Kapitel 28. Aufgaben. Verständnisfragen
|
|
- Edmund Maurer
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Kapitel 28 Aufgaben Verständnisfragen Aufgabe 28. Geben Sie bei den folgenden linearen Systemen den Typ des kritischen Punktes (, ) an. Welche Stabilitätseigenschaften liegen vor? (a) x 2 (t) = x(t), (b) x (t) = 4 5 x(t), (c) x (t) = 4 x(t), 3 2 (d) x 4 (t) = x(t). 2 4 Aufgabe 28.2 Für (x, y) aus dem Rechteck R ={(x, y) x <, y <b} ist die Funktion f definiert durch f(x,y) = + y 2. (a) Geben Sie mit dem Satz von Picard-Lindelöf ein Intervall [ α, α] an, auf dem das Anfangswertproblem y (x) = f(x,y(x)), y() =, genau eine Lösung auf ( α, α) besitzt. (b) Wie muss man die Zahl b wählen, damit die Intervalllänge 2α aus (a) größtmöglich wird? (c) Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. Auf welchem Intervall existiert die Lösung? Aufgabe 28.3 Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems Zeigen Sie dazu: x 3 (t) = Ax(t) = x(t). (a) λ = 2 ist doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A und v = (, ) ist ein zugehöriger Eigenvektor. (b) Der Ansatz x(t) = e λt v 2 + te λt v liefert die Gleichung (A λe 2 )v 2 = v. Bestimmen Sie eine Lösung v 2. (c) Die Funktionen x (t) = e λt v und x 2 (t) = e λt v 2 + tx (t) bilden ein Fundamentalsystem.
2 464 Aufgaben zu Kapitel 28 Aufgabe 28.4 Gegeben ist ein Fundamentalsystem {u, u 2 } eines Differenzialgleichungssystems u (x) = A(x) u(x) und v eine weitere Lösung. Welches ist die Dimension von A? Ist auch {u, u 2, v} bzw. {u + u 2, u u 2 } ein Fundamentalsystem? Aufgabe 28.5 Bestimmen Sie die Stabilitätsbedingung für das verbesserte Euler-Verfahren (siehe Seite 437). Zeigen Sie, dass der Schnitt des Gebiets absoluter Stabilität mit der reellen Achse das Intervall ( 2, ) ist. Aufgabe 28.6 Gegeben ist die Differenzialgleichung x 2 y (x) xy (x) + y(x) =, x (,A) mit den Randwertvorgaben wobei A> und b R gilt. y () =, y(a) = b, Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem der Differenzialgleichung. Für welche A ist das Randwertproblem eindeutig lösbar? Geben Sie für ein A, für das keine eindeutige Lösbarkeit vorliegt, je einen Wert von b an, für den das System keine bzw. unendlich viele Lösungen besitzt. Rechenaufgaben Aufgabe 28.7 Bestimmen Sie alle kritischen Punkte der folgenden Differenzialgleichungssysteme. (a) (b) x (t) = x (t) + (x 2 (t)) 2, x 2 (t) = x (t) + x 2 (t), x (t) = x (t) x 2 (t), x 2 (t) = (x (t)) 2 (x 2 (t)) 3. Was können Sie ohne weitere Betrachtungen über die Stabilität der Punkte aussagen? Aufgabe 28.8 Berechnen Sie die ersten drei sukzessiven Iterationen zu dem Anfangswertproblem u (x) = x (u(x)) 2, x R, u() =. Aufgabe 28.9 Lösen Sie das Anfangswertproblem u (x) = u(x), u() =. Aufgabe 28. Bestimmen Sie für die Differenzialgleichung x 2 y (x) 3 2 xy (x) + y(x) = x 3 (a) zunächst die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differenzialgleichung durch Reduktion der Ordnung. Nutzen Sie, dass y (x) = x 2 die homogene Differenzialgleichung löst. (b) Bestimmen Sie dann eine partikuläre Lösung und die allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung durch Variation der Konstanten. (c) Geben Sie die Lösung des Anfangswertproblems mit an. y() = 7 5 und y () = 2 5
3 Aufgaben zu Kapitel Aufgabe 28. Das Differenzialgleichungssystem erster Ordnung y (x) = besitzt das Fudamentalsystem {y, y 2 } mit 2/x 2 y(x) +, x >, /x x 2 /x y (x) =, y 2x 2 (x) = /x 2, x >. Bestimmen Sie eine partikuläre Lösung y p durch den Ansatz y p (x) = c (x) y (x) + c 2 (x) y 2 (x). Anwendungsprobleme Aufgabe 28.2 Zwei Populationen x, y mit x,y stehen in Konkurrenz um eine für beide lebenswichtige Ressource. Die zeitliche Veränderung der Populationen wird durch das folgende Differenzialgleichungssystem beschrieben: x (t) = x(t) ( x(t) 2 ) y(t) ( y (t) = y(t) 2 2 y(t) ) 3 x(t) (a) Überlegen Sie sich, welchen Einfluss die einzelnen Koeffizienten im System beschreiben. Stellen Sie dazu zunächst fest, um was für ein Modell es sich handelt, wenn eine der beiden Populationen nicht vorhanden ist. (b) Können beide Populationen koexistieren, oder muss eine davon aussterben? Aufgabe 28.3 Die Verteilung und der Abbau von Alkohol im menschlichen Körper kann durch das folgende einfache Modell beschrieben werden. Mit B(t) bezeichnet man die Menge an Alkohol im Blut zum Zeitpunkt t, mit G(t) die Menge an Alkohol im Gewebe. Der Austausch des Alkohols zwischen Blut und Gewebe sowie die Ausscheidung werden durch das Differenzialgleichungssystem B (t) = αb(t) βb(t) + γ G(t) G (t) = βb(t) γ G(t) beschrieben. Dabei beschreibt der Koeffizient α die Geschwindigkeit der Ausscheidung aus dem Körper, der Koeffizient β die Geschwindigkeit des Übergangs vom Blut ins Gewebe und der Koeffizient γ die des Übergangs vom Gewebe ins Blut. Geben Sie das Verhalten des Alkoholgehalts qualitativ an. Was ist bei der numerischen Lösung des Systems zu beachten? Aufgabe 28.4 Das Anfangswertproblem x 6 2 (t) = Ax(t) = x(t), t >, 8 4 mit x() = (, ) soll einmal mit dem Euler-Verfahren x k+ = x k + h Ax k, k =, 2,...
4 466 Hinweise zu Kapitel 28 und mit dem Rückwärts-Euler-Verfahren x k+ = x k + h Ax k+, k =, 2,... und der Schrittweite h =. gelöst werden. Führen Sie für beide Verfahren jeweils die ersten 5 Schritte durch. Verwenden Sie dazu nach Möglichkeit einen Computer, da die auftretenden Rechnungen unhandlich sind. Welche Schlussfolgerungen ziehen Sie? Aufgabe 28.5 Zu lösen ist das Randwertproblem xu (x) + u (x) u(x) = x 2, u() =, u() =. Formulieren Sie das Randwertproblem als Variationsgleichung. Stellen Sie außerdem das lineare Gleichungssystem auf, das bei der Methode der finiten Elemente mit 4 Hutfunktionen gelöst werden muss. Hinweise Verständnisfragen Aufgabe 28. Bestimmen Sie jeweils die Eigenwerte der Matrix und konsultieren Sie die Übersicht auf Seite 949. Aufgabe 28.2 Bestimmen Sie das Maximum von f auf R und verwenden Sie die Aussage des Satzes von Picard-Lindelöf. Die Differenzialgleichung kann durch Separation gelöst werden. Aufgabe 28.3 Für (a) und (b) muss nur lineare Algebra verwendet werden. Stellen Sie für (c) die Wronski-Determinante auf. Aufgabe 28.4 Wie viele Elemente hat ein Fundamentalsystem eines n n-differenzialgleichungssystems? Aufgabe 28.5 Wenden Sie das verbesserte Euler-Verfahren auf die Testprobleme für Stabilitätsuntersuchungen an. Aufgabe 28.6 Es ist eine Euler sche Differenzialgleichung, deren Fundamentalsystem durch den Ansatz y(x) = x λ bestimmt werden kann. Versuchen Sie, die Randwerte durch eine Linearkombination der Funktionen des Fundamentalsystems zu erfüllen. Rechenaufgaben Aufgabe 28.7 Die kritischen Punkte bestimmen Sie durch Lösen der Gleichung x =. Für die Stabilität des kritischen Punkts z müssen Sie die Eigenwerte von F (z) bestimmen, wobei F die Funktion ist, die das System beschreibt. Aufgabe 28.8 Formulieren Sie das Anfangswertproblem als Integralgleichung und leiten Sie daraus eine Fixpunktgleichung her. Aufgabe 28.9 Verwenden Sie den Exponentialansatz u(x) = v exp(λx) mit Eigenwert λ und Eigenvektor v. Aufgabe 28. Wählen Sie bei der Variation der Konstanten Forderungen so, dass keine zweiten oder noch höheren Ableitungen der freien Funktionen auftreten.
