Kapitel 2 FUNKTIONEN

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1 Kapitel FUNKTIONEN Fassung vom 3. Dezember 5 Mathematik für Humanbiologen und Biologen 3

2 . Der Funktionsbegri. Der Funktionsbegri BEISPIEL Carlson hat 93 die Vermehrung von Hefezellen in einer Gär üssigkeit untersucht. So ein Experiment beschreibt folgende Tabelle, wobei t die Zeit in Stunden und V (t) das Verhältniss des Volumenteiles zur Zeit t zur Anfangsvolumenteil der Hefe ist: t V :8 :9 3 4:7 4 7: 5 :9 6 7:5 7 5:7 8 35: 9 44: t V 5:3 56: 59:5 3 6:9 4 64: 5 65:6 6 65:6 7 65:7 8 66: 9? V t Wir werden dieses Beispiel in 3.4 und 8.4 weiter behandeln. Zu jeder Zeit t zwischen und dem Abbruch des Experimentes gehört natürlich ein eindeutiger Wert für V und so ist es ganz natürlich, dass in der graphischen Veranschaulichung in einem rechtwinkligem Koordinatensystem außer den Messwerten auch für die übrigen Zeiten 4 FUNKTIONEN

3 Der Funktionsbegri. t ein geschätzter Wert für V eingetragen ist. Im Allgemeinen ist es keineswegs selbstverständlich, daßdabei eine durchzogene Linie die qualitativ richtige Beschreibung wiedergibt. Dazu ein weiteres Beispiel: BEISPIEL 8 Studenten in einer Eisdiele: t in Monaten Gemeinsam an diesen Beispielen ist, daßeine Größe (Konzentration, Anzahl) eindeutig von einer anderen Größe (Zeit) abhängt.genauer: DEFINITION Eine Funktion f ist eine Vorschrift f : D f! R : x 7! f (x), die jeder Zahl x aus einer Teilmenge D f von R, der De nitionsmenge, eine und nur eine reelle Zahl f (x) zuordnet. Dieser Wert f (x) heißt Funktionswert von f im Punkte x. Die Menge W f := ff (x) j x D f g aller Funktionswerte von f heißt Wertemenge. Eine Funktion wird meistens durch eine Funktionsgleichung de niert, d.h f (x) kann aus einer Formel und der Angabe von x berechnet werden. BEMERKUNG Funktionale Abhängigkeiten sind zentral in den Naturwissenschaften. Ihre mathematische Beschreibung erfolgt in einem Modell mit einem bestimmten Erfahrungsbereich, der i.a. eine echte Teilmenge des De nitionsbereichs der Funktion ist. Funktionen sind manchmal als Standardfunktionen direkt angebbar, manchmal sind sie erst als Lösungen von mathematischer Beschreibung der Gesätzmäßigkeiten, z.b. ein Wachstumsgesetz, die den Naturvorgängen zugrunde liegen, beschreibbar. Wir werden Klassen von solchen Standardfunktionen in den nächsten beiden Kapitel betrachten und werden dann Di erentialgleichungen aufstellen und zu lösen suchen. Wichtig sind noch graphische Methoden, die direkt aus einer Messreihe auf zugeordnete Funktionen schließen lassen (vgl. Beispiel, Vermehrung von Hefezellen). Vom Graphen sind dadurch endlich viele Punkte in der Ebene gegeben, manchmal interpoliert man zwischen diesen Werten um ein kontinuierliches Modell zu bekommen. Dabei wird man - durch Variablentransformationen - die Darstellung zu linearen Funktionen zurückzuführen. Auf diese Weise lassen sich z.b. auch der Ein ußder unvermeidbaren Meßfehler verkleinern. In beiden Fällen wird i.a. eine möglichst einfache Funktionsgleichung gesucht, die das Bildungsgesetz bzw. die Meßreihe gut approximiert. FUNKTIONEN 5

4 . Der Funktionsbegri Es gibt aber auch Größen, die nicht funktional voneinander abhängen, wie die menschliche Augenfarbe von der Windgeschwindigkeit. BEISPIEL 3 kann auch durch oder kürzer durch angeben weden. Es gilt Die Funktion Quadrieren f : R! R : x 7! x D f := R und f (x) := x f (x) := x ; x R W f = R + = fy R j y > g. BEISPIEL 4 Die Funktion f : R! R : x 7! wird auch durch D f := R und f (x) = + x falls + x falls gegeben. Es gilt W f = [ ; [ := fy R j y > g. x < x > x < x > Eine Funktion f kann man durch ihren Graph Gr f darstellen. Dies ist die Menge aller Punkte in der Ebene mit den Koordinaten (x; f (x)) für x D f, d.h. Gr f := f(x; f (x)) j x D f g = (x; y) R x D f und y = f (x). Die Gleichung y = f (x) wird als Gleichung des Graphen oder als Funktionsgleichung von f bezeichnet. 6 FUNKTIONEN

