Beispielsammlung Prof. Kusolitsch

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1 Beispielsammlung Prof. Kusolitsch Inhaltsverzeichnis Maße und Mengensysteme. Lebesgue-Borel-Maß Sigma(X)-meßbar Äusseres Maß & Maßfunktionen Inhalt & (σ-)additivität induzierte Maße & Mengensysteme elementare Mengenlehre Zerlegungen Anwendung: Satz von Fubini Stetigkeit von oben Dichte- & Verteilungsfunktion 55. Verteilungsfunktion Cantorsche Menge Berechnen der Verteilungsfunktion mon.st.funtkion, Sprungfunktion, Unstetigkeitsstellen Verteilungsfunktion & Lebesgue-Stieltjes-Maß Dichte, gemeinsame Verteilung & Unabhängigkeit Portmanteau & charaktersitische Funktion Wahrscheinlichkeitsrechnung Wahrscheinlichkeit Dichte & Transformation Verallgemeinerte Inverse Wahrscheinlichkeitsverteilungen & Unabghängigkeit Integralkonvergenzsätze Erwartungswert, Varianz & Momenterzeugende Faltung Integralungleichungen Gesetz der grossen Zahlen Normalverteilung

2 Maße und Mengensysteme. Lebesgue-Borel-Maß. µ sei das zweidimensionale Lebesgue-Borel-Maß, eingeschränkt auf Ω := [0, ] [0, ], T : Ω R sei definiert durch T (x, y) := x y, ferner sei a > 0. Berechnen Sie µ T ([ a, a])! (Am einfachsten ist eine geometrische Lösung). Lösung: T ([ a, a]) a a µ T (A) = µ(t { (A)) = λ ({(x, y) : x y A} [0, ] ) ( a) µ T ([ a, a]) = = ( a)a für 0 < a für a >

3 . Sigma(X)-meßbar. Man bestimme σ(x) für X(ω) = ω auf Ω = {, 0,, }. Wann ist eine Funktion Y : Ω R bezüglich σ(x) meßbar?. X ({0}) = {0} X ({}) = {, } X ({4}) = {} σ(x) = {, Ω, {0}, {}, {, }, {0, }, {0,, }, {,, }} Y σ(x) \ B-mb Y ({Y ()}] σ(x), In σ(x) enthält jede Menge, die enthält, auch Y ({Y ()}) Y ( ) = Y () bzw.: Y ist eine Funktion von X und wegen X( ) = X() gilt auch Y ( ) = Y (). Sei Ω = {,, 3, 4}, S = {, Ω, {}, {, 3}, {4}, {, 4}, {,, 3}, {, 3, 4}} Ist S eine σ-algebra? Wenn ja, ist X(ω) = ω 5ω S/B meßbar? S ist eine σ-algebra. X ist S-mb. X() = 4 X() = 4 0 = 6 X(3) = 9 5 = 6 X(4) = 6 0 = 4 X ({ 4}) = {, 4} S X ({ 6}) = {, 3} S 3. Sei Ω = Z. Man bestimme σ(x) für X(ω) = ω. Welche Funktionen Y sind σ(x) meßbar? σ(x) = { n A{ n, n}, A N 0 } Y ( n) = Y (n) Y ist σ(x) meßbar. 3

4 .3 Äusseres Maß & Maßfunktionen. µ sei eine äußere Maßfunktion auf M. Dann gilt µ (A) µ (B) µ (A B) A, B B(M) mit µ (A) <, µ (B) < Lösung: A = (A B) (A B) (A B) B B = (B A) (B A) (A B) A µ (A) µ (A B) + µ (B) µ (B) µ (A B) + µ (A) µ (A) µ (B) µ (A B) µ (B) µ (A) µ (A B) µ (A) µ (B) µ (A B). Man zeige, dass die folgende Mengenfunktionen äußere Maße sind und bestimme jeweils die σ- Algebra der µ -meßbaren Mengen. (a) Ω bel., µ ( ) = 0, µ (A) = A (b) P Ω 3, µ ( ) = 0, µ (Ω) = µ (A) = sonst { 0, A (c) Ω = R, µ ℵ0 (A) :=, sonst (a) A Ω µ (Ω) = µ (A Ω) + µ (Ω \ A) M = {, Ω} (b) A Ω, suche B : B A, B \ A µ (B A) + µ (B \ A) = µ (B) = A / M M = {, Ω} 4

5 (c) Beh: M = {A : A ℵ 0 A c ℵ 0 } B Ω B ℵ 0 µ (B) = 0 µ (B A) = 0 µ (B A c ) = 0 B > ℵ 0 A ℵ 0 µ (B) =, µ (B \ A) = µ (B A) = 0 A M für A c ℵ 0 analog Sei A > ℵ 0 A c > ℵ 0 µ (A) + µ (A c ) = µ (Ω) = A / M 3. Sei µ ein äußeres Maß auf Ω und sei d(a, B) := µ (A B) A, B P(Ω). Man zeige, dass gilt: n n d( A i, B i ) i= i= n d(a i, B i ) i= n N n = : Beh: (A A ) (B B ) (A B ) (A B ) Bew: (A A ) (B B ) = = [(A A ) (B B ) c ] [(B B ) (A A ) c ] Aus Symmetriegründen reicht es aus zu zeigne, dass (A A ) (B B ) c (A B ) (A B ). (A A ) (B B ) c = (A B c B) c (A B c B) c (A B) c (A B) c (A B ) (A B ) 5

6 n n + : n+ d( n+ A i, B i ) n n d( A i, B i ) + d(a n+, B n+ ) (Ind-voraussetzung) n d(a i, B i ) + d(a n+, B n+ ) i= 4. Sei Ω := R, A = {A R : A < A c < } { 0, A < µ(a) :=, A = Man zeige, dass µ ein Maß auf der Algebra A ist und bestimme das von µ gebildete äußere Maß µ. Außerdem zeige man das System der µ -meßbaren Mengen an. Sei A = n N A n, A A, A n A m = n m ) ) A < A n < n µ(a) = µ(a n ) = 0 A = A A A c < A = R \ A c > ℵ 0 angenommen A n < n A ℵ 0 n : A n = A n A A c n < A n > ℵ 0 angenommen n m : A m =, A n A m = A m A c n A c n = Wid zu A c n < 6

7 Somit gilt A m < n m = µ(a) = k N µ(a k ) = µ(a n ) = µ ist ein Maß. Sei A ℵ 0 o.e.d.a. A = {a, a,... } A {a n } µ({a n }) = 0 µ (A) = 0 Sei A > ℵ 0, A A n, An A n : A n > ℵ 0 µ(a k ) µ(a n ) = Andererseits Somit A Ω µ (A) µ (Ω) = µ (A) = B bel., A ℵ 0 µ (A B) = 0 (siehe oben) µ (B) µ (A B) + µ (B \ A) A M M {A : A ℵ 0 A c ℵ 0 } Sei nun A > ℵ 0 A c > ℵ 0 µ (Ω) = < µ (A) + µ (A c ) A nicht meßbar. Somit M = {A R : A ℵ 0 A c ℵ 0 } 5. Ist µ ein äußeres Maß auf Ω und R ein Ring über Ω, so ist µ auf R σ-additiv, wenn µ additiv ist. Da µ äußeres Maß gilt allgemein: µ ( n N A n ) n N µ (A n ) 7

8 Sei nun (A n ) disjunkte Folge aus R mit N A n R und sei µ additiv auf R : µ ( N µ ( N N N A n ) µ ( A n ) = µ (A n ) N N n= n= A n ) µ (A n ) N Somit µ ( N A n ) = N µ (A n ) 6. Sei B := {x n : n N} eine abzählbare Teilmenge von R und (p n ) eine Folge nichtnegativer Zahlen mit n N p n =. Auf dem Semiring der halboffenen Intervalle (a, b] wird ein Maß definiert durch µ((a, b]) = x n (a,b] p n. Man bestimme µ und die σ-algebra der µ -meßbaren Mengen. Lösung: Sei δ(n, N) = min{ x i x n : i N, i n} p n µ((x n δ/, x n ]) p k + p n N p n k>n,k n µ ({x n }) = p n n {x n } R σ (I) : I... Intervalle µ(b) = µ(r) = z Z µ((z, z + )] = z x n (z,z+] = p n = µ(r \ B) = 0 p n M ist vollständig alle Teilmengen von R \ B sind in M B ℵ 0 P(B) M. Somit alle Vereinigungen von Teilmengen von R \ B und von B aus M M = P(R). Dementsprechend gibt es kein Meßbarkeitsproblem bei diskreten Wahrscheinlichkeitsräumen. 8

9 7. Ist (Ω, S, µ) ein σ-endlicher Maßraum, µ das zu µ gehörige äußere Maß und B Ω beliebig, so ist µ eine Maßfunktion auf S B. Lösung: µ ( ) = µ ( B) = 0 Sei C = n N C n, C n C m = n m, C, C n S B A n S : C n = A n B n n  := A,..., Ân := A n \  n Âm = n m, i= C n = Ân B, C =  n B A i  n S Nun gilt Ân S M. Daher gilt für beliebiges B und daher auch C µ (C) µ (C  n ) + µ (C (  c n)) N n= n N µ (C }{{ Ân) }. N N C n µ (C) n N µ (C n ) n N Die Umkehrung ergibt sich aus der Subadditivität. 8. Ist µ eine äußere Maßfunktion und A µ -meßbar, so gilt für beliebiges B: µ (A B) + µ (A B) = µ (A) + µ (B) Lösung: µ (A B) = µ ((A B) A) + µ ((A B) A c ) = µ (A) + µ (B \ A) µ (A B) + µ (A B) = µ (A) + µ (B \ A) + µ (A B) = µ (A) + µ (B) 9

