2D Graphik: FFT und Anwendungen der Fouriertransformation. Vorlesung 2D Graphik Andreas Butz, Otmar Hilliges Freitag, 25.

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1 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie D Graphik: FFT und Anwendungen der Fouriertransformation Vorlesung D Graphik Andreas Butz, Otmar Hilliges Freitag, 5. ovember 005

2 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie Themen heute Fouriertransformation nochmal anschaulich Berechnung der FFT Restauration linearer Bildstörungen durch inverse Filterung Transformation und Interpolation in Bildern

3 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 3 Fouriertransformation: Grundidee Beschreibe beliebige Funktion als gewichtete Summe periodischer Grundfunktionen (Basisfunktionen) mit untersch. Frequenz

4 Überlagerung von Schwingungen: anschaulich LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 4

5 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 5 Fourier Transformation zum Anschauen du/exploratories/

6 Fast Fourier Transformation LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 6

7 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 7 Vorgehensweise generell Vereinfachende Annahme: k, k> utze Separabilität, um D-FT auf D zurückzuführen (O(n 4 ) O(n 3 )) Teile Summe in zwei Teilsummen auf Finde Gemeinsamkeiten in den Teilsummen und berechne beide Teilsummen miteinander Betrachte die Teilsumme und unterteile rekursiv bis (O(n 3 ) O(n log n)

8 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 8 Separabilität ) ( exp )exp, ( exp exp )exp, ( exp )exp, ( ) ( )exp, ( ), ( m u m n m n m n m n m F um i vn i n m f um i um i vn i n m f vn i um i n m f vn um i n m f v u F π π π π π π π π Vorgehensweise: F u (m) für alle Spalten m berechnen und dann bei den Zeilen verwenden.

9 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 9 Divide Schritt ) ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) )( ( ) ( exp, K n u n K K n nu K K n un K n un W n f K W n f K W n f K W n f u F i W K π ( ) u K odd even K n nu K odd K n nu K even W u F u F u F W n f K u F W n f K u F ) )( ( ) ( ) ( ) )( ( ) (, ) )( ( ) ( Finde Gemeinsamkeiten in den Teilsummen Teile Summe in zwei Teilsummen auf

10 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 0 Ausnutzen der Periodizität u+ u u+ ( W ) ( W ),( W ) ( W ) F K ( ) u ( u + K ) F ( u + K ) + F ( u + K )( W ) ( F ( u) F ( u)( W ) u ) even K even odd K K odd K u K Also kann man F(u+K) mithilfe F(u) berechnen (einmal F even + F odd, einmal F even F odd ) Betrachte die Teilsumme [0 K-] und unterteile rekursiv bis K (O(n 3 ) O(n log n)

11 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie Restauration linearer Bildstörungen

12 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie Beispiel I: Bewegungsunschärfe Über einen Zeitraum Δt wird ein Objektpunkt p auf immer andere Punkte auf dem CCD-Chip abgebildet. Bei unbewegter Kamera sei die Bildhelligkeit des abgebildeten Punkts h. Dann ist sie bei bewegter Kamera h/δs, wobei Δs die zurückgelegte Strecke ist. Wenn Δs für alle Punkte gleich ist, dann lässt sich die Veränderung durch eine Faltung beschreiben.

13 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 3 Bewegungsunschärfe Faltungskern ist eine Funktion w mit Der Winkel α gibt die Bewegungsrichtung an. Die Strecke Δs gibt die Strecke an, um die sich der Punkt bewegt hat:

14 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 4 Bewegungsunschärfe * Gestörtes Bild Original Faltungskern

15 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 5 Repräsentation linearer Störungen Jede verschiebungsinvariante lineare Operation wird vollständig durch die Faltungsfunktion beschrieben. Die Faltungsfunktion beschreibt die Operation für beliebige Bilder Die Faltungsfunktion kann als Resultat der Veränderung eines Punkts erzeugt werden Punktantwort Point Spread Function (PSF)

16 Beispiel II: Fokussierungsunschärfe Maß der Unschärfe hängt vom Punktabstand z, der Brennweite der Linse f und der Kammerkonstante f k ab. Linsengesetz: Größe des Unschärfekreises: Unschärfe kann durch Aufnahme eines punktförmigen Testobjekts angenähert werden. LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 6

17 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 7 Fokussierungsunschärfe Wie kann die Störung rückgängig gemacht werden?

18 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 8 Bildrestauration Ziel: Korrektur des Bildsignals um bekannte und unbekannte Störungen Annahme: Störung kann durch einen verschiebungsinvarianten linearen Operator h beschrieben werden. g(x,y) (Störung durch PSF h) g'(x,y) g'(x,y) [h*g] (x,y) PSF beschreibt die Störung Wie kann die PSF bestimmt werden?

19 Gesucht: PSF LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 9

20 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 0 PSF von Testbildern Annahme: Störung ist unveränderlich und Testaufnahme ist möglich. Durch die Aufnahme eines punktförmigen Objekts kann ein δ-impuls approximiert werden. Aufnahme ist eine äherung für die PSF.

