1 Schulinternes Curriculum Mathematik: Jahrgang 11

Transkript

1 Mariengymnasium Jever Jahrgang 11 Semester 1 1 Schulinternes Curriculum Mathematik: Jahrgang Analysis Differentialrechnung Voraussetzungen In der ersten Phase zu diesem Thema ist zu überprüfen, ob alle Schülerinnen und Schüler (in annähernd gleicher Qualität) über die folgenden Fähigkeiten verfügen: 3 DS Die Schülerinnen und Schüler haben eine präzise Vorstellung von der mathematischen Idee der Funktion und können diese in unterschiedlichen Sachbezügen anwenden. Die Schülerinnen und Schüler haben sowohl mathematisch abstrakte, als auch anschauliche Vorstellungen von Ableitungen (sowohl nach Ort, als auch nach Zeit). Die Schülerinnen und Schüler beherrschen die Techniken der Funktionsuntersuchung und haben klare Kenntnisse von deren Hintergründen. Die Schülerinnen und Schüler kennen und beherrschen die Faktorregel, die Potenzregel und die Summenregel der Ableitung. Beispiele sollen vor allem aus der Funktionenklasse der ganzrationalen Funktionen gewählt werden. Fehlvorstellungen (insbesondere bei den Leitideen Funktion und Ableitung) sollen erkannt und möglichst korrigiert werden. Kurvenanpassung: 3 DS Die Schülerinnen und Schüler wissen über wesentliche Eigenschaften der Funktionenklasse der ganzrationalen Funktionen Bescheid (Definitionsbereich, Formbarkeit, Anzahl von Nullstellen, Anzahl von Extrempunkten, Anzahl von Wendepunkten, Globalverhalten, Symmetrie) Die Schülerinnen und Schüler finden zu vorgegebenen Funktionseigenschaften passende Funktionen. Sie können Anwendungsaufgaben mathematisieren und die Ergebnisse in Bezug auf den Sachzusammenhang interpretieren. Stetigkeit und Differenzierbarkeit Dieses theoretische Unterthema ist möglicherweise besser mit dem vorangehenden Unterricht zu verzahnen, wenn man es als Einschub in die vorherigen Unterthemen behandelt. 3 DS Die Schülerinnen und Schüler haben eine anschauliche Vorstellung von den Begriffen Stetigkeit und Differenzierbarkeit und können Beispiele von Funktionen angeben, die unstetige bzw. nicht differenzierbare Stellen aufweisen. Die Schülerinnen und Schüler kennen den Zusammenhang zwischen Stetigkeit und Differenzierbarkeit. 1

2 Mariengymnasium Jever Jahrgang 11 Semester 1 Die Schülerinnen und Schüler können Funktionen auf Stetigkeit und Differenzierbarkeit überprüfen und nutzen dabei die mathematische Definition der Begriffe (ea; Vorsicht: Die Idee des Grenzwertbildens kann nicht als bekannt vorausgesetzt werden). Exkurse Als Exkurse bieten sich die Themen Gauß-Verfahren und Splines an. Das Thema Funktionenscharen kann bereits hier behandelt werden (oder 4.Semester) Integralrechnung Bei diesem Thema werden (klassisch) zunächst die theoretischen Grundlagen erarbeitet und dann Anwendungsaufgaben behandelt. Grundlagen 4 DS Die Schülerinnen und Schüler kennen die Bedeutung der Idee des Integrals und können diese auf ortsabhängige Funktionen (Integral ist die Bilanz orientierter Flächen ) als auch auf zeitabhängige Funktionen (das Integral rekonstruiert aus den Änderungsraten einen Bestand) anwenden. Die Schülerinnen und Schüler können Integrale durch Näherung bestimmen (in ea-kursen beherrschen sie auch den vollständigen Formalismus). Die Schülerinnen und Schüler kennen den Zusammenhang zwischen Integrieren und Differenzieren (Hauptsatz). Stammfunktionen 3 DS Die Schülerinnen und Schüler können Stammfunktionen für die folgenden Funktionenklassen bilden (zunächst ohne Verkettung): Potenzfunktionen, Sinus und Cosinus, Exponentialfunktionen. Ausgehend von diesen Funktionen bilden die Schülerinnen und Schüler Stammfunktionen von linear verketteten Funktionen (als Verkettung insbesondere ganzrationale Funktionen). Flächenberechnungen 4 DS Die Schülerinnen und Schüler kennen die Bedeutung der Idee des Integrals und können diese auf ortsabhängige Funktionen (Integral ist die Bilanz orientierter Flächen ) als auch auf zeitabhängige Funktionen (das Integral rekonstruiert aus den Änderungsraten einen Bestand) anwenden (s.o.). Die Schülerinnen und Schüler berechnen Flächen zwischen Funktionsgraphen und der x-achse. 2

