FILTER UND FALTUNGEN

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1 Ausarbeitung zum Vortrag von Daniel Schmitzek im Seminar Verarbeitung und Manipulation digitaler Bilder

2 I n h a l t. Der Begriff des Filters 3 2. Faltungsfilter 4 2. Glättungsfilter Filter zur Kantendetektion Filterung im Frequenzraum 7 3. Rangordnungsfilter 7 Literaturverzeichnis 8

3 . Der Begriff des Filters Verarbeitung und Manipulation digitaler Bilder In dieser Arbeit geht es um Filter und Filteroperationen, die auf digitale Bilder angewandt werden können, um hauptsächlich folgende Ergebnisse zu erzielen: Verminderung von Signalrauschen Glättung Kantendetektion Beseitigung von Bildstörungen wie Staub oder Kratzern Wenn es um Glättung, Reduzierung von Rauschen und Kantenfindung geht, wird die Filterung meist mit Hilfe einer Faltung realisiert. Eine andere Klasse bilden die Rangordnungsfilter, die zur Beseitigung diskreter Bildstörungen verwendet werden. Es muß jedoch klar sein, daß auch der optimale Filter keine Bildinformationen wieder herausholen kann, die zuvor nicht enthalten waren. Es ist lediglich eine Verbesserung hinsichtlich bestimmter Kriterien wie z.b. Schärfe oder Kantenhervorhebung zu erreichen. Abb..,.2: Glättung eines Ultraschallbildes, Kantendetektion Natürlich ist es auch möglich, die digitale Bildfilterung für kreative Anwendungen einzusetzen, worauf hier jedoch selbstverständlich nicht eingegangen wird. 3

4 Verarbeitung und Manipulation digitaler Bilder 2. Faltungsfilter Die wichtigste Klasse der Filteroperationen sind die Faltungsfilter. Diese Filter basieren auf der sog. Faltungsfunktion, die mathematisch folgendermaßen definiert ist: Faltung eines Signals f mit einer Maske h (2.) (2.2) Durch eine Maske wird die sog. Nachbarschaft, also die Pixel-Umgebung, auf die die Operation angewandt wird, und die entsprechende Wichtung für jedes Pixel innerhalb der Maske festgelegt. Zur Glättung von Bildern wird dafür häufig eine 3x3-Maske verwendet. 2. Glättungsfilter Die einfachste Operation stellt dabei die Filterung mit einem Blockfilter (auch: Boxcar ) dar. Mittelwert wird in das neue Bild geschrieben Originalbild Auf ein konkretes Bild angewandt ergibt sich: gefiltertes Bild Abb. 2., 2.2: Anwendung der Filtermaske (oben), verrauschtes Bild vor und nach Anwendung des Blockfilters 4

5 Verarbeitung und Manipulation digitaler Bilder Da die Anwendung des Faltungsfilters eine assoziative Operation ist, kann die zweidimensionale Filtermaske auch in zwei eindimensionale aufgespalten werden. Dies ist für eine effiziente Anwendung sehr wichtig, denn mit der 2D-Filtermaske aus Abb. 2 werden neun Multiplikationen und acht Additionen pro Pixel benötigt. Werden die Faltungen jedoch nacheinander mit den D-Masken ausgeführt, reduziert sich dieser Aufwand auf acht Multiplikationen und sechs Additionen. Diese Ersparnis wird umso deutlicher je größer die Filtermasken werden. 9 = 3 3 [ ] (2.3) Der einfache Blockfilter hat den Nachteil, daß er anisotrop ist, d.h. er glättet nicht in alle Richtungen gleich gut. Das liegt daran, daß hier alle Pixel vor allem die am weitesten vom Mittelpixel entfernten Eckpixel gleich gewichtet werden. Anders ist das beim Binomialfilter. Er bietet hinsichtlich der Glättung und Reduzierung von Gausschem Rauschen optimale Eigenschaften und arbeitet dabei in allen Richtungen gleich gut (Isotropie). Die Werte der Filtermaske entsprechen denen der diskreten Binomialverteilung (2.4) Filter zur Kantendetektion Kanten können wichtige Informationen über Umrisse und Form von Objekten z.b. für Medizin oder Technik liefern. Für die Kantendetektion wird das Bild als Grauwertfunktion g(x,y) betrachtet. Dann sind Kanten starke Steigungen in g. Die Ableitung der Funktion ist also der Schlüssel zur Kanten-detektion. Abb. 2.3: Grauwertfunktion g,.ableitung g, 2. Ableitung g Sollen Grauwertveränderungen hervorgehoben und Bereiche konstanter Grauwerte unterdrückt werden, so muß dazu die Ableitung eines Bildes in allen (i.d.r. in zwei) Richtungen gebildet werden. Die Approximierung des Ableitungsoperators auf einem diskreten Gitter führt zum Differenzoperator der Form Dx = ½ [ 0 -], der konstante Flächen neutralisiert und Grauwertdifferenzen hervorhebt. Diese eindimensionale Filtermaske reagiert jedoch vor allem 5

