Theoretische Informatik und Logik Übungsblatt 4 (SS 2017) Lösungen

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1 Theoretische Informatik und Logik Übungsblatt 4 (SS 2017) en Aufgabe 4.1 Für jede der folge Formeln ist folges zu tun: Wenn die Formel gültig oder unerfüllbar ist, so beweisen Sie dies mit dem Tableau-Kalkül. Wenn die Formel hingegen sowohl erfüllbar als auch widerlegbar ist, dann geben Sie ein Modell und ein Gegenbeispiel an. a) [P (, ) P (, ) b) [P (, ) P (, ) c) [P (, ) P (, ) Hinweis: Achten Sie bei jedem Tableau darauf, dass alle bewerteten Formeln eine eindeutige Nummer tragen und dass alle Regelanwungen über diese Nummern auf ihre jeweiligen Prämissen verweisen. Außerdem sollen alle γ- und δ-formeln jeweils auch als solche markiert werden. a) Folges geschlossene Tableau (=Tableau-Beweis) zeigt die Unerfüllbarkeit der Formel: (1) t : [P (, ) P (, ) Annahme, γ-formel (2) t : [P (a, ) P (, ) von 1, γ-formel (3) t : P (a, a) P (, ) von 2 (4) t : P (a, a) von 3 (5) t : P (, ) von 3 (6) f : P (, ) von 5, δ-formel (7) f : P (b, ) von 6, γ-formel (8) t : [P (b, ) P (, ) von 1, γ-formel (9) t : P (b, a) P (, ) von 8 (10) t : P (b, a) von 9 (11) t : P (, ) von 9 (12) f : P (b, a) von 7 Widerspruch (10/12) Beachten Sie, dass die γ-regel nach Verwung der δ-regel in Zeile 7 nochmals auf die Formel in Zeile 1 angewet werden muss um einen Abschluss zu erhalten. b) Die Formel ist erfüllbar und widerlegbar. Ein Modell ist besonders einfach anzugeben, da man nur dafür sorgen muss, dass alle atomaren Formeln unter der entsprechen Interpretation wahr werden. Z.B. ist die ein-elementige Interpretation I = {0}, Φ, ξ, mit Φ(P )(0, 0) = t und beliebigem ξ, ein Modell der Formel. Gegenbeispiel: I = D, Φ, ξ, wobei D = ω, Φ(P )(m, n) = t n = m + 1, ξ beliebig. Unter dieser Interpretation besagt die Formel, dass es eine bestimmte natürliche Zahl gibt, sodass für alle natürliche Zahlen folges gilt: Wenn der Nachfolger von ist, dann gibt es eine Zahl, die jede Zahl zum Nachfolger hat. Diese Aussage ist falsch. 1

2 c) Folges geschlossene Tableau (=Tableau-Beweis) zeigt die Gültigkeit der Formel: (1) f : [P (, ) P (, ) Annahme, δ-formel (2) f : [P (a, ) P (, ) von 1, γ-formel (3) f : P (a, a) P (, ) von 2 (4) t : P (a, a) von 3 (5) f : P (, ) von 3, γ-formel (6) f : P (a, ) von 5, δ-formel (7) f : P (a, b) von 6 (8) f : P (a, b) P (, ) von 2 (9) t : P (a, b) von 8 (10) f : P (, ) von 8 Widerspruch (7/9) Beachten Sie, dass die γ-regel nach Verwung der δ-regel in Zeile 7 nochmals auf die Formel in Zeile 2 angewet werden muss um einen Abschluss zu erhalten. Aufgabe 4.2 Betrachten Sie folge Formeln (Aiome) zum Datentp B aus Aufgabe 3.2. (Wir lassen alle Unterstreichungen weg und schreiben s t für s = t.) A1: ɛ A2: f(ɛ, ɛ) = A3: f(, ) A4: [f(, ) = ɛ ( = ɛ = ɛ) A5: [( = ɛ ɛ) f(, ) = ɛ A6: [( ɛ = ɛ) f(, ) = ɛ A7: (( = ɛ = ) z[( ɛ z ɛ) = f(, z)) A8: z[z = f(, ) (z ɛ ( ɛ ɛ)) a) Zeigen Sie, dass B = {A1,..., A8} keine vollständige Aiomatisierung von T h(b) ist, indem Sie ein Modell von B angeben, dessen Gegenstandsbereich aus nur 3 Elementen besteht. b) Zeigen Sie mit dem Tableau-Kalkül, dass z(f(, z) = z ɛ) aus A2 logisch folgt. c) Geben Sie mindestens 3 paarweise nicht logisch äquivalente Formeln aus T h(b) an, die nicht aus B logisch folgen. Argumentieren Sie (informell) für die Richtigkeit Ihrer. a) Es ist leicht zu überprüfen, dass folge 3-elementige Interpretation I = {0, 1, 2}, Φ, ξ alle Formeln in B wahr macht: Φ(ɛ) = 0, Φ( ) = 1, die Funktion Φ(f) ist durch folge Tafel spezifiziert: ξ ist beliebig, da es keine freien Variablen in B gibt. 2

3 b) Folges geschlossenes Tableau zeigt, dass z(f(, z) = z ɛ) aus A2 folgt: (1) t : f(ɛ, ɛ) = Annahme (A2) (2) f : z(f(, z) = z ɛ) Annahme, γ-formel (3) f : z(f(ɛ, z) = z ɛ) von 2, γ-formel (4) f : z(f(ɛ, z) = z ɛ) von 3, δ-formel (5) f : f(ɛ, a) = a ɛ von 4 (6) f : f(ɛ, a) = von 5 (7) f : a ɛ von 5 (8) t : a = ɛ von 7 (9) f : f(ɛ, ɛ) = S = : 8 6 Widerspruch (1/9) c) F 1 : z u( z u z u z u) F 1 drückt aus, dass es mindestens 4 verschiedene Elemente in der Domäne gibt. Das trifft auf die Menge der binären Bäume zu. Daher gilt F 1 T h(b). Anderseits ist die Formel im Modell von B aus a) falsch und kann daher nicht bereits aus B logisch folgen. F 2 : f(, ) f(f(, ), ) Diese Formel drückt aus, dass die beiden Bäume, die durch den linken bzw. den rechten Term der Gleichung repräsentiert werden, nicht identisch sind. Dies ist in (B) wahr, aber im Modell von B aus a) falsch und kann daher nicht bereits aus B logisch folgen. F 3 f(, f(, )) f(f(, ), ) Die Begründung ist wie für F 2. Die jeweilige Bedeutung der Formeln macht klar, dass diese nicht logisch äquivalent sind: Man könnte zum jedem Paar (F i, F j ), wobei i j und i, j {1, 2, 3} Interpretationen angeben, in denen F i wahr und F j falsch ist. (Da es hier um allgemeine logische Äquivalenz geht, ist es irrelevant, welche anderen Formeln in diesen Interpretationen wahr oder falsch sind.) Aufgabe 4.3 (Siehe Folie 409 für die Definition relevanter Eigenschaften von Relationen.) a) Zeigen Sie Folges mit dem Tableau-Kalkül: Jede partiell funktionale und serielle Relation R ist schwach gerichtet. b) Zeigen Sie, dass Serialität in a) notwig ist. Genauer: Spezifizieren Sie eine Interpretation in der Φ(R) eine partiell funktionale, aber keine schwach gerichtete Relation ist. a) Es gilt pf, ser = sger zu zeigen, wobei pf = z[(r(, ) R(, z)) = z (partielle Funktionalität) ser = R(, ) (Serialität) sger = z[(r(, ) R(, z)) u(r(, u) R(z, u)) (schwache Gerichtetheit). Ein Tableau-Beweis dieser Konsequenzbehauptung sieht wie folgt aus: 3

