Funktionstransformationen

Transkript

1 Funktionstransformationen Theorie, Äbungen, Partnerinterviews, dynamische Experimentiervorlagen Benno Frei

2 Funktionstransformationen Seite - II - Inhalt FUNKTIONSTRANSFORMATIONEN REGELN. Streckung oder Stauchung.. Streckung oder Stauchung in y Richtung.. Spezialfall: Spiegelung an der x Achse..3 Streckung oder Stauchung in x Richtung..4 Spezialfall: Spiegelung an der y Achse. Verschiebung.. Verschiebung in x Richtung.. Verschiebung in y Richtung 3..3 Verschiebung in x Richtung und y Richtung 3.3 Zusammenfassung 3 DIE BETRAGSFUNKTION 4. Streckung oder Stauchung 4.. Streckung oder Stauchung in y Richtung 4.. Streckung oder Stauchung in x Richtung 4..3 Spiegelung an der y - Achse 4. Verschiebung 5.. Verschiebung in x Richtung 5.. Verschiebung in y Richtung 5..3 Verschiebung in x Richtung und in y Richtung 5..4 Dynamisches Arbeitsblatt: Alle vier Parameter zusammen 5.3 Äbungen Betragsfunktion 6.4 Anwendung: Betragsungleichung 8 3 DIE QUADRATISCHE FUNKTION 0 3. Streckung oder Stauchung Streckung oder Stauchung in y Richtung Spezialfall: Spiegelung an der x Achse Streckung oder Stauchung in x Richtung Spezialfall: Spiegelung an der y Achse 0 3. Verschiebung 3.. Verschiebung in x Richtung 3.. Verschiebung in y Richtung 3..3 Verschiebung in x Richtung und in y Richtung 3..4 Dynamisches Arbeitsblatt: Alle vier Parameter zusammen Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

3 Funktionstransformationen Seite - III Äbungen quadratische Funktion 3.4 Anwendung: Optimierungsaufgabe 4 4 DIE WURZELFUNKTION 5 4. Streckung oder Stauchung Streckung oder Stauchung in y Richtung Spezialfall: Spiegelung an der x Achse Streckung oder Stauchung in x Richtung Spezialfall: Spiegelung an der y Achse 5 4. Verschiebung Verschiebung in x Richtung Verschiebung in y Richtung Verschiebung in x Richtung und in y Richtung Dynamisches Arbeitsblatt: Alle vier Parameter zusammen Äbungen Wurzelfunktion 7 5 KEHRWERTFUNKTION 9 5. Streckung oder Stauchung Streckung oder Stauchung in y Richtung Spezialfall: Spiegelung an der x Achse Streckung oder Stauchung in x Richtung Spezialfall: Spiegelung an der y Achse 0 5. Verschiebung Verschiebung in x Richtung Verschiebung in y Richtung Verschiebung in x Richtung und in y Richtung Dynamisches Arbeitsblatt: Alle vier Parameter zusammen 5.3 Äbungen Kehrwertfunktion 6 SINUSFUNKTION 3 6. Streckung oder Stauchung Streckung oder Stauchung in y Richtung Spezialfall: Spiegelung an der x Achse Streckung oder Stauchung in x Richtung Spezialfall: Spiegelung an der y Achse 3 6. Verschiebung Verschiebung in x Richtung Verschiebung in y Richtung Verschiebung in x Richtung und in y Richtung Dynamisches Arbeitsblatt: Alle vier Parameter zusammen 4 Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

4 Funktionstransformationen Seite - IV Äbungen Sinusfunktion 5 7 ANWENDUNGEN 7 7. Umkehrfunktion Beispiel: Weg Zeit Funktion Die Umkehrbarkeit einer Funktion Dynamisches Arbeitsblatt: Umkehrung lineare Funktion Dynamisches Arbeitsblatt: Umkehrung quadratische Funktion 3 7. Modellbildung Temperaturverlauf Problemstellung LÅsung Dynamisches Arbeitsblatt Modellbildung Temperaturverlauf Modellbildung Speicherkraftwerk Problemstellung Allgemeines Modell Speicherkraftwerk 36 Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

