Was bisher geschah. digitale Bilder: Funktion B : pos col Matrix B col pos. Punktoperationen f : col 1 col 2

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1 Was bisher geschah digitale Bilder: Funktion B : pos col Matrix B col pos statistische Merkmale Punktoperationen f : col 1 col 2 (Bildanalyse) (Farbtransformation) Geometrische Operationen f : pos 1 pos 2 (Koordinatentransformation) Interpolation der Intensitäten 1D- und 2D-Signale (analog, digital) Digitalisierung (Abtastung) von 1D- und 2D-Signalen Aliasing-Effekte Faltung von Signalen (Funktionen) Fourier-Transformierte / inverse Fourier-Transformierte und darin enthaltene Informationen über das Bild 113

2 Wiederholung Fourier-Transformation Bild B col pos Diskrete Fourier-Transformation F : col pos C pos m 1 m 1 (u, v) pos : F (B)(u, v) = B(x, y)e 2πi(ux/m+vy/n) x=0 y=0 inverse Fourier-Transformation F 1 : C pos R pos mit (x, y) pos : F 1 (C)(x, y) = 1 mn C(u, v)e 2πi(ux/m+vy/n) m 1 n 1 u=0 v=0 Anwendungen der Fourier-Transformation in der Bildverarbeitung: Erkennung typischer Bildeigenschaften, z.b. Größe, dominante Richtungen der Strukturen Transformation eines (Gesamt-)Bildes B in drei Schritten: 1. Fourier-Transformation C = F (B) C pos 2. Änderung der Fourier-Transformierten zu C (z.b. Löschen von Teilbildern) 3. inverse Fourier-Transformation B = F 1 (C ) 114

3 Transformationen im Frequenzraum punktweise Transformation f : pos C der Werte in der Fourier-Transformierten C C pos durch Multiplikation mit einer Funktion f : pos R Beispiel ( mit Abstand d, z.b. d(u, v) = u 2 + v 2 ): Tiefpass mit Schwellwert (Cut-Off-Frequenz) θ R { 1, falls d(u, v) θ f T (θ) (u, v) = 0 sonst Glättung, aber Ringing-Artefakte möglich 115

4 Mehr Beispiele Hochpass mit Schwellwert (Cut-Off-Frequenz) θ R { 0, falls d(u, v) θ f H(θ) (u, v) = 1 sonst Hervorhebung von Kanten Bandpass mit Schwellwerten θ 1, θ 2 R { 1, falls θ1 d(u, v) θ f B(θ1,θ 2 )(u, v) = 2 0 sonst Bandstop (analog) mit Schwellwerten θ 1, θ 2 R 116

5 Vermeidung der Ringing-Artefakte Idee: Wert (Amplitude) bei steigenden / fallenden Frequenzen stetig statt stufenförmig ändern Beispiel: Butterworth-Filter f T (θ) (u, v) = ( d(u,v) θ ) 2n (Tiefpass) analog: f H(θ) (u, v) = 1 ( ) 2n (Hochpass) 1 + θ d(u,v) 117

6 Bildtransformationen im Ortsraum Ziel: Transformation des Bildes B col pos in drei Schritten 1. Fourier-Transformation F(B) = C C pos 2. Änderung der Fourier-Transformierten C durch Multiplikation mit einer Funktion h: (u, v) pos : C (u, v) = F(B)(u, v) h(u, v) 3. inverse Fourier-Transformation B (x, y) = F 1 (C )(x, y) = F 1 (F(B) h)(x, y) für h = F(h ) also B (x, y) = F 1 (F(B) F(h ))(x, y) ersetzen durch eine Operation h : col pos col pos mit B col pos (x, y) pos : h (B)(x, y) = F 1 (F(B) f (h ))(x, y)) 118

7 Wiederholung: Faltung von Funktionen (x, y) {0,..., m 1} {0,..., m 1} : (f g)(x, y) = f (x i, y j)g(i, j) i= j= speziell für Bild B : pos col: (B h)(x, y) = B(x i, y j)h(i, j) i= j= Es gilt der Faltungssatz: f, g : pos col (x, y) pos : F (f g)(x, y) = F(f )(x, y) F(g)(x, y) Faltung im Ortsraum entspricht Multiplikation im Frequenzraum also B : pos col h : pos R (x, y) pos : F (B h)(x, y) = F(B)(x, y) F (h)(x, y) = (F (B) F (h))(x, y) und damit B : pos col h : pos R (B h) = F 1 (F(B h)) = F 1 (F(B) F(h)) also: statt Operation F 1 (F (B) F (h)) : col pos col pos Faltung B h 119

