GDI Medieninformatik. 13. VL: Einführung in die mathematische Logik Prädikatenlogik (II)

Transkript

1 GDI Medieninformatik 13. VL: Einführung in die mathematische Logik Prädikatenlogik (II)

2 Prädikatenlogik erster Stufe (FOL): Syntax: Sprachelemente GDI - Logik 2

3 FOL: Syntax GDI - Logik 3

4 FOL Syntax: Beispiel Addition GDI - Logik 4

5 FOL Syntax: Beispiel Verwandtschaften GDI - Logik 5

6 FOL Syntax: Beispiel Pinguine GDI - Logik 6

7 Modelltheoretische Semantik GDI - Logik 7

8 Modelltheoretische Semantik GDI - Logik 8

9 Modelltheoretische Semantik: Beispiel GDI - Logik 9

10 Modelltheoretische Semantik: Beispiel GDI - Logik 10

11 Beweistheoretische Semantik Vorbereitung: Normalformen GDI - Logik 11

12 Vorbereitung: Normalformen Ziel: Umwandlung von Formeln in Klauselform. Zwischenschritte: 1. Negationsnormalform alle Negationen stehen ganz innen 2. Pränexnormalform alle Quantoren stehen ganz vorne 3. Skolemisierte Pränexnormalform Eliminierung der Existenzquantoren 4. konkunktive Normalform (KNF) = Klauselform Darstellung als Konjunktion von Disjunktionen GDI - Logik 12

13 Normalformen: 1. Negationsnormalform GDI - Logik 13

14 Normalformen: 1. Negationsnormalform GDI - Logik 14

15 Normalformen: 2. Pränexnormalform GDI - Logik 15

16 Normalformen: 3. Skolemisierung GDI - Logik 16

17 Normalformen: 3. Skolemisierung Vorgehensweise: Entfernen der Existenzquantoren von links nach rechts. Gibt es keinen Allquantor links des zu entfernenden Existenzquantors, so wird die entsprechende Variable durch ein neues Konstantensymbol ersetzt. Gibt es n Allquantoren links des zu entfernenden Existenzquantors, so wird die entsprechende Variable durch ein neues Funktionssymbol mit Stelligkeit n ersetzt, dessen Argumente genau die Variablen der n Allquantoren sind GDI - Logik 17

18 Normalformen: 4. Klauselform GDI - Logik 18

19 Normalformen: 4. Klauselform GDI - Logik 19

20 Automatisierung: Resolution (Aussagenlogik) GDI - Logik 20

21 Automatisierung: Resolution (Aussagenlogik) GDI - Logik 21

22 Automatisierung: Resolution (Prädikatenlogik) GDI - Logik 22

23 Automatisierung: Resolution (Prädikatenlogik) Beispiel GDI - Logik 23

24 Automatisierung: Resolution (Prädikatenlogik) Beispiel GDI - Logik 24

25 Automatisierung: Resolution (Prädikatenlogik) Beispiel GDI - Logik 25

26 Automatisierung: Resolution (Prädikatenlogik) Beispiel GDI - Logik 26

27 Automatisierung: Resolution (Prädikatenlogik) Beispiel GDI - Logik 27

28 Automatisierung: Resolution (Prädikatenlogik) Beispiel GDI - Logik 28

29 Automatisierung: SLD-Resolution (Prädikatenlogik): pures Prolog GDI - Logik 29

30 Logik-Programmierung am Beispiel von PROLOG Verwendung von PL1 als Programmiersprache (Green, Kowalski, 1969) PROLOG (PROgramming in LOGic) in den 70er Jahren PROLOG beschränkt sich auf Hornklauseln Keine echte Einschränkung, da viele Probleme sich mit Hornklauseln beschreiben lassen. Es scheint so, dass die meisten mathematischen Theorien, die axiomatisierbar sind, per Hornklauseln axiomatisierbar sind. Hornklauseln erlauben einfache Antwortkonstellationen Effizienz, wenngleich Gültigkeit und Erfüllbarkeit unentscheidbar auf PL-Hornklauseln bleiben. Zur Auswertung wird SLD-Resolution (vollständig für Hornklauseln!) verwendet GDI - Logik 30