5 Lösungen zu Kapitel Aufgabe 28. Leiten Sie den Ansatz ab und setzen Sie ihn in das Differenzialgleichungssystem ein. Sie erhalten ein lineares Gleichungssystem für die Ableitungen der c j, j =, 2. Anwendungsprobleme Aufgabe 28.2 Bestimmen Sie kritische Punkte des Differenzialgleichungssystems. Welche davon sind stabil? Interpretieren Sie auf dieser Grundlage das Verhalten der Trajektorien. Aufgabe 28.3 Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems durch einen Exponentialansatz. Überlegen Sie sich die Vorzeichen der Eigenwerte der zugehörigen Matrix. Aufgabe 28.4 Lösen Sie die Gleichung des Rückwärts-Euler-Verfahrens nach x k+ auf. Aufgabe 28.5 Nutzen Sie xu (x) + u (x) = (xu (x)) und verwenden Sie partielle Integration zur Herleitung der Variationsgleichung. Schreiben Sie die Hutfunktionen explizit auf und bestimmen damit die Koeffizienten im Gleichungssystem. Lösungen Verständnisfragen Aufgabe 28. (a) Instabiler Sattelpunkt, (b) instabiler Spiralpunkt, (c) asymptotisch stabiler uneigentlicher Knoten, (d) stabiles Zentrum. Aufgabe 28.2 (a) α = b/( + ( + b) 2 ), (b) Maximum für b = 2, (c) y(x) = tan(x + π/4) für x ( 3π/4,π/4). Aufgabe 28.3 (a), (c) siehe ausführlicher Lösungsweg, (b) v 2 = (, ). Aufgabe 28.4 Die Dimension der Matrix ist 2. {u, u 2, v} ist kein Fundamentalsystem, {u + u 2, u u 2 } ist ein Fundamentalsystem. Aufgabe 28.5 Die Stabilitätsbedingung lautet + hλ + (hλ)2 2 <. Aufgabe 28.6 Ein Fundamentalsystem ist durch {x, x ln x} gegeben. Für A = e ist das Randwertproblem eindeutig lösbar. Für A = b = e gibt es unendlich viele Lösungen, ansonsten ist das Randwertproblem unlösbar. Rechenaufgaben Aufgabe 28.7 (a) Kritische Punkte z = (, ) und z 2 = (, ). Beide sind instabil. (b) Kritischer Punkt ist z = (, ), der asymptotisch stabil ist. Aufgabe 28.8 Die Iterierten sind u (x) = x + x2 2, u 2 (x) = x x2 2 3 x3 + 4 x4 2 x5, u 3 (x) = x x2 4 3 x x x x x x x9 + 4 x 44 x.
6 468 Lösungswege zu Kapitel 28 Aufgabe 28.9 u(x) = e x (, cos x sin x,cos x + sin x), x R. Aufgabe 28. (a) y h (x) = c x 2 + x 2 x für x>, (b) y(x) = 2 5 x 3 + c x 2 + c 2 x, x>, (c) c = und c 2 = 2. Aufgabe 28. y p (x) = ( x/2, /2), x>. Anwendungsprobleme Aufgabe 28.2 (a) Siehe ausführlichen Lösungsweg, (b) ja, asymptotisch nehmen die Populationen den Wert (x, y) = (3/4, /2) an. Aufgabe 28.3 Die Lösung ist für t> mit zwei Konstanten c, c 2 R. B(t) = c (γ + λ ) e λ t + c 2 (γ + λ 2 ) e λ 2t, G(t) = c β e λ t + c 2 β e λ 2 t Aufgabe 28.4 Siehe ausführlichen Lösungsweg. Aufgabe 28.5 Das Gleichungssystem ist c c c 3 = , c 4 97 wobei die c j die Koeffizienten der entsprechenden Hutfunktion sind. Lösungswege Verständnisfragen Aufgabe 28. (a) Das charakteristische Polynom ist p(λ) = (λ )λ 2 = (λ + )(λ 2). Es gibt zwei reelle Eigenwerte mit unterschiedlichen Vorzeichen. Es handelt sich um einen Sattelpunkt, der stets instabil ist. (b) Das charakteristische Polynom ist (bis auf einen Faktor /9) p(λ) = (3λ 4)(3λ 2) + = (3λ 3) = (3λ 3 3i)(3λ 3 + 3i). Es liegen die konjugiert komplexen Eigenwerte ± i vor, daher handelt es sich um einen Spiralpunkt. Da der Realteil der Eigenwerte positiv ist, laufen die Trajektorien aus dem kritischen Punkt heraus. Der kritische Punkt ist instabil. (c) Das charakteristische Polynom lautet (bis auf einen Faktor /9) p(λ) = (3λ + 4)(3λ + 2) + = (3λ + 3) 2.
