Diskretisierung und Quantisierung (Teil 1) Prof. U. Rüde - Algorithmik kontinuierlicher Systeme
|
|
- Wilhelm Eberhardt
- vor 5 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Algorithmik kontinuierlicher Systeme Diskretisierung und Quantisierung (Teil ) Digitalisierung und Quantisierung
2 Motivation Analoge Aufnahme von Sprache, Bildern, Digitale Speicherung durch Diskretisierung + Quantisierung Informationsverlust!2
3 Motivation Reproduzierbarkeit: Welche Abtastrate? Abtastrate: Anzahl der Punkte pro Zeit-/Orts-Einheit (!Hz, dpi) hohe Effizienz! möglichst niedrig gute Reproduzierbarkeit (Informationsverlust)! möglichst hoch Sommersemester 206 Prof. G. Greiner Algorithmik kontinuierlicher Systeme!3
4 Motivation Speichern von Bildern Grauwert wird repräsentiert durch eine (reelle) Zahl zwischen 0 und Grauwertbild: B : [a,b] x [c,d] [0,] Digitalisierung Diskretisierung (Abtasten) des rechteckigen Gebiets Quantisierung der Grauwerte!4
5 Motivation Grauwertbild: B : [a,b] x [c,d] [0,] Digitale Speicherung durch Diskretisierung + Quantisierung Diskretisierung (Abtasten) des rechteckigen Gebiets Bildschirm, Digitalkamera,... z.b. 024 x 280 Pixel Drucker (dpi = dots per inch), 200dpi entspricht 25400µm/200=2µm Quantisierung der Grauwerte Universell, z.b. uniform (256 Grauwerte) datenabhängig Ortsauflösung vs. Farbauflösung (Dithering)!5
6 Dithering Drucker können keine Grautöne drucken, nur schwarz oder weiße Punkte Grautöne entstehen indem nur (einige) schwarze Punkte gedruckt werden je mehr/weniger desto dunkler/heller, Dithering-Verfahren: nach welchen Regeln werden die schwarzen Punkte ausgewählt!6
7 Überblick Diskretisierung Faltung Fourier Transformation Abtasttheorem Aliasing / Anti-Aliasing Quantisierung Diskrete Approximation reeller Werte Beispiel: Quantisierung von Farbwerten Vektor-Quantisierung!7
8 Faltung Die Faltung ist ein geeignetes (math.) Modell zur Beschreibung zahlreicher physikalischer Vorgänge. Die lineare Filterung eines Signals ist die Faltung der Original-Funktion mit der Impulsantwort des Filters. Bei optischen Abbildungen stellt das Bild die Faltung der originalen Bildfunktion mit der Punkt-Verbreiterungs- Funktion (Point Spread Function oder PSF) dar. Diffusions-Prozesse lassen sich durch die Faltung ebenfalls beschreiben. Wenn X und Y zwei statistisch unabhängige Zufallsprozesse mit den Verteilungsdichtefunktionen f und g sind, dann ist die Verteilungsdichtefunktion des Summenprozesses X+Y gegeben als f *g.!8
9 Faltung () Für Funktionen f, g : D R/C ist die Faltung definiert durch ( f g)( x) = f ( y) g( x y) dy D = R oder D = R + oder D = [0,T] (T-periodisch) D = R : D = R + : ( f g)( x) = f ( y) g( x y) dy ( f g)( x) x = f ( y) g( x 0 y) dy!9
10 Faltung (2) Für Funktionen f, g : D R/C ist die Faltung definiert durch ( f g)( x) = f ( y) g( x y) dy Anschaulich: mathematischer Operator, welcher für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion liefert indem f (x) mit der Gewichtsfunktion g(-x) gemittelt wird Rolle von f und g kann vertauscht werden (kommutativ): f g = g f auch assoziativ: f ( g h) = ( f g) h!0
11 Faltung (3) Für Funktionen f, g : D R/C ist die Faltung definiert durch ( f g)( x) = f ( y) g( x y) dy Anschaulich: mathematischer Operator, welcher für zwei Funktionen f und g eine dritte Funktion liefert indem f (x) mit der Gewichtsfunktion g(-x) gemittelt wird Betrachte eine Funktion als "Gewichtsfunktion" (z.b. g ), spiegele diese am Ursprung : g(-y), verschiebe diese gespiegelte Funktion an die Stelle x : g(-(y-x)), mittle die andere Funktion mit diesem (verschobenen) Gewicht. falls die "Gewichtsfunktion" symmetrisch ist, entfällt das Spiegeln!!
