Anwendungen von Akustiksimulationen mittels Finite Elemente und Randelemente für elektromechanische Wandler

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1 Anwendungen von Akustiksimulationen mittels Finite Elemente und Randelemente für elektromechanische Wandler Alfred J. Svobodnik NAD - Numerical Analysis and Design GmbH & Co KG Landskrongasse 5 A-1010 Wien as@nadwork.at Zusammenfassung: Dieser Beitrag bietet einen Überblick über Anwendungen von Akustiksimulationen für die Entwicklung von elektromechanischen Wandlern unter Einsatz von Finiten Elementen und Randelementen. Derartige Wandler werden üblicherweise für Lautsprechersysteme und Mikrofonsysteme eingesetzt. Zunächst werden lineare, statische Berechnungen gezeigt, mit denen bereits erste akustische Parameter abgeleitet werden können. In weiterer Folge werden nichtlineare, statische Analysen gezeigt, mit denen Aussagen über eine wichtige Kenngröße für elektromechanische Wandler, dem Klirrfaktor, getroffen werden können. Im Rahmen von dynamischen Analysen, zunächst im Vakuum, wird gezeigt welche prinzipiellen dynamischen Eigenschaften analysiert werden können. Schließlich werden gekoppelte Fluid-Struktur Analysen gezeigt, inklusive der Erfassung viskothermischer Effekte, mit denen eine effiziente Vorausberechnung des Gesamtsystems möglich ist. Der Schwerpunkt dieses Beitrags liegt in der Schaffung eines Überblickes für den Praktiker. Im Literaturverzeichnis werden Publikationen angeführt die für eine weiterführende Vertiefung, insbesondere in Hinblick auf theoretische Grundlagen, geeignet sind

2 1. Einleitung Wie in vielen anderen technischen Disziplinen werden auch im Bereich der Akustik zur Verkürzung der Entwicklungszeiten verstärkt Simulationsverfahren eingesetzt. In den letzten beiden Jahrzehnten hat sich dabei insbesondere der Einsatz von Finiten Elementen und Randelementen durchgesetzt. In den meisten Fällen wurden diese Verfahren für die Vorausberechnung von Akustikeigenschaften im Sinne von Lärm entwickelt. Dabei werden auch vielfach gekoppelte Fluid-Struktur Berechnungen durchgeführt, mit der die Lärmentstehung durch eine schwingende Struktur und die Ausbreitung von Schallwellen in einem die Struktur umgebenden akustischen Medium erfasst werden kann. Diese Verfahren können aber auch für Akustikberechnungen im Sinne der Berechnung von Klangeigenschaften (Sound Engineering) eingesetzt werden. Ein Paradebeispiel stellen hier elektromechanische Wandler dar. Diese Wandler werden sowohl für Lautsprechersysteme als auch Mikrofonsysteme eingesetzt. Vor allem durch den Aufschwung der Telekomindustrie durch die Mobiltelefonie kam es hier in den letzten Jahren zu bemerkenswerten technischen Fortschritten die auch in weiterer Folge zu erwarten sind. Durch die geplanten erweiterten Einsatzgebiete von Mobiltelefonen, vor allem für Multimediadienste, sind verbesserte Akustikeigenschaften von entscheidender Bedeutung. Mobiltelefone werden künftig nicht nur Sprachinformationen übertragen, sondern auch Musik. Damit ändern sich grundlegend die technischen Anforderungen an die Akustiksysteme. Für die Optimierung der Akustikeigenschaften von elektromechanischen Wandlern ist einerseits die Formgebung der Membran als auch die Interaktion der schwingenden Membran mit Lufträumen von entscheidender Wichtigkeit. Für diese Optimierung werden in den letzten Jahren verstärkt Berechnungen mit Finiten Elementen und Randelementen durchgeführt, um so den Entwicklungsprozess sowohl in der Qualität als auch im erforderlichen Zeitaufwand zu verbessern. Im folgenden werden daher Beispiele aus der Praxis, allerdings in reduziertem Detaillierungsgrad, über den Einsatz von Finiten Elementen und Randelementen für die Berechnung elektromechanischer Wandler gegeben. 2. Statische Berechnungen In diesem Abschnitt werden zunächst statische Berechnungen gezeigt. Im ersten Augenblick wird man sich vielleicht wundern, dass statische Berechnungen überhaupt verwendet werden, da akustische Effekte ja ein typisches dynamisches Problem darstellen. Allerdings lassen sich durch statische Betrachtungen bereits erste Aussagen über die akustischen Eigenschaften von elektromechanischen Wandlern, insbesondere dem System Membran/Spule, treffen. 2.1 Lineare, statische Berechnungen Ein wesentlicher, die akustischen Eigenschaften bestimmender Parameter von elektromechanischen Wandlern ist die Grundresonanzfrequenz im Vakuum des schwingungsfähigen Systems Membran/Spule. Dabei wird eine Spule, die Teil des elektromagnetischen Systems ist, mit einer Membran verbunden (z.b. durch Klebung). Das System Membran/Spule wird dann zusammen mit dem elektromagnetischen System in ein entsprechendes Gehäuse eingebaut (siehe Bild 1). Bild 1 Beispiel für elektromechanischen Wandler (Lautsprechersystem eines Mobiltelefons) - 2 -

