Abitur allg. bildendes Gymnasium Wahlteil Analysis 2004 BW Lösung A1.1 Lösungslogik GTR-Einstellungen: Y1= 36/ 16 Y2=
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- Kathrin Pfaff
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1 Lösung A1.1 Lösungslogik GTR-Einstellungen: Y1= 36/ 16 Y2= 1 Y3= 1 1,25 Y4= Y5= ,5 a) Verhalten von für. Es handelt sich um eine gebrochen-rationale Funktion mit höchster Potenz im Zähler gleich höchster Potenz im Nenner. Das asymptotische Verhalten errechnet sich dann aus dem Quotienten des Koeffizienten von im Zähler und im Nenner. In diesem Fall sind beide Koeffizienten gleich 1, somit hat die Funktion die waagrechte Asymptote 1. Nachweis der Wendepunkte: Gemäß der NEW-Regel führen Wendepunkte einer Stammfunktion zu Extrempunkten ihrer 1. Ableitung. Bestimmung von!" bzw. # mit dem GTR. b) Kubikmeter Wasser im Kanal: Der GTR liefert 02,25 sowie für 0 die Nullstellen % 6 0 und % 6 0. Das Volumen errechnet sich somit aus dem Betrag der Fläche, die die Achse mit der Kurve im Intervall 6''6 einschließt multipliziert mit der Länge des Kanals. Prozentsatz der Füllung bei 1 ( Wasserstand: 1 ( Füllstand bedeutet 1,25 ( Pegelstand unter Null. Wir schieben deshalb die Kurve um 1,25 Einheiten nach oben, bilden also ) 1,25 und bestimmen die neuen Nullstellen mit dem GTR. Das verringerte Volumen errechnet sich dann aus dem Betrag der Fläche, die die Achse mit der Kurve im Intervall der beiden Nullstellen einschließt multipliziert mit der Länge des Kanals. Das prozentuale Verhältnis ist der Quotient aus * + *,,,- 100.
2 c) Wir zeichnen die beschriebene Situation in das Schaubild ein. Wie nun aus der Zeichnung ersichtlich, ist die Sichtlinie des Beobachters eine Tangente an durch die Kanalsohle. Steht er weiter weg vom Kanal als die Koordinate seines Beobachtungspunktes, kann er den Grund des Kanals nicht mehr sehen. Die Koordinate seines Beobachtungspunktes ergibt sich über den Schnittpunkt der Tangente mit der Geraden 1.5 (Augenhöhe des Beobachters). Der Berührpunkt ist /0 0, damit können wir die Punkt-Steigungsformel der Tangente aufstellen mit: Die Talsohle mit 20 2,25 ist Punkt dieser Tangentengleichung. Wir machen eine Punktprobe mit 2 und erhalten: 2, ,250 Wir bestimmen die Nullstelle dieser Funktion (im Y4-Speicher) mit dem GTR. Der GTR liefert 4. (Die Nullstelle bei 3 0 ist keine Lösung, der Beobachter kann ja nicht in der Mitte des Kanals an Land stehen). Somit haben wir den Wert von 0 gefunden, für den die Tangente 1 durch die Talsohle geht und den Graphen der Funktion 1 in berührt. Die Augenhöhe der Person ist 1,5, dies bedeutet, dass 11,5 sein muss, also: 11, ,50 (Funktion steht im Y5-Speicher) Wir bestimmen die Nullstelle dieser Funktion mit dem GTR, der den Wert 3 9,23 liefert. Die Person muss also höchstens bei 3 9,23 stehen, um bei einer Augenhöhe von 1,5 ( bei leerem Kanal noch die tiefste Stelle sehen zu können. Gefragt ist aber nach dem Abstand der Person zum Kanalrand. Dieser liegt bei Wir müssen deshalb vom 3 -Wert noch 6 abziehen. a) Verhalten von für 1 wegen höchster Potenz im Zähler gleich höchster Potenz im :;( " < Nenner. hat eine waagrechte Asymptote 1. Wendepunkte von : #0,53 für 2,31!" 0,53 für 2,31 liefert nur einen Tief- und einen Hochpunkt, somit hat nur zwei Wendepunkte.