5 Funktionstransformationen Seite - - Funktionstransformationen Regeln y a f b x c d b ausklammern! c b y a f b x d Wir wollen die Auswirkungen der vier Parameter a, b, c und d auf den Graph der Funktion Grundfunktion f x studieren. Wie bekommen wir aus dem Graph der f x den Graph der Funktion y a f b x c d? Wir untersuchen die Effekte der Parameter auf den Graph der Funktion einzeln.. Streckung oder Stauchung.. Streckung oder Stauchung in y Richtung Die Transformation y f x y a f x bewirkt eine Streckung oder Stauchung des Graphen in y Richtung. FÇr a Streckungsfaktor a eine Streckung des Graphen in y Richtung mit dem FÇr 0 a eine Stauchung des Graphen in y Richtung mit dem Stauchungsfaktor a FÇr a 0 zusétzlich zur Stauchung mit dem Faktor a eine Spiegelung des Graphen an der x Achse. FÇr a zusétzlich zur Streckung mit dem Faktor a eine Spiegelung des Graphen an der x Achse... Spezialfall: Spiegelung an der x Achse Spezialfall: a der Graph wird an der x Achse gespiegelt y f x y f x Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

6 Funktionstransformationen Seite Streckung oder Stauchung in x Richtung Die Transformation y f x y f b x bewirkt eine Streckung oder Stauchung des Graphen in x Richtung. FÇr b Stauchungsfaktor b eine Stauchung des Graphen in x Richtung mit dem FÇr 0 b eine Streckung des Graphen in x Richtung mit dem Streckungsfaktor b FÇr b 0 zusétzlich zur Streckung mit dem Faktor b eine Spiegelung des Graphen an der y Achse. FÇr b zusétzlich zur Stauchung mit dem Faktor b eine Spiegelung des Graphen an der y Achse...4 Spezialfall: Spiegelung an der y Achse Spezialfall: b y f x y f x der Graph wird an der y Achse gespiegelt. Verschiebung.. Verschiebung in x Richtung Die Transformation y f x y f x c bewirkt eine Verschiebung des Graphen in x Richtung. FÇr c 0 eine Verschiebung des Graphen um c Einheiten nach links FÇr c 0 eine Verschiebung des Graphen um c Einheiten nach rechts Merke: y f c b x b, b muss ausgeklammert werden: Verschiebung b c. Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

7 Funktionstransformationen Seite Verschiebung in y Richtung Die Transformation y f x y f x d bewirkt eine Verschiebung des Graphen in y Richtung. FÇr d 0 eine Verschiebung des Graphen um d Einheiten nach oben FÇr d 0 eine Verschiebung des Graphen um d Einheiten nach unten..3 Verschiebung in x Richtung und y Richtung Die Transformation y f x y f x c d bewirkt eine Verschiebung des Graphen in x Richtung und y Richtung. c und d c bewirken eine Verschiebung des Koordinatensystems um den Vektor. d.3 Zusammenfassung y a f b x c d Die Parameter a und b werden multipliziert und bewirken eine Streckung oder Stauchung. a multipliziert den Funktionswert und hat somit Auswirkungen in y Richtung. Der Spezialfall a = entspricht der Spiegelung an der x Achse. b multipliziert die unabhéngige Variable x und hat somit Auswirkungen in x Richtung. Der Spezialfall b = entspricht der Spiegelung an der y Achse. Die Parameter c und d werden addiert und bewirken eine Verschiebung. d wird zum Funktionswert addiert und hat somit Auswirkungen in y Richtung. c wird zur unabhéngigen Variablen x addiert und hat somit Auswirkungen in x Richtung. c und d bewirken eine Verschiebung des Koordinatensystems c um den Vektor. d Der Parameter b bewinflusst die Verschiebung in x Richtung. Er muss jeweils ausgeklammert werden c Verschiebung in x Richtung ist somit c b. y a f b x b d, d.h., die Verschiebung des Koordinatensystems um den Vektor c b d. Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

8 Funktionstransformationen Seite Die Betragsfunktion Grundfunktion: y x Transformationen: f x a b x c d. Streckung oder Stauchung Streckung oder Stauchung in y Richtung Transformation y f x y a f x Spezialfall: a y x y x y x y a x der Graph wird an der x Achse gespiegelt Dynamisches Arbeitsblatt Betragsfunktion Streckung oder Stauchung in y - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: a_betragsfunktion).. Streckung oder Stauchung in x Richtung Transformation y f x y f b x y x y b x Dynamisches Arbeitsblatt Betragsfunktion Streckung oder Stauchung in x - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: b_betragsfunktion) Beachte: Es gilt y b x b x, d.h. eine Stauchung in x Richtung mit dem Stauchungsfaktor b kann auch als Streckung in y Richtung mit dem Streckungsfaktor a b interpretiert werden. Dynamisches Arbeitsblatt Betragsfunktion Streckung oder Stauchung in x und y Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: a_b_betragsfunktion)..3 Spiegelung an der y - Achse Spezialfall: b der Graph wird an der y Achse gespiegelt y x y x x der Graph wird auf sich selbst abgebildet. Der Graph der Betragsfunktion ist symmetrisch zur y Achse. Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

