Lösungen Vorbereitung Test 1

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1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Mathematik- und Naturwissenschaft Lösungen Vorbereitung Test 1 Roger urkhardt 2018 Mathematik 1 (M1) 1. ufgabe Gegeben sind die folgenden Mengen: = {3, 7, 11, 15, 19,..., 59} = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} = {x N 10 < 2 x 200} D = {x N x 40 x % 3 = 1} (a) eschreiben Sie die Mengen und durch definierende Eigenschaften. = {x N x 60 x % 4 = 3} = {x N 100 % x = 0} (b) Geben Sie die Mengen und D durch ufzählung ihrer Elemente an. 2. ufgabe Gegeben seien die Mengen = {4, 5, 6, 7} D = {40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64,...} = {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, 4, 5, 6} = {} D = {{}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}} Welche der folgenden ussagen sind richtig und welche falsch? Geben Sie jeweils eine kurze egründung! (a) (b) (c) D ussage ist richtig. Die Menge D besitzt die leere Menge und die Menge als Elemente. D = 7 ussage ist falsch. Die Menge D besitzt nur 2 Elemente. D = ussage ist falsch. Die Mengen und D sind disjunkt und somit ist die Schnittmenge leer!

2 (d) (e) (f) (g) (h) = ussage ist richtig. eide Mengen haben die Mächtigkeit 6. ussage ist falsch. Die Menge besitzt Elemente, z.. 1, die nicht in der Menge enthalten sind! {} D ussage ist richtig. Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. {} D ussage ist richtig. Die Menge D besitzt die leere Menge und die Menge als Elemente. D ussage ist falsch. Die Menge besitzt Elemente, z.. 1, die nicht in der Menge D enthalten sind! 3. ufgabe eweisen Sie mit Hilfe eines Venn-Diagramms (Mengenschaubild)., und sind beliebige Mengen und alle seien Teilmengen von G: (a) ( \ ) = (b) \ ( ) = ( \ ) \ Seite 2 / 11

3 (c) = 4. ufgabe Gegeben sind die Mengen: T 45 = {alle natürlichen Teiler von 45} T 60 = {alle natürlichen Teiler von 60} T 75 = {alle natürlichen Teiler von 75} T 90 = {alle natürlichen Teiler von 90} (a) Stellen Sie die Mengen sinnvoll in einem Venn-Diagramm (Mengenschaubild) dar. estimmen Sie zudem alle möglichen Mengenrelationen. Seite 3 / 11

4 T T T T Keine der Mengen sind untereinander gleich. T 45, T 75 und T 60, T 90 sind jeweils gleichmächtig. T 45 T 90. (b) estimmen Sie: i. T 45 \ (T 75 T 90 ) =? T 45 \ (T 75 T 90 ) = T 45 \ ({1, 3, 5, 15, 25, 75} {1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 15, 18, 30, 45, 90}) = T 45 \ {1, 3, 5, 15} = {1, 3, 5, 9, 15, 45} \ {1, 3, 5, 15} = {9, 45} ii. T 75 (T 45 T 60 ) =? T 75 (T 45 T 60 ) = T 75 ({1, 3, 5, 9, 15, 45} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60}) 5. ufgabe Gegeben seien die Mengen: = T 75 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20, 30, 45, 60} = {1, 3, 5, 15, 25, 75} {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 20, 30, 45, 60} = {1, 3, 5, 15} = {{}} = {1, 2} = {{}, 1, {1, 2}} Seite 4 / 11

5 (a) estimmen Sie zu diesen Mengen jeweils die Potenzmengen. P () = {{}, {{}}} P () = {{}, {1}, {2}, {1, 2}} P () = {{}, {{}}, {1}, {{1, 2}}, {{}, 1}, {{}, {1, 2}}, {1, {1, 2}}, {{}, 1, {1, 2}}} (b) estimmen Sie die Mächtigkeiten der folgenden Mengen: P ( ) P ( ) P (\ (\)) = 0 P ( ) = 2 0 = 1 = 3 P ( ) = 2 3 = 8 \ (\) = 2 P (\ (\)) = 2 2 = 4 6. ufgabe Eine Klasse mit 25 Schülern hat während dem Semester drei Mathematik schreiben müssen. Den ersten Test haben 10, den zweiten Tast haben 12 und den dritten Test haben 8 Schüler nicht bestanden. In allen drei Tests hat niemand, in genau zwei Tests haben 5 Schüler nicht bestanden. Wieviele Schüler haben alle drei Tests erfolgreich abschlossen, wenn 5 Schüler nur den ersten Test und 8 Schüler nur den zweiten Test nicht bestanden haben? Es gilt: K = 25 M 1 = 10 M2 = 12 M3 = 8 M1 M 2 M 3 = 0 (( M 1 M 2 ) ( M1 M 3 ) ( M2 M 3 )) \ ( M1 M 2 M 3 ) = 5 M1 \ ( M 2 M 3 ) = 5 M2 \ ( M 1 M 3 ) = 8 Somit ergibt sich das folgende Mengenschaubild (Mächtigkeiten): Seite 5 / 11

