemeinsamkeiten, welche Unterschiede gibt es? Stellen Sie auf dem Schirm des Oszilloskops ein Amplitudenbifurkationsdiagramm dar. Nehmen Sie diese mit der digitalen Kamera auf, die beim Assistenten erhältlich ist und vergleichen Sie diese mit dem Bifurkationsdiagramm der logistischen Abbildung. -3-

4 4. Aufgaben zur Vorbereitung Berechnen Sie die Fitfunktion für Aufgabenteil 1 Was groß ist eine Abschwächung um 40dB? Machen Sie sich mit den Eigenschaften der logistischen Abbildung vertraut. Insbesondere mit den Begriffen: Kontrollparameter, Bifurkation, Weg ins Chaos, Chaos, Fenster im Chaos, Feigenbaumkonstanten. Stellen Sie die Differentialgleichung fur den nicht-linearen Schwingkreis auf. Was ist bei diesem Experiment der Kontrollparameter. Warum werden bei diesem Experiment die Bifurkationen auch Periodenverdopplung genannt? Wie sieht die erste Wiederkehrabbildung für einen linearen Serienschwingkreis aus? 5. Versuchsdurchführung 5.1 Bauen Sie mit Hilfe des Steckbrettes einen linearen Serienschwingkreis wie in Abbildung 1 auf. Greifen Sie die Spannung am Kondensator ab und machen Sie diese am Oszilloskop sichtbar. Die Spannung wird zwischen Spule und Kondensator abgegriffen und die Masse des Tastkopfs wird zwischen Kondensator und Sinusgenerator angeschlossen. Legen Sie auf den zweiten Kanal die treibende Spannung. Variieren Sie die Frequenz der treibenden Spannung und Tragen Sie die Amplitude des Spannungsabfalls am Kondensator gegen die Frequenz der treibenden Spannung auf. Sie können das Oszilloskop mit einem PC auslesen und so Frequenz und Amplitude genauer wie durch Ablesen am Oszilloskop schirm bestimmen. Achten Sie darauf, dass sich das Oszilloskop im Speichermodus (Storage) befindet. Mit Hilfe des auf dem PC installierten Programms "Origin" wird die von Ihnen zu berechnende theoretische Kurve an die Daten gefittet. -4-

5 U0sin t Abb.1 Linearer Schwingkreis 5.2 Benutzen Sie für den Aufbau des nicht-linearen Schwingkreises das blaue Spulensteckbrett. Speziell gewickelte Spulen mit einer geringen Kapazität sind fest an das Steckbrett montiert und können über einen Drehknopf ausgewählt werden. Am Ausgang des Frequenzgenerators befinden sich Druckknöpfe zur Abschwächung des Ausgangssignals. Verwenden Sie die größtmögliche Abschwächung, um sicherzustellen, dass während dieser Messreihe keine Bifurkationen auftreten. Wiederholen Sie die Messung von Aufgabenteil 1. U0sin t Abb. 2 nicht-linearer Schwingkreis -5-

6 Stellen Sie die Frequenz der treibenden Spannung auf die Resonanz des Schwingkreises ein. Erhöhen Sie nun die Amplitude der treibenden Spannung und protokollieren Sie Ihre Beobachtungen. Berechnen Sie daraus die ersten Glieder der Folgen, die gegen die Feigenbaumkonstanten konvergieren. Nutzen Sie zum bestimmen der Bifurkationspunkte die x-y Darstellung des Oszilloskops mit der treibenden Spannung auf der einen und dem Spannungsabfall an der Diode auf der anderen Achse. Wie kommt die charakteristische Form zustande? Stellen Sie zur Bestimmung der ersten Wiederkehrabbildung das Oszilloskop auf Zeitablenkung. Die Amplitude der treibenden Spannung wird so groß gewählt, dass das System chaotisches Verhalten zeigt. Die erste Wiederkehrabbildung wird folgendermaßen konstruiert: Die Spannungsamplitude U n des n-ten Peaks wird mit der Auslese- / Auswertungssoftware auf dem PC bestimmt. Tragen Sie anschließend U n+1 gegen U n in ein Diagramm auf. Nehmen Sie etwa 60 Punkte auf. Feigenbaum: Quantitative Universality for a Class of Nonlinear Transformations", J. Stat. Phys. 19,25 (1978) hat gezeigt, dass bei allen Abbildungen X n+1 =f(x n), die nur ein einziges Maximum besitzen, die sogenannte Feigenbaumroute ins Chaos auftritt. Die Feigenbaumkonstanten und hängen nur von der Ordnung des Maximums ab. Zur Aufnahme des Amplitudenbifurkationsdiagramms Modulieren Sie die Amplitude der Ausgangsspannung des Sinusgenerators mit einer Dreieckspannung, deren Frequenz klein gegen die Frequenz der Sinusspannung ist. Die Dreiecksspannung kann am Ausgang,AUX des Sinusgenerators abgegriffen werden. Legen Sie die Dreiecksspannung auf Kanal 1 des Oszilloskops. Triggern Sie auf den Sägezahn. Legen Sie auf Kanal zwei den Spannungsabfall an der Diode und wechseln Sie in -6-

7 die x-y Darstellung. Sie können auf dem Schirm das Bifurkationsdiagramm des Schwingkreises sehen. Achten Sie darauf, dass Sie den Analog-Modus des Oszilloskops arbeiten und nicht im Speicherbetrieb (Storage). Fotografieren Sie mit einer digitalen Kamera das Diagramm. Untersuchen Sie Hysterese Effekte, also ob sich der Weg ins Chaos ändert, wenn Sie die Dreieckspannung für die Amplitudenmodulation positiv oder negativ durchfahren. Verbiegen Sie auch die Kabel, mit denen die Diode mit dem Steckbrett verbunden ist und protokollieren Sie Ihre Beobachtungen. -7-

8 B. Technische Hinweise 1. Versuchsaufbau (Bild) Abb. 1 Auswerteplatz -8-

9 Abb. 2 Versuchsaufbau -9-

10 Deterministisches Chaos FP I C. Literatur 1. Staatsexamensarbeit 1. Reinhard Kastner: Demonstrationsversuch zum Deterministischen Chaos; Zulassungsarbeit, April Wissenschaftliche Arbeiten 1. Robert van Buskirk, Caarson Jeffries: Observation of chaotic dynamics of coupled nonlinear oscillators; Dep. of Phys, Univ.of California, Berkeley (26.Sept. 1984) 2. Werner Lauterborn, Werner Meyer.Ilse: Chaos; Physik in unserer Zeit, 17 / Jahrg / Nr.6 3. Mitchell J. Feigenbaum: Universal Behavior in Nonlinear Systems; Los Alamos Science (1980) 3. Weiterführende Literatur 1. Heinz Georg Schuster: Deterministisches Chaos: Eine Einführung; VCH Verlagsgesellschaft Weinheim 2. Florian Scheck, Mechanik, Kapitel 6: Stabilität und Chaos; Springer Verlag -10-