5 Der Funktionsbegri. Es gilt also (x; y) Gr f () y = f (x). Gr f (x;f(x)) f(x) x (x;y) y FUNKTIONEN 7

6 . Einfache Klassen von Funktionen. Einfache Klassen von Funktionen A ne Funktionen Diese Funktionen sind durch eine Funktionsgleichung der Gestalt D f := R und f (x) := c x + b für Konstanten c; b R bestimmt. Der Graph ist eine Gerade und wird durch zwei Punkte in der Ebene (x ; y ) und (x ; y ) mit x 6= x festgelegt. Die Steigung c und der Abszissenabschnitt b sind durch gegeben. c := y y x x und b := y x y x x x = y j c x j für j = ; Ist speziell b =, d.h. f (x) = c x, so heißt f (x) proportional zu x mit Proportionalitätskonstante c. Der Graph ist eine Gerade durch den Ursprung und wird durch einen Punkt (x ; y ) mit x 6= in der Ebene festgelegt. Für die Steigung gilt So eine Funktion nennt man linear. c = y x. BEISPIEL Der Wasserdruck p ist eine a ne Funktion der Eintauchtiefe d. Dabei gilt in Meerwasser p = c d + mit c = ; 94 bar m. Damit lebt ein Tiefsee sch in m Tiefe unter einem Wasserdruck von 95 bar, also dem 95-fachem des atmosphärischen Druckes. 8 FUNKTIONEN

7 Einfache Klassen von Funktionen. BEISPIEL Die Sto menge n einer Lösung ist proportional zum Volumen V n (V ) = c V, wobei c die Konzentration ist. BEISPIEL 3 Bei der gleichförmigen Bewegung ist die zurückgelegte Strecke s proportional zur Zeit t s (t) = v t, wobei v die Geschwindigkeit ist. Potenzfunktionen Dieses sind Funktionen der Form f (x) := c x n ; x R, wobei c R und n N ist. Da f (x) zu x n proportional mit Proportionalitätskonstante c ist, liegen die Punkte (x n ; f (x)) auf einer Geraden durch den Ursprung mit der Steigung c. Dies liefert einen graphischen Test, bei dem man die Konstante c ablesen kann. BEISPIEL 4 Dissoziation von Propionsäure C 3 H 6 O (Konservierungssto E 8 ). Sei c die Konzentration der Säure und x die Konzentration der H 3 O + -Ionen. Man misst folgende Abhängigheit : c : :5 : :3 3 x :5 :4 :6 :99 ( 3 x) :3 :96 :6 3:96 Anhand dieser Zahlen vermutet man, daßc zu x proportional ist, d.h. c (x) = a x FUNKTIONEN 9

8 . Einfache Klassen von Funktionen Polynome Diese Funktionen entstehen durch Addition aus Potenzfunktionen P (x) = a n x n + a n x n + a n x n + : : : + a x + a = nx a k x k mit n N und a ; a ; : : : ; a n R. Falls a n 6= ist, sagt man daßn der Grad des Polynoms ist. Quadratische Funktionen Der Graph der Funktion ist eine Parabel. Lösung der quadratischen Gleichung Die (zwei) Lösungen in R sind f : R! R : x 7! a x + b x + c mit a 6= a x + b x + c =. x = b p b 4ac a falls b 4ac > Falls b 4ac < treten komplexen Zahlen auf. Man erhält diese Lösungsformel durch äquivalente Umformung der quadratischen Gleichung mittels quadratischer Ergänzung : a x + b x + c = k= x + b a x + c a = x + b b b a x + = a a c a x + b = b a 4a 4ac 4a = b 4ac 4a x + b r b a = 4ac 4a p b 4ac = a x = b p b 4ac a Daraus folgt, daßdie quadratische Gleichung für b 4ac > zwei, für b 4ac = eine und für b 4ac < keine Lösungen in R besitzt. 3 FUNKTIONEN