10 9. Sei P ein Wert auf einer Algebra A über Ω und sei P das zugehörige äußere Maß. Weiters sei auf P(Ω) ein inneres Maß P definiert durch P (A) := P (A c ). Man zeige: (a) P (A) = inf{p (B) : A B, B S = A σ (A)} (b) P (A) = sup{p (C) : C A, C S} (c) A ist P -meßbar P (A) = P (A) Lösung: (a) Sei B n,m aus A, A n N B n,m n N P (B n,m ) P (A) + m A n N }{{} ˆB m S B n,m P (A) P (B) n P (B n,m ) P (A) + m A B := m N ˆB m S P (A) = P (B) Da C S mit C A gilt P (A) P (C) = P (C), gilt: P (A) = inf{p (B) B S, B A} (b) Wegen a) D A c, D S mit P (A c ) = P (D). Somit gilt D c S, D c A, P (A) = P (D) = P (D c ). (c) : Ist C A, C S A c C c P (A c ) P (C c ) P (A) = P (A c ) P (C c ) = P (C), also P (A) = sup{p (C) : C A} A messbar = P (Ω) = P (A Ω) + P (Ω \ A) = P (A) + P (A c ) P (A) = P (A c ) = P (A) 0

11 : Sei P (A) = P (A) A A A mit A, A S P (A) = P (A), P (A) = P (A) P (A) = P (A) P (A \ A) = 0. Sei B bel. C B, C S P (B) = P (C) zu zeigen: P (B) P (A B) + P (B A c ) Nun gilt Aus Somit: A B A C, A c B C A c P (A B) + P (B A c ) A A A c A c P (A C) + P (C A c ) A c = A c (A c A) }{{} A\A P (C A c ) P (C A c ) + P (C (A \ A)) }{{} =0 P (A B) + P (B A c ) P (A C) + P (C A c ) = P (C) = P (B) P (A) = sup{p (C) : C A, C S} P (A) = inf{p (B) : A B, B S C A B P (C) P (B) sup{p (C) : C A} P (B) B A P (A) inf{p (B) : B A, B S} = P (A) 0. Man zeige, dass für Maße µ und ν auf einem Semiring T über Ω gilt: (a) (µ + ν) = µ + ν

12 (b) M (µ+ν) M µ M ν (c) Wenn µ, ν σ-endlich M (µ+ν) = M µ M ν (d) Im Allgemeinen gilt in b) keine Gleichheit. (a) (µ + ν) (A) = inf{ n (µ + ν)(a n ) : A n T, A A n } inf{ µ(b n ) : B n A, B n T} + inf{ ν(c n ) : C n A, C n T} = µ (A) + ν (A) Umgekehrt sei (A n ) eine disjunkte Überdeckung von A mit µ (A) µ(a n ) µ (A) + ɛ und sei (B m ) eine disjunkte Überdeckung von A mit ν (A) ν(b m ) ν (A) + ɛ. Dann ist (A n B m ) eine disjunkte Überdeckung von A mit µ(a n B m ) = µ(a n ) ν(a n B ) n,m n n,m = ν(b m ) m (µ + ν) (A) + ν)(a n (B m ) n,m(µ µ (A) + ν (A) + ɛ (b) A M µ M ν, B bel., (µ + ν) (B) < ) (µ + ν) (B) = µ (B) + ν (B) µ (B A) + µ (B A c ) + + ν (B A) + ν (B A c ) = (µ + ν) (B A) + (µ + ν) (B A c )

13 (c) Man kann Ω zerlegen ω = E n : µ(e n ) < ν(e n ) < n (µ + ν)(e n ) < Genügt daher Teilmengen von E n zu betrachten: A E n, A M (µ+ν) A M (µ+ν) A A A : A, A R σ (T) : (µ + ν) (A) = (µ + ν)(a) = µ(a) + ν(a) = µ(a) + ν(a) Außerdem gilt µ (A) µ(a). Daraus folgt ν (A) ν (A) Wegen µ (A) + ν (A) = µ(a) + ν(a), denn µ (A) = µ(a) und ν (A) = ν(a). Analog folgt aus µ (A) + ν (A) = µ((a) + ν(a) und µ(a) (A) ν(a) ν (A) auch µ (A) = µ(a) ν (A) = ν(a) Somit A, A : A A A A, A R σ (T) µ (A) = µ(a) = µ(a) A M µ ν (A) = ν(a) = ν(a) A M ν (d) Sei Ω = (0, ], µ(a) = A Zählmaß, λ(a) Lebesgue Maß Klarerweise M µ = p((0, ]). Außerdem µ + ν = µ, denn A < λ(a) = 0 (µ + ν)(a) = A = µ(a) A = µ(a) = (µ + ν)(a) = M µ+ν = M µ Aber M µ M λ = R σ p((p, ]). Sei Ω = N und für A N sei 0, A = µ (A) =, A <, sonst 3

14 Man zeige, dass µ ein äußeres Maß ist und bestimme M µ. A A n : ) A < µ (A) = µ (A n ) ) A = µ (A) = n m : A n Beh.: M = {, N} A N A < Sei µ (A i ) µ (A n ) + µ (A m ) µ ist subadditiv. B = N µ (B) =, µ (B A) = µ (A) =, µ (B \ A) = µ (A c ) = µ (B) < µ (B A) + µ (B \ A) A / M N A A = N \ A µ (N) =, µ (A N) = µ (A) = µ (N \ A) } µ (N) µ (A N) + µ (N \ A) A / M. Welche der folgenden Mengenfunktionen auf P(Ω) sind äußere Maße? (a) (b) (c) µ (A) := µ (A) := { 0, falls A =,, falls A ; { 0, falls A höchstens abzählbar,, falls A überabzählbar unendlich; µ (A) := { 0, falls A endlich,, falls A unendlich; (d) Es sei Ω = R. µ (A) := { 0, falls A beschränkt,, falls A nicht beschränkt. 4

15 (e) Ω sei unendlich. µ (A) := n (n+), falls #A = n und µ (A) :=, falls #A =. ( #A bezeichnet die Anzahl der Elemente von A Ω). (a) µ 0, µ ( ) = 0, Isotonie klar. (A k ) geg.:.fall: A k = k A k = µ ( A k ) = 0 = µ (A k).fall: k 0 : A k0 A k, µ ( A k ) = JA: µ (A k0 ) µ (A k ) (b) Bed. )-3) klar! A = k= A k. Falls k : A k > a k A k > a JA: Sub-σ-add. (c) Bed. )-3) klar Falls Ω < : µ 0 trivial JA Falls Ω = A Ω : A = a A = {x n : n N}; A n := {x n } NEIN µ (A) = aber µ (A n ) = 0 nicht sub-σ-add. (d) Bed. )-3) gilt µ ([0, )) = Aber [0, ) n= [n, n), n= µ ([n, n)) = 0 NEIN nicht sub-σ-add. (e) µ ( ) = 0 A B A B A A + (da x x+ x+ x+ = B B + µ (A) µ (B) x(x + ) (x + ) = x + x x + x + < ) def: a := A n, a n := A n, A n µ (A n ) ) a = (n i ) : A n µ (A n ) n i µ (A ni ) = 5

16 ) a < : a n a n µ ( A n ) n a n n a n + = n= n= a n ( a n ) + a n a n + = µ (A n ) 3. Ist µ eine äußere Maßfunktion auf eine Menge Ω und (A n ) eine Folge von Teilmengen von Ω mit A n Ω, so ist A Ω µ -meßbar, wenn es einen Index N N gibt, sodass A A n µ -meßbar n N. A n Ω (A A n ) = A n N (A A n ) M n N M ist σ-algebra A = (A A n ) M n N 4. Ist µ ein äußeres Maß auf Ω, so gilt für bel. Mengen A, B, C µ (A C) µ (A B) + µ (B C) A C = (A C c ) (C A c ) (A B) (B C), denn betrachtet man A C c, so gilt: A C c = (A B C c ) (A B c C c ) (B C c ) (A B c ) (B C) (A B). Aus Symmetriegründen gilt analog A c C (A B) (B C) Der Rest folgt aus der Subadditivität von µ. 5. (µ i ) i I sei eine Familie äußerer Maße auf Ω. Dann ist auch µ := sup i I µ i ein äußeres Maß. µ := sup i I µ : ) µ 0 6

17 ) µ ( ) = 0 klar 3) A B µ i (A) µ i (B) µ (B) i I µ (A) = sup µ i (A) µ (B) 4) S n, A k= A k µ i (A) k= µ i (A k) k= µ (A k ) i µ (A) k= µ (A k ) 6. Es sei Ω = {a, b, c}, M = {, {a}, {b, c}, Ω}. Welche Struktur hat M? Sei ferner µ( ) = µ({a}) = 0, µ({b, c}) = µ(ω) =. Ist µ ein Prämaß? Bestimmen Sei ggf. ein durch µ bestimmtes äußeres Maß µ, das µ fortsetzt! Lösung: M ist σ-algebra µ ist Prämaß µ (A) = inf{ µ(a i ) : A i A} A Überdeckung µ (A) {b} {b, c} {c} {b, c} {a, b} {a}, {b, c} {b, c} {a}, {b, c} ansonsten µ(a) 0, A = µ (A) = 0, A = {a}, sonst (A, {a} / A) 7. Es sei (M, M) ein Maßraum, µ n für jedes n N eine Maßfunktion und (a n ) eine Folge nichtnegativer reeler Zahlen. Dann definiert µ(a) := N α nµ n (A) A A eine Maßfunktion µ über (M, M). ) µ 0 ) µ( ) = N α nµ n ( ) = α n 0 = 0 3) (A k ) pwf, A k A µ( k N A k) = N α nµ n ( k N A k) = n N α n k N µ n(a k ) = k N n N α nµ n (A k ) = k N µ(a k) 7

