Beispiel 1.10 Das Bruttosozialprodukt der Bundesrepublik Deutschland ist höher als das der USA ist eine offenbar falsche Aussage.

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1 1.5 Aussagen In der Mathematik geht es um Aussagen. Eine Aussage ist ein statement, das entweder wahr oder falsch sein kann. Beides geht nicht! Äußerungen, die nicht die Eigenschaft haben, wahr oder falsch zu sein, gelten nicht als Aussagen. Beispiel 1.10 Das Bruttosozialprodukt der Bundesrepublik Deutschland ist höher als das der USA ist eine offenbar falsche Aussage. Gute Nacht, Freunde ist keine Aussage. Häufig hängen Aussagen auch von variablen Parametern ab. Wir sprechen dann von Aussageformen A(). Beispiel 1.11 Für alle natürlichen Zahlen gilt: ist Primzahl ist eine offenbar falsche Aussage. Eine richtige Aussage wäre: Für alle natürlichen Zahlen gilt, dass nicht negativ ist. Ein anderes Beispiel einer Aussageform ist: Unter allen Gütern gibt es mindestens ein Gut, dessen Preis sich verändert. Für Aussageformen führen wir folgende Bezeichnungen ein: A() gilt für alle : A() gilt für mindestens ein : A() A() Interessant wird es, wenn man Aussagen A und B miteinander verknüpft. Der Wahrheitswert der verknüpften Aussage hängt vom Wahrheitswert von A und B ab. Wir wollen das am Beispiel erläutern: Beispiel 1.12 Die Aussage Franz studiert Wirtschaftswissenschaften oder Mathematik ist wahr, wenn Franz mindestens eines der beiden Fächer Wirtschaft oder Mathematik studiert, eventuell auch beide. Die Aussage ist eine Verknüpfung der beiden Aussagen Franz studiert Wirtschaftswissenschaften sowie Franz studiert Mathematik durch ein oder. Beachte: Die Aussage Franz studiert Wirtschaftswissenschaften oder Mathematik ist auch wahr, wenn Franz ganz fleißig ist und sowohl Wirtschaftswissenschaften als auch Mathematik studiert. Es handelt sich beim mathematischen oder nicht um ein entweder-oder. Konjunktion Seien A und B zwei Aussagen. Dann ist die Aussage A und B, geschrieben A B, wahr, wenn beide Aussagen wahr sind. Die Aussage A und B ist falsch, wenn mindestens eine der beiden Aussagen A, B falsch ist. Man nennt dies auch die Konjunktion der Aussagen A und B. 27

2 Disjunktion Seien A und B zwei Aussagen. Dann ist die Aussage A oder B, geschrieben A B, wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist. Die Aussage A oder B ist falsch, wenn sowohl A als auch B falsch sind. Man nennt dies auch die Disjunktion der Aussagen A und B. Man stellt dies häufig auch durch sogenannte Wahrheitstafeln dar. Das ist eine Tabelle, in die wir die möglichen Wahrheitswerte von A und B eintragen (w für wahr und f für falsch) und dann die entsprechenden Wahrheitswerte der verknüpften Aussagen auswerten. Hier ist die Wahrheitstafel für die Konjunktion: und hier die für die Disjunktion: A B A B w w w f f w f f w f f f A B A B w w w f f w f f Kehrt man eine Aussage in ihr Gegenteil um, erhält man die Negation der Aussage. Bezeichnung: A. Klar ist, dass eine negierte wahre Aussage falsch wird und umgekehrt. Beispiel 1.13 Wir wollen die Aussage A Deutschland ist Eportweltmeister und Fußballweltmeister negieren, d.h. wir suchen die Aussage, die wahr ist genau in den Fällen, in denen A falsch ist. A ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist, wenn also Deutschland nicht Eportweltmeister oder nicht Weltmeister ist. Dieses Beispiel zeigt, wie wir eine Konjunktion negieren: w w w f A B = A B Ähnlich sieht es mit der Negation der Disjunktion aus: A B = A B 28

