Lösungen Arbeitsblatt Mengenlehre

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1 Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW) Hochschule für Technik Institut für Geistes- und Naturwissenschaft Lösungen Arbeitsblatt Mengenlehre Dozent: Roger Burkhardt Büro: - Klasse: BWZ (Gruppe A) 2012/2013 Semester: - 1. Aufgabe Liegen Aussagen vor? Modul: Mathematik Datum: 2012 / 2013 (a) Ist 9 eine Primzahl? Fragen sind keine Aussagen - sie können nicht mit wahr oder falsch beantwortet werden. Dagegen ist 9 ist eine Primzahl eine (falsche) Aussage. (b) Das, was ich jetzt sage, ist falsch. Es kann nicht (sinnvoll) festgestellt werden, ob dieser Satz wahr oder falsch ist, daher ist der Satz keine Aussage! (c) Hat der Niesen einen Hut, so wird das Wetter gut. Diese Bauernregel ist wohl manchmal wahr aber sicher nicht immer, daher also keine Aussage! 2. Aufgabe Stellen Sie die Wahrheitstabellen auf: (a) A B A B A B (b) A B A B A B (c) B A A B B A

2 (d) A Ā A A Ā Aufgabe (a) Negieren Sie die Aussage A = Sophia ist Griechin, 30 jährig und hat blondes Haar. Ā= Sophia ist nicht Griechin oder ist nicht 30 jährig oder hat nicht blondes Haar (b) Welchen Wahrheitswert hat die Aussage A A. Diese Aussage ist immer wahr! (c) Führen Sie einen Widerspruchsbeweis für: n natürliche Zahl n3 +2 > 1 n 5 +n n 2 Der Widerspruchsbeweis beginnt immer mit einer Gegenannahme (Negation der zu beweisenden Behauptung): n natürliche Zahl n Nun folgt: n 5 +n n 2 n 2 (n 3 + 2) n 5 + n und somit 2n 2 n. Die letzte Behauptung ist falsch! Da jede Folgerung korrekt war, muss die Behauptung am Anfang falsch gewesen sein! 4. Aufgabe Gegeben sind die folgenden Mengen: A = {2, 5, 8, 11, 14, 17, 20} B = {1, 2, 4, 5, 10, 20} C = {x Z : x 50 2 x} D = {x N : x MOD 6 = 5 x 30} (a) Bestimmen Sie für die Mengen A und B eine Darstellung mit definierenden Eigenschaften und für die Mengen C und D eine Darstellung durch das Aufzählen der Elemente. A = {x N : x MOD 3 = 2 x 20} B = {x N : x 20} C = { 50, 10, 2, 2, 10, 50} D = {5, 11, 17, 23, 29} (b) Bestimmen Sie: i. A ((B D) \ (C B)) =? Seite 2 / 17

3 A ((B D) \ (C B)) = A ((B D) \ ({ 50, 10, 2, 2, 10, 50} {1, 2, 4, 5, 10, 20})) = A (({1, 2, 4, 5, 10, 20} {5, 11, 17, 23, 29}) \ {2, 10}) = A ({1, 2, 4, 5, 10, 11, 17, 20, 23, 29} \ {2, 10}) = A {1, 4, 5, 11, 17, 20, 23, 29} = {2, 5, 8, 11, 14, 17, 20} {1, 4, 5, 11, 17, 20, 23, 29} = {5, 11, 17, 20} ii. P (D\A) =? P (D\A) = P ({5, 11, 17, 23, 29} \ {2, 5, 8, 11, 14, 17, 20}) = P ({23, 29}) 5. Aufgabe Gegeben sind die folgenden Mengen: = {{}, {23}, {29}, {23, 29}} A = {1, 5, 25} B = {3, 5, 7, 9, 11} C = { x Z : x 2 < 20 } D = {x N : x x} (a) Bestimmen Sie für die Mengen A und B eine Darstellung mit definierenden Eigenschaften und für die Mengen C und D eine Darstellung durch das Aufzählen der Elemente. (b) Bestimmen Sie: A = {x N : x 25} B = {x N : x MOD 2 = 1 3 x 11} C = {1, 2, 3, 4} D = {5, 10, 20, 25, 50, 100} i. A (B (C D)) =? A (B (C D)) = A (B ({1, 2, 3, 4} {5, 10, 20, 25, 50, 100})) = A ({3, 5, 7, 9, 11} {}) = {1, 5, 25} {3, 5, 7, 9, 11} = {5} Seite 3 / 17