7 Lösungswege zu Kapitel Wir haben den einzigen Eigenwert λ =. Wir bestimmen den zugehörigen Eigenraum durch Lösen des homogenen linearen Gleichungssystems [ ] 4 + 3E 2 2 v =. Wir erhalten die Lösung v = t(, ), t R. Der Eigenraum hat also die Dimension. Damit liegt ein uneigentlicher Knoten im 2. Fall vor. Da der Eigenwert ein negatives Vorzeichen hat, ist der kritische Punkt asymptotisch stabil. (d) Das charakteristische Polynom ist p(λ) = (λ 4)(λ + 4) + 2 = λ Es liegen die komplex konjugierten Eigenwerte ±2i vor. Da der Realteil der Eigenwerte null ist, handelt es sich um ein Zentrum. Der Punkt ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil. Aufgabe 28.2 (a) Da für (x, y) R gilt y ( b, + b) mit b>, so folgt f(x,y) = + y 2 + ( + b) 2. Damit ist die Konstante M aus dem Satz von Picard-Lindelöf gleich + ( + b) 2. Mit a = folgt damit denn + ( + b) 2 >b. α = min{, b M }=min{, = b + ( + b) 2, (b) Wir bestimmen das Maximum von α als Funktion von b. b + ( + b) 2 } α (b) = b2 + 2b + 2 b(2b + 2) 2 b 2 (b 2 + 2b + 2) 2 = (b 2 + 2b + 2) 2. Daher nimmt α für b = 2 ein Extremum an. Es ist α( 2 2) = >. Da α() = und lim α(b) =, handelt es sich um ein Maximum. b (c) Durch Separation erhalten wir aus der Differenzialgleichung dy = x + C. + y2 Damit ergibt sich die allgemeine Lösung Durch Einsetzen der Anfangswerte folgt y(x) = tan(x + C). ( y(x) = tan x + π ). 4 Diese Funktion existiert auf dem Intervall ( 3π/4,π/4). In Dezimaldarstellung ist α( 2).27 und π/
8 47 Lösungswege zu Kapitel 28 Aufgabe 28.3 (a) Das charakteristische Polynom ergibt sich als Damit ist 2 eine doppelte Nullstelle. Das Lösen des LGS liefert den Eigenvektor v = (, ). (b) Aus der Forderung ergibt sich wegen Av = λv das LGS det(a λe 2 ) = ( 3 λ)( λ) + = (λ + 2) 2. = (A + 2E 2 )v = v x (t) = λe λt v 2 + e λt v + tλe λt v! = Ax(t) = e λt Av 2 + te λt Av e λt v = e λt Av 2 λe λt v 2 = e λt (A λe 2 ) v 2. Lösen dieses LGS liefert zum Beispiel den Vektor v 2 = (, ). (c) Die Wronski-Determinante von x, x 2 ist an der Stelle null von null verschieden, W() = det((v, v 2 )) =. Daher bilden diese beiden Lösungen ein Fundamentalsystem. Aufgabe 28.4 Es handelt sich um ein lineares homogenes System. Der Vektorraum der Lösungen hat die Dimension n, wenn A(x) eine n n-matrix ist. Nach Voraussetzung ist {u, u 2 } ein Fundamentalsystem, d.h. eine Basis des Lösungsraumes. Daher ist n = 2. Die drei Vektoren u, u 2, v des 2-dimensionalen Lösungsraumes sind stets linear abhängig, können also keine Basis und daher auch kein Fundamentalsystem sein. Man rechnet leicht nach, dass die beiden Elemente u + u 2 und u u 2 des Lösungsraumes linear unabhängig sind und daher ebenfalls ein Fundamentalsystem bilden. Aufgabe 28.5 Das verbesserte Euler-Verfahren ist durch die Gleichungen k () j+ = f(x j,y j ), k (2) j+ = f(x j+,y j + hk () j+ ), y j+ = y j + h ( ) k () 2 j+ + k(2) j+ gegeben. Wir wenden dieses Verfahren auf das Testproblem explizit an. Dann ergibt sich y (x) = λ y(x), y() = k () = f(, ) = λ, k (2) = f(x, + hk () ) = f (h, + hλ) = λ( + hλ), y = + h (hλ)2 (λ + λ( + hλ)) = + hλ
9 Lösungswege zu Kapitel Damit ist die Stabilitätsbedingung Wir setzen nun μ = hλ. Esist (hλ)2 + hλ + 2 <. + μ + μ2 2 = [ ] (μ + ) Die Stabilitätsbedingung ist daher für μ R äquivalent zu (μ + ) 2 <. Die Lösungsmenge dieser Ungleichung ist das Intervall ( 2, ). Aufgabe 28.6 Es handelt sich um eine Euler sche Differenzialgleichung. Der Ansatz y(x) = x λ führt auf die Gleichung Ein Fundamentalsystem ist daher durch = λ(λ ) λ + = λ 2 2λ + = (λ ) 2. {x, x ln x} gegeben. Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung ist y(x) = c x + c 2 x ln x, x >, mit Konstanten c, c 2 R. Die Ableitung der Lösung ist Aus der Anfangsbedingung y () = folgt somit y (x) = c + c 2 ( + ln x). = c + c 2 ( + ) = c + c 2. Damit liefert die Bedingung an der Stelle A den Ausdruck b = c A + ( c )A ln A = A ln A + c A( ln A). Ist ln A =, d.h. A = e, so können wir diese Gleichung nach c auflösen und erhalten eine eindeutig bestimmte Lösung des Randwertproblems. Ist A = e, so lautet die Gleichung b = elne+ = e. Ist b = e, so kann also c R beliebig gewählt werden, es gibt unendlich viele Lösungen. Für b = e gibt es keine Lösung des Randwertproblems. Rechenaufgaben Aufgabe 28.7 (a) Die Forderungen x (t) = x 2 (t) = für alle t führt auf die Gleichungen x + x 2 2 =, x + x 2 =, wobei wir die Abhängigkeit von t unterdrückt haben. Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste liefert x 2 (x 2 ) =.
10 472 Lösungswege zu Kapitel 28 So erhalten wir die kritischen Punkte z = (, ) und z 2 = (, ). Die Ableitung der Funktion F, die das System beschreibt, ist F (x) = 2x2. Daher gilt F (z ) =. Diese Matrix besitzt den doppelten Eigenwert. Daher ist dieser kritische Punkt instabil. Im anderen kritischen Punkt ist F (z 2 ) = 2. Diese Matrix besitzt die Eigenwerte ± 2. Ein Eigenwert ist negativ, der andere positiv, es handelt sich also um einen Sattelpunkt, der stets instabil ist. (b) Die Forderung x (t) = führt auf die Gleichungen x x 2 =, x 2 x3 2 =, wobei wir wieder die Abhängigkeit von t weggelassen haben. Die erste Gleichung kann nur für x 2 = erfüllt sein, es gilt dann x = /x 2. Damit erhält man aus der zweiten Gleichung x 2 =. Es gibt daher nur den einzigen kritischen Punkt z = (, ). Die Ableitung der Funktion F ist hier F x2 x (x) = 2x 3x2 2. Daher gilt F (z) =. 2 3 Diese Matrix hat die Eigenwerte 2±i. Daher handelt es sich um einen asymptotisch stabilen Spiralpunkt. Aufgabe 28.8 Durch Integration erhalten wir aus der Differenzialgleichung die Integralgleichung x u(x) = + [ ξ (u(ξ)) 2] dξ.
11 Lösungswege zu Kapitel Wir starten mit der konstanten Funktion u (x) =. Damit ergibt sich x u (x) = + (ξ ) dξ = x + x2 2, x u 2 (x) = + ξ ξ + ξ 2 2 dξ 2 = x x2 2 3 x3 + 4 x4 2 x5, x ( u 3 (x) = + ξ (u 2 (ξ)) 2) dξ = x x2 4 3 x x x x x x x9 + 4 x 44 x. Aufgabe 28.9 Zunächst muss das charakteristische Polynom bestimmt werden: λ p(λ) = det λ λ = ( λ) (( λ) 2 + ) = ( λ) (λ i)(λ + i) Also gibt es die Eigenwerte λ = und λ 2,3 = ± i. Aus den linearen Gleichungssystemen (A λ j E 3 ) v = O, erhalten wir die Eigenvektoren v = (,, ) zu λ =, v 2 = (, i, ) zu λ 2 = + i, v 3 = (, i, ) zu λ 2 = i. Die allgemeine komplexwertige Lösung der Differenzialgleichung ist demnach u(x) = c e x + c 2 i e (+i)x + c 3 i e ( i)x für x R mit Konstanten c, c 2, c 3 C. Um diese Konstanten zu bestimmen, setzen wir die Anfangswerte in die allgemeine Lösung ein und erhalten dass lineare Gleichungssystem c i i c 2 =. c 3 Durch Anwendung des Gauß schen Lösungsverfahrens bekommen wir die Lösung c =, c 2 = ( i)/2
12 474 Lösungswege zu Kapitel 28 und c 3 = ( + i)/2. Insgesamt ergibt sich dadurch die Lösung u(x) = 2e x (i + )e (+i)x (i )e ( i)x 2 ( i)e (+i)x + ( + i)e ( i)x = e x cos x sin x, x R. cos x + sin x Aufgabe 28. (a) Mit dem Ansatz zur Reduktion der Ordnung ist y(x) = z(x)y (x) = x 2 z(x) y (x) = z (x)y (x) + z(x)y (x) = x2 z (x) + 2x z(x), y (x) = z (x)y (x) + 2z (x)y (x) + z(x)y (x) = x 2 z (x) + 4xz (x) + 2 z(x). Dies setzen wir in die homogene Differenzialgleichung ein: = x 2 (x 2 z (x) + 4xz (x) + 2 z(x)) 3 2 x(x2 z (x) + 2x z(x)) + x 2 z(x) = x 4 z (x) x3 z (x) Somit erhalten wir die Differenzialgleichung xz (x) = 5 2 z (x), die die Lösung z (x) = ( 3/2)x 5/2 besitzt. Also folgt y(x) = x 2 z(x) = x 2 x 3/2 = x für x>. Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung ist also (b) Mit dem Ansatz Variation der Konstanten ist Ableiten liefert y h (x) = c x 2 + x 2 x, x >. y p (x) = C(x)x 2 + D(x) x. y p (x) = C (x) x 2 + D (x) x + 2C(x)x + 2 D(x) x /2. Wir fordern nun C (x) x 2 + D (x) x =,
13 Lösungswege zu Kapitel und erhalten dann die zweite Ableitung y p (x) = 2C (x) x + 2 D (x) x /2 + 2C(x) 4 D(x) x 3/2. Setzen wir diese Ausdrücke in die Differenzialgleichung ein, so ergibt sich nach einiger Rechnung die zweite Forderung x 3 = 2x 3 C (x) + 2 x3/2 D (x). Insgesamt ist somit das lineare Gleichungssystem ( x 2 x /2 2x 3 2 x3/2 )( C ) (x) D = (x) x 3 zu lösen. Wir erhalten C (x) = 2 3 und D (x) = 2 3 x3/2. Somit ist C(x) = 2 3 x und D(x) = 4 5 x5/2, und dies liefert die partikuläre Lösung y p (x) = 2 3 x2 4 5 x3 = 2 5 x3. Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung ist also (c) Die Ableitung der allgemeinen Lösung ist y(x) = 2 5 x3 + c x 2 + c 2 x, x >. y (x) = 6 5 x2 + 2c x + c 2 2 x. Durch Einsetzen der Anfangswerte erhalten wir das lineare Gleichungssystem c 3 = 4 c 2 6 mit der Lösung c = und c 2 = 2. Somit haben wir die Lösung des Anfangswertproblems gefunden, y(x) = 2 5 x3 + x x, x >. Aufgabe 28. Den Ansatz abzuleiten ergibt y 2x /x p (x) = c 2 (x) + c 2 2 (x) 2/x 3 + c x (x) 2 + c /x 2x 2 (x) /x 2. In die Differenzialgleichung eingesetzt erhalten wir das LGS c x (x) 2 + c /x 2x 2 (x) /x 2 = /x /x 2.