18 .4 Inhalt & (σ-)additivität. Es sei Ω := [0, ), A := {[ i ) : i = 0,..., n, n N} { }, n µ( ) := 0, µ([a, b)) := b a, falls b < und := b a +, falls b =. Welche Struktur hat A? Ist µ ein Inhalt? Ist µ σ-additiv? A ist Halbring ) A n, i+ ) A := [ i, i+ n ), B := [ j n, j+ m ), n m m A B = [ j, j+ m ) falls A B m 3) B A (gilt nur, wenn n m!) i n = i m n m, i+ n = i m n + m n m A \ B = j m n i α=0 m n (i+) j + β=0 [ i m n + α m, i m n + α + m ) [ j + + β m, j + + β m ) Aber: A Halbalgebra ([0, ) A!), kein Ring: [0, ) \ [ 8, 8 ) / A Lg.: µ Inhalt µ 0, µ( ) = 0 klar. A = [a, b ), B = [a, b ), A + B A (o.b.d.a.: b a ) b = a : A + B = [a, b ) b = : µ(a) + µ(b) = µ([a, b )) + µ([a, b )) = b a + b a + = b a + = µ(a + B) b < klar [, ) = n= [, ) = [ n n+, 3 4 ) + [ 3 4, 7 8 ) +... Aber µ([, )) = + = 3 n= µ([, )) = n n+ n= = n+ 8

19 Nicht σ-additiv!. Kann ein Inhalt auf einem nichtleeren Mengensystem C im Allgemeinen zu einem Inhalt auf R(C) erweitert werden, wenn C kein Semiring ist? Nein! Gegenbsp.: Ω = {,, 3} C = { {}, {3}, {, }, {, 3}, } µ = ( 0, 0,,, 0 ) R(C) = {, {}, {}, {3}, {, }, {, 3}, {, 3}, Ω} = P(Ω) µ({}) = µ({, }) µ({}) = Aber aus µ({}) = µ({, 3}) µ({3}) = Widerspruch!!! 3. Auf dem Mengensystem C := {(a, b] (0, ] : 0 a b } {(0, ] (a, b] : 0 a b } auf Ω = (0, ] ist die Mengenfunktion µ definiert durch µ((a, b] (0, ]) = µ((0, ] (a, b]) = b a. (a) Ist C eine Semiring? (b) Ist µ additiv auf C (c) Ist die Fortsetzung von µ auf R(C) eindeutig? Lösung: kein Halbring: } A = (a, b ] (0, ] A B = (a B = (0, ] (a, b ], b ] (a, b ] / H Fortsetzungen: F (x, y) := µ((0, x] (0, y]) { x + y, 0 x, y ) F (x, y) := 0, sonst { x + y, 0 x, y, y x ) F (x, y) := 0 sonst 0 0 9

20 4. Jordansche Gleichung: Ist µ ein endlicher Inhalt auf einem Ring R, sind A,..., A n beliebige Mengen aus R und ist C [m] die Menge aller w A = n i= A i, die in genau m der Mengen A,..., A n liegen, so zeige man, dass C [m] R und dass gilt µ(c [m] ) = n ( ) k ( ) k m m k=m mit S k = i < <i k n µ(a i A ik ). { Hinweis: Sei A ɛ i := Ai, ɛ = A \ A i, ɛ = 0. Man betrachte das System der Durchschnitte ϑ l = { n S k i= Aɛ i i : ɛ i {0, } i =,..., n, n i= ɛ i = l} und überlege, ob wie folgt D ϑ l auf beiden Seiten der obigen Gleichung vorkommt, je nachdem ob l < m, l = m, l > m. Bew: Offensichtlich gilt: C [m] = D ϑ m D. Wegen ϑ l < D R D ϑ l l, ist damit klar, dass C [m] R. D ϑ l, l < m : D kann weder in C [m] noch in einer der Summen S k vorkommen, da diese alle Durchschnitt von mehr als l Mengen A i beinhalten. l = m : C [m] = D ϑ m D D, D ϑ m D D = µ(c [m] ) = D ϑ m µ(d) Auf der rechten Seite kommt D nur im konkreten Durchschnitt A i A im mit ɛ ij j =,..., m vor. Somit kommt jedes D auf beiden Seiten genau einmal vor. Sei l > m : D D l kommt in C [m] nicht vor. Auf der rechten Seite gilt D A j A jk {i,..., i l } {j,..., j n } Man kann dann {j,..., j : k} auf ( l k) Arten aus {i,..., i l } auswählen. Somit kommt µ(d) rechts N = l k=m ( )k m( k l m)( k) mal vor. Nun gilt: 0

21 N = = l ( ) k m k! m!(k m)! l! k!(l k)! k=m l! m!(l m)! l ( ) k m (l m)! (k m)!(l m (k m))! k=m ( ) l m l ( ) l m = ( ) j m j j=0 ( ) l = ( ) m m = 0 5. Mit den Voraussetzungen und Bezeichnungen des vorigen Bsps. zeige man, dass für die Mengen C (m) der Punkte die mindestens m der A i vorkommen gilt n ( ) k µ(c (m) ) = ( ) k m S k. m k=m Daraus folgt mit m = sofort das verallgemeinerte Additionstheorem: n n µ( A i ) = ( ) k S k. i= Hinweis: C [n] = C (n), C [m] = C (m+) C [m] Bew: ( ) ( ) n n C (n) = C [n] = S n = S n m + m! n n (richtig für m = n) C (m) = C (m+) C [m] C (m+) C [m] = µ(c (m) ) = n Beh: k= k=m+ ( )k m ( ) k m Sk + n k=m ( )k m( k = ( ) ( ) ( ) n k k m k=m+ ( )k m S k [ ] + m m m }{{}}{{} ( m ) k ( m ) = n k=m ( )k m( k l ( )( ) k l ( ) k m = l n m k k=m }{{} C m Bew: vollst. Induktion: m = l : ( l k )( l l) = m) Sk S m m ) Sk

22 n + m : C m = l k=m ( )k m( k l ) ( )( ) m )( k m l = + l k=m+ m m ( )k m [ ( ) ( k m k ) ( m ] l k) }{{} ( m m)( m) l l ( )( ) k l = ( ) k m m k k=m }{{} ( m) l P l l=n ( )k m ( k m)=( l m m) l P l m j=0 ( )j ( l m j )=( ) lm =0 + l k=m+ ( )k (m+)( k l ) m+ )( k = C m+ = 6. Ungleichung von Bonferoni: Ist µ ein endlicher Inhalt auf einem Ring R und sind A,..., A n beliebige Mengen aus R, so gilt ( ) k k ( ) j S j 0, k = 0,..., n () j=0 mit S o := µ( n i= A i) und S j = i < <i j n µ(a i j A ij ) A := n i= A i, ϑ definiert wie bei Jordan-Bsp. A = n l= D ϑ l D Ist D ϑ l, so liegt D in keinem Durchschnitt A i A ij mit j > l () reduziert sich daher für D ϑ l auf ( ) k k l ( ) l ( ) j µ(d) 0 j j=0 Brauche also nur ( ) k k l j=0 ( )j( l j) zu betrachten. Für j l gilt ( l j ) ( l j). Sei σ k := k j=0 ( )j( l j). ( ) ( ) l l k = u, k l : σ k = +[ + ] }{{} 0 l ( ) l k = u+, k l : σ k = [ } {{ } 0 ( l + +[ ( ) l ] + [ + } {{ 3 } 0 ) ( l + u ) ] } u {{ } 0 ( ) l ( ) l ] + +[ ( l + ) ] u + } u {{ } 0 l Wegen σ l = ( ) l = 0 und der Symmetrie der Binomialkoeffizienten gilt: 0 = σ l = σ k + ( ) l σ l k.

23 Ist l gerade, k l gerade σ k 0 l k ist ungerade. l k 0 Für k ungerade analog. 7. Ist µ ein Inhalt auf einem Ring R und (A n ) eine Folge disjunkter Mengen aus R, deren Vereinigung auch in R liegt, so gilt µ( n N A n ) µ(a n ). n= µ( A n ) = trivial Sei µ(a) < mit A = n N A n A N n= A n N N Aus der Monotonie und der Additivität folgt N N µ(a) µ( A n ) = µ(a n ) µ(a) n= µ(a n ) n= n= N N 8. Gegeben { sei der Meßraum (N, P(N)) und µ(a) := n A a n, falls A endliche Teilmenge von N ist,, falls A unendliche Teilmenge von N ist; Dabei sei a n eine konvergente Reihe nichtnegativer reeler Zahlen. Ist µ ein Inhalt? Ist µ ein Maß? ) µ( ) = 0 ) A, B P(N), A B = i. A, B endlich µ(a B) = n A B a n = n A a n + n B a n = µ(a) + µ(b) ii. A, B unendlich A B unendlich µ(a) + µ(b) = = µ(a B) iii. A endlich, B unendlich A B unendlich µ(a B) = = µ(a) + µ(b) Lg. µ ist nicht σ-additiv: A n := {n} : Angenommen µ wäre σ-additiv } µ(n) = > n N a n = Widerspruch n= µ(n) = µ(n) 3