9 Funktionstransformationen Seite Verschiebung.. Verschiebung in x Richtung Transformation: y f x y f x c y x y x c Dynamisches Arbeitsblatt Betragsfunktion Verschiebung in x - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: c_betragsfunktion) Merke: y f c b x y b x c b b, b muss ausgeklammert werden: Verschiebung b c. Dynamisches Arbeitsblatt Betragsfunktion Streckung, Stauchung und Verschiebung in x Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: b_c_betragsfunktion).. Verschiebung in y Richtung Transformation: y f x y f x d y x y x d Dynamisches Arbeitsblatt Betragsfunktion Verschiebung in y - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: d_betragsfunktion)..3 Verschiebung in x Richtung und in y Richtung Transformation: y f x y f x c d y x y x c d Verschiebung des Koordinatensystems um den Vektor c d Dynamisches Arbeitsblatt Betragsfunktion Verschiebung in x Richtung und in y - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: c_d_betragsfunktion)..4 Dynamisches Arbeitsblatt: Alle vier Parameter zusammen Dynamisches Arbeitsblatt Betragsfunktion Alle vier Parameter zusammen Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: a_b_c_d_betragsfunktion) Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

10 Funktionstransformationen Seite Äbungen Betragsfunktion Grundfunktion: Partnerinterview Funktionstransformationen Betragsfunktion Zeit: 0 Minuten f x x ; Transformation: f x a b x c d Diskussion: Identifiziere die Parameter a, b, c, d und gebe die Transformationsschritte in Worten an. Zeichne die Funktionen! () f x x 5 7 (3) f x x 3 () f x x 4 5 (4) f x x Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

11 Funktionstransformationen Seite (5) f x 3x 6 (7) f x 5 x 5 (6) f x x (8) f x 4x Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

12 Funktionstransformationen Seite Anwendung: Betragsungleichung Bestimme die LÅsungsmenge der Ungleichung x 4 4 x Dynamisches Arbeitsblatt Betragsfunktion Anwendung Betragsungleichung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: Betragsungleichung) LÇsungsstrategie: Wir interpretieren den rechten und linken Term der Ungleichung als Funktion. y x 4 4 ; y x Die Ungleichung fordert fçr die gesuchten x - Werte, dass der gestrichelte Graph oberhalb des Graphen mit durchgezogener Linie verléuft. Die Schnittpunkte der beiden Graphen ergeben die Grenzen der LÅsungsmenge! y 5 4 Fallunterscheidung O x - - Fallunterscheidung Bei der analytischen LÅsung dieses Problems, mçssen wir die BetrÉge in der Ungleichung wegschaffen, d.h., wir mçssen Fallunterscheidungen machen. Dabei ist es wichtig, dass der Term im Betrag entweder fçr alle x positiv oder negativ wird. Die Grenzen fçr die Fallunterscheidung kånnen wir einfach aus den gezeichneten Graphen ermitteln. Es sind die x Werte bei den Spitzen der Betragsfunktionen: x = und x = 4. Damit mçssen wird die drei FÉlle x 4, x 4 und x unterscheiden. Im ersten Fall sind die Beiden Terme in den BetrÉgen beide immer positiv. Im zweiten Fall ist der Term auf der rechten seite immer negativ und der Term auf der rechten Seite immer positiv: x 4 0 und x 0. Im dritten Fall sind beide Terme immer negativ. Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

13 Funktionstransformationen Seite Analytische Rechnung der Ungleichung Fall : x 4 D x l x 4 x 4 0 und x 0 x 4 4 x x 4 4 x x 6 x x 7 Fall : x 4 L x l x 7 D x l x 4 x 4 0 und x 0 x 4 4 x x 4 4 x x 4 x Fall 3: x L D x l x x 4 0 und x 0 3 x 4 4 x x 4 4 x x 4 x x 5 L x l x 5 oder x 7 Visualisierung auf der Zahlengeraden 3 L x l x 5 D O x D L O D 3 L = { } O x x L 3 Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

14 Funktionstransformationen Seite Die quadratische Funktion Grundfunktion: y x Transformationen: f x a b x c d 3. Streckung oder Stauchung Streckung oder Stauchung in y Richtung Transformation y f x y a f x y x y a x Dynamisches Arbeitsblatt quadratische Funktion Streckung oder Stauchung in y - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: a_quadfunktion) 3.. Spezialfall: Spiegelung an der x Achse Spezialfall: a y x y x der Graph wird an der x Achse gespiegelt 3..3 Streckung oder Stauchung in x Richtung Transformation y f x y f b x y x y b x Dynamisches Arbeitsblatt quadratische Funktion Streckung oder Stauchung in x - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: b_quadfunktion) Beachte: Es gilt y b x b x, d.h. eine Stauchung in x Richtung mit dem Stauchungsfaktor b kann auch als Streckung in y Richtung mit dem Streckungsfaktor a b interpretiert werden Spezialfall: Spiegelung an der y Achse Spezialfall: b der Graph wird an der y Achse gespiegelt y x y x x der Graph wird auf sich selbst abgebildet. Der Graph der quadratischen Funktion ist symmetrisch zur y Achse. Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