14 476 Lösungswege zu Kapitel 28 Die Lösung ist c (x) = /(3x2 ), c 2 (x) = x/3. Integration liefert Somit ist y p (x) = 3x ( x 2 2x c (x) = 3x ) x2 6 /x /x 2 = eine partikuläre Lösung des Differenzialgleichungssystems. c 2 (x) = x2 6. x/3 + 2/3 x/6 = /6 x/2 /2 Kommentar: Das Differenzialgleichungssystem in dieser Aufgabe entspricht genau der Differenzialgleichung 2. Ordung, die in der Vertiefung zur Variation der Konstanten auf Seite 964 gelöst wird. Auch die Bedingungen an die c j, j =, 2, entsprechen sich. Der in der Lösung dieser Aufgabe beschrittene Weg liefert also eine zweite Begründung für die Bedingungen, die bei der Variation der Konstanten an die c j gestellt werden. Anwendungsprobleme Aufgabe 28.2 (a) Ist eine der Populationen nicht vorhanden (etwa y = ), so liegt für die andere ein logistisches Wachstumsmodell vor, x (t) = k x(t) (X x(t)). Dabei ist k eine Wachstumskonstante und X die Obergrenze für die Population. Für die Population x ist die Wachstumskonstante, für die Population y ist sie /2. Die Obergrenze liegt für beide bei. Der zusätzliche Term beschreibt die gegenseitige Beeinflussung der beiden Populationen. Da beide auf dieselbe Ressource zugreifen und dadurch ihr Wachstum gegenseitig behindern, ist der entsprechende Koeffizient negativ. (b) Um diese Frage zu beantworten, stellen wir zunächst fest, wo kritische Punkte liegen. Das Gleichungssystem x ( x 2 ) ( y = und y 2 2 y ) 3 x = hat vier verschiedene Lösungen z = (x, y) : z =, z 2 =, 3/4 z 3 =, z 4 =. /2 In z sind beide Populationen ausgestorben, in z 2 und z 3 ist jeweils eine ausgestorben und in z 4 koexistieren beide. Damit ist schon einmal die Frage, ob beide koexistieren können, grundsätzlich mit ja zu beantworten. Um ein vollständigeres Bild zu erhalten, betrachten wir noch das Stabilitätsverhalten der Lösungen in der Nähe dieser kritischen Punkte. Das Differenzialgleichungssystem wird durch die Funktion F mit ( x x F (x, y) = 2 2 xy ) 2 y 2 y2 3 xy beschrieben. Deren Ableitung ist ( F 2x (x, y) = 2 y 2 x ) 3 y 2 y 3 x.
15 Lösungswege zu Kapitel Für die ersten drei kritischen Punkte gilt F (z ) =, /2 F /2 (z 2 ) =, /6 F /2 (z 3 ) =. /3 /2 In allen drei Fällen können die Eigenwerte direkt an der Matrix abgelesen werden. In z liegen zwei positive Eigenwerte vor, es handelt sich um einen instabilen Knotenpunkt. In z 2 und z 3 ist je ein Eigenwert positiv, der andere negativ. Hier liegen Sattelpunkte vor, die ebenfalls instabil sind. Die einzige Trajektorie, die in diese kritischen Punkte hineinführt, ist die Lösung wenn eine der beiden Populationen nicht vorhanden ist. In z 4 schließlich gilt F 3/4 3/8 (z 4 ) =. /6 /4 Das charakteristische Polynom ist ( λ + 3 )( λ + ) = λ 2 + λ + 8 = (λ )(λ ). Beide Eigenwerte ( /2) ± (/ 8) sind negativ, also handelt es sich um einen asymptotisch stabilen Punkt. Zumindest für Ausgangssituationen in einer Umgebung von z 4 gilt also, dass beide Populationen koexistieren können. Die Populationen nähern sich dabei den Werten x 4 = 3/4 und y 4 = /2 an. Allgemeiner kann man sogar zeigen, dass alle Trajektorien außer denjenigen, die in die Sattelpunkte hineinlaufen, den asymptotisch stabilen Punkt z 4 als Grenzwert besitzen. Wer mehr zu diesem Modell erfahren möchte, findet im Abschnitt 9.4 des Buches William E. Boyce, Richard C. DiPrima: Gewöhnliche Differenzialgleichungen. Spektrum Akademischer Verlag, 2, einen guten Einstiegspunkt. Aufgabe 28.3 In Matrixform stellt sich das Differenzialgleichungssystem dar als ( B ) (t) (α + β) γ B(t) G =. (t) β γ G(t) Das charakteristische Polynom der Matrix berechnet sich zu Als Eigenwerte ergeben sich demnach p(λ) = (λ + α + β)(λ + γ) βγ = λ 2 + (α + β + γ)λ+ αγ. λ /2 = α + β + γ 2 α + β + γ 2 ± αγ. 2 Beide Eigenwerte sind demnach reell und negativ.
16 478 Lösungswege zu Kapitel 28 Mit der zweiten Zeile der Matrix berechnen wir die zugehörigen Eigenvektoren v j = (v j,v 2j ), βv j (γ + λ j )v 2j =, j =, 2, und daher Damit haben wir die Lösung γ + λj v j =, j =, 2. β für t> mit zwei Konstanten c, c 2 R. B(t) = c (γ + λ ) e λ t + c 2 (γ + λ 2 ) e λ 2t, G(t) = c β e λ t + c 2 β e λ 2 t Da beide Eigenwerte negativ sind, liegt eine exponentielle Abnahme des Alkoholgehalts vor. Ist αγ << β,soistλ. Wir haben es in diesem Fall mit einem steifen Differenzialgleichungssystem zu tun. In der Anwendung bedeutet dies, dass die Ausscheidung und der Übergang vom Gewebe ins Blut sehr viel schwächer ausfallen, als der Übergang vom Blut ins Gewebe. Aufgabe 28.4 Die Iterationen für das Euler-Verfahren können direkt durchgeführt werden. Es ergibt sich k x k x k Für das Rückwärts-Euler-Verfahren lösen wir zunächst die Gleichung nach x k+ auf. Es ergibt sich x k+ = (E 2 h A) x k = x k. Die Iterationen können damit ausgerechnet werden und ergeben k x k x k Die Ergebnisse lassen darauf schließen, dass ein steifes Differenzialgleichungssystem vorliegt. Mit der Schrittweite h =. ist das Euler-Verfahren für dieses System instabil, das Rückwärts-Euler-Verfahren dagegen stabil. Die Stabilitätsbedingung für das Rückwärts-Euler-Verfahren lautet übrigens hλ <. Diese Bedingung ist für jedes λ mit Re (λ) < erfüllt.