12 Faltung: Beispiel Beispiel f ( x) = 0 falls sonst x 0.5 g( x) = 0.5 falls 0 sonst x 0.25!2
13 Faltung: Weiteres Beispiel f ( x) = 0 g( x) = 0 x falls x sonst falls x 0.5 sonst!3
14 Faltung: Weiteres Beispiel!4
15 Faltung (4) Diskrete Faltung oder Filtern für Zahlenfolgen [f(n)], [g(n)] ( f g)( n) = f ( k) g( n k) Indexmenge: I = Z oder I = N oder I = {0,,2,, N-} (periodisch, modulo N) Interpretation: (diskretes) Signal f wird gemittelt mit Gewichten g(-n) (meist endliche Ausdehnung) z.b. g = [, 2,] = [...,0,0,0.25,0.5,0.25,0,0,...] 4!5
16 Faltung (5) Rechengesetze: Für die Faltung gelten die gleichen Regeln wie für die gewöhnliche Multiplikation: kommutativ: assoziativ: distributiv: f g = g f ( f g) h = f ( g h) f ( g + h) = f g + f h Beispiel Tiefpass (Mittelung bzw. Glättung) kontin. g( x) = falls x a 2a 0 sonst : ( f g)( t) = 2a t+ a t a f (τ ) dτ diskret g( n) = falls n N 2N + 0 sonst : ( f g)( n) = f ( k) 2N + n + N k = n N!6
17 Faltung in 2D () Tensorprodukt-Ansatz für bivariate Funktionen Kontinuierlicher Fall: f(s,t) und g(s,t) ; Diskreter Fall: [f(n,m)] und [g(n,m)] ; Falte zunächst in s/n-richtung und dann das Ergebnis in t/m-richtung --- oder umgekehrt kontinuierlich: ( g)( s, t) = f ( s σ, t τ ) g( σ, τ ) dσ dτ τ σ f diskret ( f g)( n, m) = l k f ( n k, m l) g( k, l)!7
18 Implementierung für Bild: Maske läuft über das Bild Glättung: Faltungskern z.b. Tiefpass-Filter, oder diskrete Gaussfunktion bzw. Bartlett-Filter (=Dreiecksfilter) (positive Gewichte mit Summe = ) Kantendetektion: Faltungskern z.b. Sobeloperator!8 Faltung/Filtern in 2D (2)
19 Faltung/Filtern in 2D (2)!9
20 Beispiel: Kantendetektion ()!20
21 Faltung/Filtern in 2D (3) Separierbare Filter in 2D Idee: Filtere 2D-array (z.b. Bild) zweimal jede Zeile mit einem D-Filter [u(i)] ; jede Spalte mit einem D-Filter [v(i)] ; Das Ergebnis entspricht einer Filterung mit dem 2D-Filter [w(i,j)] = [u(i) v(j)] Beispiel : ergibt [ u( i)] = [, 0,], [ v( i)] = 4[, [ w( i, j)] = ,]!2
22 Faltung/Filtern in 2D (4) Warum separierbare Filter: Separierbare Filter sind effizient! Aufwand für das Filtern eines 2D-Arrays der Größe N N mit einem Filter der Größe k k : nicht separierbar: k 2 N 2 Multiplikationen separierbar : 2 k N 2 Multiplikationen Wann ist ein Filter separierbar? Genau dann wenn die Filtermaske (als Matrix) Rang hat Beispiele: X !22
23 Beispiel: Kantendetektion (2) Original Sobel Sobel Kombination horizontal vertikal!23
24 Fourier Transformation (FT) Harmonische Schwingungen sin( x), cos( x), sin( k e ikx = cos( k x), cos( k x) + i sin( k x), komplexe Version (Euler -Formel): x) Joseph Fourier !24
25 Fourier Transformation (FT) x) + i sin( k x) Harmonische Schwingungen: k Wellenzahl, λ = (2π)/k Wellenlänge, ν = k/(2π) Frequenz e ikx = cos( k Mathematisches Theorem: Jede (quadratisch integrierbare) Funktion f : R R / C kann man durch Superposition von harmonischen Schwingungen darstellen: ikx f ( x) = ~ f ( k) e dk 2π ~ Die Funktion f ( k ) heißt Spektralfunktion oder Fourier- Transformierte von f(x), es gilt: ~ f ( k) ikx = f ( x) e dx 2π!25
26 Beispiele Tiefpass!26
27 Beispiele Gauss-Funktion h σ ( x) 2 2 x ~ σ k = exp h ( ) = exp 2 σ k 2πσ 2σ 2π 2 2!27
28 Beispiele sinc-funktion sinc sin x x ~ χ ( ) = sinc ( k) = π ( k) x 2 Beachte: ist f gerade (d.h. achsensymmetrisch bzw. f(x) = f(-x) ) dann sind Fouriertransformierte und Inverse Fouriertransformierte von f identisch!!28
29 Dirac-Funktion Die Dirac-Funktion δ : Für alle Funktionen f gilt : δ a (x) = δ(x-a) : f ( x) δ a ( x) dx = f ( a) f ( x) δ ( x) dx = f (0) Fourier-Transformierte: ~ ~ δ ( k) = δ ( k) exp( ika a = ) Faltung mit δ a = Verschiebung um a ( δ a f ) x) = δ ( y) f ( x y) dy = f ( x 2π ( a) a!29
30 Faltungssatz Die Fourier-Transformation macht aus der Faltung eine Multiplikation und aus der Multiplikation eine Faltung: Gleiches gilt für die inverse Fourier-Transformation!30
31 Abtast-Theorem (Nyquist-Shannon) Ist das Spektrum bandbegrenzt, einer kontinuierlichen Funktion d.h. und wählt man eine Schrittweite mit Dann kann aus den Abtastwerten exakt rekonstruiert werden. Die maximale Wellenzahl, die ohne Fehler abgetastet werden kann, wird als Nyquist-Wellenzahl oder Grenzwellenzahl bezeichnet. Merkregel: Abtastrate mind. doppelt so groß wie maximale Frequenz!3
32 Aliasing () Aliasing: Artefakte die durch falsches Abtasten entstehen Beispiel Schachbrett Erklärung Einfaches Abtasten erst Filtern dann Abtasten Filtern und Supersampling!32