15 Funktionstransformationen Seite Verschiebung 3.. Verschiebung in x Richtung Transformation: y f x y f x c y x y x c Dynamisches Arbeitsblatt quadratische Funktion Verschiebung in x - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: c_quadfunktion) Merke: y f c b x c y b x 3.. Verschiebung in y Richtung b b, b muss ausgeklammert werden: Verschiebung b c. Transformation: y f x y f x d y x y x d Dynamisches Arbeitsblatt quadratische Funktion Verschiebung in y - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: d_quadfunktion) 3..3 Verschiebung in x Richtung und in y Richtung Transformation: y f x y f x c d y x y x c d Verschiebung des Koordinatensystems um den Vektor c d Dynamisches Arbeitsblatt quadratische Funktion Verschiebung in x Richtung und in y - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: c_d_quadfunktion) 3..4 Dynamisches Arbeitsblatt: Alle vier Parameter zusammen Dynamisches Arbeitsblatt quadratische Funktion Alle vier Parameter zusammen Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: a_b_c_d_quadfunktion) Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

16 Funktionstransformationen Seite Äbungen quadratische Funktion Partnerinterview Funktionstransformationen quadratische Funktion Zeit: 0 Minuten Grundfunktion: f x x ; Transformation: f x a b x c d Diskussion: Identifiziere die Parameter a, b, c, d und gebe die Transformationsschritte in Worten an. Zeichne die Funktionen! () f x x 4 (3) f x x 3 () f x x 3 (4) f x x Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

17 Funktionstransformationen Seite (5) f x x 5 8 (7) f x 4 x (6) f x x 6 4 (8) f x x Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

18 Funktionstransformationen Seite Anwendung: Optimierungsaufgabe Problem: EingezÉunte WeideflÉche. Eine rechteckige WeideflÉche soll mit einem 7m Zaun eingezéunt werden. a) KÅnnen wir mit diesem Zaun ein Rechteck mit 60 m FlÉcheninhalt einzéunen? b) Welches mit diesem Zaun einzéunbares Rechteck hat den gråssten FlÉcheninhalt? Wie gross ist dieser FlÉcheninhalt? Dynamisches Arbeitsblatt quadratische Funktion GeoGebra: Optimierungsaufgabe eingezéunte WeideflÉche Zeit: 5 Minuten Umfang des Zauns : U 7 m LÉnge des Rechtecks: x Breite des Rechtecks: 36 x FlÉche des Rechtecks (WeideflÉche): y y x 36 x x 36x y quadratisch ergénzen y x 36 x x 36x x 8x 8 8 x 8 34 y x 8 34 (WeideflÉche als Funktion der LÉnge des Rechtecks). a) 60 x 8 34 x 8 64 x 8 8 y S (8 / 34) x 6m ; x 0m b) Nach unten geåffnete Parabel. (Maximum vorhanden).scheitelpunkt (0/0) der Normalparabel wird verschoben: S(8/34), d.h. fçr die LÉnge x = 8m ist die WeideflÉche y = 34m maximal. x Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

19 Funktionstransformationen Seite Die Wurzelfunktion Grundfunktion: y x Transformationen: f x a b x c d Streckung oder Stauchung 4.. Streckung oder Stauchung in y Richtung Transformation y f x y a f x y x y a x Dynamisches Arbeitsblatt Wurzelfunktion Streckung oder Stauchung in y - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: a_wurzelfunktion) 4.. Spezialfall: Spiegelung an der x Achse Spezialfall: a y x y x der Graph wird an der x Achse gespiegelt 4..3 Streckung oder Stauchung in x Richtung Transformation y f x y f b x y x y b x Dynamisches Arbeitsblatt Wurzelfunktion Streckung oder Stauchung in x - Richtung Zeit: 0 Minuten ((GeoGebra: b_wurzelfunktion) Beachte: Es gilt y b x b x, d.h. eine Stauchung in x Richtung mit dem Stauchungsfaktor b kann auch als Streckung in y Richtung mit dem Streckungsfaktor a b interpretiert werden Spezialfall: Spiegelung an der y Achse Spezialfall: b y x y x der Graph wird an der y Achse gespiegelt Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