24 9. (µ i ) i I sei eine Familie von Inhalten auf einem Ring über Ω. Es gelte: i, j I l I : µ i µ l, µ j µ l (d.h., die Familie ist nach oben gerichtet). µ(a) := sup µ l (A) A R Dann ist auch µ ein Inhalt auf R. Sind die µ i sogar Prämaße, dann ist auch µ ein Prämaß. Beh: µ ist ein Inhalt ) µ(a) 0 klar! ) µ( ) = 0 klar! 3) A B µ i (A) µ i (B) i I µ(a) µ(b) 4) A, B R, A B = ɛ > 0 i, j I : µ i (A) µ(a) µ i (A) + ɛ µ j (B) µ(b) µ j (B) + ɛ l I : µ i µ l, µ j µ l µ l (A) µ(a) µ l (A) + ɛ µ l (B) µ(b) µ l (B) + ɛ µ l (A + B) µ(a) + µ(b) µ l (A + B) + ɛ }{{} sup l µ(a + B) µ(a) + µ(b) µ(a + B) + ɛ ɛ 0 gilt Gleichheit Beh: µ i Prämaße µ Prämaß. Zeige Stetigkeit von unten. A n A µ i (A n ) µ i (A) k < µ(a) i k : µ ik (A) > k n o : µ ik (A n ) > k n n 0 (k) µ(a n ) > k n n 0 (k) lim µ(a n) µ(a) n i I µ(a n ) µ(a) n lim n µ(a n) µ(a) klar! 0. Sei Ω { beliebig. A, falls A endlich ζ(a) := A Ω, falls A unendlich, Dann ist ζ ein Maß auf P(Ω) (ζ heißt Zählmaß auf Ω) Unter welchen Bedingungen ist ζ σ-endlich? Maßeigenschaften klar! 4

25 ζ σ-endlich Ω a (abzählbar). Es sei (Ω, A) := ({,, 0,, }, P({,, 0,, }). Für jedes A Ω werde µ(a) := n A n (= 0, falls A = ) definiert. Ist µ eine signierte Mengenfunktion? Ist µ additiv? Ist die Mengenfunktion A ν(a) := max(µ(a), 0) ebenfalls additiv? µ ist trivialerweise Mengenfunktion (endlich). A B = µ(a B) = n = n + n A B n A n B = µ(a) + µ(b) ν = µ 0 ist Mengenfunktion, aber nicht additiv: A := {, } ν(a) = 3 0 = 0 B := {, } ν(b) = 3 0 = 3 A B = {,,,, } ν(a B) = 0 0 = 0. Ist Ω abzählbar, A = {A Ω : A < A c < } und { 0, A < µ(a) :=, A c < so zeige man, dass µ additiv aber nicht σ-additiv ist und, dass eine Folge (A n ) aus A existiert mit A n Ω und µ(a n ) = 0 n N. n o.e.d.a. Ω = N A n := {,..., n}, A n Ω, µ(a n ) = 0, µ(ω) = Ω = n N {n}, µ(ω) = µ({n}) = 0 µ nicht σ-additiv. A, B A, A B = A < B < A B < µ(a B) = 0 = µ(a) + µ(b) A = A c <, A B = B A c B < Somit µ(a) + µ(b) = = µ(a B) 5

26 3. Beweisen Sie: µ sei ein σ-endliches Maß auf einem Halbring H. Dann gilt: I N (D n, n I) : D n H, disjunkt, n I D n = Ω, µ(d n ) < n I. Zunächst: A, B,..., B m H D j H D j D k = A \ m i= B i = A m i= Bc i = m i= (A \ B i) = D j = m i= ( j J i D ij ) }{{} H = m (j,...,j m) J J m i= D iji }{{} H ( ) = : k j= D j Weil µ σ-endlich ist (A n ) n I : I N, µ(a n ) < n, Ω = n A n Nach ( ): n (Dj n ) j Jn : C n := A n \ n }{{} i= A i = j J n Dj n H C n alle disjunkt Ω = n C n = n j J n Dj n q.e.d. }{{} H 4. Es sei Ω := {,, 3, 4, 5}, H := {, {}, {, 3}, {4, 5}}, µ( ) := 0, µ({, 3}) := µ({4, 5}) := µ({}) := Ist H eine Halbalgebra? Ist µ ein Inhalt? Wen ja, dann setzen Sie ihn auf A(H) fort! H ist nicht Halbalgebra, denn Ω H Aber: H ist Halbring. µ ist Inhalt. R(H) = H {{,, 3}, {, 4, 5}, {, 3, 4, 5}, {,, 3, 4, 5}} µ({h}) = 3 R(H) ist Algebra! klar! (denn A R(H) A c R(H), aber R(H) ist ring, der Ω enthält.) Damit ist Fortsetzung gegeben! 5. Auf Ω := (0, ] Q ist das Mengensystem T := {I b a := {x Ω : a < x b} : 0 a b } gegeben und auf µ wird eine Mengenfunktion µ difiniert durch µ(i b a) = b a. 6

27 (a) Zeigen Sie, dass T eine Semialgebra ist. (b) Zeigen Sie, dass µ ein Inhalt ist aber kein Maß sein kann. (c) µ ist stetig von unten und von oben. (a) T, Ω T, I b a I d c c a b d Ic d \ Ia b = Ic a Ib d Ia b Ic d = Ia b d c (b) µ(ia) b + µ(ib c) = b a + c b = c a = µ(ic a) = µ(ia b Ib c) µ(ω) = µ(i0 ) = Aber Ω = {r, r,... } I rn r n ɛ µ(ω) ɛ n ɛ für bel. n ɛ > 0 Widerspruch!! (c) Ia bn n a n a = inf a n, b n b = sup b n µ(ia bn n ) = µ(ia) b Für Ia bn n analog Folgerung: Der Definitionsbereich Ring im Stetigkeitssatz kann nicht durch Semiring ersetzt werden! 7

28 .5 induzierte Maße & Mengensysteme. Sei Ω = {0,, }, C = {, {0}, {}, {}, {, }}. Man zeige, dass C ein Semiring ist und bestimme alle Maße auf C mit µ({, }) =. C, {} {, } = {} {} Semiring! µ({}) = α µ({}) = α 0 α µ( ) = 0, µ({0}) = β 0.. Ω = {,, 3}, Welche Mengensysteme C sind Semiringe über Ω? (a) C = {, {}, {}, {3}} (b) C = {, {}, {, }} (c) C = {{}, {}, {3}} Lösung: (a) ja (b) nein: {, } \ {} = {} / C (c) nein: {} \ {} = / C 3. Man gebe alle Ringe über Ω = {,, 3} an. Lösung: R = { }, R = P(Ω), R 3 = {, Ω}, R 4 = {, {} }, R 5 = {, {} }, R 6 = {, {3} }, R 7 = {, {, } }, R 8 = {, {, 3} }, R 9 = {, {, 3} }, R 0 = {, {}, {}, {, } }, R = {, {}, {3}, {, 3} }, R = {, {}, {3}, {, 3} }, R 3 = {, {}, {, 3}, Ω }, R 4 = { {}, {, 3},, Ω }, R 5 = { {3}, {, },, Ω } Typ : R = { } Typ : R = {, A} A Ω Typ 3 : R = {, A, A c, Ω} = A Ω Typ 4 : R = {, {i}, {j}, {i, j} } Typ 5 : R = P(Ω) 4. Q 0 bezeichne die Menge der rationalen Zahlen aus (0, ] und M := {{x Q 0 : a < x b} : 0 a b }. Beweisen Sie, dass M ein Halbring ist, und dass jedes A M entweder leer ist oder unendlich viele Elemente enthält. Bestimmen Sie A σ (M)! Beweis: ) = (a, b] Q = (a, b] mit a = b 8

29 ) (a, b ] (a, b ] = (max(a, a ), min(b, b )] 3) (a, b ] (a, b ] a a b b (a, b ] (a, b ] = Sei q Q 0 ) = (b, b ] falls a = a ) = (a, a ] falls b = b 3) = (a, a ] (b, b ] sonst {q} = n N(q n, q + n ] M σ R σ (M) A σ (M) R σ (M) = P(Q 0 ) Min kommt auf Ω an ) Ω = Q 0 oder Ω = Q 0 : A σ (M = P(Ω) ) Ω = [0, ] A σ (H) = {A : A c Q 0 \ {0} A Q 0 \ {0} = P(Q 0 ) Ist A M = A = {x Q 0 : a < x b} mit a < b aber: in (a, b] viele rationale Zahlen, also. 5. Bestimmen Sie R σ (H) und A σ (H) für den Halbring H. H := {{x Q 0 : a < x b} : 0 a b, a, b Q 0 } Lösung: Sei q Q 0 {q} = (q n, q + n ] Q 0 H σ R σ (H) A σ (H) n= R σ (H) = P(Q 0 ) A σ (H) = {A : A c Q 0 A Q 0 } = P(Q 0 ) (rechte Seite ist tatsächlich σ-algebra) 6. Man zeige, dass ein Semiring im weiteren Sinn im Allgemeinen kein Semiring im engeren Sinn (wie in VO definiert) ist. Beweis: Gegenbeispiel: T = {, {0}, {}, {}, {0,, } } 7. Man zeige: ist C ein beliebiges Mengensystem, so gilt R σ (C) = R σ (c) c C: c ℵ 0 Beweis: c C R σ (c) R σ (C) c C 9