33 Aliasing (2) Dieser Effekt tritt auf, wenn das zu messende Signal hochfrequente Anteile enthält, die gemäß Abtast- Theorem nicht reproduzierbar sind. Durch (Unter-)Abtasten der hohen Frequenzen wird eine nicht vorhandene, niedere Frequenz vorgetäuscht. Antialiasing: Vor dem Abtasten die höheren Frequenz entfernen: d.h. im Frequenzraum: Multiplikation mit Tiefpass (χ Funktion) im Ortsraum: Falten (= Filtern) mit sinc-funktion!33
34 Aliasing (4) Aliasing: Linie in schrägem Winkel auf einem Raster-Display.! gezacktes Erscheinungsbild Antialiasing-Strategie: Pixel in der Nähe der Linie werden mit verschiedenen Zwischentönen von Linien- farbe und Hintergrundfarbe versehen. Glättung der Linie (oder Kante) für das Auge.!34
35 Fourier und Faltung in 2D bzw. 3D Tensorproduktansatz Separierbare Filterkerne e.g. Gaussfilter!35
36 Diskrete Fourier Transformation (DFT) DFT / Inverse DFT eines n-dimensionalen Vektors f ~ f f k m n = f e = n m= 0 n k= 0 2π i Es gilt der Faltungssatz: m ~ f k e 2π i mk n mk n ^ (f g) = f g; f g = n ^(f g) Bildkompression: jpg (verwendet reelle Variante, sog. DCT) Schnelle Berechnung mit Fast Fourier Transform (FFT) Komplexität : O(n log(n))! (Cooley & Tukey 965) In Verbindung mit dem Faltungssatz erlaubt dies die effiziente Berechnung der Faltung (Filterung)!!36
37 Zusammenfassung: Diskretisierung Falten kontinuierlich diskret: Filtern separierbare nicht separierbare Filterkerne kont. Fourier-Transformation Dirac Funktion Faltungssatz Abtast-Theorem (Nyquist-Shannon) Aliasing Anti-Aliasing Vor dem Abtasten die hohen Frequenzen entfernen im Frequenzraum: Multiplikation mit χ-funktion im Ortsraum: Faltung mit sinc-function!37
Diskretisierung und Quantisierung (Teil 1) Prof. U. Rüde - Algorithmik kontinuierlicher Systeme
Algorithmik kontinuierlicher Systeme Diskretisierung und Quantisierung (Teil ) Digitalisierung und Quantisierung Motivation Analoge Aufnahme von Sprache, Bildern, Digitale Speicherung durch Diskretisierung
MehrDiskretisierung und Quantisierung (Teil 1) Prof. U. Rüde - Algorithmik kontinuierlicher Systeme
Algorithmik kontinuierlicher Systeme Diskretisierung und Quantisierung (Teil ) Digitalisierung und Quantisierung Motivation Analoge Aufnahme von Sprache, Bildern, Digitale Speicherung durch Diskretisierung
MehrMotivation. Diskretisierung. Überblick. Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen. Diskretisierung und Quantisierung
Algorithmik III Algorithmen und Modelle für kontinuierliche Datenstrukturen Motivation Analoge Aufnahme von Sprache, Bildern Digitale Speicherung durch Diskretisierung + Quantisierung Informationsverlust
MehrSignale, Transformationen
Signale, Transformationen Signal: Funktion s(t), t reell (meist t die Zeit, s eine Messgröße) bzw Zahlenfolge s k = s[k], k ganzzahlig s reell oder komplex s[k] aus s(t): Abtastung mit t = kt s, s[k] =
MehrBildpunkt auf dem Gitter: Pixel (picture element) (manchmal auch Pel)
4. Digitalisierung und Bildoperationen 4.1 Digitalisierung (Sampling, Abtastung) Rasterung auf 2D-Bildmatrix mathematisch: Abb. einer 2-dim. Bildfunktion mit kontinuierlichem Definitionsbereich auf digitales
Mehr2. Digitale Codierung und Übertragung
2. Digitale Codierung und Übertragung 2.1 Informationstheoretische Grundlagen 2.2 Speicherbedarf und Kompression 2.3 Digitalisierung Ludwig-Maximilians-Universität München Prof. Hußmann Digitale Medien
MehrComputergraphik I. Das Abtasttheorem. Problem bei räumlicher Abtastung: Oliver Deussen Abtasttheorem 1
Das Abtasttheorem Problem bei räumlicher Abtastung: Oliver Deussen Abtasttheorem 1 Problem bei zeitlicher Abtastung: Oliver Deussen Abtasttheorem 2 Darstellung auf Monitor Was geschieht eigentlich, wenn
MehrWas bisher geschah. digitale Bilder: Funktion B : pos col Matrix B col pos. Punktoperationen f : col 1 col 2
Was bisher geschah digitale Bilder: Funktion B : pos col Matrix B col pos statistische Merkmale Punktoperationen f : col 1 col 2 (Bildanalyse) (Farbtransformation) Geometrische Operationen f : pos 1 pos
MehrComputergrafik 2: Filtern im Frequenzraum
Computergrafik 2: Filtern im Frequenzraum Prof. Dr. Michael Rohs, Dipl.-Inform. Sven Kratz michael.rohs@ifi.lmu.de MHCI Lab, LMU München Folien teilweise von Andreas Butz, sowie von Klaus D. Tönnies (Grundlagen
Mehr(Fast) Fourier Transformation und ihre Anwendungen
(Fast) Fourier Transformation und ihre Anwendungen Johannes Lülff Universität Münster 14.01.2009 Definition Fouriertransformation F (ω) = F [f(t)] (ω) := 1 2π dt f(t)e iωt Fouriersynthese f(t) = F 1 [F
Mehr- Sei r(x,y) Eingangsbild, dass nur Rauschen (Quantenrauschen) enthält.