4 ii. iii. P (A D) =? P (A D) = P ({1, 5, 25} {5, 10, 20, 25, 50, 100}) = P ({5, 25}) = {{}, {5}, {25}, {5, 25}} card (P (B C)) =? card (P (B C)) = card (P ({3, 5, 7, 9, 11} {1, 2, 3, 4})) = card (P ({1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 11}) = 2 8 = Aufgabe (a) Geben Sie die folgenden Mengen durch Aufzählung ihrer Elemente an: i. ii. A = { x IN : x IN x < 100 } A = {1, 4, 9, 16, 25,..., 81} B = {x IN : x%4 = 2 x > 10 x < 30} B = {14, 18, 22, 26} (b) Geben Sie die folgenden Mengen durch Beschreibung der Eigenschaften an: i. ii. 7. Aufgabe Gegeben seien die Mengen C = {12, 21, 30, 39, 48,..., 102, 111} C = {x IN : x%9 = 3 x > 10 x < 120} D = {5, 25, 125, 625,...} D = { x IN : x = 5 k k IN } A = {1, {2}, {1, 2}, 3} B = {{}, {1}, 2, 3} C = {1, 2, 3} D = {{1, 2}, 3, 4, 5} Welche der folgenden Aussagen sind richtig und welche falsch? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung! Seite 4 / 17

5 (a) C B Aussage ist falsch. Die Menge C besitzt das Element 1, welches nicht Element der Menge B ist. (b) A = 4 Aussage ist richtig. Die Menge A besitzt die vier Elemente a 1 = 1, a 2 = {2}, a 3 = {1, 2} und a 4 = 3. (c) A B = C D Aussage ist richtig. Die Schnittmenge von A und B beinhaltet das Element 3. Dies ist auch das Element, welche die Mengen C und D gemeinsam haben. (d) P (C D) = 2 5 Aussage ist falsch. Die Vereinigungsmenge C D = {{1, 2}, 1, 2, 3, 4, 5} hat die Mächtigkeit 6 und somit ist die Mächtigkeit der Potenzmenge gleich Aufgabe Gegeben seien die Mengen A = {1, {2}, {1, 2}, 3} B = {{}, {1}, 2, 3} C = {1, 2, 3} D = {{1, 2}, 3, 4, 5} Welche der folgenden Aussagen sind richtig und welche falsch? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung! (a) C B Aussage ist falsch. Die Menge C besitzt das Element 1, welches nicht Element der Menge B ist. (b) A = 4 Aussage ist richtig. Die Menge A besitzt die vier Elemente a 1 = 1, a 2 = {2}, a 3 = {1, 2} und a 4 = 3. Seite 5 / 17

6 (c) (d) A B = C D Aussage ist richtig. Die Schnittmenge von A und B beinhaltet das Element 3. Dies ist auch das Element, welche die Mengen C und D gemeinsam haben. P (C D) = 2 5 Aussage ist falsch. Die Vereinigungsmenge C D = {{1, 2}, 1, 2, 3, 4, 5} hat die Mächtigkeit 6 und somit ist die Mächtigkeit der Potenzmenge gleich Aufgabe Gegeben seien die Mengen A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} B = {{1}, {1, 2}, {1, 2, 3}, 4, 5, 6} C = {} D = {{}, {1, 2, 3, 4, 5, 6}} Welche der folgenden Aussagen sind richtig und welche falsch? Geben Sie jeweils eine kurze Begründung! (a) (b) (c) (d) (e) A D Aussage ist richtig. Die Menge D besitzt die leere Menge und die Menge A als Elemente. D = 7 Aussage ist falsch. Die Menge D besitzt nur 2 Elemente. A D = A Aussage ist falsch. Die Mengen A und D sind disjunkt und somit ist die Schnittmenge leer! A = B Aussage ist richtig. Beide Mengen haben die Mächtigkeit 6. A B Aussage ist falsch. Die Menge A besitzt Elemente, z.b. 1 A, die nicht in der Menge B enthalten sind! Seite 6 / 17

