Numerische Verfahren zur optimalen Steuerung von parabolischen PDEs
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- Carsten Maurer
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1 Numerische Verfahren zur optimalen Steuerung von parabolischen PDEs Jens Saak in Zusammenarbeit mit Hermann Mena (EPN Quito Ecuador) Peter Benner und Sabine Görner (MiIT) Mathematik in Industrie und Technik Fakultät für Mathematik TU Chemnitz /18 Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
2 Gliederung /18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
3 Betrachten ein Regelungssystem für eine Parabolische partielle Differentialgleichung x t + (c(x) k( x)) + q(x) = v(ξ, t), t [0, T f ], (PDE) auf einem Gebiet Ω R d, d = 1, 2, 3. Dabei sind: q ungesteuerte Quelle/Senke k Diffusionsanteil c Konvektionsanteil Der Übersichtlichkeit halber hier T f =. 3/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
4 Betrachten ein Regelungssystem für eine Parabolische partielle Differentialgleichung x t + (c(x) k( x)) + q(x) = v(ξ, t), t [0, T f ], (PDE) auf einem Gebiet Ω R d, d = 1, 2, 3. Hier v(ξ, t) = B(ξ)u(t) u Steuerung B Eingangsoperator 3/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
5 Betrachten ein Regelungssystem für eine Parabolische partielle Differentialgleichung x t + (c(x) k( x)) + q(x) = v(ξ, t), t [0, T f ], (PDE) auf einem Gebiet Ω R d, d = 1, 2, 3. Ist (PDE) linear, dann führt eine Variationsformulierung auf ein Cauchy Problem für die lineare Evolutionsgleichung ẋ = Ax + Bu, x(0) = x 0 X. 3/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
6 (Formulierung) lineare Evolutionsgleichung ẋ = Ax + Bu, x(0) = x 0 X, (Cauchy) mit linearen Operatoren A : dom(a) X X, B : U X, und separablen Hilberträumen X (Zustandsraum), U = R k (d.h. U ist endlichdim.). 4/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
7 (Formulierung) lineare Evolutionsgleichung Ausgangsgleichung ẋ = Ax + Bu, x(0) = x 0 X, (Cauchy) y = Cx. (Ausgang) mit linearen Operatoren A : dom(a) X X, B : U X, C : X Y, und separablen Hilberträumen X (Zustandsraum), U = R k (d.h. U ist endlichdim.) und Y (Beobachtungsraum). 4/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
8 (Formulierung) lineare Evolutionsgleichung Ausgangsgleichung ẋ = Ax + Bu, x(0) = x 0 X, (Cauchy) y = Cx. (Ausgang) Mit Q := C ˆQC und ˆQ = ˆQ 0, sowie R = R > 0 formulieren wir das Kostenfunktional J (u) = 1 < ˆQy, y > + < Ru, u > dt (Kosten) 2 0 4/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
9 (Formulierung) lineare Evolutionsgleichung Ausgangsgleichung ẋ = Ax + Bu, x(0) = x 0 X, (Cauchy) y = Cx. (Ausgang) Mit Q := C ˆQC und ˆQ = ˆQ 0, sowie R = R > 0 formulieren wir das Kostenfunktional J (u) = 1 < Qx, x > + < Ru, u > dt (Kosten) 2 0 4/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
10 (Formulierung) lineare Evolutionsgleichung Ausgangsgleichung ẋ = Ax + Bu, x(0) = x 0 X, (Cauchy) y = Cx. (Ausgang) Kostenfunktional J (u) = < Qx, x > + < Ru, u > dt (Kosten) und damit das LQR Problem Minimiere (Kosten) unter der Nebenbedingung (Cauchy) 4/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
11 (Lösung) In der Literatur gut verstanden: Analog zu endlichen Dimensionen ist die optimale Zustandsrückführung u = R 1 B X x. Dabei ist X die minimale, positiv semidefinite, selbstadjungierte Lösung der Operator Riccatigleichung 0 = R(X) := Q + A X + XA XBR 1 B X. (O-ARE) z.b. [Lions 71; Lasiecka/Triggiani 00; Bensoussan et al. 92; Pritchard/Salamon 87] 5/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
12 (Lösung) Damit läßt sich (Cauchy) schreiben als geschlossener Regelkreis ẋ = (A BR 1 B X )x und die optimale Lösung ist gegeben durch x(t) = S(t)x 0, dabei ist S(t) die durch A BR 1 B X erzeugte Operatorhalbgruppe. 6/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
13 (Approximation) Sei (X n ) n N ein Galerkinschema zu X, darauf formulieren wir 7/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