3 Mariengymnasium Jever Jahrgang 11 Semester 1 Die Schülerinnen und Schüler berechnen Flächen zwischen den Graphen unterschiedlicher Funktionen. Die Schülerinnen und Schüler bestimmen uneigentliche Integrale (ea-kurs). Die Schülerinnen und Schüler berechnen Volumina von Rotationskörpern (ea-kurs). (kann auch in das vierte Semester verlegt werden) 3

4 Mariengymnasium Jever Jahrgang 11 Semester Lineare Algebra, analytische Geometrie Analytische Geometrie Grundlagen 10 DS Die Schülerinnen und Schüler nutzen die Idee des Vektors (auch jenseits der Geometrie). Sie beherrschen die Vielfachenbildung, die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation. Die Schülerinnen und Schüler haben eine anschauliche Vorstellung von linearen Punktmengen (Punkt, Gerade, Ebene, Strecke, Ebenenstück) im Anschauungsraum. Hierbei nutzen Sie die Parameter-Darstellung. Die Schülerinnen und Schüler klären Lagebeziehungen zwischen den oben genannten Punktmengen (Lagebeziehung zwischen Ebene und Ebene nur im ea-kurs) im Wesentlichen dadurch, dass Sie bestimmen, wie viele gemeinsame Punkte diese Mengen haben. Die Schülerinnen und Schüler bestimmen den Winkel zwischen zwei Geraden. Exkurse: Exkurse bieten sich an zu den Themen lineare Unabhängigkeit, Vektorprodukt (Fachübergriff Physik), Koordinatendarstellungen. Insgesamt ist festzustellen, dass die Bedeutung dieses Unterthemas zugunsten der folgenden Unterthemen zurückgegangen ist Matrizenrechnung Matrizen 5 DS Die Schülerinnen und Schüler nutzen die Idee der Matrix, um Daten zu organisieren. Die Schülerinnen und Schüler beherrschen die Operationen Vielfachenbildung und Matrizenaddition. Die Schülerinnen und Schüler beherrschen die Matrizenmultiplikation und die Inversenbildung. (Diesen Punkt evtl. erst in Verknüpfung mit den folgenden Anwendungen) Materialverflechtung 5 DS Die Schülerinnen und Schüler arbeiten sicher mit Verflechtungsdiagrammen und Verflechtungsmatrizen. Die Schülerinnen und Schüler beherrschen mindestens eine Methode, Materialbedarfsprobleme auch zu lösen, wenn die Produktionsschritte im Verflechtungsdiagramm nicht getrennt sind. (nach Buch per (E D) 1, durch Einfügen von Zwischenschritten, durch nachträgliches Berücksichtigen von Materialströmen,... ) 4

5 Mariengymnasium Jever Jahrgang 11 Semester 2 Zeitdiskrete Modelle 6 DS Die Schülerinnen und Schüler beschreiben Zustände in Modellen durch Vektoren und deren Änderung durch Matrizen. Die Schülerinnen und Schüler können das Langzeitverhalten von zeitdiskreten Modellen analysieren (Grenzmatrix, Fixvektor; ea-kurs auch zyklisches Verhalten) 5