4 (1) t : z[(r(, ) R(, z)) = z γ-formel, Annahme (2) t : R(, ) γ-formel, Annahme (3) f : z[(r(, ) R(, z)) u(r(, u) R(z, u)) δ-formel, Annahme (4) f : z[(r(a, ) R(a, z)) u(r(, u) R(z, u)) von 3, δ-formel (5) f : z[(r(a, b) R(a, z)) u(r(b, u) R(z, u)) von 4, δ-formel (6) f : (R(a, b) R(a, c)) u(r(b, u) R(c, u)) von 5 (7) t : R(a, b) R(a, c) von 6 (8) f : u(r(b, u) R(c, u)) von 6, γ-formel (9) t : R(b, ) von 2, δ-formel (10) t : R(b, d) von 9 (11) t : z[(r(a, ) R(a, z)) = z von 1, γ-formel (12) t : z[(r(a, b) R(a, z)) b = z von 11, γ-formel (13) t : (R(a, b) R(a, c)) b = c von 12 (14) f : R(a, b) R(a, c) von 13 (15) t : b = c von 13 Wid.: 7/14 (16) f : R(b, d) R(c, d) von 8 (17) f : R(b, d) von 16 (18) f : R(c, d) von 16 Wid.: 10/17 (19) f : R(b, d) S = : Wid.: 10/19 b) Die Vorgängerrelation für natürliche Zahlen ist partiell funktional, aber nicht euklidisch. Etwas formaler: Wir erhalten ein Gegenbeispiel I = ω, Φ, ξ zur Konsequenzbehauptung [R(, ) z(r(, z) = z) = z[(r(, ) R(, z)) R(, z) indem wir Φ(R)(m, n) = t n = m + 1 setzen (ξ beliebig). Aufgabe 4.4 Untersuchen Sie folge Varianten der γ- bzw. der δ-regel für PL-Tableau. a) Wenn man bei der γ-regel verlangt, dass der einzusetze Term t keine neuen Konstanten (Parameter) enthält: Bleibt der Tableau-Kalkül korrekt? Bleibt er vollständig? b) Wenn man für die δ-regel nicht verlangt, dass die einzusetze Konstante c bisher nicht im Tableau vorkommt: Bleibt der Tableau-Kalkül korrekt? Bleibt er vollständig? Begründen Sie positive Antworten und geben Sie jeweils ein konkretes Gegenbeispiel bei einer negativen Antwort an. (Gehen Sie davon aus, dass der Tableau-Kalkül, so wie er in der Vorlesung präsentiert wurde, korrekt und vollständig ist.) a) Jedes Tableau, in dem die eingeschränkte Variante der γ-regel verwet wird, bleibt ein regelkonformes Tableau auch gemäß der ursprünglichen Regeln. Insbesondere entstehen durch die Variante keine neuen geschlossenen Tableau. Daher bleibt der Kalkül korrekt. Allerdings ist der Kalkül nun unvollständig, wie folges Beispiel zeigt. Die Formel F = (P () P ()) ist offensichtlich gültig, aber die entspreche Signatur Σ enthält gar keine Konstantensmbole. Daher gibt es keine geschlossene Terme über Σ. Das bedeutet aber, dass auf f : (P () P ()) die modifizierte γ-regel gar nicht anwbar ist und folglich trotz der Gültigkeit von F kein geschlossenes Tableau für F eistiert. b) Der Kalkül bleibt vollständig, da alle Äste, die in der ursprünglichen Variante des Kalküls geschlossen sind, auch weiterhin geschlossen bleiben. Es gibt also mit der neuen δ-regel allenfalls zusätzliche Tableau-Beweise. Folges Beispiel zeigt, dass der Kalkül nicht mehr korrekt ist: Die Formel G = P () P (a) ist offensichtlich nicht gültig, da wir beispielsweise über dem Gegenstandsbereich der natürlichen Zahlen Φ(P ) = ist gerade und Φ(a) = 1 interpretieren können. Jedes Tableau für G muss wie folgt beginnen: 4

