Filter Transformationen (Blender) INSTITUTE OF COMPUTER GRAPHICS AND ALGORITHMS

Transkript

1 Filter Transformationen (Blender) INSTITUTE OF COMPUTER GRAPHICS AND ALGORITHMS

2 Wozu Filter?

3 Wozu Filter?

4 Beispiel 3 Teil1: Filter anwenden (verschiedene Filter anwenden um diverse Effekte zu erzeugen) Teil2: Filterparameter bestimmen Glättungsfilter (Blur) Kanten/Ecken Detektoren Kanten/Ecken Verstärkung Schwellwertfilter (Threshold) Uniforme Grauwerttransformation (Kontraständerung)

5 Glättungsfilter (Blur Filter) Ziel: Störungen/Rauschen reduzieren, eliminieren Nebenwirkungen: Filter: Kanten verwischen Unschärfe Mittelwertfilter Gaußfilter Binomialfilter Medianfilter

6 Mittelwertfilter (Box-Filter) Faltungskern Alle Gewichte gleich Summe = 1 Bewirkt eine Glättung des Bildes

7 Mittelwertfilter (Box-Filter) Faltungskern Alle Gewichte gleich Summe = 1 Bewirkt eine Glättung des Bildes Beispiel: 3x3 Mittlwertfilter Auch andere Kernelgrößen sind möglich!

8 4-/8-Nachbarschaft Möglichkeiten in 2D: 4-Nachbarschaft Nur Nachbaren mit gemeinsamen Kante 8-Nachbarschaft Auch diagonale Nachbaren

9 4-/8-Nachbarschaft Mittelwertfilter

10 Gaußfilter Gewichtete Mittelung Reduziert Einfluss von weiter vom Filterzentrum entfernten Pixeln

11 Gaußfilter Beispiel: Kernel: 5x5 Sigma: 0,5

12 Gaußfilter Beispiel: Kernel: 5x5 Sigma:? Berechne Sigma

13 Gaußfilter Beispiel: Kernel: 5x5 Sigma:? Berechne Sigma durch umformen und einsetzen vom Zentralpixel G(0,0) = 0,6366 wo für G(0,0) x= 0, y = 0

14 Binomialfilter Gaußfilter-Approximation Beispiel: 3x3 Kernel:

15 Medianfilter Kein Kernel der mit dem Bild gefaltet wird! Ersetzung jedes Pixels durch den Median seiner Nachbarschaft

16 Medianfilter Kein Kernel der mit dem Bild gefaltet wird! Ersetzung jedes Pixels durch den Median seiner Nachbarschaft 1. sortiere Grauwerte der Nachbarschaft: 01, 20, 95, 109, 111, 233, 241, 254, 255.

17 Medianfilter Kein Kernel der mit dem Bild gefaltet wird! Ersetzung jedes Pixels durch den Median seiner Nachbarschaft 1. sortiere Grauwerte der Nachbarschaft: 01, 20, 95, 109, 111, 233, 241, 254, Ergebnis = 111 (der mittlere Pixel) Bei gerader Anzahl von Elementen wird Mittelwert der beiden Werte in der Mitte genommen.

18 Medianfilter Eliminiert Ausreißer (z.b. Salz und Pfeffer -Rauschen ) Im Ergebnisbild entstehen keine neuen Grauwerte

19 Kantendetektoren

20 Wiederholung: 1. und 2. Ableitung Die 1. Ableitung Änderung des Funktionswertes = Steigung an bestimmter Stelle Die 2. Ableitung Änderung der Steigung = Krümmung des Graphen Interpretation in der BV: Ableitung zeigt in Richtung der größten Intensitäts-Änderung = Kanten

21 Wiederholung: 1. und 2. Ableitung Funktion 2. Ableitung

22 Wiederholung: 1. und 2. Ableitung Wie berechnet man die erste Ableitung? Approximation durch

23 Wiederholung: 1. und 2. Ableitung Die 1. Ableitung einer Funktion groß für Bereiche mit starker Steigung im Bild Bereiche mit großen Intensitätsunterschieden, z.b.: Objektkanten Klein für Bereiche mit geringer Steigung im Bild homogene Flächen

24 Diskreter Laplace Operator = Summer der partiellen 2. Ableitungen -> größte Intensitäts-Änderung in x- und y- Richtung Kantendetektor

25 Diskreter Laplace Operator Kernel

26 Diskreter Laplace Operator Kernel Verschiedene Variationen abhängig von Approximation der Ableitungen Gewünschte Filtergröße Gewünschte Noise-Reduction

27 Diskreter Laplace Operator Kernel Verschiedene Variationen abhängig von Approximation der Ableitungen Gewünschte Filtergröße Gewünschte Noise-Reduction

28 Diskreter Laplace Operator Kernel Verschiedene Variationen abhängig von Approximation der Ableitungen Gewünschte Filtergröße Gewünschte Noise-Reduction Eckendetektor