30 R σ (c) R σ (C) c C: c ℵ 0 A n R σ (c) n c n : A n R σ (c n ) c C: c ℵ 0 }{{} =:S A n R σ ( c n ) A n R σ ( c n ) N c n ℵ0 A, B S c A, c B : A R σ (c A ), B R σ (c B ) A, B R σ (c A c B ) A \ B R σ (c A c B ) 8. Geben Sie an, ob die folgenden Mengensysteme Semiringe, Semialgebren, Ringe, Algebren, σ-ringe, σ-algebren, Dynkin-Systeme, monotone Systeme oder keines davon sind. (a) Ω =, C := {A Ω : A < A c < } (b) Ω beliebig, C := {A Ω : A ℵ 0 A c ℵ 0 } (c) Ω =, C := {A Ω : A < } (d) Ω = k, k N, k, C = {A Ω : A 0 mod } Lösung: (a) Algebra Ω = N Ω, A n = n An / C kein Dynkin-System kein σ-ring, nicht monoton (b) σ-algebra (c) Ring aber nicht monoton kein Dynkin-System, kein σ-ring (d) Ω C, A = n A c = (k n) A c C n n A i = n i, A i A j = A i = n i i= i= C Dynkin-System C < C monoton aber A B / C i.a. Bsp: A = {, }, B = {, 3} A B = 9. Man zeige: A ist eine Algebra ) Ω A ) A, B A B \ A A Beweis: : A Algebra Ω A, A A A c A A, B A A B A B \ A = B A c A n A i C 30

31 : A A, Ω A A c = Ω \ A A A, B A A \ B c = B A A A, B A A c B c A A B = (A c B c ) c A 0. (a) Ist (R n ) eine Folge von Ringen mit R n R n+ n N, so gilt R = n= R n ist ein Ring. (b) Ist (R n ) eine Folge von σ-ringen mit R n R n+, so ist R = n= R n i.a. kein σ-ring. Beweis: (a) A R n, B R n A, B R n n B \ A, A B, A B R n n R (b) Ω = N, R n = P({,..., n}) R n ist σ-ring R n R n+ R = n N R n = {A N : A < } A n := {,..., n} R aber A n = N / R. Welche Struktur (Halbring, Halbalgebra, Ring,... ) besitzt die Klasse der beschränkten d-dimensionalen Mengen? Lösung: Ring ( Halbring) keine Algebra, kein σ-ring kein Dynkin-System aber -stabil. Muss gelten R σ (T) = M(T), wenn T eine Semialgebra ist? Lösung: T := {, Ω = {0,,, 3}, {0}, {}, {0, }, {, 3} } T ist Semialgebra, Ω T, A, B T A B T {0} Ω, Ω \ {0} = {,, 3} = {} {, 3}, {0} {} = {0, } T, {0} {} {, 3} = Ω {} Ω analog Ω \ {0, } = {, 3}, Ω \ {, 3} = {0, } T ist endlich T ist monoton Aber {} {, 3} = {,, 3} / T T keine Algebra 3. Man bilde die von den folgenden Mengensystemen erzeugten σ-algebren (a) Ω beliebig, A Ω, C = {A} (b) Ω beliebig, C A := {B : A B} (c) C := {A R : A = } 3

32 Lösung (a) S(C) = {, Ω, A, A c } (b) A σ (C A ) = C A P(A c ) Ω C A A σ (C A ) B A σ (C A ) ) B C A A B B c A c B c P(A c ) A σ (C A ) ) B P(A c ) B A c B c A B c C A B n A ) B n P(A c ) n B n P(A c ) A σ (C A ) ) B C A A B B n B n C A A σ (C A ) (c) A σ (C ) = {A R : A ℵ 0 A c ℵ 0 } 4. Sind T, T Semialgebren, so gilt: A σ (T T ) = A σ (T) mit T := {A : A = A A : A i T i } Beweis: A T A = A Ω T, analog A T A = Ω A T T T T A σ (T T ) A σ (T) Umgekehrt gilt T A(T T ) A σ (T T ) und A σ (T T ) ist σ-algebra Somit A σ (T) A σ (T T ) 5. (H i ) i I sei eine Familie von Halbalgebren über Ω, C := { A ij, i j I, j =,,... }. j= Dann ist A σ ( i I H i ) = A σ (C). ) C A σ ( i I H i) A σ (C) A σ ( i I H i) ) H i C i I klar H i A σ (C) i I H i A σ (C) A σ ( i I H i) A σ (C) 6. Sei Ω eine beliebige Menge und C = {A,..., A n } ein System verschiedener Teilmengen von Ω. Man schreibe A σ (C) explizit an und schätze 3

33 A σ (C). Lösung: A ɛ i := { Ai, ɛ = A 0 i, ɛ = 0 { n g := : (ɛ,..., ɛ n ) {0, } n} g n i= Weiters ist klar, dass je verschiedene Mengen aus g disjunkt sind. Sei g = {D,..., D m } die verschiedenen Durschnitte in g. Bilde A = {, k j= D i j : {i,..., i k } {,..., m}, k m} Offensichtlich gilt A = A σ (C) und A = m ( m ) k=0 k = ( + ) m (n ) 7. Man zeige, dass jeder σ-ring endlich oder überabzählbar sein muss. Beweis: R ein σ-ring, R =, (A n ) eine Folge verschiedener Mengen aus R, d.h. n m A n A m. A := R n N { g := n N Def: A ɛ n = A ɛn n : (ɛ, ɛ,... ) {0, } N} { An, ɛ = A \ A n, ɛ = 0 Klarerweise gilt: A n = D D g, D A n n N g < es gäbe höchstens endlich viele verschiedene A n g = D, D g D D n : ɛ n = in D ɛ n = 0 in D oder umgekehrt D D = Sei nun (D n ) eine Folge verschiedener und damit diskunkter Mengen aus g. Bilde für jede Binärfolge (b n ) die Menge B(b, b,... ) := n:b n= Klarerweise folgt aus (b, b,... ) ( b, b,... ) auch B(b, b,... ) B( b, b,... ). Aber { (b, b,... ) : b i {0, } } > ℵ 0 8. Ist T : Ω Ω eine Funktion und A eine σ-algebra auf Ω, so zeige man, dass T (A) i.a. weder ein Semiring noch ein Dynkin-System sein muss. D n 33

34 Beweis: Gegenbeispiel: Ω = {,, 3, 4}, Ω = {a, b, c} T () = T () = a, T (3) = b, T (4) = c Sei A := { }, {}, {4}, {, 4}, {, 3}, {, 3, 4}, {,, 3}, Ω ist offensichtlich σ-algebra T (A) = {, Ω, {a}, {c}, {a, c}, {a, b} } Wegen {a, b}\{a} = {b} / T (A) kein Semiring und auch kein Dynkin- System 9. Ist C ein beliebiges Mengensystem, so gilt: M(C) = R σ (C) R(C) M(C) Beweis: : M(C) = R σ (C) R(C) R σ (C) R(C) M(C) : R(C) M(C), M(C) monoton M ( R(C) ) M(C) Somit M(C) = M ( R(C) ) ( ) = R σ R(C) R(C) R σ (C), R σ ist σ-ring R(C) R σ (C) R(C) = R σ (C) 0. Ist C, so gilt: (a) A R σ (C) (C n ) : C n C n A N C n (b) A R(C) C,..., C n : C i C, i =,..., n A n i= C i Beweis: (a) S := {B : (C n ) : C n C n, B C n } B i S i B i C n,i B i S i N i N n N B, B S B \ B B C n, S n N S ist also ein σ-ring R σ (C) S (b) geht analog. Man zeige, dass das System der Borelmengen auf R erzeugt wird durch (a) die offenen Mengen (b) die abgeschlossenen Mengen (c) die kompakten Menge Beweis: 34

35 (a) (a, b) = ( ] a, b (a, b) B n N Umgekehrt (a, b] = ( ) a, b + n N ( ) Somit liegen alle halboffenen Intervall im R σ (a, b), a, b R, jede offene Menge ist eine Vereinigung abzählbar vieler offener Intervalle (siehe Kolmogoroff-F..) (b) abgeschlossene Mengen sind Komplemente offener Mengen (c) Die beschränkten abgeschlossenen Intervalle [a, b] sind kompakt (Heine-Borel) B R σ (K), K System der kompakten Mengen. Da jede kompakte Menge abgeschlossen ist und die abgeschlossenen Mengen in B liegen, gilt auch die Umkehrung.. Man zeige, dass der Durchschnitt von Semiringen (i.e.s) i.a. kein Semiring ist. Beweis: Gegenbeispiel: T := {, {0}, {,, 3}, {0,,, 3} } T := {, {0}, {}, {, 3}, {0,, 3}, {0,,, 3} } T Semiring T : {0} : {0,, 3} \ {0} = {, 3} T.. : Ω \ {0} = {, 3} {}, {0} {, 3} = {0,, 3} T, {0} {, 3} {} = Ω T {} : Ω \ {} = {0,, 3} T {, 3} : {0,, 3}\{, 3} = {0} T, Ω\{, 3} = {0} {} {0,, 3} T {0,, 3} : Ω \ {0,, 3} = {} T Semiring T T = {, Ω, {0} } kein Semiring 3. Man zeige, dass für die von einem Ring R erzeugte Algebra A(R) gilt: A(R) := {A : A R A c R} Beweis: S := {A : A R A c R} Da für jede Algebra A gilt A A A c A, muss S A A Algebra, A R S A(R). A S A c S A, B S: ) A, B R A B R S 35