17 Lösungswege zu Kapitel Aufgabe 28.5 Zunächst beachten wir xu (x) + u (x) = d ( xu (x) ). dx Um die Variationsgleichung herzuleiten, multiplizieren wir die Differenzialgleichung mit eine Funktion v C ([, ]), die außerdem v() = v() = erfüllt, [ (xu (x) ) v(x) u(x) v(x) ] dx = x 2 v(x) dx. Den ersten Term können wir partiell integrieren, ( xu (x) ) v(x) dx = [ xu (x) v(x) ] xu (x) v (x) dx = xu (x) v (x) dx. Daher folgt [ xu (x) v (x) + u(x) v(x) ] dx = x 2 v(x) dx. Dies ist die Variationsgleichung. Die Diskretisierungspunkte sind x j = j/5, j =,...,5. Die Hutfunktion ϕ j, j =,...,4, und ihre Ableitungen sind gegeben durch 5x j +, x j <x x j, ϕ j (x) = j + 5x, x j <x<x j+,, sonst, 5, x j <x x j, ϕ j (x) = 5, x j <x<x j+,, sonst. Die Einträge der FEM-Matrix A = (a jk ) R 4 4 sind nun gegeben als a jk = [ ] xϕ k (x) ϕ j (x) + ϕ k(x) ϕ j (x) dx für j,k =,...,4. Da die Hutfunktion ϕ j außerhalb des Intervalls (x j,x j+ ) null ist, verschwinden
18 48 Lösungswege zu Kapitel 28 diejenigen a jk mit j k >. Für die übrigen ergibt sich: a jj = = = xj+ x j xj + + [ x(ϕ j (x))2 + (ϕ j (x)) 2] dx x j x 5 2 dx + xj xj+ x j x j (5x j + ) 2 dx xj+ x j (j + 5x) 2 dx x( 5) 2 dx ( j ) ( + j + ) = 2j xj+ [ ] a jj+ = xϕ j (x) ϕ j+ (x) + ϕ j (x) ϕ j+ (x) dx = x j xj+ + = x j xj+ x j x( 5) 5dx (j + 5x)(5x j)dx ( j + ) = j 7 5 Wegen der Symmetrie gilt a j+ j = a jj+. Die Matrix des Systems ist demnach durch A = gegeben. Für die rechte Seite sind noch die folgenden Integrale zu berechnen: xj xj+ x 2 ϕ j (x) dx = x 2 (5x j + ) dx + x 2 (j + 5x)dx x j x j ( ) ( ) j 2 = 25 j j j = j Somit ergibt sich die rechte Seite des LGS zu 7 b =
Aufgaben zu Kapitel 28
Aufgaben zu Kapitel 28 Aufgaben zu Kapitel 28 Verständnisfragen Aufgabe 28 Geben Sie bei den folgenden linearen Systemen den Typ des kritischen Punktes, ) an Welche Stabilitätseigenschaften liegen vor?
MehrSysteme von Differentialgleichungen. Beispiel 1: Chemische Reaktionssysteme. Beispiel 2. System aus n Differentialgleichungen 1. Ordnung: y 1.
Systeme von Differentialgleichungen Beispiel : Chemische Reaktionssysteme System aus n Differentialgleichungen Ordnung: y (x = f (x, y (x,, y n (x Kurzschreibweise: y y 2 (x = f 2(x, y (x,, y n (x y n(x
MehrLösung - Serie 25. D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger
D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 25 1. Wie lautet die charakteristische Gleichung der Differentialgleichung y + 2y + y = 0? (a) λ 3 + 2λ + 1 = 0 (b) λ 3 + 2λ = 0 (c)
MehrLösungsskizzen zur Nachklausur
sskizzen zur Nachklausur Mathematik II für die Fachrichtungen Biologie und Chemie Sommersemester 22 Aufgabe Es seien die folgenden Vektoren 2 v = 2, v 2 = und v 3 = 2 im R 3 gegeben. (a) Zeigen Sie, dass
MehrLösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik II für biw/ciw/mach/mage/vt
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. F. Hettlich Dr. S. Schmitt Dipl.-Math. J. Kusch Karlsruhe, den 09.06.20 Lösungen zum 9. Übungsblatt zur Vorlesung Höhere Mathematik
MehrB. Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben
B. Lösungsskizzen zu den Übungsaufgaben B.. Lösungen zum Kapitel B... Tutoraufgaben Lösungsskizze Wir gehen zuerst nach dem Lösungsverfahren vor. Schritt : Bestimmung der Lösung des homogenen DGL-Systems
MehrLineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
KAPITEL 5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung 1 Veränderliche Koeffizienten Analog zu den linearen Dierentialgleichungen 2 Ordnung gilt: 75 76 5 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN n-ter ORDNUNG
Mehrsie ist also eine Lösung der Differenzialgleichung y 0 = Ay. Bei x = 0 sind diese n Spalten auch linear unabhängig, da ja
Lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten 44 63 Zusammenhang mit Fundamentalsystemen Für die Matrix-Exponenzialfunkton e Ax gilt (e Ax ) = Ae Ax Für jede Spalte '(x) der Matrix e Ax Matrixmultpiplikation
MehrApl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min. cos(x), y(0) = 1.
Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung.9.6, min Aufgabe ( Punkte) Lösen Sie das folgende Anfangswertproblem: y = e y cos(x), y() =. Sei y : I R die maximale Lösung des gegebenen Anfangswertproblems (diese
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II. ( Punkte) a) Wir benutzen L Hôpital lim x ln(x) L Hôpital x 3 = lim 3x + x L Hôpital = lim x ln(x) x 3x 3 = lim ln(x) x 3 x
MehrMATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Gewöhnliche Differentialgleichungen Prof.
Mehr1.5 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung
16 Kapitel 1. Differentialgleichungen 1.5 Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung Eine lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung hat die Form y +a 1 (x)y +a 0 (x)y = b(x), wobei a 1,a 0,b:I
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August 2011 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 1 2 3 4 5 6 Total Vollständigkeit
MehrLösungsskizzen zur Klausur Mathematik II
sskizzen zur Klausur Mathematik II vom..7 Aufgabe Es sei die Ebene im R 3 gegeben. E = +λ 3 + µ λ,µ R (a) Geben Sie die Hesse-Normalform der Ebene E an. (b) Berechnen Sie die orthogonale Projektion Π E
MehrÜbungen zum Ferienkurs Analysis II
Übungen zum Ferienkurs Analysis II Implizite Funktionen und Differentialgleichungen 4.1 Umkehrbarkeit Man betrachte die durch g(s, t) = (e s cos(t), e s sin(t)) gegebene Funktion g : R 2 R 2. Zeigen Sie,
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, August D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben. ( Punkte) a) Wir berechnen lim sin(x ) x 3 + 4x L Hôpital = lim x cos(x ) 3x + 8x = 4. b) Wir benutzen L Hôpital lim
MehrLösungen der Aufgaben zu Kapitel 10
Lösungen der Aufgaben zu Kapitel 10 Abschnitt 10.2 Aufgabe 1 (a) Die beiden Funktionen f(x) = 1 und g(y) = y sind auf R definiert und stetig. 1 + x2 Der Definitionsbereich der Differentialgleichung ist
Mehr8. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
8 Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen Aufgabe 6: Matrix Bestimmen Sie die allgemeine reelle Lösung des Differentialgleichungssystems u x = Aux für die A =, 9 indem Sie das System auf eine einzelne gewöhnliche
Mehr1 Einführung, Terminologie und Einteilung
Zusammenfassung Kapitel V: Differentialgleichungen 1 Einführung, Terminologie und Einteilung Eine gewöhnliche Differentialgleichungen ist eine Bestimmungsgleichung um eine Funktion u(t) einer unabhängigen
Mehr2 k k 1 k(k + 1) = 2n+1. n = 0 = k(k + 1) = 2n+1 n n. = 2 n+1 n + 2 (n + 1)(n + 2) + n. (n + 1)(n + 2)
Prof. Hesse Höhere Mathematik I und II Musterlösung 7. 0. 0, 80min Aufgabe (3 Punkte) Zeigen Sie mit vollständiger Induktion: Für alle n N gilt n k= k k k(k + ) = n+ n +. Induktionsanfang: k= Induktionsschluss
MehrLineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung I. Grundlegendes Eine homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung besitzt die Form y (n) + a n 1 (x)y (n 1) +... + a 1 (x)y + a 0 (x)y = 0 Eine
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Lineare Algebra und analytische Geometrie 1
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 206/7): Lineare Algebra und analytische Geometrie. (Herbst 2005, Thema, Aufgabe ) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:.2
Mehry = A(x) y + b(x). (1) y = A(x) y (2)
73 5.2 Lineare Systeme Sei weiterhin IK = C oder IK = IR. Seien = I IR ein offenes Intervall, x 0 I, y 0 IK n, A: I IK n n und b: I IK n stetige matrix- bzw vektorwertige Funktionen. Wir betrachten komplexe
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2012): Differential und Integralrechnung 8
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2012): Differential und Integralrechnung 8 8.1 (Herbst 2002, Thema 1, Aufgabe 6) y = 3y +2x x 8.2 (Frühjahr 2005, Thema 1, Aufgabe 6) (x > 0) y(1)
Mehr7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen
Aufgabe : Gegeben sei die Differentialgleichung 7. Übungsblatt Aufgaben mit Lösungen y x) 2 x y x) + 5 x 2 y x) 5 x yx) = 0 für x > 0. Prüfen Sie, ob die folgenden Funktionen Lösungen dieser Differentialgleichung
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 7 (7.8.7). Gegeben ist die Matrix A 3 3 3 (a) Bestimmen Sie sämtliche Eigenwerte sowie die zugehörigen Eigenvektoren.
