Computergrafik 2: Fourier-Transformation

Transkript

1 Computergrafik 2: Fourier-Transformation Prof. Dr. Michael Rohs, Dipl.-Inform. Sven Kratz MHCI Lab, LMU München Folien teilweise von Andreas Butz, sowie von Klaus D. Tönnies (Grundlagen der Bildverarbeitung. Pearson Studium, 2005.)

2 Vorlesungen Datum Thema Einführung, Organisatorisches (Übungen, Klausur) 1.5./8.5. keine Vorlesungen (wegen 1. Mai und CHI-Konferenz) Abtastung von Bildern, Punktbasierte Verfahren der Bildverbesserung Licht, Farbe, Farbmanagement Konvolution, Filterung im Ortsraum (Verschiebung wegen Pfingstdienstag) 5.6. Fouriertransformation: Grundlagen Filterung im Frequenzraum Kanten, Linien, Ecken Segmentierung 3.7. Segmentierung, Morphologische Operationen Klassifikation Image Matching Klausur (Hörsaal M 018 im Hauptgebäude, Uhr) Computergrafik 2 SS2012 2

3 Themen heute Fourier-Transformation Grundidee Konstruktion der Fourier-Basis Phase und Amplitude Eigenschaften der FT Konvolution und Korrelation im Frequenzraum Schnelle Fourier-Transformation (FFT) Computergrafik 2 SS2012 3

4 Motivation Manche Operationen sind im Ortsraum (d.h. auf den Pixeln des Bildes) schwer Herausfiltern bestimmter Frequenzen Beseitigung störender Details Konvolution, Korrelation Frequenzraum als Labor zur Entwicklung von Filtern Idee: übertrage Bild in einen Raum, in dem diese Operationen leichter sind z.b. Zerlegung des Bildes in Frequenzen Rückweg muss möglich sein Verschiedene Möglichkeiten, gleiches Prinzip Computergrafik 2 SS2012 4

5 Beispiel: Artefakte entfernen R. C. Gonzalez R. E. Woods, Digital Image Processing Computergrafik 2 SS2012 5

6 Motivation Bisher: Darstellung des Bildes im Ortsraum durch den Grauwert an einem bestimmten Ort Jetzt: Darstellung im Frequenzraum durch cos und sin Funktionen verschiedener Frequenzen Eindeutige und vollständige Darstellung in beiden Räumen Ortsraum Frequenzraum Fourier-Transformation inverse Fourier- Transformation Computergrafik 2 SS2012 6

7 Fourier Jean Baptiste Joseph Fourier ( ) Französischer Physiker und Mathematiker Erfinder der Fourier- Transformation Johann Bernoulli, *1667 Advisor Leonhard Euler, *1707 Advisor Joseph-Louis Lagrange, *1736 Advisor Jean Baptiste Joseph Fourier Quelle: Computergrafik 2 SS2012 7

8 Fourier-Transformation: Grundidee Beschreibe beliebige Funktion als gewichtete Summe periodischer Grundfunktionen (Basisfunktionen) mit unterschiedlicher Frequenz Computergrafik 2 SS2012 8

9 Parameter Periodischer Grundfunktionen y(x) = Asin(2π f x +ϕ) A Amplitude: Intensität des Signals φ Phase: Verschiebung zum Ursprung Frequenz zeitlich f(t) Frequenz räumlich f(x) T Periodendauer [s] λ Wellenlänge [m] f Frequenz f = 1/T [1/s=Hz] f Raumfrequenz f=1/λ [1/m] ω Kreisfrequenz ω=2πf k Wellenzahl k = 2π/λ y A φ T bzw. λ x Computergrafik 2 SS2012 9

10 Fouriers Theorem Jede beliebige periodische Funktion lässt sich darstellen als Summe von sin und cos Funktionen unterschiedlicher Frequenzen. Ist die Funktion nicht periodisch, aber auf einen bestimmten Definitionsbereich beschränkt, so kann man diesen Bereich einfach kopieren (periodisch fortsetzen) und hat damit wieder eine periodische Funktion. Die Zeilen und Spalten eines Bildes kann man als nichtperiodische diskrete Funktionen auffassen. Man kann also auch ein Bild Fourier-transformieren. Computergrafik 2 SS