3 Die Ermittlung der Grundresonanz im Vakuum kann durch die Relation von Steifigkeit und Masse ermittelt werden. Die Masse kann üblicherweise relativ einfach über die Beschreibung der Geometrie, die zumeist mittels CAD- System erfolgt, ermittelt werden. Die Ermittlung der Steifigkeit ist aufgrund der Komplexität der Geometrie ein klassischer Anwendungsfall einer strukturmechanischen linearen, statischen Finite Elemente Berechnung. Dabei wird die Membran mittels Schalenelementen und die Spule mittels 3D Volumselementen (oder auch mittels Schalenelemente) modelliert (siehe Bild 2). Die Anbindung an das Gehäuse an der Berandung der Membran wird mittels fester Einspannung realisiert. Schließlich wird auf die Spule eine Kraft aufgebracht, und die Verschiebung des Systems ermittelt. Damit kann die Steifigkeit durch Relation von Kraft und Verschiebung ermittelt werden, und somit eine erste Abschätzung der Grundresonanz berechnet werden. Bild 2 Finite Elemente Netz des Systems Membran/Spule 2.2 Nichtlineare, statische Berechnungen Im vorhergehenden Abschnitt wurde vorausgesetzt, dass die Verschiebungen derart klein sind, dass ein linearer Zusammenhang zwischen Kraft und Verschiebung vorausgesetzt werden kann. Um allerdings der Forderung von hohen Schalldruckpegeln bei kleinen Abmessungen, insbesondere für Mobiltelefone, nachkommen zu können, müssen möglichst große Auslenkungen des Systems Membran/Spule zugelassen werden. Typischerweise können diese Auslenkungen bis zu 10% der charakteristischen Bauteilabmessungen (Durchmesser der Membran) betragen. Dabei werden üblicherweise die Grenzen einer linearen Theorie überschritten. Es gilt also den nichtlinearen Zusammenhang zwischen Kraft und Auslenkung zu berücksichtigen. Diese nichtlinearen Verzerrungen werden auch Klirrfaktor genannt. In Bild 3 ist solch ein typischer Verlauf, berechnet im Rahmen einer geometrisch nichtlinearen Finite Elemente Analyse, ersichtlich. Bild 3 Nichtlinearer Zusammenhang zwischen Kraft und Verschiebung Limitiert man nun die Kraft auf den Faktor 0,2, sowohl in positiver als auch negativer Richtung, so ergibt sich ein Gesamtklirrfaktor on 2,8%. Lässt man hingegen die volle Kraft zu, so ergibt sich ein Gesamtklirrfaktor von 8,2%.Diese starke Erhöhung des Klirrfaktors ist insbesondere auf Stabilitätsprobleme (Durchschlagen bzw. Verzweigung) zurückzuführen