9 Einfache Klassen von Funktionen. Für a > erhält man folgende Graphen der quadratischen Funktion f : b 4ac > b 4ac = b 4ac < Man kann auch f (x) = a x + b x + c = a x + b + c a b 4a schreiben. Aus dieser Darstellung liestman alle wesentlichen Eigenschaften von f ab: Für x = b ist f minimal, d.h. b ; c b ist der Scheitelpunkt der Parabel. f ist zwischen den a a 4a Nullstellen x und x + negativ : fx R j f (x) 6 g = x R x + p p 6 q = fx R j x 6 x 6 x + g =: [x ; x + ] : Man sieht auch, daßman den Graphen von dieser Funktion aus dem von x 7! ax durch Verschiebung um b in x-richtung und um c b in y-richtung erhält. a 4a Rationale Funktionen Diese Funktionen entstehen durch Quotientenbildung von Polynomen P Q wobei P und Q Polynome sind. : fx R j Q (x) 6= g! R : x 7! P (x) Q (x), BEISPIEL 5 Bei Enzymreaktionen wird ein Substrat X in ein Produkt P mit Hilfe eines Enzyms E umgewandelt, z.b. eine Gär üssigkeit in Alkohol durch Hefe. Für die Geschwindigkeit v des Abbaus von X in Abhängigkeit der Substratkonzentration x (bei konstanter Enzymkonzentration) gilt nach Michaelis und Menten (93) v (x) = Ax k + x + Rx für x R +, wobei A > die maximal mögliche Abbaugeschwindigkeit, k > die Dissoziationskonstante und R > den Grad der Hemmung durch Substratüberschußangibt. Bei vielen Reaktionen ist R klein gegen, R und kann vernachlässigt werden. Dies bedeutet, daßdie Wirkung des Enzyms nur wenig von dem Mengenverhältnis Enzym zu Substrat abhängt. FUNKTIONEN 3

10 . Einfache Klassen von Funktionen Man erhält z.b. folgende Graphen : A =, k = :5 und R = A = 3, k = 9 und R = 4 Betragsfunktion 8 < jj : R! R : x 7! jxj := : x 6 x falls x x < Der Betrag jxj von x gibt den Abstand in R des Punktes x zum Nullpunkt an. Umgekehrte Proportionalität. Für c R betrachtet man die Funktion f : ]; [! R : x 7! c x Man sagt, daßf (x) umgekehrt proportional zu x mit Proportionalitätskonstante c ist. Der Graph von f ist durch f(x; y) R + R y = c x g = f(x; y) R + R x y = cg gegeben. Es ist eine Hyperbel. BEISPIEL 6 Bei einem idealen Gas von n mol ist der Druck p proportional zu n, zur Temperatur T und umgekehrt proportional zum Volumen V : p = n R T, V wobei R = 8:3 J K mol die ideale Gaskonstante ist.. 3 FUNKTIONEN

11 Umkehrfunktionen.3.3 Umkehrfunktionen In dem Michalis-Menten-Modell für Enzymreaktionen ist die Reaktionsgeschwindigkeit v in Abhängigkeit von der Konzentration x gegeben. In manchen Fällen möchte man jedoch aus einer bekannten Geschwindigkeit v die Konzentration x bestimmen. Dies führt auf die Frage, ob sich x aus v eindeutig bestimmen läßt, und allgemein zu DEFINITION Eine Funktion f : D f! R : x 7! f (x) heißt umkehrbar, wenn jeder Funktionswert y W f nur einmal auftritt, d.h. es gibt genau ein x D f mit f (x) = y. Bezeichnet man dieses x mit f (y), so wird durch die Vorschrift f : W f! R : y 7! f (y) die Umkehrfunktion de niert. Es gilt also dann y = f (x) ; x D f () x = f (y) ; y D f = W f. Die Funktionsgleichung der Umkehrfunktion x = f (y) ensteht aus der Funktionsgleichung y = f (x) durch Au ösen nach x. BEISPIEL Die Funktion R! R : x 7! x ist nicht umkehrbar, da y = 4 Funktionswert zu x = und x = ist R! R : x 7! x FUNKTIONEN 33

12 .3 Umkehrfunktionen BEISPIEL ist umkehrbar, da zu Die Funktion f : R +! R : x 7! x y = x und x > x = p y und y > äquivalent ist. Also ist die Umkehrfunktion f von f durch gegeben. f : R +! R : y 7! p y 3 3 x 7! x und x 7! p x BEISPIEL 3 Im Michaelis-Menten Modell (Beispiel..3) ist die Geschwindigkeitsfunktion v genau dann umkehrbar, wenn R = ist, wie eine einfache Rechnung zeigt. Ist R 6=, so gibt es zu einem gegebenen v i.a. zwei verschiedene Konzentrationen x und x mit v (x ) = v = v (x ). Es gilt HAUPTSATZ Sei f eine unkehrbare Funktion. (i) Der Graph der Umkehrfunktion f von f ensteht durch Spiegelung an der Winkelhalbierenden. (ii) Eine Wertetabelle von f entsteht aus einer Wertetabelle von f durch Vertauschung der Spalten. Es gilt (x; y) Gr f () y = f (x) () x = f (y) () (y; x) Gr f. Die Vertauschung von x und y entspricht die Spiegelung an der Winkelhalbierenden. 34 FUNKTIONEN