5 (1) f : P () P (a) Annahme (2) t : P () δ-formel (3) f : P (a) Wenn wir nun bei der Elimination des Eistenzquantors in (2) a anstatt eines neuen Parameters für einsetzen, so erhalten wir in der nächsten Zeile (4) t : P (a) und folglich ein geschlossenes Tableau im Gegensatz zur Tatsache, dass G nicht gültig ist. Aufgabe 4.5 a) Untersuchen Sie, ob die Korrektheitsaussage { 0} + 1 { > 0} wahr ist. Verwen Sie dazu die Definition der Wahrheit von Korrektheitsaussagen, um entweder zu argumentieren, dass die Aussage wahr ist, oder um ein Gegenbeispiel anzugeben. b) Die Hintereinanderausführung der drei Zuweisungen +, und (in dieser Reihenfolge) bewirkt, dass die Variablen und ihre Werte vertauschen. Formulieren Sie eine Korrektheitsaussage und beweisen Sie sie mit Hilfe des Hoare-Kalküls. c) Verwen Sie die Regeln des Hoare-Kalküls um zu zeigen, dass die folge Aussage total korrekt, d.h., wahr hinsichtlich totaler Korrektheit ist. Verwen Sie die Formel = als Invariante und den Ausdruck 2 als Terminationsfunktion. Argumentieren Sie, warum die auftreten Formeln gültig sind. { = 0 0 } begin 3 ; while 2 do begin + 1; + 1 { = 2 0 } a) Die Zuweisung terminiert offensichtlich immer (das Programm enthält ja keine Schleife), die partielle bzw. totale Korrektheit der Aussage ist also gleichbedeut mit: Für alle I ENV gilt: Wenn M(I, 0) = t gilt, dann gilt auch M(I, > 0) = t, wobei I = M(I, + 1). Diese Aussage ist falsch. Um die All-Aussage zu widerlegen, genügt es, eine konkrete Wertebelegung I anzugeben, die die Vorbedingung erfüllt (M(I, 0) = t), bei der aber die Nachbedingung in der Wertebelegung I nach Ausführung des Programms falsch ist (M(I, > 0) = f). 5

6 P Q 3 Wir wählen eine Wertebelegung I mit I() = 0 und I() = 1 und erhalten: M(I, 0) = (M(I, ) M(I, 0)) = (I() 0) = (0 0) = t M(I, + 1) = I wobei I () = M(I, + 1) = ( 1 + 1) = 0 I I M(I, > 0) = (M(I, ) > M(I, 0)) = (I () > 0) = (0 > 0) = f I erfüllt also die Vorbedingung, I aber nicht die Nachbedingung, die Korrektheitsaussage ist daher falsch. b) Die Behauptung in der Angabe ist gleichbedeut mit der Korrektheitsaussage { P : = 0 = 0 } begin begin + ; ; { Q: = 0 = 0 } Wir erhalten die folge Ableitung im Hoare-Kalkül. {Q 3 : Q 2 [ + {P } + {Q 2} } + {Q2} (imp) {Q 2 : Q 1 [ {P } begin + ; {Q 1} } {Q1} (be) {Q 1 : Q [ {P } begin begin + ; ; {Q} } {Q} Die Zerlegung der Korrektheitsaussage et mit drei Instanzen des Zuweisungsaioms, also von {G [ e v } v e {G}, und der Implikation P Q3, deren Gültigkeit wir noch zeigen müssen. (be) P Q 3 P Q [ [ [ + P ( = 0 = 0 ) [ P (( ) = 0 = 0 ) [ [ [ + [ + P (( ( )) = 0 ( ) = 0 ) [ + P ( = 0 ( ) = 0 ) [ + P ( = 0 (( + ) ) = 0 ) ( = 0 = 0 ) ( = 0 = 0 ) Diese Implikation ist eine Tautologie und daher gültig. Es liegt somit eine Ableitung der Korrektheitsaussage im Hoare-Kalkül vor, die Aussage ist daher wahr (hinsichtlich partieller und totaler Korrektheit). Kompakter lässt sich der Korrektheitsbeweis mit Annotationen schreiben. Wir beginnen mit dem ursprünglichen Programm und fügen schrittweise Bedingungen hinzu, die die zulässigen Wertebelegungen an der jeweiligen Stelle beschreiben. Die Bedingungen ergeben sich aus den Regeln des Hoare-Kalküls. Wir rücken die begin- und -Anweisungen ein, die der Snta wegen notwig sind, aber nichts zur Lesbarkeit des Programms beitragen. Der Inde der Formelbezeichnungen richtet sich nach der Reihenfolge, in der die Annotationen hinzugefügt wurden. 6