11 Ist ein Bild eine periodische Funktion? Computergrafik 2 SS

12 Ist ein Bild eine periodische Funktion? Zunächst: Betrachtung der periodischen Fortführung einer Zeile λ (N Pixel) λ (N Pixel) λ (N Pixel) λ (N Pixel) λ (N Pixel) Computergrafik 2 SS

13 kontinuierliche Fourier-Transformation Transformation vom Ortsraum in den Frequenzraum F(u) = f (x)e 2πixu dx Transformation vom Frequenzraum in den Ortsraum f (x) = F(u)e 2πixu du Im 1 z = a+ib = re iφ r φ sin φ b -1 cos φ 1 Re a -1 Computergrafik 2 SS

14 Erinnerung: komplexe Zahlen Im Bereich der reellen Zahlen gibt es keine Lösung für x² = -1 Einführung der imaginären Zahlen i: Lösung der Gleichung x² = -1 Die Gruppe der reellen und imaginären Zahlen nennt man komplexe Zahlen Komplexe Zahl z: z = a + i b, wobei a und b reell sind Computergrafik 2 SS

15 Erinnerung: komplexe Zahlen Imaginäre Achse cos(θ)+ isin(θ) Realteil a r θ z Imaginärteil i*b cos(θ) sin(θ) Reelle Achse z = a + ib = r e iθ = r(cos(θ)+ isin(θ)) Computergrafik 2 SS

16 Funktion mit sin und cos multiplizieren Originalfunktion f (x), x = 0..1 Abtastungsfunktionen cos( 2π x) sin( 2π x) Ergebnis (f*sin und f*cos) f (x) cos( 2π x) f (x) sin( 2π x) Computergrafik 2 SS

17 Beispiel: F(1) =... Originalfunktion f (x), x = 0..1 Gewichtungsfunktionen real(e i2π x ) = cos( 2π x) imag(e i2π x ) = sin( 2π x) Ergebnis (f*sin und f*cos) real( f (x) e i2π x ) imag( f (x) e i2π x ) F(1) = f (x) e i2π x dx Computergrafik 2 SS

18 Beispiel: F(2) =... Originalfunktion f (x), x = 0..1 Gewichtungsfunktionen real(e i2π 2 x ) = cos( 2π 2x) imag(e i2π 2 x ) = sin( 2π 2x) Ergebnis (f*sin und f*cos) real( f (x) e i2π 2 x ) imag( f (x) e i2π 2 x ) F(2) = f (x) e i2π 2 x dx Computergrafik 2 SS

19 Fourier-Transformation: Eigenschaften Transformation: verändert eine Funktion nicht, sondern stellt sie nur anders dar Transformation ist umkehrbar à inverse Fourier-Transformation Analog zum Basiswechsel in der Vektorrechnung digitale Bilder Bild als endliche Funktion, definiert durch Auflistung der Werte Definitionsbereich (x,y) diskret und endlich Wertebereich f(x,y) diskret und endlich diskrete Fourier-Transformation (DFT) ß 1D digitales Bild Computergrafik 2 SS

20 Anschaulich: Basisvektoren eines Bildes = 10 * * + 4 * bilden eine Basis des R 4 sind paarweise orthogonal haben Länge * Wahl anderer Basisvektoren è Transformation mittels Basiswechsel Basiswechselmatrix vom Rang der Pixelanzahl Computergrafik 2 SS

21 Computergrafik 2 SS Exkurs: Vektorrechnung 1 0 0, 0 1 0, bilden eine Basis b 1 des R 3 sind paarweise orthogonal haben Länge 1 1/ 2 1/ 2 0, 1/ 2 1/ 2 0, bilden ebenfalls eine Basis b 2 des R 3 sind ebenfalls paarweise orthogonal Haben ebenfalls Länge 1 1/ 2 1/ 2 0 1/ 2 1/ ' ' ' ' Ist orthogonal und normiert (d.h. A T = A -1 ) Ist Basiswechselmatrix von b 1 nach b 2 (1,1)

22 Exkurs: Vektorrechnung Basiswechselmatrix orthogonal und normiert (d.h. A T = A -1 ) Basiswechsel: x = Ax (1,1) Rücktransformation: Ax = A T (Ax) = (A T A)x = (A -1 A)x = x Computergrafik 2 SS