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2014/15): Lineare Algebra und analytische Geometrie 1
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 204/5): Lineare Algebra und analytische Geometrie. (Herbst 2005, Thema, Aufgabe ) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:.2
MehrKlausur: Differentialgleichungen Version mit Lösungen
Universität Kassel Fachbereich 10/16 Dr. Sebastian Petersen 16.03.2016 Klausur: Differentialgleichungen Version mit Lösungen Name: Vorname: Matrikelnummer: Versuch: Unterschrift: Bitte fangen Sie für jede
MehrApl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min
Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung 4.3.25, 2min Aufgabe ( Punkte) Es sei S := {(x, y, z) R 3 z = x 2 + y 2, z 2}. (a) (6 Punkte) Berechnen Sie den Flächeninhalt von S. (b) (4 Punkte) Berechnen Sie die
MehrPrüfung zur Vorlesung Mathematik I/II
Dr. A. Caspar ETH Zürich, Januar 0 D BIOL, D CHAB Prüfung zur Vorlesung Mathematik I/II Bitte ausfüllen! Name: Vorname: Legi-Nr.: Nicht ausfüllen! Aufgabe Punkte Kontrolle 3 6 Total Vollständigkeit Bitte
MehrDie inhomogene Differentialgleichung höherer Ordnung.
Die inhomogene Differentialgleichung höherer Ordnung. Ist das Funktionensystem (y 1,..., y n ) ein Fundamentalsystem, so ist die Matrix Y(t) = y (0) 1... y n (0). y (n 1) 1... y n (n 1) eine Fundamentalmatrix
Mehr2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung
2.5 Lineare Differentialgleichungen n-ter Ordnung Eine Dgl der Gestalt a n (x)y (n) +a n 1 (x)y (n 1) +...+a 2 (x)y +a 1 (x)y +a 0 (x)y = b(x) heißt lineare Dgl n-ter Ordnung. ( ) Dabei sind a 0, a 1,...,
MehrLösungen zu Mathematik I/II
Prof. Dr. E. W. Farkas ETH Zürich, Februar 11 D BIOL, D CHAB Lösungen zu Mathematik I/II Aufgaben 1. 1 Punkte a Wir berechnen lim x x + x + 1 x + x 3 + x = 1. b Wir benutzen L Hôpital e x e x lim x sinx
MehrDierentialgleichungen 2. Ordnung
Dierentialgleichungen 2. Ordnung haben die allgemeine Form x = F (x, x, t. Wir beschränken uns hier auf zwei Spezialfälle, in denen sich eine Lösung analytisch bestimmen lässt: 1. reduzible Dierentialgleichungen:
Mehr, r [0, 2], ϕ [0,π/2], ϑ [0,π/6]. x 3. x 2 2 x 2 1. F(x) = x 2 3
Prof. Dr. Eck Höhere Mathematik 3 9.3.9 Aufgabe ( Punkte) Gegeben ist der Körper K mit der Parametrisierung x r cos ϕ cos ϑ K : x = Φ(r,ϕ,ϑ) = r sin ϕ cos ϑ, r [, ], ϕ [,π/], ϑ [,π/6]. x 3 r sin ϑ a) Berechnen
MehrHöhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. I. Anapolitanos Dipl.-Math. Sebastian Schwarz SS 7 4.5.7 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik
MehrSerie 13. Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016
Analysis D-BAUG Dr. Cornelia Busch FS 2016 Serie 13 1. Prüfungsaufgabe 4, Winter 2014. Bestimmen Sie die Funktion, für die gilt: An jeder Stelle des Definitionsbereichs ist die Steigung des Graphen der
MehrFachbereich Mathematik/Informatik 16. Juni 2012 Prof. Dr. H. Brenner. Mathematik für Anwender II. Testklausur mit Lösungen
Fachbereich Mathematik/Informatik 6. Juni 0 Prof. Dr. H. Brenner Mathematik für Anwender II Testklausur mit Lösungen Aufgabe. Definiere die folgenden (kursiv gedruckten) Begriffe. () Ein Skalarprodukt
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 213 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 7: Lineare Algebra Kapitel 7.5: Eigenwerte und Eigenvektoren einer quadratischen Matrix Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik
MehrBERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaften
Musterl osung BERGISCHE UNIVERSITÄT WUPPERTAL Fachbereich C Mathematik und Naturwissenschaften Analysis II Klausur WS 211/212 Prof. Dr. Hartmut Pecher 3.2.212, 9:15 Uhr Name Matr.Nr. Studienfach Fachsemester
MehrKlausur HM I H 2005 HM I : 1
Klausur HM I H 5 HM I : 1 Aufgabe 1 4 Punkte): Zeigen Sie mit Hilfe der vollständigen Induktion: n 1 1 + 1 ) k nn k n! für n. Lösung: Beweis mittels Induktion nach n: Induktionsanfang: n : 1 ) 1 + 1 k
MehrD-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis II FS 2017 Prof. Manfred Einsiedler. Übungsblatt 5 A := u = Au, u(0) = 1. 1
D-MATH, D-PHYS, D-CHAB Analysis II FS 2017 Prof. Manfred Einsiedler Übungsblatt 5 1. Gegeben sei die Matrix 1 1 0 A := 0 1 0 0 0 2 a) Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem (das heisst eine Basis des Lösungsraums)
MehrProbeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen
MATHEMATISCHES INSTITUT SoSe 24 DER UNIVERSITÄT MÜNCHEN Probeklausur zu Funktionentheorie, Lebesguetheorie und gewöhnlichen Differentialgleichungen Musterlösung Prof. Dr. P. Pickl Aufgabe Zeigen Sie, dass
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2014): Lineare Algebra und analytische Geometrie 1
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (SS 2014): Lineare Algebra und analytische Geometrie 1 1.1 (Herbst 2005, Thema 1, Aufgabe 1) Bestimmen Sie alle reellen Lösungen des folgenden linearen
MehrApl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung , 120min
Apl. Prof. Dr. N. Knarr Musterlösung 3.9.5, min Aufgabe (8 Punkte) Gegeben ist der Körper K : {(x, y, z) R 3 x + 4y, z 3}. Berechnen Sie der Ausfluss von g : R 3 R 3 durch den Rand K mit g(x, y, z) (x
MehrLösungsvorschläge zur ersten Klausur Gewöhnliche Differenzialgleichungen am um 10 Uhr. Bearbeitungszeit beträgt zwei Stunden.