7 { P : = 0 = 0 } zw { Q 3 : + ( + ) = 0 + = 0 } begin begin + ; zw { Q 2 : ( ) = 0 = 0 } ; zw { Q 1 : = 0 = 0 } { Q: = 0 = 0 } Zuletzt muss noch, der Implikationsregel folg, gezeigt werden, dass die Formel P Q 3 gültig ist; Nachweis siehe oben. c) Wir beginnen damit, dass wir das Programm entsprech den Regeln des Hoare-Kalküls mit Formeln annotieren. Die Formeln sind in jener Reihenfolge nummeriert, in der sie hinzugefügt wurden. Diese Reihenfolge ist nicht vollkommen eindeutig; etwa hätten die Formeln F 6 und F 7 vor Formel F 5 hinzugefügt werden können. { P : = 0 0 } zw { F 5 : Inv [ 3 } begin 3 ; wh { F 1 : Inv } while 2 do begin wh { F 2 : Inv 2 t = t 0 } zw { F 7 : Inv [ [ [ 0 t ; zw { F 6 : Inv [ wh { F 3 : Inv 0 t < t 0 } wh { F 4 : Inv 2 } { Q: = 2 0 } [ 0 t + 1 < t0 } [ + 1 < t0 } Gemäß Implikationsregel muss noch die Gültigkeit der Formeln P F 5, F 2 F 7 und F 4 Q gezeigt werden. P F 5 = 0 0 Inv [ 3 = = = 0 0 = 0 0 Diese Formel ist offensichtlich gültig. Da die Vereinfachungsschritte von der zweiten zur dritten Zeile Äquivalenzumformungen sind, ist auch die ursprüngliche Formel gültig. F 4 Q Inv 2 = 2 0 = = = 2 0 Aus = und 2 = erhalten wir 2 = und daraus wiederum die Konklusion = 2 0, die Formel ist also gültig. 7

8 F 2 F 7 Die Implikation Inv 2 t = t 0 Inv [ + 1 [ t [ + 1 [ + 1 < t0 ist gleichwertig zu den beiden folgen, von denen die erste der partiellen Korrektheit der Schleife entspricht und die zweite ihrer Termination. Inv 2 Inv [ + 1 Inv 2 0 t [ + 1 [ + 1 [ + 1 partielle Korrektheit < t Termination F 2 F 7 (partielle Korrektheit) Unter Verwung von Inv = ( = ) erhalten wir: Inv 2 ( = ) [ [ Inv 2 ( + 1 = (+1) (+1) 2(+1)) Inv 2 ( = ) ( = ) ( = > 2) Offenbar gilt die Gleichung = 2 0 +, da sie auch unter den Annahmen auftritt. Die Konklusion > 2 folgt aus den beiden Prämissen 2 2. Daher ist die Implikation eine gültige Formel. F 2 F 7 (Termination) erhalten wir: Unter Verwung von Inv = ( = ) und t = 2 [ + 1 Inv 2 0 t [ + 1 < t Inv ( + 1) < t = t 1 t 1 < t t 1 < t gilt in den ganzen Zahlen immer. Die erste Ungleichung, 0 t 1, ist gleichbedeut mit t > 0 bzw. > 2. Sie folgt aus den Prämissen 2 und 2. Daher ist auch diese Implikation gültig. Da alle Implikationen gültig sind, ist die Korrektheitsaussage wahr hinsichtlich totaler Korrektheit (sie ist total korrekt ). Alternativ kann der Korrektheitsbeweis auch als Ableitung im Hoare-Kalkül geschrieben werden. Die Abkürzungen P, Q, F 1,..., F 7 haben dabei dieselbe Bedeutung wie im annotierten Programm weiter oben. F 2 F 7 {F 7} + 1 {F 6} {F 2} + 1 {F 6} (imp) {F 2} begin + 1; + 1 {F 3} (wh) P F 5 {F 5} 3 {F 1} {F (imp) 1} while 2 do {F 4} F4 Q {P } 3 {F 1} {F 1} while 2 do {Q} {P } begin 3; while 2 do begin + 1; + 1 {Q} (be) {F 6} + 1 {F 3} (be) (imp) 8