3 Das Gleichheitszeichen soll hier bedeuten, dass die Aussagen auf den beiden Seiten denselben Wahrheitswert haben (also wahr oder falsch sind), wenn für A und B auf beiden Seiten die selben Aussagen eingesetzt werden. Schwierigkeit bereitet manchmal die Negation einer für alle sowie es gibt ein Aussage: A() A() = A() A() = Umgangssprachlich: Wenn eine Aussage A() nicht für alle gilt, dann muss es ein geben, für das diese Aussage nicht gilt. Und wenn es kein gibt, für das eine Aussage A() wahr ist, dann ist A() für alle eine falsche Aussage. Beispiel 1.14 Sei A() die Aussage Der Preis des Gutes bleibt konstant. Wir wollen uns alle Aussagen anschauen, die wir mit A() mittels Negation sowie und bilden können: 29

4 (1.) (2.) (3.) (4.) (5.) (6.) (7.) (8.) A() Die Preise aller Güter bleiben konstant. A() Die Preise aller Güter verändern sich. A() Nicht für alle Güter bleiben die Preise konstant. A() Nicht für alle Güter verändern sich die Preise. A() Der Preis mindestens eines Gutes bleibt konstant. A() Der Preis mindestens eines Gutes verändert sich. A() Der Preis keines Gutes bleibt konstant. A() Der Preis keines Gutes verändert sich. Beachten Sie, dass hier die erste und achte, die zweite und siebte, die dritte und sechste sowie die vierte und fünfte Aussage jeweils gleich sind. Implikation und Äquivalenz Die Implikation (geschrieben A B) ist falsch, wenn A wahr ist, B aber falsch. In allen anderen Fällen ist die Implikation wahr. Sprechweise: Wenn A, dann B. Wahrheitstabelle: A B A B w w w f f w f f Das ist etwas gewöhnungsbedürftig, weil A B wahr ist, wenn A falsch ist (Aus etwas Falschem darf man alles folgern). Wir nennen A eine hinreichende Bedingung für B und B eine notwendige Bedingung für A. Gilt A B und B A, so nennt man die beiden Aussagen äquivalent. Bezeichnung: A B. Die zugehörige Wahrheitstafel ist w f w w 30

5 A B A B w w w f f w f f Zwei Aussagen heißen also äquivalent, wenn sie beide wahr oder beide falsch sind. Beispiel 1.15 Betrachte die Aussage Wenn die Inflation steigt, dann sinkt die Arbeitslosenquote. Wir überlegen uns, welche der folgenden Aussagen dazu äquivalent sind: 1. Damit die Arbeitslosenquote sinkt, muss die Inflation steigen. 2. Eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Arbeitslosenquote sinkt, ist ein Anstieg der Inflation. 3. Die Arbeitslosenquote kann nur fallen, wenn die Inflation steigt. 4. Wenn die Arbeitslosenquote nicht sinkt, dann steigt die Inflation nicht. 5. Die Inflation kann nur steigen, wenn die Arbeitslosenquote sinkt. Offensichtlich bestehen alle diese Aussagen aus zwei Teilaussagen und Die Arbeitslosenquote sinkt. (Aussage A) Die Inflation steigt. (Aussage B). Diese Aussagen sind unterschiedlich verknüpft. Wir wollen die Wahrheitstafeln für diese Verknüpfungen aufstellen. Die ursprüngliche Aussage lautet B A, und ihr Wahrheitswert wird zunächst bestimmt: A B B A (1) (2) (3) (4) (5) w w w w w w w w w f w f w f w w f w f w f w f f f f w w w w w w Also sind die Aussagen (2), (4) und (5) äquivalent zur ursprünglichen Aussage. Wir wollen die Aussagen (1) bis (5) noch einmal analysieren: w f f w 31