36 ) A R, B c R B c \A = B c A c R (B c A c ) c = A B S 3) A c R, B R: wie oben 4) A c R, B c R A c B c R A B = (A c B c ) c S 4. Man beweise: Ist T ein Semiring, so gilt: R(T) = R := {B : n N A,..., A n T, A i A j =, i = j : B = n i= A i} = R := {B : n N A,..., A n T : B = n i= A i} Beweis: B, B R B = n i= A i,, B = m j= A j, Lemma 8b C,..., C k C j C i = i j B = I C i, B = I C i B B = I I C i R B \ B = m l= C i R wegen Lemma 8a Somit R ein Ring R(T) R Andererseits R R R mit R T R R(T). Somit R R(T) Offensichtlich R R, ist umgekehrt R ein Ring mit T R, so gilt auch R R R R R = R { n 5. Man beweise, dass T := i= } A i : A i T i, i =,..., n ein Semiring i.w.s. auf Ω ist, wenn alle T i Semiringe i.w.s. sind. Beweis: n = : T i i = A = A = A i, B = i= n T i= B i A B = i= A i B = i= i= B i A i B }{{} i T T i B \ A = B B (A c A c ) = (B B A c ) (B B A c ) = = [ (B \ A ) B ] [ B (B \ A ) ] = = [ (B \ A ) A ] [ (B \ A ) (B \ A ) ] [ A (B \ A ) ] [ (B \ A ) B ] = = [( B \ (A B ) ) A ] [( B \ (A B ) ) ( B \ (A B ) )] [ A ( B \ (A B ) )] i= k (C j A ) j= k j= C j k D k }{{} S j k= S k (C j D k ) k (D k A ) k= 36

37 Für n > vollständige Induktion ( { n } ) T = D i D i T i, T = T n+ i= 6. Ω, Ω seien nichtleere Mengen, f : Ω Ω eine beliebige Abbildung. (a) Ist für jedes Dynkin-System D in Ω f (D ) ein Dynkin-System in Ω? (b) Ist für jedes Dynkin-System D in Ω, D := {B Ω : f (B) D} ein Dynkin-System? Lösung: (a) D Dynkin-System in Ω, f : Ω Ω, D := f (D ) ) Ω D, denn Ω = f (Ω ) ) A, B D, A B A, B D : A = f (A ), B = f (B ), aber es gilt nicht notwendigerweise: A B. Da A B D nicht folgt, hilft hier die Darstellung B \A = B \ (A B ) nicht weiter. B \ A D! 3) f ( A n ) = f (A n ) n= n= Gegenbeispiel: Ω := {,, 3}; Ω := {a, b, c, d} D := {, Ω, {a, b}, {a, c}, {b, d}, {c, d} } ist (nicht -stabiles!) Dynkin- System. f() := a, f() := c, f(3) := d f (D ) = {, Ω, {}, {, }, {, 3}, {3} } ( ) kein Dynkin-System! {, } \ {}, {, 3} \ {} / f (D ) (b) D Dynkin-System in Ω, D := {B Ω : f (B) D} ) Ω D, denn f (Ω ) = Ω D ) B, B D : B B f (B i ) D f (B ) f (B ) f (B \ B ) = f (B ) \ f (B ) D B \ B D 3) (B n ) n=,,... (D ) N disjunkt ( f (B n ) ) n DN, disjunkt N B n D D Dynkin-System 37

38 .6 elementare Mengenlehre. Man zeige: A B = C D A C = B D Beweis: A B = C D (A B) C = (C D) C = (C C) D = D (A B C) B = D B }{{} A C. Man zeige: (A B) (B C) A C Beweis: A C = (A C c ) (A c C) = (A B C c ) (A B c C c ) (A c C) (A B) (B C) = (A B c ) (A c B) (B C c ) (C B c ) A C c (A B) (B C) A c C (A B) (B C) folgt aus Symmetriegründen 3. Man beweise: a) i I B i \ ( j I A j ) i I(B i \ A i ) b) i I B i \ ( j I A j ) i I(B i \ A i ) Beweis: a) I B i ( I A c j) = I (B i I A c j) (B i A c i) = (B i \ A i ) b) I B i ( I A c i) = j (( B i ) A c j) i I j (B j A c j) = j (B j \ A j ) 4. Für beliebige Mengen A,..., A n definiere man U k := D k := i < <i k n j= n A ij. Man beweise: U k = D n+ k k n i < <i k n j= Beweis: ω U k ω liegt in mindestens k der Mengen A,..., A n Somit ω Uk c ω liegt in höchstens k der Mengen A,..., A n Dn+ k c = n+ k i < <i n+ k n j= A c ij ω D c n+ k ω liegt in mindestens n + k der Mengen Ac i, d.h. ω n A ij, 38

39 liegt in höchstens n (n + k) = k der Mengen A i Somit ω D c n+ k ω U c k U k = D n+ k 5. Man beweise: a) A B = A B = min{ A, B } b) A B = A + B A B = max{ A, B } c) A\B = A ( B ) d) A B = A B = A + B A B = ( A + B )mod Beweis: a) klar b) A c = A A B = A c B c = ( A)( B ) = A + B A B A B = max{ A, B } c) A \ B = A B c A\B = A B c = A ( B ) d) A B = A B ( A B ) = ( A + B A B )( A B ) = A + B A B } A {{ B } A B + }{{} A B = }{{} A B A B A B A B A { B ω A ω / B ω / A ω B A B = 0 sonst ( A + B )mod = (ω A ω / B) (ω / A ω B) = A B 6. (X n ) n sei eine reelle Folge. Beweisen Sie: lim inf x n = sup inf x k, lim sup x n = inf n k n n N n sup x k n N k n Lösung: x = lim inf x n ist kleinster Häufungspunkt von (X n ) { ɛ > 0 n0 (ɛ) = n 0 : x n x ɛ n n 0 ɛ > 0 (n k ) k, n k : x nk x < ɛ k x ɛ x nk x + ɛ k inf k n x k x ɛ n n 0 (i) sup inf x n x ɛ n k n x nk x + ɛ k n k inf x k x + ɛ n k n (ii) sup inf k nx k x + ɛ n 39

40 In (i) & (ii) ɛ 0 gibt x = sup inf x k n k n x auch??????? Fall x = + c > 0 x n c n n 0 (c) inf x k c n n 0 (ɛ) sup inf x k c k n k k n sup inf x k = k k n Fall x = c R Teilfolge x nk c inf k n x k c n sup n inf k n x k c sup inf = 7. Man beweise: Sei (A n ) eine Mengenfolge, dann gilt: a) lim sup An = lim sup An b) lim inf An = lim inf An c) A n A 0 An A0 d) A n A 0 An A0 e) lim A n = A 0 lim An = A0 Beweis: a) lim n sup k n Ak (x) = n 0 N : n > n 0 : sup k n Ak (x) = sup k n Ak (x) = k n : Ak = k n, x A k x k n A k n N b) Analog zu a) c) A n A 0, x A 0 A0 (x) = x A n : An (x) = lim An = d) Analog zu c) e) lim A n = A 0 lim sup A n = lim inf A n = A 0 (a), (b) lim sup An = A0 = lim inf An 8. Sei a n eine Folge reeller Zahlen; man zeige: lim sup a n = lim n sup a k n k n lim inf n a n = lim n inf k n a k Beweis: lim sup a n =dgr. Hpkt der Folge d.h. ɛ > 0 nk na k d ɛ, n 0 : n n 0 sup k n a k d + ɛ sei n N bel. sup k n n n 0 lim sup k n a k d ɛ lim sup k n a k < d + ɛ a k d + ɛ (ɛbel. Beweis a k d ɛ 40

41 9. Man bilde lim sup a n, lim inf a n, lim sup A n, lim inf A n mit a n := ( ) n (+ n n ) n N, A n := [, a n ]. Lösung: lim sup a n =, lim inf a n = lim sup A n = [, ], lim inf A n = [, ] 0. Sind (A n ), (B n ) zwei Mengenfolgen, so gilt: a) (lim sup A n ) c = lim inf A c n b) lim inf A n lim inf B n lim inf(a n B n ) lim sup(a n B n ) = lim sup A n lim sup B n Beweis: a) ( b) ) c A k = n N k n n N k n A k n N k n n N k n A c k B k } {{ } D (A k B k ) n N k n }{{} E. Man zeige: Beweis: n A k k= R x D n : x A k k n x A k B k k n x (A k B k ) k n x (A k B k ) n k n n N : K n : x A k x B k, o.e.d.a.x A k x A k A k n k n n k n n k n : x A k n k n : x B k n A k = ( k= k= n ) A k k= ( Ak A k+ ) } {{ } R n A k A k A k+ k= n k= A k 4 n k= A k k

42 Sei umgekehrt ω ( n ) A k k= n A k (ω A k K =,..., n) ω ( n ) A k \ k= def. für: ω ( n ) ( n ) A k \ A k : k= k= n(ω) = min{k : ω / A k } Sei n(ω) > ω A n(ω), ω / A n(ω) ω A n(ω) \ A n(ω) n ( ) A n(ω) A n(ω) Ak A k+ k= Sei n(ω) = ω / A, definiere in diesem Fall: l(ω) = min{k : ω A k } l(ω) n Somit ω / A l(ω), ω A l(ω) ω A l(ω) A l(ω) n k= k= A k A k+. Bestimmen Sie lim inf A n und lim sup A n für folgende Mengenfolgen: a) A n := [0, ], falls n gerade und := [, ], falls n ungerade ist; b) A k := [ + k, k ], A k := [ k, + k ] k N; c) A n := (0, n ], falls n gerade und := ( n, ), falls n ungerade ist. Sind die Folgen isoton? Sind sie konvergent? Lösung: a) A = lima n = A k = [0, ] = [0, ] k N k n k N A = lima n = A k = {} = {} k N k n k N Nicht isoton, nicht konvergent! b) A = n N[ + n, + ] = [, ] n A = n N k n[ n, n ] = [0, ) = [0, ) n N Nicht isoton, nicht konvergent! c) A = n N(0, ) = (0, ) A = n N( n, ] = (0, ) n Nicht isoton, aber konvergent! 4