23 Basiswechsel Sei V ein n-dimensionaler Vektorraum über Körper K mit Basen B={b 1,..., b n } und B ={b 1,..., b n } Darstellung der Vektoren von B in B : Darstellung des Vektors v in B: Darstellung des Vektors v in B : v = v = n i=1 n i=1 b j = x i b i x i 'b i ' n i=1 a ij b i ' v = n n n n n n n x j b j = x j a ij b i ' = x j a iji ' b ' i = c i b i ' = x i 'b i ' j=1 j=1 i=1 i=1 j=1 i=1 i=1 Computergrafik 2 SS

24 Basiswechsel v = n n n n n n n x j b j = x j a ij b i ' = x j a iji ' b ' i = c i b i ' = x i 'b i ' j=1 j=1 i=1 i=1 j=1 i=1 i=1 Also: x i ' = n j=1 x j a iji mit b j = n i=1 a ij b i ' in Matrix-Notation: x 1 ' x n ' = a 11 a 1n a n1 a nn x 1 x n x' = Ax Computergrafik 2 SS

25 Orthogonale Funktionen Seien f 1 und f 2 Funktionen, die an N Stellen abgetastet sind (also N-dim. Vektoren) f 1 und f 2 sind orthogonal, falls gilt: 1 * = N f f f ( k) f ( k) = k= 0 2 D.h. das Skalarprodukt der zugehörigen Vektoren ist 0 N paarweise orthogonale Funktionen f 1 f N bilden damit eine orthogonale Basis des N-dim. Raums Transformationen zwischen orthogonalen Basen sind immer umkehrbar 0 Computergrafik 2 SS

26 Orthogonale Funktionen Computergrafik 2 SS

27 Orthogonale Funktionstransformationen Betrachte abgetastete Funktionen wie Vektoren Finde neue geeignete orthogonale Basis Üblicherweise Basisfunktionen, die Bedeutung bzgl. der betrachteten Eigenschaft haben Fourier-Basis: komplexe, periodische Funktionen Kosinusbasis: Kosinusfunktionen Transformiere Bild in diese Basis Bearbeite es dort Transformiere zurück y = Ax 1 x = A y Computergrafik 2 SS

28 Fourierbasis (1. Versuch, nur cos) Ausgangspunkt: Bildzeile mit N Pixeln 1. Versuch: wähle N Kosinusfunktionen cos 0 2π N ', cos 1 2π N ', cos 2 2π N ',..., cos (N 1) 2π N ' Beispiel nächste Folie: N = 5 Problem: abgetastete Funktionswerte gleich für i=1 und i=4 sowie i = 2 und i = 3 also keine Basis der Dimension N = 5 Vektoren spannen nur 3-dim. Untervektorraum auf Computergrafik 2 SS

29 0*2π/5 1*2π/5 2*2π/5 3*2π/5 4*2π/5 5*2π/5 6*2π/5 7*2π/ Computergrafik 2 SS

30 Fourierbasis (1. Versuch, nur cos) N = 4 Computergrafik 2 SS

31 0*2π/5 1*2π/5 2*2π/5 3*2π/5 4*2π/5 5*2π/5 6*2π/5 7*2π/5 cos: sin: cos: sin: cos: sin: cos: sin: cos: sin: cos: sin: cos: sin: cos: sin: Computergrafik 2 SS

32 Basisfunktionspaare (cos, sin) N = 4 Computergrafik 2 SS

33 Komplexe periodische Funktionen Computergrafik 2 SS

34 Komplexes Skalarprodukt Skalarprodukt zweier Vektoren mit komplexen Elementen x y N 1 N 1 = x i y * i = Re(x i )+ iim(x i ) i=0 i=0 ( )( Re(y i ) iim(y i )) Zu x = a + ib komplexkonjugierte Zahl ist x* = a - ib Computergrafik 2 SS

35 Fourierbasis (2. Versuch, komplexe Fn.) 2. Versuch: wähle komplexe Funktionen f u (n) = cos(un)+ isin(un) Wobei u ein ganzzahliges Vielfaches von u 0 = 2π/N à N verschiedene Funktionen Ist eine Basis Computergrafik 2 SS