20 Funktionstransformationen Seite Verschiebung 4.. Verschiebung in x Richtung Transformation: y f x y f x c y x y x c Dynamisches Arbeitsblatt Wurzelfunktion Verschiebung in x - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: c_wurzelfunktion) Merke: y f c b x y b x c b b, b muss ausgeklammert werden: Verschiebung b c. 4.. Verschiebung in y Richtung Transformation: y f x y f x d y x y x d Dynamisches Arbeitsblatt Wurzelfunktion Verschiebung in y - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: d_wurzelfunktion) 4..3 Verschiebung in x Richtung und in y Richtung Transformation: y f x y f x c d y x y x c d Verschiebung des Koordinatensystems um den Vektor c d Dynamisches Arbeitsblatt Wurzelfunktion Verschiebung in x Richtung und in y - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: c_d_wurzelfunktion) 4..4 Dynamisches Arbeitsblatt: Alle vier Parameter zusammen Dynamisches Arbeitsblatt Wurzelfunktion Alle vier Parameter zusammen Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: a_b_c_d_wurzelfunktion) Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

21 Funktionstransformationen Seite Äbungen Wurzelfunktion Grundfunktion: Partnerinterview Funktionstransformationen Wurzelfunktion Zeit: 0 Minuten f x x ; Transformation: f x a b x c d Diskussion: Identifiziere die Parameter a, b, c, d und gebe die Transformationsschritte in Worten an. Zeichne die Funktionen! () f x x 6 (3) f x x 4 9 () f x x 6 (4) f x x Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

22 Funktionstransformationen Seite (5) f x 6 x 8 (7) f x 4 x (6) f x 4x 8 (8) f x x Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

23 Funktionstransformationen Seite Kehrwertfunktion Grundfunktion: y x Transformationen: a f x d b x c Streckung oder Stauchung 5.. Streckung oder Stauchung in y Richtung Transformation y f x y a f x a y y a x x x Dynamisches Arbeitsblatt Kehrwertfunktion Streckung oder Stauchung in y - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: a_kehrwertfunktion) 5.. Spezialfall: Spiegelung an der x Achse Spezialfall: a y y x x der Graph wird an der x Achse gespiegelt 5..3 Streckung oder Stauchung in x Richtung Transformation y f x y f b x y y x b x Dynamisches Arbeitsblatt Kehrwertfunktion Streckung oder Stauchung in x - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: b_kehrwertfunktion) Beachte: Es gilt y, d.h. eine Stauchung in x Richtung mit b x b x dem Stauchungsfaktor b kann auch als Streckung in y Richtung mit dem Streckungsfaktor a interpretiert werden. b Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

24 Funktionstransformationen Seite Spezialfall: Spiegelung an der y Achse Spezialfall: b 5. Verschiebung der Graph wird an der y Achse gespiegelt y y. Die Spiegelung des Graphs an der y Achse x x x ist identisch mt der Spiegelung an der x Achse. 5.. Verschiebung in x Richtung Transformation: y f x y f x c y y x x c Dynamisches Arbeitsblatt Kehrwertfunktion Verschiebung in x - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: c_kehrwertfunktion) Merke: y f c b x b, b muss ausgeklammert werden: Verschiebung b c. y b x c b 5.. Verschiebung in y Richtung Transformation: y f x y f x d y y d x x Dynamisches Arbeitsblatt Kehrwertfunktion Verschiebung in y - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: d_kehrwertfunktion) 5..3 Verschiebung in x Richtung und in y Richtung Transformation: y f x y f x c d y y d x x c Verschiebung des Koordinatensystems um den Vektor c d Dynamisches Arbeitsblatt Kehrwertfunktion Verschiebung in x Richtung und in y - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: c_d_kehrwertfunktion) Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

25 Funktionstransformationen Seite Dynamisches Arbeitsblatt: Alle vier Parameter zusammen Dynamisches Arbeitsblatt Kehrwertfunktion Alle vier Parameter zusammen Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: a_b_c_d_kehrwertfunktion) 5.3 Äbungen Kehrwertfunktion Partnerinterview Funktionstransformationen Kehrwertfunktion Zeit: 0 Minuten x Grundfunktion: f x ; Transformation: a f x d b x c Diskussion: Identifiziere die Parameter a, b, c, d und gebe die Transformationsschritte in Worten an. Zeichne die Funktionen! f x 3 x 6 () f x 5 x 5 () Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

26 Funktionstransformationen Seite - - f x 5 x 6 (3) f x 4 x 5 (4) (5) f x x Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