Eingang System Ausgang - Sei r(x,y) Eingangsbild, dass nur (Quantenrauschen) enthält. - Das Bild enthalte keinerlei Information, d.h. das Spektrum ist weiß und es gibt keine Korrelationen zwischen den
MehrBildverarbeitung. Bildvorverarbeitung - Fourier-Transformation -
Bildverarbeitung Bildvorverarbeitung - Fourier-Transformation - 1 Themen Methoden Punktoperationen / Lokale Operationen / Globale Operationen Homogene / Inhomogene Operationen Lineare / Nichtlineare Operationen
MehrBildverarbeitung Herbstsemester 2012. Fourier-Transformation
Bildverarbeitung Herbstsemester 2012 Fourier-Transformation 1 Inhalt Fourierreihe Fouriertransformation (FT) Diskrete Fouriertransformation (DFT) DFT in 2D Fourierspektrum interpretieren 2 Lernziele Sie
Mehr2. Digitale Codierung und Übertragung
2. Digitale Codierung und Übertragung 2.1 Informationstheoretische Grundlagen 2.2 Speicherbedarf und Kompression 2.3 Digitalisierung Ludwig-Maximilians-Universität München Prof. Hußmann Digitale Medien
MehrSchnelle Fouriertransformation (FFT)
Schnelle Fouriertransformation (FFT) Inhaltsverzeichnis 1 Schnelle Fouriertransformation (FFT)... 3 1.1 Das Realtime-Konzept der Goldammer-Messkarten... 3 1.2 Das Abtasttheorem oder Regeln für die Abtastung
MehrEinführung in die medizinische Bildverarbeitung WS 12/13
Einführung in die medizinische Bildverarbeitung WS 12/13 Stephan Gimbel Kurze Wiederholung Pipeline Pipelinestufen können sich unterscheiden, beinhalten aber i.d.r. eine Stufe zur Bildvorverarbeitung zur
MehrZusammenfassung der 1. Vorlesung
Zusammenfassung der. Vorlesung Einordnung und Motivation Grundlegende Definitionen Kontinuierliches Signal Quantisiertes Signal Zeitdiskretes Signal Digitales Signal Auflösung der A/D- Umsetzer der MicroAutoBox
MehrInterpretation: f(x) wird zerlegt als Summe von unendlich vielen Funktionen
C6.3 Fourier-Transformation Entspricht Fourier-Reihe für 'Fourier-Integral' Für endliches L: (C6.1b.3) Für stellt eine kontinuierliche Funktion dar: und Fourier-Summe wird ein Integral: 'Fourier-Transformation'
MehrGrundlagen der Signalverarbeitung
Grundlagen der Signalverarbeitung Zeitdiskrete Signale Wintersemester 6/7 Kontinuierliche und diskrete Signale wertkontinuierlich wertdiskret Signal Signal Signal Signal zeitdiskret zeitkontinuierlich
MehrSystemtheorie abbildender Systeme
Bandbegrenzung Bild in (b) nicht band-begrenzt: scharfe Kanten = Dirac-Funktionen = weißes Spektrum Erfordert Tapering vor Digitalisierung (Multiplikation mit geeigneter Fensterfunktion; auf Null drücken
MehrDatenaquisition. Verstärker Filter. Sensor ADC. Objekt. Rechner
Datenaquisition Sensor Verstärker Filter ADC Objekt Rechner Datenaquisition Verstärker: - linearer Arbeitsbereich - linearer Frequenzgang - Vorkehrungen gegen Übersteuerung (trends, shot noise) - Verstärkerrauschen
MehrDigitale Signalverarbeitung Bernd Edler
Digitale Signalverarbeitung Bernd Edler Wintersemester 2008/2009 Wesentliche Inhalte der Vorlesung Abtastung z-transformation Lineare zeitinvariante Systeme Diskrete Fouriertransformation Systeme bei stochastischer
MehrLösungsblatt 2 Signalverarbeitung
Fakultät für nformatik Übung zu Kognitive Systeme Sommersemester 208 S. Constantin (stefan.constantin@kit.edu) T. Nguyen (thai.nguyen@kit.edu) Lösungsblatt 2 Signalverarbeitung Aufgabe : Faltung Abbildung
MehrMathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen
Signalverarbeitung und Musikalische Akustik - MuWi UHH WS 06/07 Mathematische Erfrischungen III - Vektoren und Matrizen Universität Hamburg Vektoren entstanden aus dem Wunsch, u.a. Bewegungen, Verschiebungen
MehrGraphische Datenverarbeitung und Bildverarbeitung
Graphische Datenverarbeitung und Bildverarbeitung Hochschule Niederrhein Bildverbesserung - Filterung Graphische DV und BV, Regina Pohle,. Bildverbesserung - Filterung Einordnung in die Inhalte der Vorlesung
MehrDigitale Signalverarbeitung Bernd Edler
Digitale Signalverarbeitung Bernd Edler Wintersemester 2010/2011 Wesentliche Inhalte der Vorlesung Abtastung z-transformation Lineare zeitinvariante Systeme Diskrete Fouriertransformation Filterentwurf
MehrDigitale Signalverarbeitung Bernd Edler
Digitale Signalverarbeitung Bernd Edler Wintersemester 2007/2008 Wesentliche Inhalte der Vorlesung Abtastung z-transformation Lineare zeitinvariante Systeme Diskrete Fouriertransformation Systeme bei stochastischer
Mehr1. Filterung im Ortsbereich 1.1 Grundbegriffe 1.2 Lineare Filter 1.3 Nicht-Lineare Filter 1.4 Separabele Filter 1.
. Filterung im Ortsbereich. Grundbegriffe. Lineare Filter.3 Nicht-Lineare Filter.4 Separabele Filter.5 Implementierung. Filterung im Frequenzbereich. Fouriertransformation. Hoch-, Tief- und Bandpassfilter.3
MehrSpektralanalyse. Spektralanalyse ist derart wichtig in allen Naturwissenschaften, dass man deren Bedeutung nicht überbewerten kann!
Spektralanalyse Spektralanalyse ist derart wichtig in allen Naturwissenschaften, dass man deren Bedeutung nicht überbewerten kann! Mit der Spektralanalyse können wir Antworten auf folgende Fragen bekommen:
MehrLösungsblatt 2 Signalverarbeitung und Klassifikation
Fakultät für Informatik Übung zu Kognitive Systeme Sommersemester 06 M. Sperber (matthias.sperber@kit.edu) S. Nguyen (thai.nguyen@kit.edu) Lösungsblatt Signalverarbeitung und Klassifikation Aufgabe : Faltung
MehrDigitale Bildverarbeitung Einheit 8 Lineare Filterung
Digitale Bildverarbeitung Einheit 8 Lineare Filterung Lehrauftrag WS 05/06 Fachbereich M+I der FH-Offenburg Dipl.-Math. Bernard Haasdonk Albert-Ludwigs-Universität Freiburg Ziele der Einheit Verstehen,
MehrComputergrafik 2: Fourier-Transformation
Computergrafik 2: Fourier-Transformation Prof. Dr. Michael Rohs, Dipl.-Inform. Sven Kratz michael.rohs@ifi.lmu.de MHCI Lab, LMU München Folien teilweise von Andreas Butz, sowie von Klaus D. Tönnies (Grundlagen
MehrDarstellung als Filterbank. Annahme für die Codierung: bestimmter Betrachtungsabstand, Wiedergabegröße Bestimmter Betrachtungswinkel für das Auge.