36 Basisfunktionen der Fourierbasis (N = 2) Basisfunktionen f u Wertetabelle: f u (n) n=0 n=1 u=0 exp(0)=1 exp(0)=1 u=1 exp(0)=1 exp(iπ) = -1 Basisvektoren: f u=0 = (1,1), f u=1 = (1,-1) Skalarprodukt: f u=0 * f u=1 = 1*1 + 1*(-1) = 0 Basiswechselmatrix: B = 1 2 f u (n) = exp i2π N un ' Computergrafik 2 SS

37 Basisfunktionen der Fourierbasis (N = 4) Basisfunktionen f u Wertetabelle: f u (n) = exp i2π N un f u (n) n=0 n=1 n=2 n=3 u=0 exp(0)=1 exp(0)=1 exp(0)=1 exp(0)=1 u=1 exp(0)=1 exp(iπ/2)=i exp(iπ)=-1 exp(i3π/2)=-i u=2 exp(0)=1 exp(iπ)=-1 exp(i2π)=1 exp(i3π)=-1 u=3 exp(0)=1 exp(i3π/2)=-i exp(i3π)=-1 exp(i9π/2)=i Basisvektoren: f u=0 = (1,1,1,1), f u=1 = (1,i,-1,-i), f u=2 = (1,-1,1,-1), f u=3 = (1,-i,-1,i) Basiswechselmatrix: B = i 1 i i 1 i ' ' ' ' Computergrafik 2 SS

38 1D-Basisfunktionen b 0 (n) = [(1, 0),(1, 0),...,(1, 0)] n Computergrafik 2 SS

39 2D-Basisfunktionen Frequenz: Richtungsvektor: r(u, v) = f (u, v) = u 2 + v 2 1 f (u, v) Computergrafik 2 SS u v

40 2D-Fourier-Transformationspaar Transformationspaar für Bilder der Größe M N Transformation vom Ortsraum in den Frequenzraum F(u, v) = M 1 m=0 N 1 n=0 f (m, n) exp i2π um M + vn N Transformation vom Frequenzraum in den Ortsraum f (m, n) = 1 MN M 1 m=0 N 1 n=0 (( '' F(u, v) exp i2π um M + vn N '' Computergrafik 2 SS

41 2D-Fourier-Transformationspaar Transformationspaar für Bilder der Größe N N Transformation vom Ortsraum in den Frequenzraum F(u, v) = 1 N N 1 m=0 N 1 n=0 f (m, n) exp i 2π N ( um + vn) ( ' Transformation vom Frequenzraum in den Ortsraum f (m, n) = 1 N N 1 m=0 N 1 n=0 F(u, v) exp i 2π N ( um + vn) ' Computergrafik 2 SS

42 Phase und Amplitude Funktionswerte von F(u,v) = a+ib sind komplexe Zahlen Betrag eines Funktionswerts: Amplitude = F(u,v) = sqrt(a 2 +b 2 ) Winkel zur reellen Achse: Phase = tan -1 (b/a) Amplitude und Phase sind Parameter der jeweiligen Basisfunktion Computergrafik 2 SS

43 Beispiele für Amplitude FT FT Computergrafik 2 SS

44 Zweidimensionale Fouriertransformation Computergrafik 2 SS

45 Darstellungsweise Original Amplitude (zentriert, d.h. von N/2 bis N/2) Amplitude (log. Skala) Amplitude (zentriert, log. Skala) Computergrafik 2 SS

46 Beispiel Amplitude Phase Computergrafik 2 SS

47 Translation Translation im Ortsbereich führt zu Phasenverschiebung im Frequenzbereich Computergrafik 2 SS

48 Eigenschaften der 2D-DFT: Translation 2D- DFT: Verschiebung im Ortsraum führt zu Phasenverschiebung im Frequenzraum: f ( x x 0, y y 0 ) = 1 F ( u, v) e i2π (u(x x 0 )/M+v(y y 0 )/N ) = 1 MN = 1 MN F u, v M 1 u=0 M 1 u=0 N 1 v=0 N 1 v=0 M 1 N 1 ( ) = f x, y x=0 f ( x, y) = 1 MN y=0 MN ( ) e M 1 N 1 u=0 v=0 M 1 u=0 N 1 v=0 i2π (ux/m+vy/n ) i2π (ux/m+vy/n ) F ( u, v) e F ( u, v) e i2π (ux/m+vy/n ) e i2π (ux 0 /M+vy 0 /N ) F ( u, v) e i2π (ux 0 /M+vy 0 /N ) ' ei2π (ux/m+vy/n ) Computergrafik 2 SS