6 K =25 M 1 M M Niemand hat somit alle drei Tests erfolgreich absolviert! 7. ufgabe Schreiben Sie die folgenden Dezimalbrüche als rüche: (a) (b) (c) b 1 = b 1 = b 1 = 36 b1 = = = b 2 = b 2 = b 2 = b 2 = b 2 = 36 b 2 = = = 2 55 b 3 = b 2 b 1 b 3 = = = = Seite 6 / 11

7 (d) b 4 = =? (e) b 4 = b 4 = b 4 = b 4 = 1189 b 4 = b 5 = =? b 5 = b 5 = b 5 = b 5 = 1081 b 5 = ufgabe Vereinfachen Sie soweit wie möglich: (a) (b) T 1 = 5a [2a 3b (4c 2a) (a (3c 2b) 4c)] =? T 1 = 5a [2a 3b (4c 2a) (a (3c 2b) 4c)] = 5a [2a 3b 4c + 2a (a 3c + 2b 4c)] = 5a [2a 3b 4c + 2a a + 3c 2b + 4c] = 5a 2a + 3b + 4c 2a + a 3c + 2b 4c = 2a + 5b 3c T 2 = (x 2) 3 x (3 x) 2 =? T 2 = (x 2) 3 x (3 x) 2 = ( x 3 6x x 8 ) ( 9x 6x 2 + x 3) = x 3 6x x 8 9x + 6x 2 x 3 = 3x 8 Seite 7 / 11

8 (c) (d) T 3 = u + v + w u (v 1) v (w 1) w (u 1) =? T 3 = u + v + w u (v 1) v (w 1) w (u 1) = u + v + w (uv u) (vw v) (uw w) = u + v + w uv + u vw + v uw + w = 2u + 2v + 2w uv vw uw T 4 = a (2a (3a (4a (5a (6a 7))))) =? T 4 = a (2a (3a (4a (5a (6a 7))))) = a (2a (3a (4a (5a 6a + 7)))) = a (2a (3a (4a ( a + 7)))) = a (2a (3a (4a + a 7))) = a (2a (3a (5a 7))) = a (2a (3a 5a + 7)) = a (2a ( 2a + 7)) = a (2a + 2a 7) = a (4a 7) = a 4a + 7 = 7 3a (e) T 5 = x+y ((y 2x (y 2x) 2 (y (x (y 3x)) 2x) y + x) y) =? T 5 = x + y ((y 2x (y 2x) 2 (y (x (y 3x)) 2x) y + x) y) = x + y ((y 2x y + 2x 2 (y (x y + 3x) 2x) y + x) y) = x + y (( 2 (y (4x y) 2x) y + x) y) = x + y (( 2 (y 4x + y 2x) y + x) y) = x + y (( 2 ( 6x + 2y) y + x) y) = x + y ((12x 4y y + x) y) = x + y (13x 5y y) = x + y (13x 6y) = x + y 13x + 6y = 12x + 7y (f) T 6 = 7x [3y + 5z (1 4z + 6y) (x (2y 4) 3z + 2)] =? T 6 = 7x [3y + 5z (1 4z + 6y) (x (2y 4) 3z + 2)] = 7x [3y + 5z 1 + 4z 6y (x 2y + 4 3z + 2)] = 7x [3y + 5z 1 + 4z 6y x + 2y 4 + 3z 2] = 7x 3y 5z + 1 4z + 6y + x + 2y + 4 3z + 2 = 8x + 5y 12z + 7 Seite 8 / 11