Darstellung als Filterbank Annahme für die Codierung: bestimmter Betrachtungsabstand, Wiedergabegröße Bestimmter Betrachtungswinkel für das Auge. - Trifft in bestimmten Maße auch auf das Original zu, da
MehrRelevante Frequenztransformationen
Relevante Frequenztransformationen Medientechnologie IL Andreas Unterweger Vertiefung Medieninformatik Studiengang ITS FH Salzburg Sommersemester 206 Andreas Unterweger (FH Salzburg) Relevante Frequenztransformationen
MehrAbtastung. Normalisierte Kreisfrequenz = DSP_9-Abtasttheorem 2
Abtasttheorem Abtastung xn [ ] = xnt ( ) = Acos( ωnt+ ϕ) = Acos( ωˆ n+ ϕ) s s Normalisierte Kreisfrequenz ωˆ = ωt s DSP_9-Abtasttheorem 2 Normalisierte Kreisfrequenz ω hat die Einheit rad/sec, ω ˆ = ωt
MehrSignalprozessoren. Digital Signal Processors VO [2h] , LU 2 [2h]
Signalprozessoren Digital Signal Processors VO [2h] 182.082, LU 2 [2h] 182.084 http://ti.tuwien.ac.at/rts/teaching/courses/sigproz Herbert Grünbacher Institut für Technische Informatik (E182) Herbert.Gruenbacher@tuwien.ac.at
MehrDiskrete Fourier-Transformation und FFT. 1. Die diskrete Fourier-Transformation (DFT) 2. Die Fast Fourier Transform (FFT)
Diskrete Fourier-Transformation und FFT 2. Die Fast Fourier Transform (FFT) 3. Anwendungsbeispiele der DFT 1 Wiederholung: Fourier-Transformation und Fourier-Reihe Fourier-Transformation kontinuierlicher
MehrZusammenfassung : Fourier-Reihen
Zusammenfassung : Fourier-Reihen Theorem : Jede (nicht-pathologische) periodische Funktion läßt sich schreiben als "Fourier-Reihe" der Form: Vorzeichen ist Konvention, in Mathe : + Fourier-Transformation
MehrMathematik, Signale und moderne Kommunikation
Natur ab 4 - PH Baden Mathematik, Signale und moderne Kommunikation 1 monika.doerfler@univie.ac.at 29.4.2009 1 NuHAG, Universität Wien monika.doerfler@univie.ac.at Mathematik, Signale und moderne Kommunikation
MehrRunde 9, Beispiel 57
Runde 9, Beispiel 57 LVA 8.8, Übungsrunde 9,..7 Markus Nemetz, markus.nemetz@tuwien.ac.at, TU Wien, 3..7 Angabe Seien y, z C N und c, d C N ihre Spektralwerte. Außerdem bezeichne (x k ) k die N - periodische
Mehr5. Übung für Übungsgruppen Musterlösung
Grundlagenveranstaltung Systemtheorie WS 6/7 (H.S. Stiehl, AB Kognitive Systeme, Department Informatik der Universität Hamburg) 5. Übung für Übungsgruppen Musterlösung (U. Köthe, Department Informatik,
MehrZusammenfassung der 1. Vorlesung
Zusammenfassung der 1. Vorlesung Einordnung und Motivation Grundlegende Definitionen Kontinuierliches Signal Zeitdiskretes Signal Quantisiertes Signal Digitales Signal Kontinuierliches System Abtastsystem
Mehr3.7 Anti-Alias-Verfahren
3.7 Anti-Alias-Verfahren Wir hatten Treppeneffekte bereits beim Rastern von Bildern kennengelernt. Aber auch beim Wiederholen verkleinerter Texturen können sich durch Rasterungseffekte unschöne Interferenzerscheinungen
Mehr2D Graphik: FFT und Anwendungen der Fouriertransformation. Vorlesung 2D Graphik Andreas Butz, Otmar Hilliges Freitag, 25.
LMU München Medieninformatik Butz/Hilliges D Graphics WS005 5..005 Folie D Graphik: FFT und Anwendungen der Fouriertransformation Vorlesung D Graphik Andreas Butz, Otmar Hilliges Freitag, 5. ovember 005
MehrEVC Repetitorium Blender
EVC Repetitorium Blender Michael Hecher Felix Kreuzer Institute of Computer Graphics and Algorithms Vienna University of Technology INSTITUTE OF COMPUTER GRAPHICS AND ALGORITHMS Filter Transformationen
MehrBildverarbeitung: Fourier-Transformation. D. Schlesinger () BV: Fourier-Transformation 1 / 16
Bildverarbeitung: Fourier-Transformation D. Schlesinger () BV: Fourier-Transformation 1 / 16 Allgemeines Bilder sind keine Vektoren. Bilder sind Funktionen x : D C (Menge der Pixel in die Menge der Farbwerte).