7 (f) {} D Aussage ist richtig. Die leere Menge ist Teilmenge jeder Menge. (g) {} D Aussage ist richtig. Die Menge D besitzt die leere Menge und die Menge A als Elemente. (h) A D Aussage ist falsch. Die Menge A besitzt Elemente, z.b. 1 A, die nicht in der Menge D enthalten sind! 10. Aufgabe Gegeben sind die folgenden Mengen: A = {3, 7, 11, 15, 19,..., 59} B = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} C = {x N 10 < 2 x 200} D = {x N x 40 x MOD 3 = 1} (a) Beschreiben Sie die Mengen A und B durch definierende Eigenschaften. A = {x N x 60 x MOD 4 = 3} B = {x N 100 MOD x = 0} (b) Geben Sie die Mengen C und D durch Aufzählung ihrer Elemente an. C = {4, 5, 6, 7} 11. Aufgabe Gegeben seien die folgenden Mengen: D = {40, 43, 46, 49, 52, 55, 58, 61, 64,...} E = {{}, 0, {0}} F = {0, 1, {0, 1}} G = {{0}, {0, 1}} H = {{}} Seite 7 / 17

8 (a) Bestimmen Sie die Mächtigkeiten der Mengen E, F, G und H. (b) Bestimmen Sie die folgenden Mengen: E = 3 F = 3 G = 2 H = 1 E F =? E (F G) =? (H E) \ (G\F ) =? P (G) =? E F = {{}, 0, {0}} {0, 1, {0, 1}} = {0} E (F G) = {{}, 0, {0}} ({0, 1, {0, 1}} {{0}, {0, 1}}) = {{}, 0, {0}} {{0, 1}} = {{}, 0, {0}, {0, 1}} (H E) \ (G\F ) = ({{}} {{}, 0, {0}}) \ ({{0}, {0, 1}} \ {0, 1, {0, 1}}) = {{}, 0, {0}} \ {{0}} = {{}, 0} 12. Aufgabe Gegeben seien die Mengen: P (G) = P ({{0}, {0, 1}}) = {{}, {{0}}, {{0, 1}}, {{0}, {0, 1}}} A = {1, {3, 5}} B = {2, 3} C = {{}, 2, 4} (a) Bestimmen Sie zu diesen Mengen jeweils die Potenzmengen. P (A) = {{}, {1}, {3, 5}, {1, {3, 5}}} P (B) = {{}, {2}, {3}, {2, 3}} P (C) = {{}, {{}}, {2}, {4}, {{}, 2}, {{}, 4}, {2, 4}, {{}, 2, 4}} Seite 8 / 17

9 (b) Bestimmen Sie die Mächtigkeiten der folgenden Mengen. 13. Aufgabe Gegeben sind die folgenden Mengen: P (B C) P (A B C) P (C\ (A\B)) B C = 1 P (B C) = 2 1 = 2 A B C = 6 P (A B C) = 2 6 = 64 C\ (A B) = 3 P (C\ (A B)) = 2 3 = 8 A = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} B = {x N : x MOD 4 = 3 x 40} C = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20} D = {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} (a) Bestimmen Sie für die Menge A eine Darstellung mit definierenden Eigenschaften und für die Menge B eine Darstellung durch das Aufzählen der Elemente. (b) Bestimmen Sie: A = {x N : x 30} B = {3, 7, 11, 15, 19, 23, 27, 31, 35, 39} i. A ((A D) \ (C A)) =? A ((A D) \ (C A)) = A ((A D) \ ({2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20} {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30})) = A ((A D) \ {2, 6, 10}) = A (({1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}) \ {2, 6, 10}) = A ({1, 2, 3, 5, 6, 9, 10, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} \ {2, 6, 10}) = A {1, 3, 5, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30} {1, 3, 5, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30} = {1, 3, 5, 15, 30} ii. P (C D) =? P (C D) = P ({2, 4, 6, 8, 10, 12, 16, 18, 20} {3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30}) = P ({6, 12, 18}) = {{}, {6}, {12}, {18}, {6, 12}, {6, 18}, {12, 18}, {6, 12, 18}} Seite 9 / 17