29 Diskreter Laplace Operator Kernel Eckendetektor

30 Eigenschaften Kanten/Ecken -Detektoren Summe des Kernels = 0 Kanten/Ecken -Verstärkung Summe des Kernels >= 1

31 Eigenschaften Kanten/Ecken -Detektoren Summe des Kernels = 0 Kanten/Ecken -Verstärkung Summe des Kernels >= 1

32 Roberts Kantendetektor 2 kleine 2x2 Filter schätzen den Gradienten der Diagonalen Sensibel auf diagonale Kanten Gering richtungsselektiv

33 Prewitt Kantendetektor 3x3 Filter Mittelung über 3 benachbarte Zeilen/Spalten entspricht Glättung Sensibel auf vertikale und horizontale Kanten

34 Sobel Kantendetektor Ähnlich Prewitt, doch bei der Glättung wird mehr Gewicht auf die zentrale Zeile bzw. Spalte gelegt.

35 Kompass Kantendetektor Filter für mehrere Richtungen: {0, 45, 90, 135, 180, 225, 270, 315 } F Bild

40 Filterparameter bestimmen Beispiel 1. durch hinschauen Filterkategorie bestimmen.

41 Filterparameter bestimmen 2. Kernelgröße und (positive) Elemente bestimmen Original Gefiltertes Bild Schwarzer Bereich mit 1 weißen Pixel => 3x3 Kernel

42 Filterparameter bestimmen 2. Kernelgröße und (positive) Elemente bestimmen Original Gefiltertes Bild Schwarzer Bereich mit 1 weißen Pixel => 3x3 Kernel Kantendetektor: Summe des Kernels = 0 => Kernel muss negative Elemente haben, Bilder haben aber keine negativen Werte (werden auf 0 gesetzt).

43 Filterparameter bestimmen 3. Negative Elemente berechnen Original Gefiltertes Bild Schwarzer Bereich mit 1 weißen und 1 grauen Pixel

44 Filterparameter bestimmen 3. Negative Elemente berechnen Original Filter Gefiltertes Bild * =

45 Filterparameter bestimmen 3. Negative Elemente berechnen Original Filter Gefiltertes Bild * = 0*1 + 0*? + 0*1 + 0*? + 1*8 + 0,7*x + 0*1 + 0*? + 0*1 = 5,9 => x = - 3

46 Filterparameter bestimmen 3. Negative Elemente berechnen Original Filter Gefiltertes Bild * = 0*1 + 0*? + 0*1 + 0*? + 1*8 + 0,7*x + 0*1 + 0*? + 0*1 = 5,9 Für alle unbekannten Werte wiederholen! => x = - 3

47 Schwellwertfilter Erzeugt aus einem Grauwertbild ein Binärbild. Bei gewähltem Schwellwert t gilt für jeden Pixel I(x,y): I(x,y) = 0 falls I(x,y) <= t I(x,y) = 1 falls I(x,y) > t

48 Schwellwertfilter Erzeugt aus einem Grauwertbild ein Binärbild. Bei gewähltem Schwellwert t gilt für jeden Pixel I(x,y): I(x,y) = 0 falls I(x,y) <= t I(x,y) = 1 falls I(x,y) > t t=135

49 Schwellwertfilter Bestimmen des Schwellwerts mittels Gradientenbild 0 Jede Bildzeile bzw. jeder Pixel ein Grauwert Gradientenbild als Input Schwellwert t aus Output direkt ablesbar t=

50 Uniforme Grauwerttransformation Histogrammabschneidung (histogram clipping) Histogrammspreizung / -stauchung

51 Uniforme Grauwerttransformation Histogrammabschneidung Intervall [x,y] bleibt erhalten Intensität < x = 0 und Intensität > y = 1 Erkennt man mit Gradientenbild Beispiel: x=70 y=200

52 Uniforme Grauwerttransformation Histogrammspreizung / -stauchung Stauchung von [0,255] im Input zu z.b. [70,200] im Output (Test mit Gradientenbild) Spreizung von z.b. [70,200] im Input zu [0,255] im Output (Test mit 2 Grauwerten im Input und Intervallgrenzen aus Output ablesen) Achtung: nicht mit Clipping verwechseln! Änderung aller Grauwerte vs. Änderung des maximalen/minimalen Grauwerts

53 Uniforme Grauwerttransformation Histogrammspreizung / -stauchung Stauchung von [0,255] im Input zu z.b. [70,200] im Output (Test mit Gradientenbild) Beispiel: x: 0 -> 70 y: 255 -> 200

54 Uniforme Grauwerttransformation Histogrammspreizung / -stauchung Spreizung von z.b. [70,200] im Input zu [0,255] im Output (Test mit 2 Grauwerten im Input und Intervallgrenzen aus Output ablesen) Beispiel x: 70 -> 0 y: 200 -> 255

