Formelsammlung Messtechnik

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1 Formelsammlung Messtechnik (Zur Vorlesung Messtechnik, G. Klinge/J.Nellessen ) statische System-Eigenschaften Übertragungsfaktor : k : x a x e bzw. (lokale) Empfindlichkeit E : x a x a bzw. d x a d x e Kennlinie : Auftrag des Ausgangssignals x a gegen Eingangssignal x e Lineares System: x a x a0 + k x e (Gerade) Nichtlineares System: x a f(x e ) Linearisierung (graphisch) : Ersatzkennlinie Tangente im Arbeitspunkt x ea, lokale Steigung E(x ea ) : k x a f(x ea ) + k (x e x ea ) Linearisierung (analytisch) : Funktion f(x e ) ersetzt durch Taylorentwiclung am Arbeitspunkt x ea : x a f(x ea ) + d f (x d x e e x ea ) xea Mess-Unsicherheiten x w wahrer Wert, x angezeigter Wert (der Eingangsgröße x e ) Abweichung x x x w relative Abweichung : x x w x x (in %) 1) bekannte Einflüsse : Anzeigewert korrigieren: x w x x 2) unbekannte Einflüsse : 2A) überwiegend zufälliger Natur ( Normalverteilung angenommen) : Messreihen aus N Einzelmessungen liefern x j, j [1... N], daraus: Nj1 Mittelwert ; x 1 N N (x j x) 2 x j Unsicherheit des Einzelmesswertes : S x N 1 j1 Unsicherheit des Mittelwertes x: u(x) : x S x S x N t (mit Student-Faktor t abh. von N und Vertrauensbereich für x, : Zahl N der Messwerte Aussagewahrscheinlichkeit 68,3 % 95,5 % 99,7 % 2 1,84 18,44 235,80 3 1,32 4,93 19,21 4 1,20 3,48 9,22 5 1,15 2,98 6,62 6 1,11 2,73 5,51 8 1,08 2,50 4, ,06 2,37 4, ,03 2,18 3, ,01 2,08 3, ,00 2,04 3,08 N 1,00 2,00 3,00

2 bei zusammengesetzten Messgrößen y f(x 1, x 2,... x n ) Mittelwert ; y ȳ f( x 1, x 2,..., x n ) Unsicherheit : y Sȳ n ( ) f 2 x i x i i1 Fehlerfortpflanzung : Spezialfälle : y i a ix i y i a2 i x2 i S ȳ y i a i x β i i y ȳ i (β i x i x i ) 2 2B) unbekannte Einflüsse überwiegend systematischer Natur ( Gleichverteilung angenommen) : x z.b. aus Literaturwerten, Schätzwerten, Herstellerangaben... analoge Messgeräte : Garantiefehlergrenze (Genauigkeitsklasse) als max. auftretender absoluter Fehler relativer Fehler in Prozent, bezogen auf Messbereichs-Endwert x E G : x max 100% x max G x E 100 x E anzugebende Unsicherheit u(x) unter Annahme einer Gleichverteilung um den Anzeigewert mit der Maximalbreite 2 x max : u(x) x max 3 2 x max 12 digitale Messgeräte: f % vom Anzeigewert + c digits der letzten angezeigten Stelle x ± f%v.a. 100% + c bei zusammengesetzten Messgrößen y f(x 1, x 2,... x n ) : neben der Angabe des wahrscheinlichen Fehlers (s.o.) y Sȳ n ( ) f 2 x i x i ist auch die Angabe eines Maximal-Fehlers gebräuchlich : n y f x i x i1 i i1 Spezialfälle : y i a ix i y i a i x i y a i x β i i y ȳ β x i i x i i i schliesslich (Unsicherheiten aller Arten Einflüsse zusammengenommen) : geometrische Addition aller Unsicherheiten der Messeinrichtung : x k u2 k (x) (entspricht einem Vertrauensbereich des Messwertes von 68,3%)

3 passive Meßfühler Widerstands-Meßfühler: Ohm scher Widerstand R ρ l q (llänge, qquerschn.) (ρ spez. Widerstand) Vorgabe eines Konstantstromes Messung der Spannung R U I Vorgabe einer Konstantspannung Messung des Stromes R U I direkte Strom/Spannungsmessung: R x >> R A : R x U x I U m I R A (gemessen: I, U m ) R x << R V : R x U U I x I m U/R V (gemessen: I m, U) R x I R A A U x V U m R x I x I m A V U R V R 0 Meßpoti m. Abgriff bei x : R x l R 0 x l unbelast. Spannungsteiler: U a U 0 (R b ) + belast. Spannungsteiler: U a U R b mit c R b R 0 U 0 c x c + x x 2 R b + und x R 0 U 0 + R b U a Widerstandsthermometer: R(T ) R 0 [1 + α(t T 0 ) + β(t T 0 ) 2 ] ( T in K ) ϑ T + 273, 15 K R(ϑ) R(ϑ 0 ) [1 + α(ϑ ϑ 0 )] ϑ 0 0 o C R ϑ R 0 (1 + α ϑ) ( ϑ in o C ) Temperatur am Fühler z.b. (meist) mit Zeitabhängigkeit 1. Ordnung: ϑ(t) ϑ anf + (ϑ end ϑ anf ) (1 e t/τ ) ( τ Zeitkonstante ) Heißleiter: R k 0 e b/t R T R T0 e b(1/t 1/T 0), (b typ K) NTC Kaltleiter: R k 0 e bt R T R T0 e b(t T 0), (b typ K 1 ) PTC