Mehr6Si 6. Signal-und Bildfilterung sowie. H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I 1
6Si 6. Signal-und Bildfilterung sowie Korrelation H. Burkhardt, Institut für Informatik, Universität Freiburg DBV-I Bildfilterung und Korrelation Die lineare Bildfilterung wird zur Rauschunterdrückung
MehrGlobale Operationen. Prof. Dr. Aris Christidis WS 2018 / 19
Globale Operationen Operationen / Funktionen, die alle Pixel des Eingabebildes benötigen, bevor sie ein Pixel oder eine Aussage für das Ergebnisbild ermitteln, nennt man global. (Beispiel: Erkennung /
MehrFouriertransformation und Unschärfeprinzip
Information, Codierung, Komplexität 2 SS 2007 24. April 2007 Das berühmte von Heisenberg in der Quantentheorie beruht, rein mathematisch betrachtet, auf einer grundlegenden Eigenschaft der der Dichtefunktionen
MehrBildverarbeitung: Filterung. D. Schlesinger () Bildverarbeitung: Filterung 1 / 17
Bildverarbeitung: Filterung D. Schlesinger () Bildverarbeitung: Filterung 1 / 17 Allgemeines Klassische Anwendung: Entrauschung (Fast) jeder Filter basiert auf einem Modell (Annahme): Signal + Rauschen
MehrFourier-Reihen und Fourier-Transformation
Fourier-Reihen und Fourier-Transformation Matthias Dreÿdoppel, Martin Koch, Bernhard Kreft 25. Juli 23 Einleitung Im Folgenden sollen dir und die Fouriertransformation erläutert und mit Beispielen unterlegt
MehrÜbung zur Vorlesung 2D Grafik Wintersemester 05/06. Otmar Hilliges
Übung zur Vorlesung 2D Grafik Wintersemester 05/06 Übungsblatt 5 Musterlösung auf der Übungsseite. https://wiki.medien.ifi.lmu.de/pub/main/uebung2dgrafikws 0506/FFT_LSG.jar Page 2 transform() for (y =
MehrFilterung von Bildern (2D-Filter)
Prof. Dr. Wolfgang Konen, Thomas Zielke Filterung von Bildern (2D-Filter) SS06 6. Konen, Zielke Aktivierung Was, denken Sie, ist ein Filter in der BV? Welche Filter kennen Sie? neuer Pixelwert bilden aus
MehrZusammenfassung der 2. Vorlesung
Zusammenfassung der 2. Vorlesung Fourier-Transformation versus Laplace-Transformation Spektrum kontinuierlicher Signale Das Spektrum gibt an, welche Frequenzen in einem Signal vorkommen und welches Gewicht
MehrHauptklausur zur Vorlesung Bildverarbeitung WS 2002/2003
Name:........................................ Vorname:..................................... Matrikelnummer:.............................. Bitte Studiengang ankreuzen: Computervisualistik Informatik Hauptklausur
Mehr4.1 Grundbegriffe 4.2 Frequenzspektren, Fourier-Transformation 4.3 Abtasttheorem: Eine zweite Sicht 4.4 Filter
4 Signalverarbeitung 4.1 Grundbegriffe 4.2 Frequenzspektren, Fourier-Transformation 4.3 Abtasttheorem: Eine zweite Sicht 4.4 Filter Weiterführende Literatur (z.b.): Beate Meffert, Olaf Hochmuth: Werkzeuge
MehrFiltern, JPEG, MP3. Fourier-Analyse JPEG MP3. Filtern - Wavelet
Filtern, JPEG, MP3 Fourier-Analyse JPEG MP3 Filtern - Waelet Filtern Ausgangspunkt: Gegebenes Signal soll -erändert werden (Hifi, Weichzeichner, ) -analysiert werden (EKG Herztöne, ) -komprimiert werden
MehrFILTER UND FALTUNGEN
Ausarbeitung zum Vortrag von Daniel Schmitzek im Seminar Verarbeitung und Manipulation digitaler Bilder I n h a l t. Der Begriff des Filters 3 2. Faltungsfilter 4 2. Glättungsfilter 4 2.2 Filter zur Kantendetektion
MehrVerlustbehaftete Kompression. JPEG: Joint Photographic Experts Group
Verlustbehaftete Kompression JPEG: Joint Photographic Experts Group ITU T8.1 definiert Zusammenarbeit von ITU, IEC, ISO Verfahren zur verlustbehafteten Bildkodierung (auch Verlustloser Modus vorhanden)
MehrKlausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung
INSTITUT FÜR INFORMATIONSVERARBEITUNG UNIVERSITÄT HANNOVER Appelstraße 9A 3067 Hannover Klausur zur Vorlesung Digitale Signalverarbeitung Datum:.08.006 Uhrzeit: 09:00 Uhr Zeitdauer: Stunden Hilfsmittel:
MehrInhaltsverzeichnis. Daniel von Grünigen. Digitale Signalverarbeitung. mit einer Einführung in die kontinuierlichen Signale und Systeme
Inhaltsverzeichnis Daniel von Grünigen Digitale Signalverarbeitung mit einer Einführung in die kontinuierlichen Signale und Systeme ISBN (Buch): 978-3-446-44079-1 ISBN (E-Book): 978-3-446-43991-7 Weitere
MehrDigitale Signalverarbeitung, Vorlesung 10 - Diskrete Fouriertransformation
Digitale Signalverarbeitung, Vorlesung 10 - Diskrete Fouriertransformation 23. Januar 2017 Siehe Skript Digitale Signalverarbeitung, Abschnitte 10.1 und 11, Kammeyer & Kroschel (7.1-7.3) eues Thema in
MehrGraphische Datenverarbeitung und Bildverarbeitung
Graphische Datenverarbeitung und Bildverarbeitung Hochschule Niederrhein Fourier-Transformation Graphische DV und BV, Regina Pohle, 8. Fourier-Transformation 1 Einordnung in die Inhalte der Vorlesung Einführung
Mehr,Faltung. Heavisidefunktion σ (t), Diracimpuls δ (t) Anwendungen. 1) Rechteckimpuls. 2) Sprungfunktionen. 3) Schaltvorgänge
Heavisidefunktion σ (t), Diracimpuls δ (t),faltung Definition Heavisidefunktion, t > 0 σ ( t) = 0, t < 0 Anwendungen ) Rechteckimpuls, t < T r( t) = = σ ( t + T ) σ ( t T ) 0, t > T 2) Sprungfunktionen,
Mehr3.3 Das Abtasttheorem
17 3.3 Das Abtasttheorem In der Praxis kennt man von einer zeitabhängigen Funktion f einem Signal meist nur diskret abgetastete Werte fn, mit festem > und ganzzahligem n. Unter welchen Bedingungen kann
MehrDiskrete Signalverarbeitung und diskrete Systeme
Diskrete Signalverarbeitung und diskrete Systeme Computer- basierte Verarbeitung von Signalen und Realisierung von Systemverhalten erfordern diskrete Signale und diskrete Systembeschreibungen. Wegen der
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München WiSe 2017 / 2018 Institut für Informatik Univ-Prof Dr Hans-Joachim Bungartz Michael Obersteiner Philipp Samfass Numerisches Programmieren, Übungen 5 Übungsblatt: Diskrete
MehrNumerisches Programmieren, Übungen
Technische Universität München WiSe 2016 / 2017 Institut für Informatik Prof Dr Daniel Cremers Dr Frank Schmidt Nikola Tchipev Michael Rippl Numerisches Programmieren, Übungen 7 Übungsblatt: Diskrete Fourier-Transformation,
MehrBildverarbeitung Herbstsemester
Bildverarbeitung Herbstsemester Herbstsemester 2009 2012 Filter Filter 1 Inhalt Lineare und nichtlineare Filter Glättungsfilter (z.b. Gauss-Filter) Differenzfilter (z.b. Laplace-Filter) Lineare Faltung
MehrComputergraphik 1 2. Teil: Bildverarbeitung. Fouriertransformation Ende FFT, Bildrestauration mit PSF Transformation, Interpolation
Computergraphik 1 2. Teil: Bildverarbeitung Fouriertransformation Ende FFT, Bildrestauration mit PSF Transformation, Interpolation LMU München Medieninformatik Butz/Hoppe Computergrafik 1 SS2009 1 2 Repräsentation
MehrDigitale Bildverarbeitung (DBV)
Digitale Bildverarbeitung (DBV) Prof. Dr. Ing. Heinz Jürgen Przybilla Labor für Photogrammetrie Email: heinz juergen.przybilla@hs bochum.de Tel. 0234 32 10517 Sprechstunde: Montags 13 14 Uhr und nach Vereinbarung
MehrSpektralanalyse. Spektralanalyse ist derart wichtig in allen Naturwissenschaften, dass man deren Bedeutung nicht überbewerten kann!