56 Dot Product a b φ O a b = a b cos φ Michael Hecher 56

57 Dot Product a b φ O a b = a 1 a 2 b 1 b 2 = a 1 b 1 + a 2 b 2 = a b cos φ Michael Hecher 57

58 Dot Product a ( a = 1) If a and b have length 1, the dot product is the cosine of the angle. b ( b = 1) φ O cos φ a b = cos φ Michael Hecher 58

59 Dot Product n a a = 1) b ( b = 1) O φ n cos φ n ab = n cos φ Michael Hecher 59

60 What does this mean in practice? Michael Hecher 60

61 Excample O = = 1 Michael Hecher 61

62 Excample O = = 1.25 Michael Hecher 62

65 If one of the vectors has length 1, the result of the dot product is an orthogonal projection. Michael Hecher 65

66 We can use this fact to accomplish rotations around the origin. Michael Hecher 66

67 Triangle in a Cartesian Coordinate System (Y) C 1 A B 1 (X) Michael Hecher 67

68 Orthogonal Projection on an Axis (Y) C 1 A B x ( x = 1) 1 (X) Michael Hecher 68

69 Orthogonal Projection on an Axis (Y) 1 A C B c x b x a x = x A b x = x B c x = x C x a x 1 (X) Michael Hecher 69

70 Orthogonal Projection on a Second Axis (Y) y c y a y 1 A C x a x B c x b x a x = x A b x = x B c x = x C a y = y A b y = y B c y = y C b y 90 1 (X) Michael Hecher 70

71 Use a x,a y,b x,b y,c x,c y as New Coordinates (Y) We have accomplished a rotation around the origin!!! old location 1 c y a y A C new location b y a x B c x b x (X) Michael Hecher 71

72 Compact Representation of Rotations a x = x A b x = x B c x = x C a y = y A b y = y B c y = y C Michael Hecher 72

73 Compact Representation of Rotations a x = x A b x = x B c x = x C a y = y A b y = y B c y = y C a x = x A a y = y A b x = x B b y = y B c x = x C c y = y C Michael Hecher 73

74 Compact Representation of Rotations matrix notation a x = x A b x = x B c x = x C a y = y A b y = y B c y = y C a x = x A a y = y A b x = x B b y = y B c x = x C c y = y C a x a y b x b y c x c y = x y A = x y B = x y C Michael Hecher 74

75 Rotation Matrix "x-axis" of the rotation point A = x y A rotated point rotation matrix "y-axis" of the rotation Michael Hecher 75

76 Rotation Matrix a x a y = x 1 x 2 y 1 y 2 a 1 a 2 Michael Hecher 76

77 Rotation Matrix a x a y = x 1a 1 + x 2 a 2 y 1 a 1 + y 2 a 2 Michael Hecher 77

78 What about translations? Michael Hecher 78

79 Translate a Point translation 1 A t A A = A + t A = a 1 a 2 + t 1 t2 1 Michael Hecher 79

80 Rotation + Translation Michael Hecher 80

81 First Rotate Then Translate 1) A = x y A 2) A = A + t Michael Hecher 81

82 In one Step A = x y A + t Michael Hecher 82

83 In one Step A = x y A + t A = x y a 1 a 2 + t 1 t2 Michael Hecher 83

84 In one Step A = x y A + t A = x y a 1 a 2 + t 1 t2 A = x 1a 1 + x 2 a 2 + t 1 y 1 a 1 + y 2 a 2 + t 2 Michael Hecher 84

85 In one Step A = x y A + t A = x y a 1 a 2 + t 1 t2 A = x 1a 1 + x 2 a 2 + t 1 y 1 a 1 + y 2 a 2 + t 2 A = x 1a 1 + x 2 a 2 + t 1 1 y 1 a 1 + y 2 a 2 + t 2 1 Michael Hecher 85

86 In one Step A = x y A + t A = x y a 1 a 2 + t 1 t2 A = x 1a 1 + x 2 a 2 + t 1 y 1 a 1 + y 2 a 2 + t 2 A = x 1a 1 + x 2 a 2 + t 1 1 y 1 a 1 + y 2 a 2 + t 2 1 A = x 1 x 2 t 1 y 1 y 2 t 2 a 1 a 2 1 homogeneous coordinate Michael Hecher 86

87 One Last Thing 1x2 vector A = a 1 = x a 1 x 2 t 1 1 a a 2 y 1 y 2 t x3 vector a 1 a 2 1 = x 1 x 2 t 1 y 1 y 2 t a 1 a 2 1 rotation+translation matrix Michael Hecher 87

88 Matrices for 2D and 3D For 2D: x 1 x 2 t 1 y 1 y 2 t For 3D: x 1 x 2 x 3 t 1 y 1 y 2 y 3 t 2 z 1 z 2 z 3 t Michael Hecher 88