10 14. Aufgabe Es sei V n die Menge aller natürlicher Vielfachen der natürlichen Zahl n. (a) Geben Sie die Mengen V 4, V 5, V 8 und V 20 durch Aufzählung ihrer Elemente an. V 4 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...} V 5 = {5, 10, 15, 20, 25, 30, 35,...} V 8 = {8, 16, 24, 32, 40, 48, 56,...} V 20 = {20, 40, 60, 80, 100, 120,...} (b) Bestimmen Sie die Teilmengenbeziehungen der obigen Mengen. Skizzieren Sie zudem ein ausagekräftiges Venn-Diagramm dieser Mengen. V 8 V 4 V 20 V 4 V 20 V V V V V Ν Ν V 8 V 4 V 20 V 5 (c) Bestimmen Sie die folgenden Mengen und beschreibe sie sowohl durch Angabe der Elemente als auch durch eine definierende Eigenschaft. i. V 4 V 5 =? V 4 V 5 = {20, 40, 60, 80,...} = V 20 = {x N x MOD 20 = 0} ii. V 4 V 8 =? V 4 V 8 = {4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32,...} = V 4 = {x N x MOD 4 = 0} 15. Aufgabe Es sei T n die Menge aller natürlichen Teiler der natürlichen Zahl n. Seite 10 / 17

11 (a) Geben Sie die Mengen T 20, T 50, T 100 und T 200 durch Aufzählung ihrer Elemente an. T 20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20} T 50 = {1, 2, 5, 10, 25, 50} T 100 = {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50, 100} T 200 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200} (b) Bestimmen Sie die Teilmengenbeziehungen der obigen Mengen. Skizzieren Sie zudem ein ausagekräftiges Venn-Diagramm dieser Mengen. T 20 T 100 T 50 T 100 T 100 T 200 N T T 20 8 T 100 T T20 T50 T 100 T 200 N (c) Bestimmen Sie die folgenden Mengen und beschreiben Sie sie sowohl durch Angabe der Elemente als auch durch eine definierende Eigenschaft. i. T 20 T 50 =? T 20 T 50 = {1, 2, 5, 10} = T 10 = {x N : x 10} ii. T 200 \ (T 20 T 50 ) =? T 200 \ (T 20 T 50 ) = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 40, 50, 100, 200} \ {1, 2, 4, 5, 10, 20, 25, 50} = {8, 40, 100, 200} = {x N : x 200 (x 20 x 50)} Seite 11 / 17

12 16. Aufgabe Gegeben seien die Mengen: A = {{}} B = {1, 2} C = {{}, 1, {1, 2}} (a) Bestimmen Sie zu diesen Mengen jeweils die Potenzmenge. P (A) = {{}, {{}}} P (B) = {{}, {1}, {2}, {1, 2}} P (C) = {{}, {{}}, {1}, {{1, 2}}, {{}, 1}, {{}, {1, 2}}, {1, {1, 2}}, {{}, 1, {1, 2}}} (b) Bestimmen Sie die Mächtigkeiten der folgenden Mengen. P (A B) P (A B) P (C\ (A\B)) A B = 0 P (A B) = 2 0 = 1 A B = 3 P (A B) = 2 3 = 8 C\ (A\B) = 2 P (C\ (A\B)) = 2 2 = Aufgabe In einer Schule mit 100 Schülern ( S = 100) werden die drei Wahlfächer A, B und C angeboten. Das Wahlfach A belegen 50, das Wahlfach B 30 und das Wahlfach C 60 Schüler. Für die beiden Wahlfächer A und B haben sich 10 Schüler angemeldet. Für die beiden Wahlfächer A und C haben sich 20 Schüler angemeldet. Nur das Wahlfach C besuchen 20 Schüler. Wie viele Schüler besuchen kein Wahlfach? Wie viele Schüler besuchen maximal alle drei Wahlfächer? Wie viele Schüler besuchen minimal nur das Wahlfach A? Seite 12 / 17