6 (1) A B (2) B A (3) A B (4) A B (5) B A Besonders interessant ist hier das vierte Statement. Es zeigt, dass die Aussagen B A und A B äquivalent sind. Wir wollen das noch einmal ganz deutlich herausstellen: (A B) ist äquivalent zu (B A) Einige Bemerkungen zu mathematischen Beweisen In der Mathematik hat man es stets mit Aussagen zu tun, die wahr oder falsch sind. Beispielsweise gilt für alle reellen Zahlen (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2. Woher weiß man das? Man kann doch nicht alle reellen Zahlen einsetzen und schauen, ob diese Gleichung immer richtig ist. Das ist auch nicht nötig, denn man kann einen mathematischen Beweis für diese Aussage angeben. Ein Beweis für eine Aussage A ist eine Folge logischer Schlüsse, beginnend mit einer wahren Aussage B, an deren Ende A steht. Sie zeigen also die Gültigkeit der Aussage B A, wobei B aber eine wahre Aussage sein muss. Das nächste Beispiel zeigt deutlich die Aufgabe eines mathematischen Beweises: Ein Beweis soll einen zweifelsfreien Grund angeben, warum eine Aussage richtig ist. Beispiel 1.16 Wir wollen die folgende Behauptung beweisen: Wenn in einem Schachbrett die diagonal gegenüberliegenden Eckfelder entfernt werden, kann das so entstehende Brett nicht mit Dominosteinen überdeckt werden, wobei jeder Dominostein genau zwei Felder des Schachbrettes überdeckt. Der Beweis ist ganz einfach: Jeder Dominostein überdeckt genau ein weißes und ein schwarzes Feld. Aber das Schachbrett, bei dem die Eckfelder entfernt wurden, hat nicht die gleiche Zahl weißer und schwarzer Felder! Manche Nicht-MathematikerInnen sind versucht, die Gültigkeit einer Aussageform A() zu beweisen, indem die Gültigkeit von A() für einige wenige Werte von nachgerechnet wird. Das ist natürlich kein Beweis! 32

7 Beispiel 1.17 Angenommen, jemand behauptet n 2 +n+41sei für alle natürlichen Zahlen n eine Primzahl. Wir setzen ein und erhalten, dass n 2 +n+41 eine Primzahl für alle Zahlen n zwischen 0 und 39 ist. Ist das ein Beweis? Nein! AußerdemistdieAussage,dassn 2 +n+41fürallenatürlichenzahleneineprimzahl ist, falsch: Setzen Sie einfach n = 40 ein! Wir haben somit ein Gegenbeispiel gefunden. Etwas formaler. Wir hatten die Aufgabe zu entscheiden, ob eine Aussage A() für alle gilt. Um zu beweisen, dass die Aussage stets gilt, benötigen wir einen Beweis. Wenn wir aber zeigen wollen, dass die Aussage nicht immer gilt, genügt es, ein so anzugeben, dass A() falsch ist. Wir haben damit die Allgemeingültigkeit widerlegt. Im obigen Beispiel können wir die Behauptung, jede Zahl der Form n 2 + n + 41 sei ein Primzahl, widerlegen, denn für n = 40 ist n 2 +n+41 offensichtlich keine Primzahl! Halten wir fest: Die Gültigkeit einer Aussage A() kann man nicht beweisen, indem man die Gültigkeit für einige Werte von überprüft. Man kann aber zeigen, dass die Aussage A() nicht allgemeingültig ist, wenn man nur ein Gegenbeispiel angibt, also ein g, für das A( g ) falsch ist. 1.6 Mengen Ein zentrales Konzept für die Mathematik ist der Begriff der Menge. Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte. Von jedem dieser Objekte muss eindeutig feststehen, ob das Objekt zur Menge gehört oder nicht. Die Objekte heißen Elemente der Menge Ist a ein Element der Menge M, schreiben wir auch andernfalls a M a / M. Die Elemente einer Menge sind immer alle verschieden. Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, Mengen zu beschreiben. Wir wollen die Menge M aller geraden ganzen Zahlen zwischen 2 und 15 beschreiben: 1. Aufzählung M = {2,4,6,8,10,12,14}. 33

8 2. teilweise Aufzählung M = {2,4,6,...,12,14}. Hierbei muss man aufpassen, dass es nicht zu Missverständnissen kommt. 3. Beschreibung durch charakteristische Eigenschaften M := { : Z und 2 und 15 und gerade}. Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält. Beispiel 1.18 = { : wohnt in der Bundesrepublik Deutschland und ist im Jahre 1700 geboren} Die Mächtigkeit oder Ordnung einer Menge ist die Anzahl der Elemente in der Menge. Unsere oben betrachtete Menge M = {2,4,6,8,10,12,14} hat also die Mächtigkeit 7. Schreibweise: M = Anzahl der Elemente in M. Falls M unendlich viele Elemente hat, schreiben wir M = ( : unendlich). Intervalle Seien a,b R mit a < b. Dann unterscheiden wir die folgenden Typen von Intervallen Intervalle der Form [a,b] = { R : a b} abgeschlossenes Intervall, (a,b) = { R : a < < b} offenes Intervall, [a,b) = { R : a < b} (a,b] = { R : a < b} [a, ) = { R : a} (,b] = { R : b} (a, ) = { R : > a} (,b) = { R : < b} halboffene Intervalle. werden uneigentliche Intervalle genannt, die ersten beiden sind abgeschlossene, die letzten beiden offene Intervalle. Beziehungen zwischen Mengen Wir nennen A eine Teilmenge von B, wenn jedes Element aus A auch ein Element von B ist. Dabei darf auch A = B gelten. A B: A Teilmenge von B A B: A Teilmenge von B und A B 34