49 Rotation Computergrafik 2 SS

50 Computergrafik 2 SS Eigenschaften der 2D-FT: Rotation Rotation im Ortsraum führt zu Rotation im Frequenzraum Schreibe FT in Matrix-Vektor-Notation: Rotation mit 2x2-Rotationsmatrix R: f x, y ( ) = F u, v ( ) e i2π xu+yv ( ) du dv = F u v ' ( ) * ' ' ( ) * * e i2π x y ' ' ( ) * * T u v ' ( ) * ' ' ( ) * * du dv, mit x y ' ' ( ) * * T u v ' ( ) * = xu + yv f R x y = F u v e i2π R x y T u v du dv = F R u v ei2π xu+yv ( ) du dv nächste Folie

51 Computergrafik 2 SS f R x y = F u v e i2π R x y T u v du dv = F R u' v' e i2π R x y T R u' v' du dv, mit R u' v' = u v, R 1 = R T = F R u' v' e i2π x y T R T R u' v' du dv = F R u' v' e i2π x y T u' v' du dv = F R u v ei2π xu+yv ( ) du dv Eigenschaften der 2D-FT: Rotation Rotationsmatrix R Integration über alle (u,v) T, d.h. über die gesamte Ebene, und damit auch über alle R -1 (u,v) T. Substituierung R -1 (u,v) T à (u,v) T

52 Periodizität und Symmetrie F(u) = N 1 n=0 x f (n) exp i2π un ( N ' Computergrafik 2 SS

53 Eigenschaften der 2D-DFT: Periodizität 2D-DFT ( ) = f x, y F u, v M 1 N 1 x=0 f ( x, y) = 1 MN y=0 ( ) e M 1 N 1 u=0 i2π (ux/m+vy/n ) i2π (ux/m+vy/n ) F ( u, v) e Verschiebung im Ortsraum um Vielfache von M, N: f ( x am, y bn) = 1 MN = 1 MN = 1 MN M 1 N 1 v=0 M 1 u=0 N 1 v=0 v=0 i2π (u( am )/M+v bn F ( u, v) e ( )/N ) ei2π (ux/m+vy/n ) i2π (ua+vb) F ( u, v) e (ux/m+vy/n ) ei2π, u, v N 0, a, b Z u=0 M 1 u=0 N 1 v=0 i2π (ux/m+vy/n ) F ( u, v) e = f ( x, y) Computergrafik 2 SS

54 Zentrierung der 2D-DFT Verschiebung um M/2, N/2 im Frequenzraum: F u M 2, v N 2 ' f x, y ( )( 1) x+y F u M 2, v N 2 M 1 N 1 y=0 ' = M 1 x=0 N 1 y=0 f ( x, y) e i2π u M 2 'x/m+ v N 2 = iπ ( x+y f ( x, y) e ) i2π( ux/m+vy/n) e x, y N 0 x=0 M 1 x=0 N 1 y=0 = +, f ( x, y) 1 ( ) x+y - ( ux/m+vy/n). e i2π 'y/n ' Computergrafik 2 SS

55 Separierbarkeit F(u, v) = 1 f (m, n)exp i 2π N 1 N 1 (um + vn) N m=0 2 n=0 N ' = = 1 f (m, n)exp i 2π N 2 N um ' exp i 2π N vn N 1 N 1 m=0n=0 ' = = 1 N = 1 N = 1 N N 1 m=0 ) + * 1 N N 1 n=0 f (m, n)exp i 2π N vn, '. exp i 2π - N um ' = exp i 2π N um ) ' 1 N 1 f (m, n)exp i 2π N N vn, N 1 + n=0 '. = m=0 * - N 1 m=0 exp i 2π N um ' F v(m) v m Vorgehensweise: zunächst F v (m) für alle (v,m) berechnen und dann verwenden. F v (m) F(u,v) Computergrafik 2 SS

56 Konvolution und Korrelation Konvolution und Korrelation sind zwei eng verwandte Filter-Operationen. Beide können im Ortsraum und im Frequenzraum ausgeführt werden. Die Operation im Frequenzraum ist eine einfache Multiplikation (Aufwand N 2 ). Achtung: Padding wegen Periodizität P = A + B - 1 Computergrafik 2 SS