27 Funktionstransformationen Seite Sinusfunktion Grundfunktion: y sin x Transformationen: f x a sin b x c d Streckung oder Stauchung Streckung oder Stauchung in y Richtung Transformation y f x y a f x y sin x y a sin x Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion Streckung oder Stauchung in y - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: a_sinusfunktion) 6.. Spezialfall: Spiegelung an der x Achse Spezialfall: a der Graph wird an der x Achse gespiegelt y sin x y sin x 6..3 Streckung oder Stauchung in x Richtung Transformation y f x y f b x y sin x y sinb x Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion Streckung oder Stauchung in x - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: b_sinusfunktion) Beachte: Eine Stauchung in x Richtung kann nicht als Streckung in y Richtung interpretiert werden Spezialfall: Spiegelung an der y Achse Spezialfall: b der Graph wird an der y Achse gespiegelt y sin x y sin x sin x. Die Spiegelung des Graphs an der y Achse ist identisch mt der Spiegelung an der x Achse. Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

28 Funktionstransformationen Seite Verschiebung 6.. Verschiebung in x Richtung Transformation: y f x y f x c y sinx y sinx c Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion Verschiebung in x - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: c_sinusfunktion) Merke: y f c b x y sin b x 6.. Verschiebung in y Richtung c b b, b muss ausgeklammert werden: Verschiebung b c. Transformation: y f x y f x d y sin x y sin x d Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion Verschiebung in y - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: d_sinusfunktion) 6..3 Verschiebung in x Richtung und in y Richtung Transformation: y f x y f x c d y sinx y sin x c d Verschiebung des Koordinatensystems um den Vektor c d Dynamisches Arbeitsblatt Sinusfunktion Verschiebung in x Richtung und in y - Richtung Zeit: 0 Minuten (GeoGebra: c_d_sinusfunktion) 6..4 Dynamisches Arbeitsblatt: Alle vier Parameter zusammen Dynamisches Arbeitsblatt Kehrwertfunktion Alle vier Parameter zusammen Zeit: 0 Minuten(GeoGebra: a_b_c_d_sinusfunktion) Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

29 Funktionstransformationen Seite Äbungen Sinusfunktion Partnerinterview Funktionstransformationen Sinusfunktion Zeit: 0 Minuten Grundfunktion: f x sin x Transformation: f x a sin b x c d Diskussion: Identifiziere die Parameter a, b, c, d und gebe die Transformationsschritte in Worten an. Zeichne die Funktionen! () f x sin x (4) f x sin x 60 () f x sin x (3) f x sin x (5) f x sin x Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

30 Funktionstransformationen Seite (6) f x sin x 80 (8) f x sin 3x 90 (7) f x sin x (9) f x, 5 sin x Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

31 Funktionstransformationen Seite Anwendungen 7. Umkehrfunktion 7.. Beispiel: Weg Zeit Funktion Ein Fahrzeug besitzt eine konstante Geschwindigkeit von v 60kmh. Welche Wegstrecke s legt es innerhalb einer bestimmten Zeitspanne t zurçck? t in Stunden s in km Jeder Zeitspanne t ist ein eindeutig bestimmter Weg zugeordnet. Der Weg s ist eine Funktion der Zeit t. Als Definitionsmenge kånnen wir etwa wéhlen:, dann ist die Wertemenge W 0km; D 0h; Aber auch zu jeder zurçckgelegten Wegstrecke s gehårt eine ganz bestimmte Zeitspanne t. In diesem Fall ist auch eine Umkehrung, also die Zeit t eine Funktion des Weges s. Eine solche Funktion nennen wir Umkehrfunktion. s in km t in Stunden Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

32 Funktionstransformationen Seite Die Umkehrbarkeit einer Funktion Es stellen sich uns zwei Fragen: ) Besitzt eine gegebene Funktion stets eine Umkehrfunktion? ) Wenn ja, wie erhalten wir die Gleichung der Umkehrfunktion? Aus dem Beispiel der Weg Zeit Funktion kånnen wir erkennen, dass die ursprçngliche Definitionsmenge zur Wertemenge und die ursprçngliche Wertemenge zur Definitionsmenge werden. Bezeichnen wir wie gewohnt die Elemente der Definitionsmenge mit x und jene der Wertemenge mit y, so bedeutet dies, dass wir die Variablen vertauschen mçssen, um zur Gleichung zu gelangen. Beispiel lineare Funktion f x y x 3 ; x R, d.h., Definitionsmenge D = R AuflÅsen nach x : y x 3 / 3 y 3 x / : x y 3 Das Vertauschen der Variablen fçhrt zur Gleichung: y 3 x Zu jedem x Wert lésst sich genau ein y Wert bestimmen. Die Umkehrung ist also eine Funktion. Beispiel quadratische Funktion f x y x ; x R, d.h., Definitionsmenge D = R AuflÅsen nach x : y x ; / Wurzel ziehen y x x y Das Vertauschen der Variablen fçhrt zur Gleichung: y x Mit Ausnahme von x = 0 lassen sich zu jedem (nichtnegativen) x Wert zwei y Werte bestimmen. Damit ist die Umkehrung keine Funktion. y x besitzt daher in R keine Umkehrfunktion. Dieses Problem lésst sich durch die EinschrÉnkung der Definitionsmenge von D = R auf D x / x 0 låsen, dann besitzt y x eine Umkehrfunktion. Diese Sachverhalte lassen sich graphisch veranschaulichen. Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