Spektralanalyse Spektralanalyse ist derart wichtig in allen Naturwissenschaften, dass man deren Bedeutung nicht überbewerten kann! Mit der Spektralanalyse können wir Antworten auf folgende Fragen bekommen:
MehrBiosignalverarbeitung (Schuster)
Biosignalverarbeitung (Schuster) 9. FOURIER - TRANSFORMATION: 4 Ausprägungen der Transformation: Zeitbereich Frequenzbereich Laplace-Transformation Fourier-Transformation kontinuierlicher Signale (FT,
Mehr2D-Fourieranalyse und Farbräume
2D-Fourieranalyse und Farbräume Industrielle Bildverarbeitung, Vorlesung No. 12 1 M. O. Franz 09.01.2008 1 falls nicht anders vermerkt, sind die Abbildungen entnommen aus Burger & Burge, 2005. Übersicht
MehrMorphologische Filter
Morphologische Filter Industrielle Bildverarbeitung, Vorlesung No. 8 1 M. O. Franz 28.11.2007 1 falls nicht anders vermerkt, sind die Abbildungen entnommen aus Burger & Burge, 2005. Übersicht 1 Morphologische
MehrFilter. Industrielle Bildverarbeitung, Vorlesung No M. O. Franz
Filter Industrielle Bildverarbeitung, Vorlesung No. 5 1 M. O. Franz 07.11.2007 1 falls nicht anders vermerkt, sind die Abbildungen entnommen aus Burger & Burge, 2005. Übersicht 1 Lineare Filter 2 Formale
MehrMultimediale Werkzeuge 1, Audio-Berabeitung. normierte Frequenz (normiert auf die halbe Abtastrate, maximale Frequenz ist pi oder 1
Multimediale Werkzeuge 1, Audio-Berabeitung normierte Frequenz (normiert auf die halbe Abtastrate, maximale Frequenz ist pi oder 1 Beachte: Teilbänder werden nach den Unter-Abtasten "aufgeblasen" (siehe
MehrKlausur zur Vorlesung Signale u. Systeme I
Name: 8. Februar 2001, 11.30-13.00 Uhr Allgemeine Hinweise: Dauer der Klausur: Zugelassene Hilfsmittel: 90 min, 1.5 Zeitstunden Skript, Vorlesungsmitschrift, Formelsammlung Schreiben Sie bitte auf dieses
MehrComputergrafik 2: Filtern im Ortsraum
Computergrafik 2: Filtern im Ortsraum Prof. Dr. Michael Rohs, Dipl.-Inform. Sven Kratz michael.rohs@ifi.lmu.de MHCI Lab, LMU München Folien teilweise von Andreas Butz, sowie von Klaus D. Tönnies (Grundlagen
MehrDigitale Signalverarbeitung
Daniel Ch. von Grünigen Digitale Signalverarbeitung mit einer Einführung in die kontinuierlichen Signale und Systeme 4. Auflage Mit 222 Bildern, 91 Beispielen, 80 Aufgaben sowie einer CD-ROM mit Lösungen
MehrStruktur des menschlichen Auges. Bildgebende Verfahren in der Medizin und medizinische Bildverarbeitung Bildverbesserung 2 / 99
Struktur des menschlichen Auges 2 / 99 Detektoren im Auge Ca. 100 150 Mio. Stäbchen Ca. 1 Mio. Zäpfchen 3 / 99 Zapfen Entlang der Sehachse, im Fokus Tagessehen (Photopisches Sehen) Scharfsehen Farbsehen
MehrBild-Erfassung Digitalisierung Abtastung/Quantisierung
Multimediatechnik / Video Bild-Erfassung Digitalisierung Abtastung/Quantisierung Oliver Lietz Bild-Erfassung Abtastung / Digitalisierung Scanner: Zeilenweise Abtastung mit CCD Digitale Kamera: Flächenweise
MehrPrüfungsklausur Digitale Signalverarbeitung Ergebnis der Klausur
Fakultät für Mathematik und Informatik Elektronische Schaltungen 58084 Hagen 02331 987 1166 Prüfungsklausur Digitale Signalverarbeitung 21411 Datum: 19. März 2011 (Bearbeitungszeit 120 Minuten, 6 Blätter)
MehrZuname: Vorname: KennNr: Matr.Nr: PRÜFUNG AUS MATHEMATIK 3. 1)(8 P.) Lösen Sie das folgende AWP mit Hilfe der Laplacetransformation.