13 S 100 A B C definiert Variante minimal drei Fächer Variante maximal drei Fächer Aus dem obigen Venn-Diagramm findet man: S\ (A B C) = 10 A B C max = 10 A\ (B C) min = Aufgabe In einem Tanzverein mit 50 Mitgliedern werden die drei Disziplinen Klassisch, Latin und Rock n Roll angeboten. Die Disziplinen Klassisch und Rock n Roll betreiben jeweils 22 Mitglieder. Nur die Latin Disziplin betreiben Mitglieder betreiben Rock n Roll und/oder Latin. Alle drei Disziplinen betreibt ein Mitglied. Genau in zwei Disziplinen aktiv sind 26 Mitglieder. Bestimmen Sie die Anzahl Mitglieder welche genau eine Disziplin betreiben, wenn jedes Mitglied mindestens eine Disziplin betreibt. Gegeben ist: T = 50 R = 22 K = 22 L\ (R K) = 10 R L = 38 R L K = 1 T \ (R L K) = 0 ((R L) (R K) (L K)) \ (R L K) = 26 Daher gilt: Seite 13 / 17

14 T (50) R L (1) (10) K (0) Nun folgt: L\ (R K) = 10 R K = 40 R K = 40 R = 22 K = 22 R K = 4 R K = 4 R L K = 1 (R K) \L = 3 R L = 38 K\ (R L) = 12 K = 22 R K = 4 K\ (R L) = 12 (K L) \R = 6 ((R L) (R K) (L K)) \ (R L K) = 26 (L R) \K = 17 Schaubild: T (50) R (1) (17) (1) (10) L (3) (6) (12) K (0) Somit betreiben =23 Mitglieder genau eine Disziplin! 19. Aufgabe In einer Klasse mit 16 Schülern werden die drei Wahlpflichtfächer Geschichte Seite 14 / 17

15 Literatur und Theater angeboten. In jedem Fach hat es 10 Plätze, die alle belegt werden. Nur Geschichte hat ein Schüler gewählt, nur Literatur zwei Schüler und nur Theater haben drei Schüler belegt. Wie viele Schüler belegen alle drei Fächer? Da es sich um Wahlpflichtfächer handelt, müssen die Schüler mindestens ein solches Fach belegen. D.h. ausserhalb der drei Kreise können keine Schüler platziert werden! Die Anzahl Schüler, welche nur ein Fach belegen kann man ebenfalls direkt eintragen: G\ (L T ) = 1 L\ (G T ) = 2 T (L G) = 3 In den verbleibenden 4 Feldern ((G L) \T, (G T ) \L, (T L) \G und G L T ) sind somit noch 10 Schüler zu platzieren ( (G L) (G T ) (T L) = 10)! Da in jedem Fach 10 Schüler sind, findet man: (T L) \G = 1 (T G) \L = 2 (G L) \T = 3 Vier Schüler besuchen somit alle drei Wahlpflichtfächer! G L T = Aufgabe Bei einer Konsumentenbefragung werden 100 Personen nach der Benutzung der beiden Produkte a und b befragt. Es sei A die Menge der befragten Personen, die Seite 15 / 17

16 das Produkt a und B die Menge der Personen, die das Produkt b benützen (weiter sei X die Menge der befragten Personen). Es gelte: A B = 80 A B = 20 A\B = 10 (a) Skizzieren Sie ein Venn-Diagramm mit den Mächtigkeiten. Bestimmen Sie insbesondere die Anzahl der befragten Personen, die das Produkt b benützen. X = 100 A = 30 B = 70 A \ B = 10 A B = 20 B \ A = 50 X ( A B ) 20 \ = (b) Bestimmen Sie: P (A) =? P (B\A) =? P ( A B ) =? P (A) = 2 A = 2 30 P (B\A) = 2 B\A = 2 50 ( ) P A B = P (X\ (A B)) = Aufgabe In einer Schule mit 100 Schülern ( S = 100) werden die drei Wahlfächer A, B und C angeboten. Das Wahlfach A belegen 50, das Wahlfach B 30 und das Wahlfach C 60 Schüler. Für die beiden Wahlfächer A und B haben sich 10 Schüler angemeldet. Für die beiden Wahlfächer A und C haben sich 20 Schüler angemeldet. Nur das Wahlfach C besuchen 20 Schüler. Alle drei Wahlfächer besucht ein Schüler. Wie viele Schüler besuchen kein Wahlfach? Wie viele Schüler besuchen nur das Wahlfach A? Wie viele Schüler besuchen genau zwei Wahlfächer? Seite 16 / 17

17 S B A C Aus dem obigen Venn-Diagramm findet man: S\ (A B C) = 10 A\ (B C) = 21 (A B) \C (A C) \B (B C) \A = 48 Seite 17 / 17