9 (g) (h) T 7 = (x + 3) 3 (x 1) (2 x) 2 =? T 7 = (x + 3) 3 (x 1) (2 x) 2 = (x + 3) 2 (x + 3) (x 1) ( 4 4x + x 2) = ( x 2 + 6x + 9 ) (x + 3) ( x 3 5x 2 + 8x 4 ) = ( x 3 + 9x x + 27 ) ( x 3 5x 2 + 8x 4 ) = x 3 + 9x x + 27 x 3 + 5x 2 8x + 4 = 14x x + 31 T 8 = 3 [4u + 2v (2 + 3w 4v) (2w (6v 3u 3) 5u) 6] =? T 8 = 3 [4u + 2v (2 + 3w 4v) (2w (6v 3u 3) 5u) 6] = 3 [4u + 2v 2 3w + 4v (2w 6v + 3u + 3 5u) 6] = 3 [4u + 2v 2 3w + 4v 2w + 6v 3u 3 + 5u 6] = 3 4u 2v w 4v + 2w 6v + 3u + 3 5u + 6 = 14 6u 12v + 5w (i) T 9 = (x + 4) 3 (x 1) 2 (2 x) =? T 9 = (x + 4) 3 (x 1) 2 (2 x) = (x + 4) 2 (x + 4) (x 1) (2 x) = ( x 2 + 8x + 16 ) (x + 4) ( x 2 2x + 1 ) (2 x) = ( x x x + 64 ) ( x 3 + 4x 2 5x + 2 ) = x x x x 3 4x 2 + 5x 2 = 2x 3 + 8x x ufgabe Faktorisieren Sie soweit wie möglich: (a) T 1 = 4a 2 b (c 2) 8ab (2 c) 2 + 2b 3 (2 c) =? Technik I (usklammern) T 1 = 4a 2 b (c 2) 8ab (2 c) 2 + 2b 3 (2 c) = 2b (c 2) 2a 2 2b (c 2) 4a (c 2) 2b (c 2) b 2 = 2b (c 2) [2a 2 4a (c 2) b 2] = 2b (c 2) ( 2a 2 4ac + 8a b 2) Seite 9 / 11

10 (b) T 2 = 1 x + 3y 3xy =? Technik II (Gruppenbildung /mehrmaliges usklammern) T 2 = 1 x + 3y 3xy = (1 x) 1 + (1 x) 3y = (1 x) (1 + 3y) (c) T 3 = 6a 9b 2ac + 3bc =? Technik II (Gruppenbildung /mehrmaliges usklammern) T 3 = 6a 9b 2ac + 3bc = 3 (2a 3b) c (2a 3b) = (2a 3b) (3 c) (d) T 4 = 10abc 2a + 20bc 4 =? Technik II (Gruppenbildung /mehrmaliges usklammern) T 4 = 10abc 2a + 20bc 4 = 10bc (a + 2) 2 (a + 2) = (a + 2) (10bc 2) = 2 (a + 2) (5bc 1) (e) (f) Technik III (Formeln) T 5 = 256x 4 y 8 =? T 5 = 256x 4 y 8 = ( 16x 2) 2 ( y 4 ) 2 = ( 16x 2 + y 4) ( 16x 2 y 4) = ( 16x 2 + y 4) ( (4x) 2 ( y 2) 2 ) = ( 16x 2 + y 4) ( 4x + y 2) ( 4x y 2) Technik III (Formeln) T 6 = 4p pq + 25q 2 16r 2 =? T 6 = 4p pq + 25q 2 16r 2 = (2p + 5q) 2 (4r) 2 = ((2p + 5q) + 4r) ((2p + 5q) 4r) = (2p + 5q + 4r) (2p + 5q 4r) (g) T 7 = k 2 4k 45 =? Technik IV (Satz von Vieta) T 7 = k 2 4k 45 = k 2 + ( 4) k + ( 45) = (k + 5) (k 9) }{{}}{{} 5 9 5( 9) (h) T 8 = 15rs 1 5r + 3s =? Technik II (Gruppenbildung /mehrmaliges usklammern) T 8 = 15rs 1 5r + 3s = 5r (3s 1) + (3s 1) = (3s 1) (5r + 1) Seite 10 / 11

11 (i) (j) T 9 = s 4 81t 8 =? Technik III (Formeln) T 9 = s 4 81t 8 = ( s 2) 2 ( ) 9t 4 2 ( = s 2 + 9t 4) ( s 2 9t 4) = ( s 2 + 9t 4) ( s 2 ( 3t 2) ) 2 = ( s 2 + 9t 4) ( s + 3t 2) ( s 3t 2) T 10 = 9x 2 4y 2 + 4yz z 2 =? Technik III (Formeln) T 10 = 9x 2 4y 2 + 4yz z 2 = (3x) 2 (2y z) 2 = (3x + (2y z)) (3x (2y z)) = (3x + 2y z) (3x 2y + z) (k) T 11 = u 2 5u 14 =? Technik IV (Satz von Vieta) T 11 = u 2 5u 14 = u 2 + ( 5) k + ( 14) = (u + 2) (u 7) }{{}}{{} 2 7 2( 7) Seite 11 / 11