(8 P.) Lösen Sie das folgende AWP mit Hilfe der Laplacetransformation. y 7y + 10y = sin(2x), y(0) = 1, y (0) = 3. x ( ) Bemerkung: Für festes a gilt L(e ax ) = 1 und L sin(ax) = arctan a. s a x s Die auftretenden
MehrMusterlösungen Blatt Mathematischer Vorkurs. Sommersemester Dr. O. Zobay. Matrizen
Musterlösungen Blatt 8 34007 Mathematischer Vorkurs Sommersemester 007 Dr O Zobay Matrizen Welche Matrixprodukte können mit den folgenden Matrizen gebildet werden? ( 4 5 A, B ( 0 9 7, C 8 0 5 4 Wir können
MehrVerlustbehaftete Kompression. Verfahren zur verlustbehafteten Bildkodierung (auch verlustfreier Modus vorhanden)
Verlustbehaftete Kompression JPEG: Joint Photographic Experts Group ITU T8.1 definiert Zusammenarbeit von ITU, IEC, ISO Verfahren zur verlustbehafteten Bildkodierung (auch verlustfreier Modus vorhanden)
MehrAudio-Bearbeitung. Diese Freq. Anteile «verschwinden» nach dem unterabtasten Filter muß schmal genug sein! Nach Unterabtastung
Audio Signal Audio-Bearbeitung Ampl Vor Unterabtastung Teilband Grenzen Normierte Frequenz (normierte Abtastrate, maximale Frequenz ist pi oder 1) Teilbänder Diese Freq. Anteile «verschwinden» nach dem
MehrBeate Meffert, Olaf Hochmuth: Werkzeuge der Signalverarbeitung, Pearson 2004
4 Signalverarbeitung 4.1! Grundbegriffe! 4.2! Frequenzspektren, Fourier-Transformation! 4.3! Abtasttheorem: Eine zweite Sicht Weiterführende Literatur (z.b.):!! Beate Meffert, Olaf Hochmuth: Werkzeuge
MehrEinführung in die Signalverarbeitung
Einführung in die Signalverarbeitung Phonetik und Sprachverarbeitung, 2. Fachsemester, Block Sprachtechnologie I Florian Schiel Institut für Phonetik und Sprachverarbeitung, LMU München Signalverarbeitung
MehrBeate Meffert, Olaf Hochmuth: Werkzeuge der Signalverarbeitung, Pearson Ludwig-Maximilians-Universität München Prof. Hußmann Digitale Medien 4-1
4. Signalverarbeitung 4.1 Grundbegrie 4.2 Frequenzspektren, Fourier-Transormation 4.3 Abtasttheorem: Eine zweite Sicht 4.4 Filter Weiterührende Literatur (z.b.): Beate Meert, Ola Hochmuth: Werkzeuge der
Mehr12.2 Gauß-Quadratur. Erinnerung: Mit der Newton-Cotes Quadratur. I n [f] = g i f(x i ) I[f] = f(x) dx
12.2 Gauß-Quadratur Erinnerung: Mit der Newton-Cotes Quadratur I n [f] = n g i f(x i ) I[f] = i=0 b a f(x) dx werden Polynome vom Grad n exakt integriert. Dabei sind die Knoten x i, 0 i n, äquidistant
MehrGrundlagen der Schwingungslehre
Grundlagen der Schwingungslehre Einührung. Vorgänge, bei denen eine physikalische Größe in estem zeitlichen Abstand ein und denselben Werteverlau auweist, werden als periodisch bezeichnet. Den zeitlichen
MehrSpektrum zeitdiskreter Signale
Spektrum zeitdiskreter Signale 1 Aufgabenstellung Mithilfe der Fouriertransformation können zeitkontinuierliche Signale in den Frequenzbereich transformiert werden, um die im Signal enthaltenen Frequenzanteile
Mehr3. Informationsverarbeitung in Objekten
3. Informationsverarbeitung in Objekten 1 3.1. Abtastung von Signalen an der Schnittstelle 2 Falls System an einen Rechner angeschlossen ist wert- und zeit-diskrete Signale x * (t k ) = abstrakte Zahlen
MehrMP3 AAC ADPCM. Kompressionsverfahren für Audio
Entropie= durchschnittlicher Informationsgehalt pro Zeichen in einer Zeichenkette =untere Grenze der zur Kodierung eines Zeichens im Durchschnitt notwendigen Bits MP3 AAC ADPCM Kompressionsverfahren für
MehrBeispiel für eine periodische Spline-Interpolationsfunktion: Wir betrachten f(x) = sin(πx) und geben die folgenden Stützstellen und Stützwerte vor:
5 Splineinterpolation Beispiel für eine periodische Spline-Interpolationsfunktion: Wir betrachten f(x) sin(πx) und geben die folgenden Stützstellen und Stützwerte vor: x i 3 f i Damit ist n 5, h Forderung
MehrDiskrete und Schnelle Fourier Transformation. Patrick Arenz
Diskrete und Schnelle Fourier Transformation Patrick Arenz 7. Januar 005 1 Diskrete Fourier Transformation Dieses Kapitel erläutert einige Merkmale der Diskreten Fourier Transformation DFT), der Schnellen
MehrÜbung: Computergrafik 1
Prof. Dr. Andreas Butz Prof. Dr. Ing. Axel Hoppe Dipl.-Medieninf. Dominikus Baur Dipl.-Medieninf. Sebastian Boring Übung: Computergrafik 1 Fouriertransformation Organisatorisches Neue Abgabefrist für Blatt
MehrAAC ADPCM. Kompressionsverfahren für Audio. Anzahl Zeichen MP3 Wahrscheinlichkeit. des Auftretens des Zeichens
Entropie= durchschnittlicher Informationsgehalt pro Zeichen in einer Zeichenkette H = pilog2 p m p m i= 1 Anzahl Zeichen MP3 Wahrscheinlichkeit AAC ADPCM i i des Auftretens des Zeichens i Kompressionsverfahren
Mehr