8 Lineare Filter (B h)(x, y) = B(x i, y j)h(i, j) mit Koeffizienten h(i, j) i= j= häufiger Spezialfall: Koeffizienten h(i, j) verschwinden mit größerem Abstand von (0, 0), und außerhalb eines Bereiches (i, j) { k,..., k} 2 gilt h(i, j) = 0 Angabe von h auf dem (quadratischen) Ausschnitt (i, j) { k,..., k} 2 als (2k + 1) (2k + 1)-Matrix genügt (Filterkern, Filtermaske, Filtermatrix) 120

9 Lineare Filter Faltung von Bild B : pos col mit Filtermatrix h( k, k)... h( k, 0)... h( k, k)... h = h(0, k)... h(, 0)... h(0, k)... h(k, k)... h(k, 0)... h(k, k) transformiert jeden Wert B(x, y) zu (B h)(x, y) = B(x i, y j)h(i, j) (gespiegelte Filtermatrix) i= j= k k = B(x i, y j)h(i, j) i= k j= k k k = B(x + i, y + j)h( i, j) i= k j= k 121

10 Lineare Filter Faltung von Bild B : pos col mit Filtermatrix h( 1, 1) h( 1, 0) h( 1, 1) h = h(0, 1) h(0, 0) h(0, 1) h(1, 1) h(1, 0) h(1, 1) transformiert jeden Wert B(x, y) zu B (x, y) = 1 i= 1 j= 1 1 h(i, j)b(x + i, y + j) gewichtete Summe aller Bildpunkte im Bereich (x 1, x, x + 1) (y 1, y, y + 1) (lineare Operation) meist normierte Filtermatrizen h mit k k i= k j= k h(i, j) = 1 Normierung (für Beispiel k = 1): 1 k k i= k j= k h(i, j) h( 1, 1) h( 1, 0) h( 1, 1) h(0, 1) h(0, 0) h(0, 1) h(1, 1) h(1, 0) h(1, 1) 122

11 Faltung am Bildrand Problem: B (x, y) = k i= k j= k k h(i, j)b(x + i, y + j) an Randpunkten (x, y) hängt B (x, y) von Werten B(x, y ) an Positionen (x, y ) pos ab. B(x, y ) ist dort nicht definiert. mögliche Lösungen: Randbereiche nicht filtern (Werte B(x, y) bleiben) spezielle Rand-Filtermasken konstante Fortsetzung auf Positionen außerhalb pos schwarzer Rand (Zero-Padding): (x, y) pos : B(x, y) := 0 gespiegelter Rand: (x, y) pos : B(x, y) := B( x, y) (bzw. einem der Werte B( x, y), B( x, y), B(x, y)) periodisch fortgesetzte Werte Interpolation 123

12 Glättungsfilter Ziel: Unterschiede zwischen benachbarten Pixeln verringern (alle Koeffizienten positiv) Beispiele: Mittelwertfilter: Binomialfilter: auch größere Matrizen als Filterkerne üblich 124

13 Filter zur Kantenverstärkung Ziel: Unterschiede zwischen benachbarten Pixeln verstärken (positive und negative Koeffizienten, Summe aller Koeffizienten = 0) Beispiele: ( ) ( ) Roberts-Operator: und (Summe) Prewitt-Operator: h: v: Sobel-Operator: h: v: Differenz-Filter:

14 Nichtlineare Filter Funktion f : col pos col pos mit (x, y) pos : f (B)(x, y) = h(b(x k, y k),..., B(x + k, y + k)) nicht durch Faltung mit einer Matrix (lineare Funktion) gegeben, sondern nichtlinear Beispiele: Rangordnungsfilter Minimum: f (B)(x, y) = min{b(x k, y k),..., B(x + k, y + k)} Maximum: f (B)(x, y) = max{b(x k, y k),..., B(x + k, y + k)} Median: f (B)(x, y) = med{b(x k, y k),..., B(x + k, y + k)} gewichteter Medianfilter, abhängig von Matrix h : { k,..., k} 2 N, Gewicht (i, j) bestimmt Anzahl der Vorkommen des Wertes B(x + i, y + j) in der Medianliste 126