14 (Approximation) Sei (X n ) n N ein Galerkinschema zu X, darauf formulieren wir n-d Evolutionsgleichung Ausgangsgleichung ẋ = A n x + B n u, X n x n (0) = P n x 0, (n-d Cauchy) y n = C n x n. (n-d Ausgang) mit linearen Operatoren A n : dom(a n ) X n X n, B n : U X n, C n : X n Y n, auf n-d Hilberträumen X n (Zustandsraum) und Y n (Beobachtungsraum), sowie weiterhin U = R k. P n : X X n die kanonische orthogonale Projektion. 7/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
15 (Approximation) Sei (X n ) n N ein Galerkinschema zu X, darauf formulieren wir n-d Evolutionsgleichung Ausgangsgleichung ẋ = A n x + B n u, X n x n (0) = P n x 0, (n-d Cauchy) y n = C n x n. (n-d Ausgang) Mit Q n := Cn ˆQ n C n und ˆQ n = ˆQ n 0, sowie R = R > 0 formulieren wir Kostenfunktional J n (u) = 1 < 2 ˆQ n y n, y n > + < Ru, u > dt (n-d Kosten) 0 7/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
16 (Approximation) Sei (X n ) n N ein Galerkinschema zu X, darauf formulieren wir n-d Evolutionsgleichung Ausgangsgleichung ẋ = A n x + B n u, X n x n (0) = P n x 0, (n-d Cauchy) y n = C n x n. (n-d Ausgang) Mit Q n := Cn ˆQ n C n und ˆQ n = ˆQ n 0, sowie R = R > 0 formulieren wir Kostenfunktional J n (u) = 1 < Q n x n, x n > + < Ru, u > dt (n-d Kosten) 2 0 7/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
17 (Approximation) n-d Evolutionsgleichung Ausgangsgleichung ẋ = A n x + B n u, X n x n (0) = P n x 0, (n-d Cauchy) y n = C n x n. (n-d Ausgang) Kostenfunktional J (u) = < Q n x n, x n > + < Ru, u > dt (n-d Kosten) n-d LQR Problem Minimiere (n-d Kosten) unter der Nebenbedingung (n-d Cauchy) 7/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
18 (Approximation) Für diese gilt analog: Optimale Zustandsrückführung u = R 1 BnX n x n, wobei X n die minimale, positiv semidefinite, selbstadjungierte Lösung der n-d Operator Riccatigleichung 0 = R n (X ) := Q n + A nx + XA n XB n R 1 B nx. (n-d O-ARE) 8/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
19 (Approximation) Damit lässt sich (n-d Cauchy) ebenfalls schreiben als geschlossener Regelkreis und die ẋ n = (A n B n R 1 B nx n )x n optimale Lösung ist gegeben durch x n (t) = S n (t)p n x 0, wie oben ist S n (t) die durch A n B n R 1 B nx n erzeugte Operatorhalbgruppe. 9/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
20 (Approximation) Approximation Die n-d LQR Probleme approximieren das LQR Problem derart, dass X n P n v Xv für n und alle v X, S n (t)p n v S(t)v für n und alle v X, 10/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
21 (Approximation) Approximation Die n-d LQR Probleme approximieren das LQR Problem derart, dass X n P n v Xv für n und alle v X, S n (t)p n v S(t)v für n und alle v X, also in der starken Operator-Topologie. [Banks/Kunisch 84] Verteilte Steuerung parabolischer PDEs [Benner/S. 05] Randsteuerung mit gemischten Randbedingungen [Lasiecka/Triggiani 00] Abschwächung der Bedingungen an (Cauchy), enthält Konvergenzraten [Ito 87/ 90; Morris 94] allgemeine Cauchy Probleme 10/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
22 (Approximation) Approximation Die n-d LQR Probleme approximieren das LQR Problem derart, dass X n P n v Xv für n und alle v X, S n (t)p n v S(t)v für n und alle v X, also in der starken Operator-Topologie. Bemerkung: Für eine konkrete Basis (z.b. aus FDM/FEM Ansatzraum) besitzen alle n-d Operatoren Matrixrepräsentationen und S(t) entspricht der Matrix-Exponentialfunktion e (A BR 1 B T X )t. 10/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
23 (Approximation) Approximation Die n-d LQR Probleme approximieren das LQR Problem derart, dass X n P n v Xv für n und alle v X, S n (t)p n v S(t)v für n und alle v X, also in der starken Operator-Topologie. Bemerkung: Für eine konkrete Basis (z.b. aus FDM/FEM Ansatzraum) besitzen alle n-d Operatoren Matrixrepräsentationen und S(t) entspricht der Matrix-Exponentialfunktion e (A BR 1 B T X )t. u und R bleiben stets erhalten. D.h. u aus der Rechnung für ein n-d Problem kann direkt im -d Problem angewandt werden. 10/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