33 Funktionstransformationen Seite Der Graph der Umkehrung ist eine Funktion, da es keine senkrechten Linien gibt, die mit diesem Graphen mehr als einen Schnittpunkt haben. D 0; Der Graph der Umkehrung ist keine Funktion, da es senkrechte Linien gibt, die mit diesem Graphen mehr als einen Schnittpunkt haben. Die Funktion y x eingeschrénkt auf D 0 ; hat eine Umkehrfunktion y x. Allgemein kånnen wir sagen, dass eine Funktion f(x) dann eine Umkehrfunktion besitzt, wenn alle horizontalen Linien nur einen Schnittpunkt Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

34 Funktionstransformationen Seite mit dem Graph der Funktion haben. Mathematisch kann dieser Sachverhalt folgendermassen ausgedrçckt werden. Eine Funktion wenn aus x x y f x besitzt eine Umkehrfunktion, folgt f x f x. Was bedeutet die Vertauschung der Variablen x und y geometrisch? Bei einer Spiegelung an der Winkelhalbierenden y x wird die x Achse auf die y Achse abgebildet und umgekehrt die y Achse auf die x - Achse, d.h. die x Koordinate wird zur y Koordinate und umgekehrt. Die Umkehrung einer Funktion erhalten wir graphisch durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden y x (bei gleichen Einheiten auf beiden Achsen) 7..3 Dynamisches Arbeitsblatt: Umkehrung lineare Funktion Dynamisches Arbeitsblatt Umkehrfunktion_lineare Funktion Zeit: 0 Minuten q q m m m m y mx q y q mx x y y x Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

35 Funktionstransformationen Seite Dynamisches Arbeitsblatt: Umkehrung quadratische Funktion Wir bringen die Funktionsgleichung auf folgende Form (Scheitelform) y a x c d. Diese kann nach x aufgelåst werden. y a x c d / d y d a x c / : a y d x c / Wurzel ziehen a d a y a x c / c x d a y a c x und y Vertauschen: Definitionsmenge D x / x c y d a x a c und EinschrÉnkung der y d a x a c Was kannst du Çber den Definitions und Wertebereich der Umkehrfunktion aussagen? Vergleiche mit dem Definitions und Wertebereich der Funktion! Dynamisches Arbeitsblatt Umkehrfunktion_quadratische Funktion Zeit: 0 Minuten Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

36 Funktionstransformationen Seite Modellbildung Temperaturverlauf 7.. Problemstellung Der Tagesverlauf der mittleren OberflÉchentemperatur einer Hausfassade kann durch die allgemeine Sinusfunktion T t A sinb t C D beschrieben werden. a) Bestimme die Parameter A, B, C und D, wenn folgendes bekannt ist: Der zeitliche Verlauf erstreckt sich Çber einen Tag von 0 Uhr bis 4 Uhr. o Die maximale Temperatur betrégt Tmax 40 C und wird um 3 Uhr erreicht. o Die minimale Temperatur betrégt 0 C Tmin b) FÇr welche Zeiten t betrégt die OberflÉchentemperatur0 C? c) Die Lufttemperatur in der NÉhe der Fassade wird durch untenstehendes Diagramm beschrieben. Ermittle eine Funktionsgleichung fçr die Lufttemperatur. d) Zu welchen Zeiten sind die OberflÉchentemperatur und die Lufttemperatur gleich? o 0 Lufttemperatur in o C 4 4 O 0 0 Zeit in h 4 Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

37 Funktionstransformationen Seite LÇsung a) T t A sinb t C D 40 0 A 30 ; 40 0 D 0 ; T t 30 sin t C 0 Berechnung von C: sin 3 C 3 C C T t 30 sin t 0 B 4 T 3 30 sin 3 C 0 40 b) Zeit t bei der die OberflÉchentemperatur o 0 C betrégt. Taschenrechner (graphisch, Zero) t 5,7h ; t 0,3h c) Betragsfunktion fçr die Lufttemperatur. T t t 0 t 4 0 T t t 0 d) Zeit wo die OberflÉchentemperatur und die Lufttemperatur gleich sind? Taschenrechner (graphisch, Intersection) t 7h ; t 9,7h Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