4 Auf das Erkennen des Stabilitätsverlustes soll hier nicht näher eingegangen werden. Zumeist sieht man derartige Punkte aufgrund einer starken Änderung des Kraft Verschiebungsverlaufs. In Bild 3 sieht man dies für den positiven Bereich bei einem Lastfaktor von 0,7 und für den negativen Bereich bei einem Lastfaktor von 0,65. Für den positiven Bereich handelt es sich in diesem Fall um ein Durchschlagsproblem und für den negativen Bereich um ein Verzweigungsproblem. Eine vereinfachte Ermittlung der Stabilitätsgrenzen ist im Rahmen einer klassischen Anfangsstabilitätsanalyse möglich. Dabei werden zunächst Verschiebungen im Rahmen einer linearen Analyse ermittelt, mit diesen wird die (nichtlineare) geometrische Steifigkeitsmatrix ermittelt, und schließlich ein Eigenwertproblem basierend auf der linearen Steifigkeitsmatrix und der (nichtlinearen) geometrischen Steifigkeitsmatrix (ermittelt mit linearen Verschiebungen) gelöst. Dabei erkennt man, dass sich für die gegebene Anordnung für eine positive Auslenkung (siehe Bild 4) eine gänzlich unterschiedliche Form des Stabilitätsverlustes als für eine negative Auslenkung (siehe Bild 5) ergibt. Bild 4 Eigenform des Durchschlagproblems bei einem Lastfaktor von 0,92 Bild 5 Eigenform des Verzweigungsproblems bei einem Lastfaktor von 0,84 Allerdings muss hier angemerkt werden, dass die klassische Anfangsstabilitätsanalyse nur lineare Vorbeuldeformationen berücksichtigt. Die Genauigkeit der Ergebnisse hängt somit von der Größe der Vorbeuldeformationen ab. Vergleicht man nun die Ergebnisse der klassischen Anfangsstabilitätsanalyse mit denen der geometrisch nichtlinearen Berechnung, so erkennt man sofort den Fehler, und somit den Einfluss der Vorbeuldeformationen. 3. Dynamische Berechnungen im Vakuum In diesem Abschnitt werden dynamische Analysen, zunächst im Vakuum, gezeigt. Die Interaktion des schwingungsfähigen Systems Membran/Spule mit der Luft wird also nicht berücksichtigt. Im wesentlichen handelt es sich hier um dynamische Finite Elemente Berechnungen wie aus dem Bereich der Strukturdynamik bekannt

5 3.1 Ermittlung von Eigenfrequenzen im Vakuum Wie bereits erwähnt sind die Resonanzfrequenzen im Vakuum des Systems Membran/Spule, vor allem die niedrigsten, von entscheidender Wichtigkeit für die akustischen Eigenschaften eines elektromechanischen Wandlers. Es ist daher naheliegend, die Resonanzfrequenzen freier Schwingungen dieses Systems mittels Finite Elemente zu ermitteln. Prinzipiell wird dabei das gleiche Modell wie in Abschnitt 2 verwendet. Typische Eigenformen sind dabei in Bild 6 bis Bild 9 ersichtlich. Von besonderer Wichtigkeit sind hierbei die zu verwenden Materialparameter (wie auch für statische Berechnungen), z.b. der Elastizitätsmodul des Membranmaterials. In der Regel sind dabei die Herstellerangaben nicht gut zu gebrauchen, da diese den Herstellprozess der Membran nicht berücksichtigen. Es empfiehlt sich daher eine Kalibrierung der Materialparameter durch Vergleich mit Messungen für die niedrigste Eigenform durchzuführen. Bild 6 1. Eigenform des Systems Membran/Spule ( Piston Mode ) Bild 7 2. Eigenform des Systems Membran/Spule ( Rocking Mode ) Bild 8 4. Eigenform des Systems Membran/Spule ( Egg Mode ) Bild 9 9. Eigenform des Systems Membran/Spule - 5 -