Lösungsvorschläge zur ersten Klausur Gewöhnliche Differenzialgleichungen am 20.6.2015 um 10 Uhr. Bearbeitungszeit beträgt zwei Stunden. Prof. Dr. Wolfgang Arendt Manuel Bernhard Sommersemester 2015 Achten
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 11: Gewöhnliche Differentialgleichungen
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 11: Gewöhnliche Differentialgleichungen www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
MehrLineare Algebra: Determinanten und Eigenwerte
: und Eigenwerte 16. Dezember 2011 der Ordnung 2 I Im Folgenden: quadratische Matrizen Sei ( a b A = c d eine 2 2-Matrix. Die Determinante D(A (bzw. det(a oder Det(A von A ist gleich ad bc. Det(A = a b
MehrAnleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe / Dr Hanna Peywand Kiani 722 Anleitung zu Blatt 4 Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Lineare Differentialgleichungssysteme,
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM II für Naturwissenschaftler Sommersemester 23 (5.8.23). Gegeben seien die Matrizen A = 2 3 3 und B = 5 2 5 (a) Bestimmen Sie die Eigenwerte von A und B sowie die
MehrKommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler
Kommentierte Musterlösung zur Klausur HM I für Naturwissenschaftler. (a) Bestimmen Sie die kartesische Form von Wintersemester 7/8 (..8) z = ( + i)( i) + ( + i). (b) Bestimmen Sie sämtliche komplexen Lösungen
MehrLineare Differenzengleichungen
Lineare Differenzengleichungen Die Fibonacci-Zahlen F n sind definiert durch F 0 = 0 F 1 = 1 F n = F n 1 +F n 2 für n >= 2 Die letzte Zeile ist ein Beispiel für eine homogene lineare Differenzengleichung
Mehr5 Gewöhnliche Differentialgleichungen
5 Gewöhnliche Differentialgleichungen 5.1 Einleitung & Begriffsbildung Slide 223 Natürliches Wachstum Eine Population bestehe zur Zeit t aus N(t) Individuen. Die Population habe konstante Geburts- und
MehrGewöhnliche Differentialgleichungen
Gewöhnliche Differentialgleichungen Vorbemerkungen. Eine gewöhnliche Differentialgleichung ist eine Gleichung, wo neben einer gesuchten Funktion y(x) auch deren Ableitungen y, y etc. auftreten, z.b. y
MehrMathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3
Mathematischer Vorkurs Lösungen zum Übungsblatt 3 Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de Aufgabe : Berechnen Sie die bestimmten Integrale: π/ 3 cos(x)
MehrRückblick auf die letzte Vorlesung
Rückblick auf die letzte Vorlesung 1 Lineare autonome Differentialgleichungen 2 Bestimmung des Fundamentalsystems 3 Jordansche Normalform 4 Reelle Fundamentalsysteme Ausblick auf die heutige Vorlesung
MehrÜbungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2011/12 Blatt Aufgabe 25: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 11/1 Blatt 8 3.11.11 Aufgabe 5: Berechnen Sie den kritischen Punkt der Funktion fx, y 3x 5xy y + 3 und entscheiden Sie, ob ein Maximum, Minimum oder Sattelpunkt
MehrMathematik II Frühjahrssemester 2013
Mathematik II Frühjahrssemester 2013 Prof. Dr. Erich Walter Farkas Kapitel 10: Gewöhnliche Differentialgleichungen Prof. Dr. Erich Walter Farkas Mathematik I+II, 10. Diff. Gl. 1 / 59 1 Differentialgleichungen
MehrVorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker
Technische Universität Ilmenau SS 2010 Institut für Mathematik Inf Prof. Dr. Michael Stiebitz Vorbereitung für die Prüfung Mathematik II für Informatiker 1 Lineare Algebra Aufgabe 1 Schauen Sie sich die
MehrName Vorname Fachrichtg. Matrikelnr. Punkte Klausur Aufgabe max. Punkte Punkte. Bitte beachten!
Fakultät für Mathematik Institut für Algebra und Geometrie Prof. Dr. Martin Henk, Dr. Michael Höding Modulprüfung Mathematik III Fachrichtung: Computer Science in Engineering, Computervisualistik, Informatik,
MehrHöhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Ioannis Anapolitanos Dipl.-Math. Sebastian Schwarz WS 5/6 6..5 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Lösungsvorschläge zum. Übungsblatt
MehrKlausur zum Grundkurs Höhere Mathematik I
Name, Vorname: Studiengang: Matrikelnummer: 2 4 5 6 Z Punkte Note Klausur zum Grundkurs Höhere Mathematik I für BNC, GtB, MB, EC, TeM, VT, KGB, WWT, ESM, FWK, BGi, WiW 22. Februar 2007, 8.00 -.00 Uhr Zugelassene
Mehr(a), für i = 1,..., n.
.4 Extremwerte Definition Sei M R n eine Teilmenge, f : M R stetig, a M ein Punkt. f hat in a auf M ein relatives (oder lokales) Maximum bzw. ein relatives (oder lokales) Minimum, wenn es eine offene Umgebung
MehrStroppel Musterlösung , 180min. Aufgabe 1 (3 Punkte) Bestimmen Sie die Determinante der Matrix
Stroppel Musterlösung 7.., 8min Aufgabe Punkte Bestimmen Sie die Determinante der Matrix A =. Geben Sie alle Lösungen x des homogenen Gleichungssystems Ax = an. Entwicklung nach der ersten Spalte: deta
Mehry hom (x) = C e p(x) dx
Gewöhnliche Differentialgleichungen F (x, y, y,..., y n ) = 0 Gleichung, die die Veränderliche x sowie die Funktion y = y(x) und ihre Ableitungen y,..., y n beinhaltet. Klassifiaktion: implizit F (...)
MehrMathematik II Frühlingsemester 2015 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren
Mathematik II Frühlingsemester 215 Kapitel 8: Lineare Algebra 8.5 Eigenwerte und Eigenvektoren www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs215/other/mathematik2 biol Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
MehrHöhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analsis Dr. I. Anapolitanos Dipl.-Math. Sebastian Schwarz SS 07.05.07 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Elektrotechnik und Informationstechnik
MehrEigenwerte und Eigenvektoren
Eigenwerte und Eigenvektoren Siehe Analysis (von der Hude, Folie 20: Definition 2.3. Ein Vektor x R n heißt Eigenvektor der quadratischen n n-matrix A zum Eigenwert λ R, wenn gilt Ax = λx Die Eigenwerte
MehrLineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Robert Labus Wintersemester 01/013 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten Definition Ist n N eine natürliche Zahl und a k R für k = 1;...; n, dann wird die Abbildung
MehrMathematik III Vorlesung 5,
Mathematik III Vorlesung 5, 03.11.2006 Markus Nemetz November 2006 1 Vorbemerkung Prof. Panholzer hat die illustrierenden Beispiele aus der zur VO empfohlenen Lektüre gebracht - sie sind hier nicht angeführt.
MehrMusterlösungen Online Zwischentest - Serie 10
D-MAVT, D-MATL Analysis II FS 2013 Prof. Dr. P. Biran Musterlösungen Online Zwischentest - Serie 10 Frage 1 [Prüfungsaufgabe Frühling 2011)] Sei das Vektorfeld in R 3, ( x v(x,y,z) = 2, x+y ),0 2 und der
MehrTechnische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS 03/04 Eppler, Richter, Scherfner, Seiler, Zorn 7. April 2004
B Technische Universität Berlin Fakultät II Institut für Mathematik WS 03/04 Eppler, Richter, Scherfner, Seiler, Zorn 7. April 2004 April Klausur (Rechenteil Lösungen Lineare Algebra für Ingenieure Name:.......................................