31 Logik-Programme (auch Hornklauselprogramme) im Sinne von PROLOG Ein Logik-Programm ist eine endliche Folge von Tatsachenund Prozedurklauseln (auch Regeln). Tatsachenklauseln = einelementige positive Klauseln (Behauptung eines Faktums) Notation in PROLOG: p(x, Y).,... vater(dieter, klaus).,... Prozedurklauseln = Klauseln der Form {P, Q 1,..., Q k }, k 0, (Regeln) wobei P, Q 1,..., Q k atomare Formeln sind. {P, Q 1,..., Q k } = P Q 1... Q k P (Q 1... Q k ) (Q 1... Q k ) P (Implikationsschreibweise) Notation in PROLOG: P : Q 1,..., Q k. Kopf Körper GDI - Logik 31

32 Ein sehr einfaches PROLOG-Programm: m(dieter). m(klaus). m(uwe). elter(dieter, klaus). elter(dieter, uwe). vater(x, Y) : m(x), elter(x, Y). Tatsachenklauseln Prozedurklausel Die Elemente eines Logikprogramms (= Tatsachenklauseln & Prozedurklauseln) heißen Programmklauseln oder definite Klauseln GDI - Logik 32

33 Resolution Ein Logik-Programm erwartet als Eingabe eine Zielklausel (auch Frageklausel, Aufrufklausel ). Zielklausel = Klausel der Form { Q 1,..., Q k }, k 1, wobei Q 1,..., Q k atomare Formeln sind. { Q 1,..., Q k } = Q 1... Q k (Q 1... Q k ) Notation in PROLOG:? Q 1,..., Q k. Betrachte das Logik-Programm mit den Programmklauseln K 1, K 2,..., K n und der Eingabe (Zielklausel)? Q (also k = 1). PROLOG prüft, ob (K 1 K 2... K n ) Q gültig ist. also, ob K 1 K 2... K n Q unerfüllbar ist. PROLOG testet die Unerfüllbarkeit mit der standardisierten SLD-Resolution GDI - Logik 33

34 Genauer: Sei F ein Logik-Programm und G die Zielklausel. Die prozedurale Interpretation von F bei Eingabe G im Sinne einer SLD-Resolutionsherleitung vollzieht sich wie folgt: Es wird eine Programmklausel aus F beliebig (nichtdeterministisch) ausgesucht, die mit G resolvierbar ist (PROLOG sucht von oben nach unten). Der Resolvent sei R. R ist wieder eine Zielklausel. Mit dieser neuen Zielklausel wird der Prozess wiederholt, bis evtl. die leere Klausel erreicht wird. Bei den Resolutionsschritten werden eventuelle Variablenumbenennungen immer in den Seitenklauseln (nicht in den Zielklauseln) durchgeführt ( standardisierte SLD-Resolution). (SLD=Selection Linear Definite Clause ) GDI - Logik 34

35 Beispiel 1: (1) m(dieter). (2) m(klaus). (3) m(uwe). (4) elter(dieter, klaus). (5) elter(dieter, uwe). (6) vater(x, Y) : m(x), elter(x, Y). Eingabe:? vater(dieter, uwe). (,,Ist Dieter Vater von Uwe? )? vater(dieter, uwe). (6) [X/dieter][Y/uwe]? m(dieter), elter(dieter, uwe). (1)? elter(dieter, uwe). (5) Ausgabe: yes GDI - Logik 35

36 Beispiel 2: (1) m(dieter). (2) m(klaus). (3) m(uwe). (4) elter(dieter, klaus). (5) elter(dieter, uwe). (6) vater(x, Y) : m(x), elter(x, Y). Eingabe:? vater(dieter, X).? vater(dieter, X). (6) s 2 = [X/Z] s = [Z/dieter][Y/X]? m(dieter), elter(dieter, X). (1)? elter(dieter, X). (,,Existiert Person X, so dass Dieter der Vater von X ist? Gib alle solchen Personen aus ) [X/klaus] (4) Ausgabe: X = klaus [X/uwe] Ausgabe: X = uwe GDI - Logik 36 (5)