6 3.2 Ermittlung von Frequenzgängen im Vakuum Aufbauend auf den Ergebnissen des vorangegangenen Abschnitts können auch dynamische Berechnungen im Vakuum unter Berücksichtigung einer Erregung durchgeführt werden. Typischerweise werden hier Berechnungen im Frequenzbereich auf Basis einer modalen Superposition unter Berücksichtigung der Resonanzfrequenzen durchgeführt. Die Erregung im Sinne einer elektromagnetischen Kraft wird hier zumeist als Einheitserregung, konstant über den Frequenzverlauf wirkend auf die Spule, in das System eingebracht. Als interessanten Parameter kann hier der Verlauf des von der Membran verdrängten Volumens unter Berücksichtigung der Verschiebungen in axialer Richtung über die Frequenz ermittelt werden (siehe Bild 10). Bild 10 Verlauf des verdrängten Volumens im Vakuum 4. Dynamische Berechnungen in einem akustischen Medium (Fluid-Struktur Interaktion) In diesem Abschnitt erfolgt nun ausgehend von den bisher gezeigten Modellen eine Erweiterung der Simulationsmodelle um die Interaktion der schwingenden Struktur mit einem die Struktur umgebenden akustischen Fluid (Fluid-Struktur Koppelung), in diesem Fall Luft. Dabei erfolgt die Beschreibung der Struktur mittels Finite Elemente und die Beschreibung des Fluids (Luft) mittels Randelemente. Naheliegend ist zunächst die Berechnung des Systems Membran/Spule in Luft. Dabei wird lediglich der Bereich der Membran zusätzlich zu Finiten Elementen (Schalenelemente) mit Randelementen (Mittelflächenelemente) diskretisiert (siehe Bild 11). Bild 11 Finite Elemente und Randelemente Netz für Fluid-Struktur Koppelung - 6 -

7 Wir beschränken uns hier auf kompatible Netze Knoten der Schalenelemente sind identisch mit Knoten der Randelemente. Um den Diskretisierungsaufwand zu reduzieren sollten allerdings für die Struktur und das Fluid unterschiedliche Netze verwendet werden. Die Diskretisierung wird dabei primär durch die Wellenlänge bestimmt. Es zeigt sich dann, dass für das Fluid ein gröberes Netz verwendet werden kann. Durch die Berücksichtigung der Fluid-Struktur Interaktion ist es nun möglich an beliebigen Stellen des akustischen Mediums den Schalldruck zu ermitteln. Zumindest für den niedrigen Frequenzbereich zeigt sich eine gute Übereinstimmung zwischen dem verdrängten Volumen und dem Schalldruckpegel in einem Referenzpunkt (siehe Bild 12). Bild 12 Vergleich verdrängtes Volumen mit Schalldruck im Referenzpunkt In der Praxis wird nun der Frequenzgang des Wandlers gezielt durch angekoppelte Luftvolumen beeinflusst. Diese Zusatzvolumen können auch im Simulationsmodell berücksichtigt werden. Ein sehr einfaches Modell eines Zusatzvolumens ist in Bild 13 zu ersehen. Zumeist kann angenommen werden, dass das Gehäuse des Zusatzvolumens wesentlich steifer ist als das schwingungsfähige System Membran/Spule. In diesem Fall wird das Gehäuse des Zusatzvolumen nur mittels Randelemente diskretisiert. Bild 13 Finite Elemente und Randelemente Netz für Fluid-Struktur Koppelung mit Zusatzvolumen - 7 -