43 3. Es sei ( Ω = R, ) und A n bezeichne die offene Kreisscheibe mit Mittelpunkt ( ) n n, 0 und Radius. Bestimmen Sie lim inf A n und lim sup A n! Lösung: ω A n, ω = (x, y) ) (x ( )n n + y < (*) ) Gelte ω A := lim inf A n n 0 N : ( ) n n 0 x + y n ( )n x + < n n n 0 (**) x + y < x > 0 : n ( )n x > 0 für n () x < 0 : n ( )n x > 0 für n 0() x = 0 : y < A {ω : x + y < } Gelte umgekehrt: x + y < weil t (x ± t) stetig bei 0: δ > 0 : (x t) + y < t : t < δ (x + t) + y < ) (x ( )n n + y < n δ (x, y) A n n δ (x, y) A = lima n = {ω : x + y < } ) Gelte ω A := lim sup A n ( ) für viele n x + y Ang: (0, ), (0, ) A : geht nicht, denn ( ) 0 n + + < gibt n Widerspruch A B := {ω : x + y } \ {(0, ), (0, )} Sei ω = (x, y) B Falls x + y < ω A A Falls x + y = ; Ist x > 0 δ > 0 : (x t) < x für 0 < t < δ ) (x ( )n n + y < x + y = für n δ, n 0() Ist x < 0 δ > 0 : (x + t) < x für 0 < t < δ (x + ( ( )n n ) ) + y < x + y = für n δ, n () Ist x = 0, so ist y = ( ( ) ( )n n + y > ) kommt nicht in Frage, denn (0, ), (0, ) / B Für x > 0 bzw. x < 0 ist ω A n für viele n ω A = A = B A A nicht konvergent! 43

44 4. A... A n sup n Ai (mod) () n= Daraus folgt: A... A n besteht aus alle Elementen x Ω, die einer ungeraden Anzahl der Mengen A,..., A n angehören. Zeigen Sie dies auch direkt (ohne Formel ()) mit Hilfe von vollständiger Induktion! Lösung: vollständige Induktion: n = : A A (mod) trivial Gilt () für n, B n := A... A n A... A n+ = Bn An+ Bn + An+ (mod) n n+ Ai + An+ (mod) = Ai (mod) Direkt: i= i= n = : A A = {x : (x A x / A ) (x / A x A )} x in genau einer der Mengen. Ansonsten kommen nur die ge???? Anzahlen 0 der in Frage Gilt für n: B n = A... A n = {x : x A k für eine ungerade Anzahl der A k } B n A n+ = (B n A n+ (A n+ B n ) = = {x : x A x für eine ungerade Anzahl von A k (k n) x / A n+ } {x : x A k für eine gerade Anzahl von A k (k n) x A n+ } = {x : x A k für eine ungerade Anzahl von A k (k n + )} 5. Ω,..., Ω n seien nichtleere Mengen, A i Ω i (i =,..., n) Teilmengen, Ω := n i= Ω i := Ω Ω n, A := n i= A i. Dann gilt: n A c := Ω A = (A A i A c i Ω i+ Ω n ) i= (Wesentlich ist die Darstellung von A c als Vereinigung disjunkter Mengen! Bei A c i bezieht sich die Komplementbildung natürlich auf Ω i - Veranschaulichen Sie sich die Gleichung anhand von Beispielen in der Ebene bzw. im dreidimensionalen Raum!) Lösung: x = (x,..., x n ) A c i(x) := min{i : x i / A i } x A,..., x i A i, x i A c i x n i= (A A i A c i Ω i+ Ω n ) Umgekehrt: x n i= (A A i A c i Ω i+ Ω n ) x i / A i x A c 44

45 A A c A c A A A A c Ω A A c 3 6. Man beweise: lima n lima n Beweis: m n : m > n : A k A k k n k n A k A m k n k m k m A k = A k A k m N k n k m A k A k = lima n k n m N k m A k lima n n k n A k n 7. Ist (A n ) eine Mengenfolge, so zeige man, dass gilt: lima n = {w : w liegt in unendlich vielen A n } 45

46 lima n = {w : w liegt in fast allen A n } Beweis: lima n = A k n k n w lima n n k : w A k n = : k = min{k n : w A k }, n = k +, k = min{k n : w A k } n j = k j +, k j = min{k n j : w A k } w A kj j mit k < k < w in vielen A k w in vielen A k Teilfolge (k j ) w A kj j j k j j : w A kj w A k j k j ( ) c (lima n ) c = A k = A c k = {w : w in Ac n i o} n k n n k n (lima n ) = {w : w in fast allen A n } 8. Man zeige, dass für monoton wachsende Mengenfolgen gilt: lim A n = An und analog beweise man, dass aus A n folgt lim A n = A n. Beweis: lim sup A n = A k A k A k... n k n k n k A n A k = A n lima n = A k = k n n k n n N Somit A n = lima n lima n A n n n A n lima n = lima n = N A n A n A c n lima c n = lima c n = A c n lima n = lima n = ( A c n ) c = An 9. Man zeige: a) lim inf An = lim inf An b) lim sup An = lim sup An Beweis: Sei w fest, ( An (w) ) ist eine Folge aus {0, } (der Indikator kann nur 0 annehmen) Somit: lim An (w) {0, } 46

47 Sei lim An (w) = 0 (i k ) : Aik (w) = 0 w k N A c i k w / A k liman (w) = 0 n k n Sei lim An (w) = es gibt höchstens endlich viele n mit An (w) = 0 n 0 : n n 0 : An (w) = w liegt in fast allen A n w lima n liman (w) = 0. Ist R (R P(Ω)) ein Mengensystem, für das gilt: A, B R A B R A B R, so ist (R,, ) ein Ring im Sinne der Algebra. Beweis: ) A (B C) = (A B) C A (B C) = A [(B C c ) (B c C)] c [(B C c ) (B c C)] A c = = A [(B C c ) c (B c C) c ] (A c B C c ) (A c B c C) = = A [B c C) (B C c )] (A c B C c ) (A c B c C) = = A [(B c B) (B c C c ) (B C) (C C c )] (A c B C c ) (A c B c C) = = (A B C) (A B c C c ) (A c B C c ) (A c B c C) symmetrisch in A, B, C Beh. ) A B = B A 3) A = A 4) A A = 5) A (B C) = (A B) C 6) A (B C) = (A B) (A C) Beweis: A (B C) = A [(B C c ) (B c C)] = = (A B C c ) (A B c C) (A B) (A C) = = [(A B) (A C) c ] [(A B) c (A C)] = = [(A B) (A c C c )] [(A c B c ) (A C)] = = (A B C c ) (A B c C) mit Indikatoren: A B = A + B A B A (B C) = A + B C A B C = = A + B + C B C A ( B + C B C ) = = A + B + C ( A B + A C + B C ) + 4 A B C symmetrisch in A, B, C. Sind I,..., I n endliche Indexmengen, so gilt für beliebige Mengen A i,j i =,..., n, j I i : 47

48 (a) (b) n j I i A i,j = n i= (j,...,j n) Xi= n I i i= n j I i A i,j = n i= (j,...,j n) Xi= n I i i= A i,ji A i,ji Beweis: (a) w n i= j I i A i,j i j i I i : w A i,ji (j,..., j n ) X n i=i i : w w (b) de Morgan. Man beweise: (a) A B = A c B c n (j,...,j n) Xi= n I i i= (b) A B = (A B) \ (A B) (c) A B = B A (d) A \ B = A (A B) (e) A A = (f) A A c = Ω Beweis: A i,ji n i= A i,ji (a) A B = (A B c ) (A c B) symmetrisch in A, B und A c, B c (b) (A B) \ (A B) = (A B) (A B) c = (A (A B) c ) (B (A B) c ) = (A (A c B c )) (B (A c B c )) = (A B c ) (B A c ) (c) trivial (d) A (A B) = (A \ (A B)) ((A B) \ A) = A (A B) c = }{{} = A (A c B c ) = A B c (e) A A = (A A) \ (A A) = A \ A = (f) A A c = (A A c ) \ (A A c ) = Ω \ = Ω 48

49 3. I, J, Ω seien nichtleer, A i,j Ω i I, j J X i I A i,j = X i I A i,j j J j J Beweis: x j J X i I A i,j x = (x i ) i I : x i A i,j j x i j A i,j x = (x i ) X i I j J A i,j 49

50 .7 Zerlegungen. Man zeige, dass die Jordan-Zerlegung µ +, µ eines signierten Maßes µ minimal im folgenden Sinn ist: Gilt µ = ν ν für Maße ν und ν, so folgt daraus: µ + ν und µ ν Lösung: (P, N) haben Zerlegung zu µ +, µ ν (A) ν (A P ) ν (A P ) ν (A P ) = µ(a P ) = µ + (A P ) = µ + (A) ν (A) ν (A N) ν (A N) ν (A N) = µ(a N) = µ (A N) = µ (A). Sei λ das Lebesgue-Maß und µ = µ C + µ S ein signiertes Lebesgue- Stieltjes-Maß auf (R, B) mit der Lebesgue-Zerlegung µ C λ, µ S λ. Man zeige: (a) µ S ist λ-fü differenzierbar mit Dµ S = 0 A [ dµc dλ q ] λ-fü. (b) µ C (A) qλ(a) ν(a), A B, q Q mit ν(a) := (dµ C dλ q) dλ (c) Dµ C q + Dν, (d) Dµ C q λ-fü λ-fü auf [ dµ C dλ < q] (e) λ ([ dµ C dλ < q < Dµ C]) = 0, q Q (f) λ ([ dµ C dλ < Dµ C]) = 0 (g) λ ([ dµ C dλ > Dµ C]) = 0 (h) dµ C dλ = Dµ C = Dµ, λ-fü (Hinweis: In der Vorlesung wurde gezeigt, dass aus µ(a) = 0 folgt: µ ist auf A λ-fü differenzierbar mit D µ = 0 λ-fü auf A. Wenn man in (b)-(f) µ durch µ ersetzt, sollte (g) sehr einfach sein.) Lösung: Wegen D( µ) = lim n sup C n und d( µ C) dλ = dµ C dλ, ergibt () angewendet auf µ: µ(c) λ(c) = lim n inf C n µ(c) λ(c) = Dµ λ ([ D( µ) > d[ µ C) dλ 50 )) ([ dµ C ]) = λ Dµ < = 0 dλ