24 (Numerik) Hauptaufgabe der Numerik Löse die große dünnbesetzte Matrix Riccatigleichung 0 = R h (X ) := Q h + A h X + XA h XB h R 1 B h X. (M-ARE) effizient in Bezug auf CPU und Speichernutzung. Klassische Methoden sind wegen ihres kubischen Aufwands nicht anwendbar. 11/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
25 (Numerik) (M-ARE) ist nichtlinear Newtonverfahren für ARE R h X (N l ) = R h (X l ), X l+1 = X l + N l. Die Frechét Ableitung von R h an der Stelle X ist gegeben durch den Lyapunov Operator R h X : Z (A h B h R 1 B T h X )T Z + Z(A h B h R 1 B T h X ). Damit ergibt sich die Einschritt Newtoniteration (A h B h R 1 B T h X l ) T X l+1 +X l+1 (A h B h R 1 B T h X l ) = C T h Q h C h X l B h R 1 B T h X l 12/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
26 (Numerik) In jedem Newtonschritt lösen wir eine Lyapunov Gleichung F T X + XF = GG T. (Lyapunov) 13/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
27 (Numerik) In jedem Newtonschritt lösen wir eine Lyapunov Gleichung F T X + XF = GG T. (Lyapunov) Verfügbare Löser für große dünnbesetzte Gleichungen (Lyapunov) ADI [Wachspress 88; Penzl 99; Benner/Li/Penzl 00; Li/White 02]; 13/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
28 (Numerik) In jedem Newtonschritt lösen wir eine Lyapunov Gleichung F T X + XF = GG T. (Lyapunov) Verfügbare Löser für große dünnbesetzte Gleichungen (Lyapunov) ADI [Wachspress 88; Penzl 99; Benner/Li/Penzl 00; Li/White 02]; Krylov [Kasenally/Jaimoukha 94; Jbilou/Riquet 06; Simoncini 06] 13/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
29 (Numerik) In jedem Newtonschritt lösen wir eine Lyapunov Gleichung F T X + XF = GG T. (Lyapunov) Verfügbare Löser für große dünnbesetzte Gleichungen (Lyapunov) ADI [Wachspress 88; Penzl 99; Benner/Li/Penzl 00; Li/White 02]; Krylov [Kasenally/Jaimoukha 94; Jbilou/Riquet 06; Simoncini 06] Smith [Penzl 99; Gugercin/Sorensen/Antoulas 03] 13/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
30 (Numerik) In jedem Newtonschritt lösen wir eine Lyapunov Gleichung F T X + XF = GG T. (Lyapunov) Verfügbare Löser für große dünnbesetzte Gleichungen (Lyapunov) ADI [Wachspress 88; Penzl 99; Benner/Li/Penzl 00; Li/White 02]; Krylov [Kasenally/Jaimoukha 94; Jbilou/Riquet 06; Simoncini 06] Smith [Penzl 99; Gugercin/Sorensen/Antoulas 03]... viele weitere Alle arbeiten auf Niedrigrangfaktoren Z der Lösung X um Speicherbedarf und Rechenaufwand zu verringern. 13/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
31 (Numerik) In jedem Newtonschritt lösen wir eine Lyapunov Gleichung F T X + XF = GG T. (Lyapunov) Verfügbare Löser für große dünnbesetzte Gleichungen (Lyapunov) ADI [Wachspress 88; Penzl 99; Benner/Li/Penzl 00; Li/White 02]; Krylov [Kasenally/Jaimoukha 94; Jbilou/Riquet 06; Simoncini 06] Smith [Penzl 99; Gugercin/Sorensen/Antoulas 03]... viele weitere ADI benötigt Shift Parameter; Parameterwahl: [Ellner/Wachspress 91; Penzl 00; Benner/Mena/S. 06; Sabino 06] 13/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
32 (Numerik) In jedem Newtonschritt lösen wir eine Lyapunov Gleichung F T X + XF = GG T. (Lyapunov) Verfügbare Löser für große dünnbesetzte Gleichungen (Lyapunov) ADI [Wachspress 88; Penzl 99; Benner/Li/Penzl 00; Li/White 02]; Krylov [Kasenally/Jaimoukha 94; Jbilou/Riquet 06; Simoncini 06] Smith [Penzl 99; Gugercin/Sorensen/Antoulas 03]... viele weitere Bei Systemen mit sehr wenigen Eingängen können Newton-ADI und Newton-Smith direkt auf dem Feedback K h := R 1 B T h X iterieren [Penzl 00;Banks/Ito 91]. 13/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