8 Durch die Ankoppelung des Systems Membran/Spule ergeben sich nun gänzlich unterschiedliche Verläufe für den Schalldruck im Referenzpunk (siehe Bild 14). Bild 14 Vergleich des Schalldruckverlaufes mit und ohne Zusatzvolumen In der Praxis werden auch Zusatzvolumen verwendet die nicht vollständig geschlossen sind, sondern über Öffnungen mit eingelegten, teildurchlässigen Gewebematerialien verfügen. Durch unterschiedliche Öffnungen und Gewebematerialien kann so gezielt der Frequenzgang beeinflusst werden. Dabei wird der Schalldurchgang durch das Gewebe über sogenannte (frequenzabhängige) Transferadmittanzen für Randelemente modelliert. In Bild 15 sind verschiedene Frequenzgänge zufolge verschiedener Gewebematerialien ersichtlich. Auch ein Vergleich zwischen Messung und Versuch ist dabei dargestellt. Man erkennt eine sehr gute Übereinstimmung der Simulationsmodelle mit Messungen. Bild 15 Vergleich zwischen Messung (links) und Simulation (rechts) für nicht vollständig geschlossene Zusatzvolumen Eine andere Möglichkeit diesen Frequenzgang zu beeinflussen besteht in der Verwendung mehrer Zusatzvolumen die durch Rohre miteinander verbunden sind. Dabei können auch viskothermische Verluste, wie sie in schmalen Rohren stattfinden, berücksichtigt werden. Unter schmalen Rohren versteht man hier Rohre, bei denen der Durchmesser viel kleiner als die Wellenlänge des akustischen Mediums ist. Ein Testbeispiel im Sinne eines Benchmarks zur Verifikation der Theorie ist in Bild 16 zusehen. In diesem Beispiel wurde die Membran (Schalenelemente und Randelemente für Fluid-Struktur Interaktion) im Sinne eines Einmassenschwingers modelliert, und auf der Oberseite des oberen Volumens platziert. Die zwei unterschiedlichen Zusatzvolumen, diskretisiert nur mittels Randelemente, das Gehäuse der Zusatzvolumen wird also als starr angenommen, werden mittels fünf dünner Rohre (Durchmesser entspricht 1/10 des Durchmessers der - 8 -

9 Zusatzvolumen), diskretisiert mittels linienförmiger akustischer Finite Elemente mit Berücksichtigung viskothermischer Effekte (sogenannte Viscotubes), verbunden. Bild 16 zeigt den unterschiedlichen Verlauf der Schnelle der Membran mit nur einem Zusatzvolumen und mit zwei Zusatzvolumen verbunden mit schmalen Rohren. Für die Frequenz von 530 Hz ist auch der Schalldruck dargestellt (linke Seite in Bild 16, dunkle Bereiche entsprechen hohen Schalldrücken und helle Bereiche entsprechen niedrigen Schalldrücken). Bild 16 Verlauf der Schnelle der Membran unter Berücksichtigung viskothermischer Effekte 5. Literaturverzeichnis Z.-S. Chen, G. Hofstetter und H. A. Mang, A symmetric Galerkin formulation of the boundary element method for acoustic radiation and scattering, Journal of Computational Acoustics, Vol. 5, No. 2 (1997), S Z.-S. Chen, G. Hofstetter und H. A. Mang, A Galerkin-type BE-FE formulation for elasto-acoustic coupling, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 152 (1998), S M. Opitz und A. J. Svobodnik, Elasto-acoustic simulations of microphone membranes, NAFEMS Seminar Computational Acoustics, Wiesbaden, 1999 A. J. Svobodnik, Z.-S. Chen und E. Schnabler, Practical applications using NADwork/Acoustics, NAFEMS Seminar Computational Acoustics, Wiesbaden, 1999 Z.-S. Chen, A. J. Svobodnik und G. Hofstetter, A Coupled FE/BE Method for Elasto-acoustics: Formulations and Applications, Seventh International Congress on Sound and Vibration, Garmisch-Partenkirchen, 2000, S A. J. Svobodnik, Z.-S. Chen, E. Schnabler und C. Zinner, Fluid-Structure Interaction in Computational Acoustics Including Viscothermal Wave Propagation Using Finite and Boundary Elements, Fifth World Congress on Computational Mechanics, Wien, 2002 (in Vorbereitung) - 9 -