13 Umkehrfunktionen.3 x f (x) x y x y.. y f (y) y x y x.. DEFINITION Eine Funktion f : D f! R heißt streng monoton wachsend bzw. fallend, wenn für alle x ; x D f mit x < x folgt f(x ) < f(x ) bzw. f(x ) > f(x ). BEISPIEL 4 Die Funktion R! R : x 7! x 3 ist streng monoton wachsend. BEISPIEL 5 Die Funktion R +! R : x 7! x ist streng monoton fallend x 7! x 3 x 7! x SATZ Ist eine Funktion f streng monoton wachsend oder fallend, so ist sie umkehrbar. FUNKTIONEN 35

14 .4 Variablenänderungen.4 Variablenänderungen Wie wir schon im Beispiel.. gesehen haben, benutzt man Graphiken, in denen man nicht die Variable x, sondern die Werte einer Funktion von x aufträgt, um den Graph der untersuchten Funktion in eine Gerade zu transformieren. In diesen Beispielen war es ( 3 x). Es ist auch nützlich, eine solche Transformation auf dem Wertebereich zu machen. DEFINITION Seien (x; y) die Variablen eines Koordinatensystems. Eine Variablenänderung ist die Angabe von zwei umkehrbaren Funktionen g und h, die durch die Gleichung ihres Graphen u = g (x) und v = h (y) gegeben sind. Das Koordinatensystem mit den Variablen (u; v) nennt man das transformierte Koordinatensystem. Wir schließen nicht aus, daßdie De nitionsmenge der Funktionen g und h nicht R sind, d.h. daßdie Variablen x; y sowie u; v eingeschränkt sein können. Die Umkehrbarkeit bedeutet, daßman x in Abhängigkeit von u sowie y in Abhängigkeit von v ausdrücken kann. ANWENDUNG Sei f : D f! R eine Funktion, die durch die Gleichung ihres Graphen y = f (x) (y) gegeben ist. Man sucht eine Variablenänderung u = g (x) und v = h (y), (yy) so daßdurch Einsetzen in () eine äquivalente Gleichung der Gestalt v = a u + b hervorgeht. BEISPIEL durchgeführt. Im Beispiel.. haben wir die Variablenänderung u = 3 x und v = c BEISPIEL Sei Die Gleichung des Graphen ist also f : ]; [! R : x 7! c x. y = c x. () 36 FUNKTIONEN

15 Variablenänderungen.4 Führt man die Variablenänderung durch, so ist () zu u = x und v = y v = c u äquivalent. Die Punkte (x; f (x)) liegen auf einer Hyperbel; dagegen liegen die Punkte ; f (x) x auf einer Geraden durch den Ursprung mit der Steigung c. Dies liefert einen graphischen Test um festzustellen, ob eine durch eine Wertetabelle gegebene Funktion eine umgekehrte Proportionalität ist. Die Konstante c kann man in dieser Graphik ablesen c = :5 BEISPIEL 3 Sei f : R +! R : x 7! A x k + x Diese Gleichung ist äquivalent zu Durch die Variablenänderung y = A x k + x. gegeben, d.h. y = k + x A x = k A x + A. () u = x und v = y ist () äquivalent zu v = k A u + A. FUNKTIONEN 37

16 .4 Variablenänderungen Verkettung von Funktionen Mit dem folgenden Begri, von dem wir später auch Gebrauch machen werden, kann man obiges Einsetzen von (yy) in (y) formal aufschreiben. Seien f : D f! R und g : D g! R zwei Funktionen mit W f D g. Dann ist für jedes x D f die Zahl f (x) in D g, also ist g (f (x)) de niert und somit D f! R : x 7! g (f (x)) eine Funktion. DEFINITION Diese Funktion wird mit g f bezeichnet, also g f : D f! R : x 7! g (f (x)), und heißt zusammengesetzte oder verkettete Funktion. BEMERKUNG Ist f : D f! W f eine Umkehrbare Funktion und f : W f! D f die Umkehrabbildung, so gilt f f (x) = f (f (x)) = x und f f (y) = f für alle x D f und y W f. f (y) = y ANWENDUNG Um (yy) in (y) einsetzen zu können, mußman zuerst Au ösen, d.h. x in Abhängigkeit von u sowie y in Abhängigkeit von v ausdrücken : Durch Einsetzen bekommt man und schließlich x = g (u) und y = h (v). h (v) = f g (u) v = h h (v) = h f g (u) = h f g (u). Die verkettete Funktion hf g mußalso durch geeignete Wahl der Variablenänderung u = g (x) und v = h (x) die einfache Form erhalten. h f g : u 7! a u + b 38 FUNKTIONEN