6 Mariengymnasium Jever Jahrgang 12 Semester 1 2 Schulinternes Curriculum Mathematik: Jahrgang Stochastik Beschreibende Statistik Die Schülerinnen und Schüler nutzen stochastische Kennzahlen (Maximum, Minimum, Mittelwert, Median, Varianz, Standardabweichung, Spannweite,... ), um Schwerpunkt und Streuung von Datenreihen zu beschreiben. 4 DS Die Schülerinnen und Schüler können Datenreihen grafisch veranschaulichen, insbesondere durch Histogramme. Optional: Die Schülerinnen und Schüler stellen Datenreihen in Box-Plot Diagrammen dar. Optional: Die Schülerinnen und Schüler quantifizieren den stochastischen Zusammenhang zwischen Merkmalen durch die Kovarianz und die Korrelation. Die Unterscheidung zwischen stochastischem und (direkt) kausalem Zusammenhang ist ihnen geläufig Beurteilende Statistik Wiederholung Aus der Mittelstufe und Klasse 10 sind die Schülerinnen und Schüler damit vertraut... 2 DS die Laplace-Regel anzuwenden. statistische Probleme per Baumdiagramm zu lösen. Verteilungen 8 DS Die Schülerinnen und Schüler sind mit dem Begriff der Verteilung vertraut und verwenden ihn in unterschiedlichen Sachzusammenhängen. Die Schülerinnen und Schüler können (für eine Bernoulli-Kette geringer Länge) die Binomialverteilung herleiten. Die Schülerinnen und Schüler wissen wann die Binomialverteilung als exakte Lösung, wann sie als Approximation und wann sie nicht verwendet werden kann. Im Sachzusammenhang lösen die Schülerinnen und Schüler Aufgaben, in denen bei Bernoulli-Ketten nach Gesamttrefferzahl, nach Kettenlänge bzw. nach Trefferwahrscheinlichkeit im Einzelversuch gefragt wird. Dies gilt auch für die kummulierte Verteilung. Optional: Die Schülerinnen und Schüler kennen die hypergeometrische Verteilung und können die Anwendungsgebiete von hypergeometrischer und Binomialverteilung gegeneinander abgrenzen. 6

7 Mariengymnasium Jever Jahrgang 12 Semester 1 Beurteilende Statistik 10 DS Die Schülerinnen und Schüler wissen grundsätzlich, dass die Merkmalshäufigkeit in einer Stichprobe in stochastischem Zusammenhang zur Merkmalshäufigkeit in der Gesamtheit steht. Die Schülerinnen und Schüler beschreiben den Schwerpunkt und die stochastische Variabilität von Stichproben durch Sigma-Umgebungen (Schluss von der Gesamtheit auf die Stichprobe). Die Schülerinnen und Schüler stellen den Zusammenhang zwischen Sigma-Umgebung und Vertrauensintervall her und wissen zwischen beidem zu unterscheiden (Schluss von der Stichprobe auf die Gesamtheit). Stetige Verteilungen (nur ea) 6 DS Die Schülerinnen und Schüler verstehen die Unterschied zwischen kontinuierlich und diskret. Die Schülerinnen und Schüler beherrschen den Umgang mit stetigen Wahrscheinlichkeits- und Dichteverteilungen. Sie kennen deren Eigenschaften. Die Schülerinnen und Schüler nutzen das Integal zur Berechnung kummulierter Verteilungen. 7

8 Mariengymnasium Jever Jahrgang 12 Semester Analysis Wachstumsprozesse Erst hier wird nach dem Curriculum die e-funktion eingeführt. Das ist nicht optimal, braucht man doch diese Funktion, um bei der Anwendung der Ketten-, Produkt- und Quotientenregel nicht immer auf die gleichen Beispiele zurückgreifen zu müssen. Zudem sind in ea-kursen stetige Verteilungen (12.1.) nicht ohne diese Funktion zu behandeln. Es empfiehlt sich daher, das Thema möglichst schon in zu behandeln. 8 DS Die Schülerinnen und Schüler haben eine anschauliche Vorstellung von den Begriffen Bestand und Änderungsrate und begreifen deren Zusammenhang. Die Schülerinnen und Schüler sind mit den folgenden Wachstumsmodellen vertraut: exponentielles Wachstum, begrenzets Wachstum, logistisches Wachstum. Die Schülerinnen und Schüler kennen die wesentlichen Eigenschaften der Modelle (in Abgrenzung zu den anderen). Sie beherrschen die Funktionsanpassung per Taschenrechner. (optional) Die Schülerinnen und Schüler nutzen einfache Differentialgleichungen, um Wachstumsprozesse zu beschreiben. (optional) Die Schülerinnen und Schüler bestimmen in Wachstumsmodellen stationäre Zustände und erkennen deren Stabilität Ableitungsregeln, zweiter Teil Dieses Unterthema kann bereits im ersten Semester bearbeitet werden. Im Buch Elemente der Mathematik wird das Unterthema in Kapitel 3 behandelt. 5 DS Die Schülerinnen und Schüler beherrschen die Produktregel, die Quotientenregel und die Kettenregel und können sie anwenden. Die Schülerinnen und Schüler weiten die Methoden der Funktionsuntersuchung auf Funktionenscharen aus. Sie können Ortskurven bestimmen und kennen deren Bedeutung. 8