51 Somit genügt es, () zu beweisen. reicht es aus λ ([ dµ C dλ Sei A := [ dµ C dλ < a] Da [ Dµ > dµ C ] [dµ C = dλ dλ < a < Dµ], a Q < a < Dµ]) = 0 zu zeigen. ν(b) := B [ dµc dλ a ] (dµ C dλ a) dλ Wegen ν(a) = 0 folgt aus Satz (S0) Dν = 0 λ-fü auf A Nun gilt: (dµ C µ C (C) aλ(c) = C dλ a) (dµ C dλ C [ dµc ] dλ a dλ a) dλ = ν(c) C B µ C(C) λ(c) a + ν(c) λ(c) C C n λ-fü Dµ C a + Dν n N Damit gilt aber Dµ C a λ-fü auf A λ ([ dµ C dλ < a < Dµ C]) = 0 Wegen Satz (S00) gilt aber auch Dµ S = 0 λ-fü Dµ S = Dµ + Dµ C λ ([ dµ S dλ < a < Dµ]) = 0 5

52 .8 Anwendung: Satz von Fubini. Sind (Ω i, S i, µ i ) i =, zwei σ-endliche Maßräume, so zeige man, dass aus ν i µ i i =, folgt: ν ν µ µ, und dass dann gilt: dν ν = dν dν dµ µ dµ dµ Lösung: Nach dem Satz von Fubini ist ρ(a B) := A B dν dµ (x) dν dµ (y)d(µ µ )(x, y) = A B dν dµ (x) dν dµ (y)dµ (y)dµ (x) = ν (A)ν (B) = ν ν (A B) Also stimmt das Maß ρ für messbare Rechtecke A B mit dem Produktmaß überein und wegen des Fortsetzungssatzes gilt daher ρ = ν ν. Daher ist der Integrand dν dµ dν dµ die Radon-Nikodym-Ableitung von ν ν, d.h. dν ν dµ µ = dν dµ dν dµ Die absolute Stetigkeit folgt aus der Integraldarstellung und braucht nicht extra gezeigt werden.. Man zeige, dass M sin x lim M 0 x dx = π (Hinweis: Verwende den Satz von Fubini und die Relation Lösung: x = 0 e xt dt, x > 0.) 5

53 ( e ax sin bxdx = eax a (a sin bx b cos bx)) + b sin x = cos x, cos x = sin x, dx = arctan x + x M 0 sin x x dx = = = M (sin x [ e tx 0 e xt dt)dx = + t ( t sin x cos x) M 0 0 [ M sin x.e xt dx ] dt 0 ] dt = [ + t e tm + t (t sin M + cos M)] dtm dt + t = arctan t 0 = π 53

54 .9 Stetigkeit von oben. Bei der Definition der Stetigkeit von oben ist die Endlichkeitsbedingung unerläßlich, wenn die Aussagen von Satz 3.7 gelten sollen. Ω = [0, ] { A = P(Ω) ist σ-algebra 0, A abzählbar µ(a) = Ist Maß., A überabzählbar x Ω gilt {x} = n= (x n, x + n ) = n= A n A n 0 = µ{x} = lim n µ(a n ) 54

55 Dichte- & Verteilungsfunktion. Verteilungsfunktion. Man zeige, dass F (x,..., x m ) := min(x,..., x m ) eine Verteilungsfunktion auf R m ist. (Hinweis: Angenommen, es gilt o.e.d.a. a m = max(a,..., a m ), dann gilt für alle x j und a i b i : min(x i, a i, x m i+ ) = min(x i, a i, x m = min(x i, a i, x m i+, a m) i+, b m) mit x k i := (x i,..., x k ), i k. Damit sollte man die Aussage aus der expliziten Gestalt von F folgern können. ) b a F = ɛ m ( ) P m i= ɛ i (F (ɛ m a m + ( ɛ n )b m, b m ) F (ɛ m a m + ( ɛ m )b m, a m )) = 0 ɛ m 0 für ɛ m = 0 erhält man: F (b,..., b m ) F (b,..., b m, a m ) = min b i a m = min b i max a i, falls a m min i m = min b i min b j 0, falls a n > min i m i m. Man zeige, dass i m b i i m b i (a) F : R [0, ] mit 0, x < 0 y < 0 y n (y x) n, 0 x y F (x, y) := y n, 0 y y x ( x) n, 0 x, y >, x, y eine -dimensionale Verteilungsfunktion (im eigentlichen Sinn) ist. (Hinweis: Wenn Sie F als Integral einer nichtnegativen Funktion darstellen ist alles klar!) (b) Ist f : R [0, ] eine Verteilungsfunktion, so ist { f(y) F (x, y) := n (f(y) f(x)) n, x y f(y) n, x > y eine -dimensionale Verteilungsfunktion auf ([0, ], B). 55

56 Lösung: (a) F y = F y x = ny n n(y x) n, 0 x y ny n, 0 y, y x { 0, sonst n(n )(y x) n, 0 x y 0, sonst P ((a, b ] (a, b ]) = b b a a F y x dxdy 0 (b) a b f( a) f( b) und aus a) folgt 0 f( b) f( a) F = b a F 3. Man zeige, dass F (x, y) := ( e x y ) [0, ) (x, y) keine zweidimensionale Verteilungsfunktion sein kann. Wir wählen einen Punkt aus: a = a = 0, b = b = F (, ) F (, 0) F (0, ) + F (0, 0) = e + e + e + e 0 = e e = F ist keine zweidimensionale Verteilungsfunktion. 4. Man zeige, daß eine in jeder Argumentvariable monoton wachsende Funktion keine Verteilungsfunktion sein muss. Lösung: Gegenbeispiel: (0,0) (,0) (0,-) (,-) F (x, y) := {, x + y 0 0, sonst (,0) (0, ) F = µ((0, ] (, 0]) = 56

57 5. Stellen Sie die Verteilungsfunktion F mit F (x) = 0. (,0) (x) + x. [0,)(x) [,)(x) + x +. 4 [,3) (x) +. [3, ) (x) dar als Mischung einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung mit einer Verteilung mit stetiger Verteilungsfunktion. Lösung: {, x [, ) x [3, ) P D (x) = 0, sonst P S ist gegeben durch F (x) = 4 P D P S 0, x < x = x 3, 0 x < P S := 3, x < x = x+ 3, x 3, x > F s 57

58 . Cantorsche Menge. Sei F : R [0, ] definiert durch: 0, x 0 x i / F (x) := i, x C i= sup{f (y) : y x, y C}, x [0, ] \ C, x, x i wobei x = 3 i eine triadische Darstellung von x ohne Eins und C i= die Cantorsche Menge ist. Man zeige : (a) F ist monoton wachsend. (b) F (C) = [0, ]. (c) F ist stetig. (d) F ist auf R \ C differenzierbar mit F (x) = 0. (e) µ F (C) = µ F (R \ C) = 0. (a) Sei x < y C x = i= x i 3 i y = i= k = min{i : x i < y i } Wegen x i, y i {0, } x k = 0, y k = F (x) = k i= i x i + k+ x i 3 i x i i x i i + k k x i i + k i= }{{} yi = i y i k (b) Jedes x [0, ] hat eine Darstellung x = x i i x = F (y) mit y i = x i und y = i= (c) x C c > 0 : n N : (x δ, x + δ) I n,k mit C c = n n k= I n,k F (x δ) = F (x) = F (x + δ) 58 y i 3 i

59 (I, = ( 3, 3 ), I, = ( 9, 9 ), I, = ( 7 9, 8 9 )) x C : F (x) = x = F (x + h) = h > 0. Sei ɛ > 0 : F (x) ɛ < y < x : F (y) = F (x) ɛ β (y, x) gilt F (β) F (x) < ɛ Sei F (x) (0, ), ɛ > 0 : 0 F (x) ɛ < F (x) + ɛ suche y i : F (y ) = F (x) ɛ, F (y ) = F (x) + ɛ z (y, y ) : F (x) F (z) < ɛ F stetig. F (x) F (x y) (d) siehe c): = 0, x I n,k k, n y (e) µ F ((R)) = klar. Aus d) µ F (I n,k ) = 0 n,k µ F (C c ) = 0 59

60 .3 Berechnen der Verteilungsfunktion. Eine stetige Zufallsvariable ξ mit Werten in [0, ) besitze die Dichte f(x) = ax e kx, 0 x und k > 0. Man berechne den Koeffizienten a, die Verteilungsfunktion F und die Wahrscheinlichkeit für das Intervall (0, k ). + Hinweis: Für die Dichte gilt: f(x)dx = Lösung: f(x)dx = ( ) ax e kx dx = ( ) ax e kx dx = a [ x k [ ( = a x k = a ( e kx ke kx { ( x ke kx [ ( x ke kx ) + k 0 ) + 0 ) + k 0 ) + + { x ( k ke kx ) ax ax ke kx 0 }{{} =0 0 0 k e kx 0 }{{} =0 0 0 k e kx a k 3 e kx ( ) ] xe kx dx ( )}] dx ekx 0 0 }] = a k 3 a = k3 60