3 b) Volumen bei vollem Kanal: AB EA DC Es befinden sich etwa 6800 ( H Wasser im Kanal, wenn er ganz gefüllt ist. Volumen bei Pegelstand 1 (: ) 1,25 )0 2,67; 2,67,CK?,3 AB ) D,CK EA * +,L *,,,- 100 CMM CN ,17 % Bei 1 ( Füllung befinden sich noch ca. 24 % des Volumens der vollen Füllung im Kanal. c) Höchster Abstand einer Person vom Kanalrand: Tangente durch 20 2,25 und Berührpunkt 40 0 mit Punktprobe mit 2: 2, , ; H 4 Betrachtung für 04 entspricht rechten Kanalrand: 11, ,50 3 9,23 Δ9,236,03,23 Die Person darf höchstens 3,23 ( vom Kanalrand entfernt stehen, um bei einer Augenhöhe von 1,5 ( bei leerem Kanal noch die tiefste Stelle sehen zu können. Lösung A1.2 Lösungslogik GTR-Einstellungen: Y1=0,4Q;R12 1,5 Achtung: GTR-MODE muss auf RADIAN stehen Periodendauer des Schwimmers: Nach der allgemeine Sinusfunktion: S1T Q;R5V1W7 E gilt: X Y Z. Geschwindigkeit des Schwimmers: Die Sinuskurve ist um den Faktor E1,5 in Richtung nach oben verschoben. Um diese Schwingungslinie schwankt die Geschwindigkeit um die Amplitude T0,4.
4 Die Zeitpunkte der stärksten Geschwindigkeitsabnahme sind die Wendepunkte der Funktion mit negativer Steigung: 1 DY ; R \. Der zurückgelegte Weg ist das Produkt aus mittlerer Geschwindigkeit und Zeit für 50 Perioden, bzw. das Integral unter der Kurve von 0 bis zur Zeit 1 von 50 Perioden. Periodendauer des Schwimmers: X Y Z Y Y C Die Periodendauer des Schwimmers beträgt X Y C. Geschwindigkeitsschwankungen des Schwimmers: S!"E T1,5 0,41,9 S # ET1,50,41,1 Die Geschwindigkeit des Schwimmers schwankt zwischen 1,1 (/Q und 1,9 (/Q. Zeitpunkt stärkster Geschwindigkeitsabnahme: Wendepunkte mit negativer Steigung: Für den in 1 Richtung unverschobenen Sinus gilt: 1 ] Y. Sie wiederholen sich alle Vielfachen der Periode, also Y ; HY DY ;. Die Zeitpunkte der stärksten Geschwindigkeitsabnahme sind 1 DY Zurückgelegter Weg in 50 Perioden: 50 Y Q; S1,5 (/Q C QS 11,5 50 Y 12,5 _39,2699 ( C ] QB S1E1 3 B ` Y S1E1 39, Der zurückgelegte Weg beträgt ca. 39,3 (. ; R \. Lösung A2.1 Lösungslogik GTR-Einstellungen: Y1=0,125Q;R 51 WaQ7 1 2WaQ Y2=.32 Achtung: GTR-MODE muss auf RADIAN stehen
5 a) Sinnvoller Neigungswinkel b, Höhe c und obere Breite T in Abhängigkeit von b: Wir gehen davon aus, dass Blumentröge oben breiter als unten sind, also ist: 0 ebe90 bzw. fg0 ;90 h. Gemäß nebenstehender Grafik gilt: Q;Rb i cv Q;Rb Z 2 TV!DZ WaQb " Z jkl, Z TV2 V WaQb TV 51 2 WaQb7 Flächeninhalt der Querschnittsfläche: Anwendung der Inhaltsformel für Trapeze m no!]pq!rz c. b) Maximales Volumen eines Troges mit quadratischer Pflanzfläche: In der gegebenen Formel :V 51 2WaQb7 ist :T (vergleiche Teilaufgabe a)). Das Volumen des Troges errechnet sich somit aus der Formel? nost m no!]pq :V 51 WaQb7 Q;Rb V 51 2WaQb7 V H Q;Rb 1 WaQb 51 2WaQb7 und mit V0,5? nost b0,125 Q;Rb 1 WaQb 51 2WaQb7 Wir bestimmen? nost b!" im Intervall 0ebe Y mit dem GTR. Wir erhalten den Wert für b im Bogenmaß und müssen diesen noch ins Gradmaß umrechnen. Der angezeigte Wert entspricht dem Volumen des Troges. Werte von b, bei denen der vollständig gefüllte Trog mindestens viermal 80 Liter enthält: Über die Angabe viermal 80 Liter müssen wir das Volumen des Troges in ( H ermitteln. Wir erhalten den Wert 0,32 ( H. Wir tragen diesen Wert in den Y2 Speicher ein. Jetzt bilden wir? nost b 0,32 und bestimmen die Schnittpunkte mit dem GTR. Die so gefundenen Werte sind Werte im Bogenmaß, die in Gradmaß umgerechnet werden müssen.