38 Funktionstransformationen Seite Dynamisches Arbeitsblatt Modellbildung Temperaturverlauf Dynamisches Arbeitsblatt Modellbildung Temperaturverlauf Zeit: 0 Minuten Modellbildung: Lufttemperatur: T t t 0 OberflÉchentemperatur: T t a sinb t c d Bedingungen: Der zeitliche Verlauf erstreckt sich Çber einen Tag von 0 Uhr bis 4 Uhr. Die maximale Temperatur betrégt und wird um 3 Uhr erreicht. Die minimale Temperatur betrégt Tmax Tmin o 40 C o 0 C ArbeitsauftrÉge: ) Passe die OberflÉchentemperatur mit Hilfe der Parameter a, b, c und d an die Bedingungen an. Überlege dir ein geeignetes Vorgehen. ) ÜberprÇfe das folgende Vorgehen mit deinem: T min ;Tmax 0 C ; 40 C anpassen.. Schritt: Funktion an das Temperaturintervall o o Dies kann mit Hilfe von a und d erreicht werden.. Schritt: Periodendauer 4h anpassen. Dies kann mit Hilfe von b erreicht werden. 3. Schritt: Funktionsgraph verschieben bis er durch A 3 / 40 geht. Dies kann mit Hilfe von c erreicht werden. Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

39 Funktionstransformationen Seite Modellbildung Speicherkraftwerk 7.3. Problemstellung Partnerinterview Erarbeitung der Problemstellung Modellbildung Speicherkraftwerk Zeit: 0 Minuten Der Staussee eines Speicherkraftwerkes hat ein maximales FassungsvermÅgen von m. Wie lange reicht der Vorrat um elektrische Energie zu erzeugen? Wird dem Speicher wéhrend der Wasserentnahme kein Wasser zugefçhrt und nur eine Turbine betrieben, so héngt die Antwort einig und allein vom SchluckvermÅgen der Turbine ab. Durch die Turbine fliessen pro Stunde m Wasser. Mache dir eine Skizze eines Speicherkraftwerkes und diskutiere die Funktionsweise. Durchfluss x in m h Betriebszeit y in h x 40 y x Erweiterung des Modells: Stausee mit Zufluss Durchfluss x Zufluss Vorratsentnahme Betriebszeit y 6 6 = = = 8 30 x x 40 y x x c x c 40 y x c Erweiterung des Modells: Mehrere Turbinen Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

40 Funktionstransformationen Seite Durchfluss x Zufluss Anzal Turbinen Vorratsentnahme Betriebszeit y = = = 6 5 x 4 x 4 40 y x 4 x c b bx c 40 y bx c Erweiterung des Modells: Wir wollen das Modell noch realistischer machen. Bekanntlich treibt die Turbine einen Generator an, der erst dann Strom ins Netz liefern darf, wenn er mit dem Netz synchronisiert, d.h., die richtige Tourenzahl phasenrichtig angenommen hat. Die Synronisationszeit mçssen wir von der Betriebszeit y subtrahieren Allgemeines Modell Speicherkraftwerk a Algemeines Modell: y d bx c x : Durchfluss fçr eine Turbine y : Betriebszeit fçr Speicherkraftwerk a : FassungsvermÅgen des Stausees b : Anzahl Turbinen c : Zufluss (da der Abfluss positiv ist, muss der Zufluss negativ sein) d : Synchronisationszeit (Vermindert die Betriebszeit, daher negativ) Beispiel: 40 y 0,5 x 4 Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF

41 Funktionstransformationen Seite Dynamisches Arbeitsblatt Modellbildung Speicherkraftwerk Zeit: 0 Minuten Modellbildung: 40 y d bx c ; Beispiel: x : Durchfluss fçr eine Turbine y : Betriebszeit fçr Speicherkraftwerk a : FassungsvermÅgen des Stausees b : Anzahl Turbinen 40 y 0,5 x m c : Zufluss (da der Abfluss positiv ist, muss der Zufluss negativ sein) d : Synchronisationszeit (Vermindert die Betriebszeit, daher negativ) Arbeitsauftrag: Untersuche den Einfluss der Parameter b, c und d auf die Funktion y(x), bezw. Auf deren Graph. Überlege dir, wie die EinflussgrÅssen Anzahl Turbinen (b), Zufluss (c) und Synchronisationszeit (d) die Betriebszeit (y) beeinflussen. Funktionstransformationen, Lernkontrollen, dynamische Experimentiervorlagen 006 / BF