33 Linear Syteme mit Inhomogenitäten Linear Syteme mit Inhomogenitäten Anwendung auf von parabolischen PDEs Erinnerung zu Systemen für lineare Evolutionsgleichungen mit Inhomogenitäten ẋ = Ax + Bu + f Sei nun ˆx Lösung des ungesteuerten Systems ẋ = Ax + f, dann f = ˆx Aˆx und ẋ ˆx = A(x ˆx) + Bu. Wir können also auch für z = x ˆx das System ż = Az + Bu lösen um die Steuerung u zu berechnen. z.b. [Godunov 97] 14/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
34 Anwendung auf von parabolischen PDEs Linear Syteme mit Inhomogenitäten Anwendung auf von parabolischen PDEs Betrachten einen anzusteuernden stationären Zustand x und das s Problem ẋ = Ax + Bv y = C(x x) J (u) = 1 2 < Q(x x), x x > + < Ru, u > dt 0 (Tracking) Definieren z := x x und damit das Cauchy Problem ż = Az + Bv y = Cz (1) die optimale Steuerung ist dann wie oben gegeben als v = Kz und (1) ist äquivalent zu ẋ = Ax BKx + x A x + BK x 15/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
35 Anwendung auf von parabolischen PDEs Linear Syteme mit Inhomogenitäten Anwendung auf von parabolischen PDEs Betrachten einen anzusteuernden stationären Zustand x und das s Problem ẋ = Ax + Bv y = C(x x) J (u) = 1 2 < Q(x x), x x > + < Ru, u > dt 0 (Tracking) f := x A x + BK x ist eine bekannte Inhomogenität beim Lösen des geschlossenen Regelkreises. Gleichungen (Tracking) und (1) benötigen dieselbe algebraische Riccatigleichung. 15/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
36 Anwendung auf von parabolischen PDEs Linear Syteme mit Inhomogenitäten Anwendung auf von parabolischen PDEs Betrachten einen anzusteuernden stationären Zustand x und das s Problem ẋ = Ax + Bv y = C(x x) J (u) = 1 2 < Q(x x), x x > + < Ru, u > dt 0 (Tracking) Können das Feedback für (Tracking) mit obigen Methoden für (1) berechnen und dann mit der Inhomogenität den geschlossenen Regelkreis lösen. Vorgehen funktioniert auch für Referenzpaare ( x, ũ) [Benner/Görner/S. 06] 15/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
37 Wärmeleitung in Stahlprofilen, ein Modellproblem Wärmeleitung in Stahlprofilen, ein Modellproblem Linearisierung und Ergebnisse Die Abkühlung von Stahlprofilen im Walzwerk dient als Modellproblem. Wir betrachten die nichtlineare Wärmeleitung c(x)ρ(x) t x(ξ, t) =.(λ(x) x(ξ, t)) in Ω (0, T ), λ(x) ν x(ξ, t) = κ i(x(ξ, t) u i (t)) auf Γ i (0, T ), x(ξ, 0) = x 0 (ξ) in Ω, (Heat) x Zustand, Temperatur u Steuerung/Regelung T R { } Endzeitpunkt c(x) spezifische Wärmekapazität ϱ(x) Dichte λ(x) Wärmeleitfähigkeit 16/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
38 Wärmeleitung in Stahlprofilen, ein Modellproblem Wärmeleitung in Stahlprofilen, ein Modellproblem Linearisierung und Ergebnisse Die Abkühlung von Stahlprofilen im Walzwerk dient als Modellproblem. Wir betrachten die nichtlineare Wärmeleitung c(x)ρ(x) t x(ξ, t) =.(λ(x) x(ξ, t)) in Ω (0, T ), λ(x) ν x(ξ, t) = κ i(x(ξ, t) u i (t)) auf Γ i (0, T ), x(ξ, 0) = x 0 (ξ) in Ω, (Heat) (Heat) ist offenbar nichtlinear da c, ϱ und λ von der Temperatur x abhängen. Idee Friere die Materialparameter für einen oder mehrere Zeitschritte ein. Linearisierung Verfahren aus der Einleitung greift. 16/18 jens.saak@mathematik.tu-chemnitz.de Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
39 Linearisierung und Ergebnisse Wärmeleitung in Stahlprofilen, ein Modellproblem Linearisierung und Ergebnisse Idee Friere die Materialparameter für einen Zeitschritt ein. Linearisierung Verfahren aus der Einleitung greift. Numerik semi-implizite Diskretisierung Theorie Einbettung in modellprädiktive Steuerungsschemata. Testrechnungen Ergebnisse vielversprechend 17/18 Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
40 Wärmeleitung in Stahlprofilen, ein Modellproblem Linearisierung und Ergebnisse Ende Vielen Dank für die Aufmerksamkeit! FEM: ALBERTA Grafiken: Grape/Matlab AREs: LYAPACK 18/18 Jens Saak Numerik für LQR Probleme mit parabolischen PDEs
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