4 Dehnungsmessung: Längsdehnung : ɛ l σ l E F A E quer: ɛ q µ ɛ (µ Querkontraktionszahl, E Stahl N/mm 2 ) Dehn-Meßstreifen: R R Metalle : µ 0.5, k 2 R R Feldplatte : R R 0 (1 + k B 2 ) ρ k ɛ (1 + 2µ + ) ɛ (mit µ des DMS-Materials) ρ 2 ɛ induktive Meßfühler: U ind L I t Zylinderspule: L N 2 µ 0 µ r A l N 2 R m kapazitive Meßfühler: z.b. Plattenkondensator: C ɛ 0 ɛ r A d Meßbrücken : Gleichspannungs-Meßbrücke (unbelastet) : U d U 2 U 4 U 3 U 1 spannungsgespeist (U 0 fest): I 0 U d U 0 R 3 R 4 ( + )(R 3 + R 4 ) stromgespeist (I 0 fest): U d I 0 R 3 R R 3 + R 4 U 0 R 3 U d R 4 Abgleich-MB: sei variabel, die übrigen R i konstant : U d 0 R4 Ausschlag-MB: R i R 0 + R i mit R i << R 0 U d U 0 4 (abgeglichen, d.h. U d 0, für R i 0) Wechselspannungs-Meßbrücke (unbelastet) wie oben, statt R i Z i einsetzen, mit R 3 ( + + R 3 R ) 4 R 0 R 0 R 0 R 0 Z Z e jϕ R + jx (X Blindwid., R meist vernachlässigbar) Spule: Z R L + jωl jωl, Kondensator: Z R C + 1 jωc 1 jωc Abgleich-MB: U d 0 Z 2 Z 3 Z 1 Z 4 Z 2 Z 3 Z 1 Z 4 und ϕ 2 + ϕ 3 ϕ 1 + ϕ 4 Ausschlag-MB: Halbbrücke: Z 1 X 1, Z 2 X 2, Z 3 Z 4 R 0 U d U 0 2 X2 X 1 X 2 + X 1 Viertelbrücke: wie oben, lediglich X 2 sei variabel : X 1 X 0, X 2 X 0 + X mit X << X 0 U d U 0 4 X X 0 (Vorzeichen von U d mit phasensensitivem Verstärker meßbar)

5 aktive Meßfühler : Thermo-Elemente : U mess K AB (T M T V ), K AB K BA, K xy K xcu K ycu Hall-Sonde: U H k I B d elektrodynamische Meßfühler: U ind N dφ dt ; φ B A Induktive Durchflußmessung: U D v B (D Rohr-Durchm.) Volumen-Durchfluß : V t V πd 4B U Piezo-Sensor : Q k F (k z.b. 2, As/N) Meßverstärker : Allg. Grundschaltung: (Spannungsverstärker) U a (1 + )U p U n nicht-invertierende Grundschaltung: U a (1 + )U e invertierende Grundschaltung: U p U e + U a U n R 1 + U a U a U e bei Wechselspannung: R i Z i (siehe Wechselsp.-Brücken) + U e U a Frequenzgang: F (jω) u a(jω) u e (jω) F ejϕ Verhältnis von Ausgangs- zu Eingangsgröße am Beispiel eines frequenzabhängigen Spannungsteilers: 1 Z C jωc u a u e u e Z L + Z C jωl jωc

6 Anzeigegeräte: Drehspul-Instrument: M el B A I N! M mech D ϕ Meßbereichs-Erweiterung (Multimeter) : Strom-Messung : R p R m I I M (Parallelwid.) I zu messender Strom I M Vollausschlag-Strom des Meßwerks I M I M R m I p R p I Spannungs-Messung (mit obigem Strommesser mit Vollausschlag-Strom I): (Vorwid.) R v U R m I (R p R m ) U zu messende Spannung I Vollausschlag-Strom des Meßwerks incl. Parallelwid. I R v R p ohne Parallelwiderstand: R v U I R m U