Mehrcos(x)cos(2x)cos(4x) cos(2 n x) = sin(2n+1 x) 2 n+1 sin(x) = sin(2n+2 x) 2 n+2 sin(x).
Stroppel/Sändig Musterlösung 8. 3., min Aufgabe 5 Punkte Beweisen Sie für alle x R {zπ z Z} die Formel für n N mit Hilfe der vollständigen Induktion. cosxcosxcosx cos n x = sinn+ x n+ sinx Dabei dürfen
Mehr6. Lineare DGL-Systeme erster Ordnung
HJ Oberle Differentialgleichungen I WiSe 22/3 6 Lineare DGL-Systeme erster Ordnung A Allgemeines Wir betrachten ein lineares DGL System erster Ordnung y (t = A(t y(t + b(t (6 und setzen voraus, dass die
MehrTutorium Mathematik II M WM
Tutorium Mathematik II M WM 9.6.7 Lösungen Lösen Sie folgende Systeme von Differentialgleichungen der Form x = A x + b mit. A = 6 und b = et. e t Hinweis: Die Eigenwerte und -vektoren der Matrix A lauten:
MehrHöhere Mathematik für Ingenieure 2
Prüfungklausur (B) zum Modul Höhere Mathematik für Ingenieure 2 25. Juli 29, 3. - 7. Uhr (2.Termin) Aufgabe : - Lösungen zum Theorieteil - Geben Sie eine Funktion f : R 2 R an, für die die Niveaumenge
Mehrx 2 y + xp(x)y + q(x)y = 0, (1) wobei p(x) = Satz: Falls ρ 1, ρ 2 R, mit ρ 1 ρ 2 so gibt es für 0 < x < R ein Fundamentalsystem von (1) der Gestalt
Kurze Zusammenfassung der Vorlesung 6 Am Anfang werden wir einbisschen mehr den Potenzreihenansatz besprechen. Abgewandelter Potenzreihenansatz In Verallgemeinerung der Eulerschen Differentialgleichung
MehrLösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 2012/2013 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik
Lösungsvorschläge zum 4. Übungsblatt, WS 202/203 Höhere Mathematik III für die Fachrichtung Physik Aufgabe 6 Bei allen Aufgabenteilen handelt es sich um (homogene bzw. inhomogene) lineare Differentialgleichungen
MehrBestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems. y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x. y(0) = y (0) = 0.
Aufgabe Bestimmen Sie die Lösung des Anfangswertproblems y (x) 4y (x) 5y(x) = 6e x y(0) = y (0) = 0. Zunächst bestimmen wir die Lösung der homogenen DGL. Das charakteristische Polynom der DGL ist λ 2 4λ
MehrRandwertprobleme. Kapitel 7. Randwertprobleme für lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung
Kapitel 7 Randwertprobleme Anwendungsbeispiel: Temperaturverteilung in einem dünnen Stab mit isolierter Oberfläche. u(x) : Temperatur im Stab an der Stelle x, x ; L. Im Gleichgewichtszustand genügt u der
MehrKleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA
Kleine Formelsammlung zu Mathematik für Ingenieure IIA Florian Franzmann 5. Oktober 004 Inhaltsverzeichnis Additionstheoreme Reihen und Folgen 3. Reihen...................................... 3. Potenzreihen..................................
MehrDie Differentialgleichung :
Die Differentialgleichung : Erstellt von Judith Ackermann 1.) Definition, Zweck 1.1) verschiedene Arten von Differentialgleichungen 2.) Beispiele und Lösungswege 2.1) gewöhnliche Differentialgleichungen
Mehr4.7 Lineare Systeme 1. Ordnung
3. Die allgemeine Lösung der inhomogenen Differentialgleichung lautet damit yx = y hom x + y inh x = c x + c 2 x + 8 x + 4 xlnx2 4 xlnx = C x + C 2 x + 4 xlnx2 4 xlnx. Wir haben c 2 + 8 zu C 2 zusammengefasst.
MehrAufgaben für die 14. Übung zur Vorlesung Mathematik 2 für Informatiker: Analysis Sommersemester 2010
Aufgaben für die 4. Übung zur Vorlesung Mathematik für Informatiker: Analysis Sommersemester 4. Bestimmen Sie den Flächeninhalt der dreiblättrigen Kleeblattkurve γ für ein Kleeblatt. Die Polarkoordinaten-
MehrAUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW
AUFGABENSAMMLUNG ZU VEKTORRECHNUNG FÜR USW Lineare Gleichungssysteme Lösen Sie folgende Gleichungssysteme über R: a) x + x + x = 6x + x + x = 4 x x x = x 7x x = 7 x x = b) x + x 4x + x 4 = 9 x + 9x x x
Mehr29.2 Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten Wir betrachten das homogene System. y = A y, t R, (1)
292 Lineare Differentialgleichungssysteme mit konstanten Koeffizienten Wir betrachten das homogene System y = A y, t R, ( wobei A C n n, und wollen ein Fundamentalsystem bestimmen Grundlegende Beobachtung:
Mehr9 Lineare Differentialgleichungen
$Id: lineartex,v 3 //8 ::37 hk Exp hk $ 9 Lineare Differentialgleichungen 9 Homogene lineare Differentialgleichungen Wir beschäftigen uns gerade mit den homogenen linearen Differentialgleichungen, also
MehrPrüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3
Prüfungsvorbereitungskurs Höhere Mathematik 3 Gewöhnliche Differentialgleichungen Marco Boßle Jörg Hörner Mathematik Online Frühjahr 2011 PV-Kurs HM 3 Gew. DGl 1-1 Zusammenfassung y (x) = F (x, y) Allgemeine
MehrD-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 23
D-MAVT/D-MATL Analysis II FS 2017 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 23 1. Gegeben ist eine lineare und homogene Differenzialgleichung, welche y : sin als Lösung besitzt. Welche der folgenden Aussagen
MehrHausaufgabe 2: Differenzialgleichungen n-ter Ordnung
Höhere Mathematik II für den Studiengang BAP Hausaufgabe 2 04.11.2008 1 Hausaufgabe 2: Differenzialgleichungen n-ter Ordnung Lösungen 1. Geben Sie die allgemeine Lösung der folgenden Differenzialgleichungen
MehrAnalysis 4. Lösungsvorschlag zum 12. Übungsblatt
Karlsruher Institut für Technologie Institut für Analysis Dr. Christoph Schmoeger Dipl.-Math. Andreas Geyer-Schulz SS 208. Juli 208 Analysis 4 Lösungsvorschlag zum 2. Übungsblatt Aufgabe 42 Wir untersuchen
MehrKlausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften
Fachbereich Mathematik der Universität Hamburg WiSe 14/15 Dr. Hanna Peywand Kiani 06.07.2015 Klausurberatung Differentialgleichungen I für Studierende der Ingenieurwissenschaften Die ins Netz gestellten
MehrKlausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8
Dr. Erwin Schörner Klausurenkurs zum Staatsexamen (WS 2016/17): Differential und Integralrechnung 8 8.1 (Herbst 2012, Thema 2, Aufgabe 5) Bestimmen Sie die allgemeine Lösung der Differentialgleichung (
Mehr3 Lineare Differentialgleichungen
3 Lineare Differentialgleichungen In diesem Kapitel behandeln wir die allgemeine Theorie linearer Differentialgleichungen Sie werden zahlreiche Parallelen zur Theorie linearer Gleichungssysteme feststellen,
Mehr(n + 1)2. + n. ((n 1) + 1)2. = (n2 + 2n) A = 21 13
Universität Stuttgart Fachbereich Mathematik Prof. Dr. E. Teufel, Dr. N. Röhrl, J. Spreer MUSTERLÖSUNG FÜR KLAUSUR Mathematik inf / sotech / tpinf Aufgabe 1 (4 Punkte) Zeigen Sie, dass für alle n gilt
MehrHöhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen
Karlsruher Institut für Technologie (KIT) Institut für Analysis Priv.-Doz. Dr. Gerd Herzog Dipl.-Math. Carlos Hauser SoSe 7 7.7.7 Höhere Mathematik II (Analysis) für die Fachrichtung Informatik - Lösungen.
Mehr