57 Konvolution im Frequenzraum Computergrafik 2 SS

58 Konvolution im Frequenzraum 1D-Konvolution f (x) h(x) = N 1 f (n) h(x n) n=0 F(u) H(u) 2D-Konvolution M 1 f (x, y) h(x, y) = f (m, n) h(x m, y n) m=0n=0 F(u, v) H(u, v) N 1 Periodizität problematisch à Padding Computergrafik 2 SS

59 Wraparound Error Konvolution periodischer Funktionen Padding: P A + B - 1 f (x) h(x) = 399 m=0 f (m) h(x m) f(x)*h(x) f(x)*h(x) R. C. Gonzalez R. E. Woods, Digital Image Processing Computergrafik 2 SS

60 Padding R. C. Gonzalez R. E. Woods, Digital Image Processing Computergrafik 2 SS

61 FAST FOURIER TRANSFORM (FFT) Computergrafik 2 SS

62 Vorgehensweise generell Vereinfachende Annahme: N=2 k, k>1 Nutze Separierbarkeit, um 2D-FT auf 1D zurückzuführen (O(N 4 ) à O(N 3 )) Teile Summe in zwei Teilsummen auf Finde Gemeinsamkeiten in den Teilsummen und berechne beide Teilsummen miteinander Betrachte die Teilsumme und unterteile rekursiv bis N=1 (O(N 3 ) à O(N 2 log N) Computergrafik 2 SS

63 Separierbarkeit F(u, v) = 1 f (m, n)exp i 2π N 1 N 1 (um + vn) N m=0 2 n=0 N ' = = 1 f (m, n)exp i 2π N 2 N um ' exp i 2π N vn N 1 N 1 m=0n=0 ' = = 1 N = 1 N = 1 N N 1 m=0 ) + * 1 N N 1 n=0 f (m, n)exp i 2π N vn, '. exp i 2π - N um ' = exp i 2π N um ) ' 1 N 1 f (m, n)exp i 2π N N vn, N 1 + n=0 '. = m=0 * - N 1 m=0 exp i 2π N um ' F v(m) v m Vorgehensweise: zunächst F v (m) für alle (v,m) berechnen und dann verwenden. F v (m) F(u,v) Computergrafik 2 SS

64 Divide Schritt Teile Summe in zwei Teilsummen auf N = 2K,W N = exp i 2π N F N (u) = 1 N = K K 1 n=0 N 1 f (n)(w N ) un = 1 n=0 2K f (2n)(W 2K ) 2nu ' = exp i π K ',W 2 = exp i 2π N K + 1 K 2K 1 f (n)(w 2K ) un = K 1 n=0 n=0 f (2n +1)(W 2K ) (2n+1)u ' Finde Gemeinsamkeiten in den Teilsummen ' = W K F even,k (u) = 1 K K 1 n=0 f (2n)(W 2K ) 2nu = 1 K K 1 n=0 f (2n)(W K ) nu F odd,k (u) = 1 K K 1 n=0 f (2n +1)(W 2K ) 2nu = 1 K K 1 n=0 f (2n +1)(W K ) nu Computergrafik 2 SS

65 Ausnutzen der Periodizität N = 2K, W N = exp i 2π N ' = exp i π K ', W K = exp i 2π K ' F even,k (u) = 1 K K 1 f (2n)(W K ) nu, F n=0 odd,k (u) = 1 K K 1 n=0 f (2n +1)(W K ) nu F N (u) = 1 ( 2 F even,k (u)+ F odd,k (u)(w 2K ) u ) Berechne F(u+K) ( W K ) u+n = ( W K ) u, ( W 2K ) u+k = ( W 2K ) u F N F N ( ( ) + F odd,k ( u + K) ( W 2K ) u+k ) ( u + K) = 1 2 F u + K even,k ( u + K) = 1 2 F even,k u ( ( ) F odd,k ( u) ( W 2K ) u ) Computergrafik 2 SS