9 Mariengymnasium Jever Prozessbezogene Fähigkeiten (Analysis) Mathematisch Argumentieren Kursstufe... Die Schülerinnen und Schüler können am Ende der... Beweise nachvollziehen und kleinere Beweise selbst führen.... Kompliziertere logische Sachverhalte verstehen und wiedergeben (z.b.: notwendige/hinreichende Bedingung).... mathematisches Wissen aus allen Bereichen für Begründungen und Argumentationsketten kombinieren. Dabei nutzen sie auch komplexere formale und symbolische Elemente.... die Idee der Infinitesimalrechnung nachvollziehen. Probleme mathematisch lösen Kursstufe... Die Schülerinnen und Schüler können am Ende der... Funktionsuntersuchungen nutzen, um inner- und außermathematische Probleme zu lösen. Mathematisch modellieren Am Ende der Kursstufe können die Schülerinnen und Schüler Funktionen sachgerecht in mathematischen Modellen einsetzen.... wählen Schülerinnen und Schüler Modellierungsfunktionen aus geeigneten Funktionenklassen aus.... können Schülerinnen und Schüler verschiedene Modelle im Hinblick auf die Realsituation analysieren und bewerten. Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Am Ende der Kursstufe beherrschen die Schülerinnen und Schüler Ableitung und Integration. In komplizierteren Fällen nutzen sie Computer-Algebra-Systeme.... lösen die Schülerinnen und Schüler Gleichungssysteme (Systeme mit mehr als drei Gleichungen mittels Taschenrechner oder Computer). Kommunizieren Am Ende der Kursstufe nutzen die Schülerinnen und Schüler bei der Darstellung mathematischer Sachverhalte die Fachsprache.... tauschen sich die Schülerinnen und Schüler untereinander über Lösungsansätze und Beweisideen aus. Dies gelingt auch innerhalb und zwischen Arbeitsgruppen. 9

10 Mariengymnasium Jever Prozessbezogene Fähigkeiten (zusätzlich für Lineare Algebra) Probleme mathematisch lösen Kursstufe... Die Schülerinnen und Schüler können am Ende der... Vektoren und Matrizen nutzen, um Berechnungen zu strukturieren, sowie Aufgaben der Geometrie zu lösen. Mathematisch modellieren Am Ende der Kursstufe nutzen die Schülerinnen und Schüler Flussdiagramme und Matrizen, um Sachsituationen zu modellieren.... beherrschen Schülerinnen und Schüler die Arbeit mit zeitdiskreten Modellen. Insbesondere analysieren sie deren Langzeitverhalten. Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen der Mathematik umgehen Am Ende der Kursstufe kennen die Schülerinnen und Schüler die mathematischen Strukturen Vektor und Matrix und beherrschen die diesbezüglichen elementaren Operationen (auch im Taschenrechner oder Computer).... stellen Schülerinnen und Schüler Punktmengen im Raum graphisch dar. 10

11 Mariengymnasium Jever Prozessbezogene Fähigkeiten (zusätzlich für Stochastik) Mathematische Darstellungen verwenden Die Schülerinnen und Schüler können am Ende der Kursstufe statistische Daten darstellen und auswerten.... aus statistischen Schaubildern qualitative Aussagen gewinnen. Dieses gilt insbesondere bei Vergleichen von statistischen Datensätzen.... die Eingabe und Auswertung statistischer Daten an GTR oder Computer vollziehen. Mathematisch modellieren Die Schülerinnen und Schüler können am Ende der Kursstufe für stochastische Verteilungen angemessene Modelle finden. Mathematisch argumentieren Die Schülerinnen und Schüler können am Ende der Kursstufe die Aussagekraft stochastischer Ergebnisse einschätzen (insbesonder in Abgrenzung zu deterministischen Ergebnissen).... den Unterschied zwischen stochastischem und kausalem Zusammenhang sicher treffen.... das Mittel der Stichprobenerhebung sachgerecht nutzen, um die Verteilung eines Merkmals in der Gesamtheit einzuschätzen. Mit symbolischen, formalen und technischen Elementen umgehen Die Schülerinnen und Schüler können am Ende der Kursstufe die Werte der Binomialverteilung (und der Normalverteilung) mit Taschenrechner oder aus Tabellen bestimmen.... die Konfidenzintervalle mit Hilfe des GTR ermitteln. 11