6 a) Sinnvoller Neigungswinkel b: Da (in der Regel) Blumentröge oben breiter als unten sind, ist der Neigungswinkel sinnvollerweise größer als 0 und kleiner als 90. f: 0 eb'90 Höhe c und obere Breite T in Abhängigkeit von b: i Z Q;Rb cbv Q;Rb!DZ ; " Z!DZ WaQb; V WaQb V WaQb TV2VWaQb TbV 1 2WaQb Flächeninhalt der Querschnittsfläche: m no!]pq T V c V1 2WaQb V VQ;Rb m no!]pq 2V1 WaQb VQ;Rb mbv 1 WaQb Q;Rb q.e.d. b) Maximales Volumen eines Troges mit quadratischer Pflanzfläche:? nost mb :0,5 1 WaQb Q;Rb 0,5 1 2WaQb?b0,125 Q;Rb 1 WaQb 1 2WaQb?b!" 0,3643 für b 0,7854. Umrechnung Bogenmaß nach Gradmaß: N3 Y 0, Für b45 hat der Trog mit quadratischer Pflanzfläche ein maximales Volumen von 0,364 ( H. Werte von b, bei denen der vollständig gefüllte Trog mindestens viermal 80 Liter enthält:? nost 4 80 :320 : W( H 0,32 ( H?b 0,32 b 0,5275; b 1,0637 Umrechnung Bogenmaß nach Gradmaß: b N3 0,527530,22 ; b Y N3 1,063760,94 Y Zum vollständigen Befüllen eines Troges mit quadratischer Pflanzfläche benötigt man dann mindestens vier Säcke Blumenerde von je 80 Litern Inhalt, wenn der Neigungswinkel b ungefähr zwischen 30,2 und 60,9 liegt.
7 Lösung A2.2 Lösungslogik GTR-Einstellungen: Y1=12v /v 4 Wegen der gegebenen Funktionsschar ist der Einsatz des GTR nur bedingt möglich. a) Drei selbstgewählte Schaubilder: Wir wählen z.b. w0,5, w1 und w3. Verhalten von x für y : Höchste Potenz Zählergrad ist kleiner höchste Potenz Nennergrad. Somit hat die Kurvenschar die waagrechte Asymptote 0. Gemeinsame Eigenschaften siehe. b) Bestimmung des Hochpunkts: Es wird vorausgesetzt, dass alle 9 x nur einen Hochpunkt besitzen, deshalb ist ein Nachweis über die 2. Ableitung nicht erforderlich, wir benötigen lediglich die 1. Ableitung. Quotientenregel erforderlich. Ermittlung der Ortskurve siehe. c) Von Kultur bedeckte Fläche nach 2 Minuten: Die Vergrößerung der Fläche in den ersten beiden Minuten ist das Integral über M in den Grenzen von 0 bis 2. a) Schaubilder siehe Lösungslogik Verhalten von x für y : Höchste Potenz Zählergrad ist kleiner höchste Potenz Nennergrad. Somit hat die Kurvenschar die waagrechte Asymptote 0. Gemeinsame Eigenschaften von 9 x : Sie verlaufen oberhalb der Achse Sie haben die Achse als waagrechte Asymptote Sie besitzen einen Hochpunkt Sie sind achsensymmetrisch zu der Parallelen zur Achse durch den Hochpunkt Sie haben zwei Wendepunkte b) Bestimmung des Hochpunktes: x : 03wv " 0 3wv " Sv " w S 2v " x z{ D z Hxp} 5p,} rx7dp,} Hxp }, p,} rx, Extremwerte über x 0 3wv " v " w2v " 3wv " 0 :3wv " v " w2v " 0 v " w :Rw x ~ L,- :RwHxp H x H w p ƒ rx x
8 Die Hochpunkte von 9 x haben die Koordinaten xˆ :RwAH w Ortskurve Š Œ der Hochpunkte aller Kurven 9 x : Umstellung der Koordinate der Hochpunkte nach w: :Rw2 wv " Ersetzen von w in die -Koordinate H w: a H v" H v" Die Funktionsgleichung aller Hochpunkte von 9 x lautet a H v" ; Schaubild von a siehe obige Grafik. c) Von Kultur bedeckte Fläche nach 2 Minuten: M 12v" v " 4 Δ4B M E 5, In den ersten 2 Minuten vergrößert sich die von der Kultur bedeckte Fläche um ca. 5,1 W(. Lösung A2.3 (1) Induktionsanfang: Für R1 stimmt die Behauptung, denn, wie vorausgesetzt, hat die Funktion c mit c " die Ableitung c ",. (2) Induktionsschritt: Induktionsannahme: Für ein beliebiges wž1 gelte für die Funktion c x mit c x " : c x x " + Induktionsbehauptung: Für die Funktion c xr mit c xr " + gilt dann: c xr xr ", Induktionsbeweis: Um die Produktregel anwenden zu können, Schreiben wir c xr zunächst als Produkt: c xr " c " x c Damit folgt nun unter Verwendung der Produktregel: c xr c x c c c x x " + " ", " x ", ",xr ", Somit gilt die Aussage auch für w 1. Insgesamt ist damit die Behauptung für alle RŽ1 bewiesen.
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