66 Ausnutzen der Periodizität N = 2K,W N = exp i 2π N ' F(u) = 1 ( 2 F (u)+ F (u)(w even odd 2K )u ) F u + K ( ) ( ) = 1 2 F ( u ) even F ( odd u) ( W ) u 2K Also kann man F(u+K) mithilfe F(u) berechnen (einmal F even + F odd, einmal F even F odd ) Betrachte die Teilsumme [0 K-1] und unterteile rekursiv bis K=1 (O(n 3 ) à O(n 2 log n) Computergrafik 2 SS

67 Zusammenfassung N = 2K,W N = exp i 2π N ' F N (u) = 1 N N 1 n=0 f (n)(w N ) nu = 1 ( 2 F even,k (u)+ F odd,k (u)(w 2K ) u ) F even,k (u) = 1 K F odd,k (u) = 1 K K 1 n=0 K 1 n=0 f (2n)(W K ) nu f (2n +1)(W K ) nu F N ( u + K) = 1 2 F u even,k ( ( ) F ( odd,k u) ( W ) u ) 2K Computergrafik 2 SS

68 Rekursiver Algorithmus def F rek (N, (f 0, f 1, f 2,, f N-1 )): if N == 1 then return (f 0 ) K = N/2 F even = F rek (K, (f 0, f 2, f 4,, f N-2 )) F odd = F rek (K, (f 1, f 3, f 5,, f N-1 )) F = zeros(n) for u = 0..K-1: return F F N (u) = 1 N f (n)(w N ) nu F[u] = 0.5 * (F even [u] + F odd [u] * W Nu ) F[u+K] = 0.5 * (F even [u] F odd [u] * W Nu ) F even,k (u) = 1 K F odd,k (u) = 1 K F N N 1 n=0 K 1 n=0 K 1 n=0 ( u + K) = 1 2 F even,k u f (2n)(W K ) nu f (2n +1)(W K ) nu = 1 ( 2 F even,k (u)+ F odd,k (u)(w 2K ) u ) ( ( ) F odd,k ( u) ( W 2K ) u ) Computergrafik 2 SS

69 Rekursive Aufteilung in F odd und F even 1 signal of 16 points 2 signals of 8 points 4 signals of 4 points signals of 2 points signals of 1 point Signal aus N Datenpunkten in N Signale mit je einem Datenpunkt umwandeln Frequenzspektra der N Zeitraumsignale berechnen N Spektra zu einem einzelnen Spektrum zusammenfassen [Abbildungen zu FFT aus: The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing, Computergrafik 2 SS

70 Fourier Transformation zum Anschauen exploratories/ Computergrafik 2 SS

71 EIGENSCHAFTEN DER FOURIER-TRANSFORMATION Computergrafik 2 SS

72 Fourier-Transformation einer Box-Funktion f (t) = A falls W 2 t W 2 0 sonst F(u) = f (t) e i2πut W dt = 2 A e i2πut dt = A = A * W i2πu e i2π 2 ei2πuw 2 + = A i2sin( πuw ) = AW i2πu W 2, - = A *, W 2 + i2πu e i2πut - W 2 * + i2πu eiπuw e iπuw, - sin πuw Ringing-Artefakt ( ) πuw f(t) F(u) F(u) t u u Computergrafik 2 SS

73 Fourier-Transformation einer Gauß-Funktion f (t) = e at2 F(u) = f (t) e i2πut dt = = e at2 cos 2πut ( ) isin( 2πut) e at2 e i2πut dt ' ( dt = e at2 cos( 2πut)dt i e at2 sin( 2πut)dt = e at2 cos( 2πut)dt 0 = π a e π 2 u 2 /a f(t) sin ist punktsymmetrisch zum Ursprung, insgesamt ist zweiter Integrand ungerade, symmetrische Integrationsgrenzen: 0 F(u) erstes Integral: Handbook of Mathematical Functions... t u Computergrafik 2 SS

74 Fourier-Transformation eines Impulses im Ortsraum Impuls im Ursprung wird zu Konstante im Frequenzraum δ(t) = falls t = 0 0 sonst, δ(t)dt =1 F(u) = δ(t) e i2πut dt = e i2πu0 = e 0 =1 δ(t) F(u) t u Impuls an der Stelle t 0 wird liegt auf Einheitskreis im Frequenzraum F(u) = δ(t t 0 ) e i2πut dt = e i2πut 0 Computergrafik 2 SS