21 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie PSF aus dem aufgenommenen Bild Testaufnahme ist nicht möglich: äherungsweise Bestimmung der PSF durch Betrachtung von Punkten oder Linien im gestörten Bild.

22 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie Kanten Die meisten Bilder weisen wenige Linien oder Punkte auf, aber Kanten können in fast jedem Bild gefunden werden.

23 D-Kanten LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 3

24 Kanten im D-Raum: Gradienten Gradient im kontinuierlichen Raum (x,y): Vektor der partiellen Ableitungen der Bildfunktion in x- und y-richtung: (f(x,y)) ( f/ x f/ y) Approximation des Gradienten: Differential wird durch Differenz approximiert: Die Länge des Gradienten ist sein Betrag G(f) oder näherungsweise Gx + Gy. LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 4

25 Elemente des Gradienten LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 5

26 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 6 PSF aus Kanten PSF kann auch aus dem Verlauf einer als ideal angenommenen Kante approximiert werden.

27 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 7 Invertierung der Störung Überführung der Repräsentation in den Frequenzraum: G'(u,v) FT[g'(m,n)] FT[[h*g](m,n)] H(u,v) G(u,v) Invertierung: g(m,n) FT - [G'(u,v)/H(u,v)] (Inverse Filterung)

28 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 8 Inverse Filterung FT - ( / ) Vollständige Rückgewinnung der Information aus den gestörten Daten

29 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 9 Bewegungsunschärfe PSF FT(PSF)

30 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 30 Bewegungsunschärfe Resultat der inversen Filterung FT - [FT (g )(u,v)/ft(psf)(u,v)]

31 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 3 umerische Probleme bei der inversen Filterung g h* f f ( m, n) FT (, v) ( ) u, v G u H Problem: ullstellen von H Treten auf, falls h als Matrix nicht den vollen Rang hat Auch kleine Werte von H sind numerisch schon ein Problem Deswegen in der Praxis: F ( u v) G u H 0 (, v) ( u, v) H ( u, v) > sonst H, min

32 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 3 Rauschen Problem: Inverse Filterung geht von idealen (ungestörten) Daten aus In Wirklichkeit enthalten Bilddaten Rauschen Dieses Rauschen wird bei der inversen Filterung extrem verstärkt Rauschen lässt sich nicht herausrechnen, da es nicht wiederholbar ist

33 Rauschen LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 33

34 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 34 Ad-hoc Lösung Gewichte die Wirkung der inversen Filterung mit der Amplitude der Störungsfunktion im Verhältnis zur mittleren Amplitude H ( u, v) H ( u, v) A Problem:Gewichtung nimmt keine Rücksicht auf die Signalstärke von F

35 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 35 Wiener Filter H ( u, v) H ( u, v) H + ( u, v) S ( u, v) η S f ( u, v) oder H ( u, v) H ( u, v) ( u, v) + k H Wobei S η und S f die Spektren des Rauschens bzw. der ungestörten Funktion sind S η 0 (ungestört) perfekte inverse Filterung Leider ist S η in der Praxis meist unbekannt Lösung: heuristisches Wiener Filter mit k

36 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 36

37 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 37

38 Transformation und Interpolation LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 38

39 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 39 Transformation und Interpolation Die Transformationen Translation, Rotation und Skalierung sind auf reellen Zahlen definiert: Digitale Bilder haben einen ganzzahligen Definitionsbereich. ach Transformation ist eine Interpolation notwendig.

40 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 40 Interpolation Konstante Interpolation (Wert des nächsten achbarpixels) Lineare Interpolation Interpolation durch Polynome höheren Grades. Interpolation im Frequenzraum.

41 Konstante Interpolation LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 4

42 Bilineare Interpolation LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 4

43 Polynome höheren Grades Interpolation der Bildfunktion durch mehr als Stützpunkte Polynom n-ten Grades interpoliert n+ Punkte Die Bildfunktion wird besser angenähert, wenn mehr Terme der Taylor-Approximation berücksichtigt werden. Ableitungen für die Taylor-Reihe werden durch Differenzen angenähert. Grad des Polynoms ist ein Kompromiss zwischen steigender Anzahl berücksichtigter Terme der Taylor-Reihe. steigender Ungenauigkeit der geschätzten Ableitungen. bilinear bikubisch LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 43

44 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 44 Interpolation im Frequenzraum Die Basisfunktionen der Fouriertransformation haben einen reellen Definitionsbereich. Ein Funktionswert kann an beliebiger Stelle (x,y) bestimmt werden durch Die Interpolation ist exakt, falls die ursprüngliche Funktion f bandbegrenzt ist (was die meisten Funktionen jedoch nicht sind).

45 LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS Folie 45 Literatur Klaus D. Tönnies: "Grundlagen der Bildverarbeitung", ISB r&isbn &pszielgruppestudent