6 Verarbeitung und Manipulation digitaler Bilder auf Kanten, die senkrecht zur Operatorrichtung verlaufen. Zur Detektion von in allen Richtungen verlaufenden Kanten zweidimensionaler Bilder wird der Gradient durch zwei senkrecht zueinander arbeitende Operatoren Dx und Dy berechnet. Der einfachste Filter zur Kantendetektion ist der sog. Roberts-Operator. Er bedient sich 0 0 der kleinstmöglichen Differenzfilter und. 0 0 Beide Filtermasken müssen jeweils auf das Ausgangsbild angewandt und die Ergebnisse danach in einem gemeinsamen Bild kombiniert werden. Mit dem Robertsoperator werden leider nur die breiteren, deutlicheren Kanten in einem Bild hervorgehoben, alles andere geht verloren. Der Sobel-Operator hingegen benötigt zwar ebenfalls zwei Filtermasken, um in beiden Richtungen zu arbeiten, hat jedoch zusätzlich Anleihen aus dem Binomialfilter, um ein Rauschen nicht noch zu verstärken. Darüberhinaus verbessert die Maskengröße von 3x3 Pixeln noch die Wirkung. Bei Anwendung des Sobel-Operators lassen sich Kanten so schon klarer hervorheben. 2 0 horizontale Kanten:, vertikale Kanten: Ein weiterer Operator zur Kantendetektion ist der Laplace-Filter, der in untenstehender Form sozusagen ein geglättetes Bild vom Originalbild subtrahiert. Wie man im Beispiel sehen kann, arbeitet dieser Filter (zumindest beim verwendeten Bild) schon annehmbar effektiv. 2 6 Abb. 2.4: Originalbild und gefiltertes Bild nach Anwendung der Filtermaske in der Mitte 6

7 2.3 Filterung im Frequenzraum Verarbeitung und Manipulation digitaler Bilder Wie man sich leicht vorstellen kann, ist der Rechenaufwand bei den zuvor beschriebenen Verfahren sehr hoch, und er steigt auch noch überproportional mit einer Vergrößerung der Filtermaske. Um die Effizienz zu erhöhen, ist es möglich, ein Bild von seiner Darstellung im Ortsraum (die uns bekannte normale Darstellung) in den Frequenzraum zu überführen, dort die Filtermaske anzuwenden und das Bild danach wieder in den Ortsraum rückzutransformieren. Der Effizienzvorteil ergibt sich aus der Tatsache, daß die im Ortsraum benötigte Faltungsoperation im Frequenzraum zu einer Multiplikation wird. Um die Transformation durchzuführen, wird üblicherweise die Fast Fourier Transformation (FFT) verwendet, weshalb der Frequenzraum auch Fourierraum genannt wird. Neben dem Effizienzvorteil bietet die Überführung eines Bildes in den Frequenzraum auch noch den Vorteil, daß periodische Störungen gezielter entfernt werden können. Abb. 2.5: Fouriertransformierte des Originalbildes aus Abb. 2.4 Die Fouriertransformierte des Originalbildes aus Abbildung 2.4 ist dem menschlichen Betrachter zwar nicht mehr direkt zugänglich, sie stellt jedoch so abstrakt sie auch aussehen mag ein Äquivalent zur uns geläufigen Darstellung im Ortsraum dar. Die höheren Frequenzen, also die Bereiche des Bildes, die feinere Strukturen und starke Kontraste enthalten, sind in der Mitte dargestellt. Die niedrigeren Frequenzen, also großflächige Bereiche mit weichen Übergängen, sind weiter außen angeordnet. Es können im Frequenzraum gezielt bestimmte Bereiche gelöscht werden, was sich nach der Rücktransformation in den Ortsraum entsprechend im Bild widerspiegelt. 3. Rangordnungsfilter Zur Klasse der nichtlinearen Filter gehören die Rangordnungsfilter. Sie werden vor allem verwendet, um diskrete Bildstörungen wie etwa Staub oder Kratzer auf einer eingescannten Vorlage zu eliminieren. Zwar wird bei einem Rangordnungsfilter, wie bei den Faltungsfiltern, auch mit Hilfe einer Maske das Ausgangsbild abgetastet, jedoch wird hier statt einer Faltungsoperation eine aufsteigende Sortierung der Grauwerte der innerhalb der Maske liegenden Pixel vorgenommen. Der meistverwendete Filter ist dabei der sog. Medianfilter. Dieser wählt nach Sortierung der Werte in einer Liste denjenigen Wert, der in der Mitte der Liste steht und schreibt 7

8 Verarbeitung und Manipulation digitaler Bilder diesen in das entsprechende Pixel im gefilterten Bild. Dadurch wird erreicht, daß Grauwerte, die sozusagen Ausreißer in ihrer Umgebung darstellen, durch passendere Werte ersetzt werden. Analog zum Medianfilter ist auch ein Minimum- oder Maximumfilter möglich, welcher dementsprechend den ersten oder den letzten Wert in der Liste für das neue Pixel wählt. Medianfilter Abb.3.: Bild mit Pixelstörungen vor und nach der Anwendung eines Medianfilters Wie gut zu erkennen ist, werden die einzelnen Ausreißer durch den Medianfilter sehr gut entfernt, ohne daß dabei Kanten oder andere Details verwischt werden. Auf die Schärfe des Gesamtbildes hat die Anwendung dieses Filters nahezu keinen Einfluß. Im Gegensatz dazu wäre ein Glättungsoperator hier vollkommen ungeeignet, da er die Störungen im Bild nur auf Kosten der Schärfe reduzieren könnte. Es sei zusätzlich bemerkt, daß es zum Rangordnungsfilter kein Äquivalent im Frequenzraum gibt. Verwendete Literatur: Wahl F.M. (989): Digitale Bildsignalverarbeitung, Springer Verlag, Berlin Jähne B. (997): Digitale Bildverarbeitung, Springer Verlag, Berlin Digital Image Processing. Domik G., Das Bild im Computer. Wonnemann C.: Digitale Bildverarbeitung. WS_00_0/MerkmalFilter.pdf 8