9 Beachte, dass stets A A gilt. Ferner gilt für alle Mengen A. Beispiel 1.19 N Z Q R Die Menge aller Einwohner Magdeburgs ist eine Teilmenge der Menge aller Einwohner Deutschlands. Verknüpfung von Mengen Wir können Mengen schneiden oder vereinigen: A B = { : A oder B} Vereinigung A B = { : A und B} Schnitt A B A B A A B B Achtung: Es gilt nicht A B = A + B, sondern A B = A + B A B Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn ihr Schnitt leer ist. Für disjunkte Mengen gilt A B = A + B Manchmal wollen wir mehr als nur eine Menge vereinigen oder schneiden. Wir schreiben dann n i=1 A i = A 1 A 2... A n n A i = A 1 A 2... A n. i=1 35

10 Die Differenz von Mengen ist wie folgt definiert: A\B = { : A und / B.} A B A\B Ist A eine Teilmenge einer Menge Ω (dieses Ω geht oft aus dem Zusammenhang hervor, z.b. Ω = R), so schreiben wir statt Ω\A auch A oder, genauer, A Ω = Ω\A: Ω A A Beispiel 1.20 Wir betrachten die folgenden vier Mengen: A = { : R und 1 6} B = { : N und < 6} C = { : N und 2} D = { : R und < 6} 36

11 Dann gilt: A B = {1,2,3,4,5} A\D = {6} A C = {2,3,4,5,6} C \A = { : N und > 6} B C = {2,3,4,5} B C = N A N = {1,2,3,4,5,6} A R = { : R und ( < 1 oder > 6)} B N = {6,7,8,...}. Mengenalgebra Idempotenzgesetze A A = A A A = A Kommutativgesetze A B = B A A B = B A Assoziativgesetze A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Distributivgesetze A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Inklusionsgesetze A A B A B A Man macht sich diese Regeln am besten anhand einiger Mengendiagramme (Venn-Diagramm) klar. Wir illustrieren hier nur das erste Distributivgesetz. Im ersten Diagramm sehen wir die Menge B C schraffiert. Danach vereinigen wir diese Menge mit A. Im letzten Bild haben wir die Mengen A B und 37

12 A C jeweils unterschiedlich schraffiert und dadurch auch gleich den Schnitt (A B) (A C) gekennzeichnet. B B A B C A A (B C) C C B A (A B) (A C) Ähnliche Gesetze gelten für die Komplementbildung und die Mengendifferenz. Neue Mengen aus alten Mengen Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A. Bezeichnung: P(A). Ist A endlich, so gilt P(A) = 2 A. Seien a 1,...a n irgendwelche Elemente. Wir nennen (a 1,a 2,...,a n ) ein n-tupel. Die Elemente müssen nicht unbedingt verschieden sein. Die Menge aller n-tupel (a 1,...,a n ) mit a i A i heißt das kartesische Produkt von A 1,...,A n. Bezeichnung: A 1 A 2 A n. Im allgemeinen ist A B B A. 1.7 Relationen und Abbildungen Die Definition einer Relation ist ganz einfach: Eine Relation R zwischen zwei Mengen X und Y ist eine Teilmenge R X Y. Gilt X = Y, so heißt R eine Relation auf X. Man schreibt R y falls (,y) R. C 38

13 Beispiel 1.21 X: Menge der MathematikerInnen. Y: Menge der WirtschaftswissenschaftlerInnen. Eine Relation zwischen X und Y wird z.b. durch Mathematiker ist jünger als Wirtschaftswissenschaftler y erklärt. Sei X die Menge aller Frauen, Y die Menge aller Männer. Als Relation zwischen X und Y wählen wir verheiratet. A = {1,2}, B = {2,3}. Dann ist A B = {(1,2),(1,3),(2,2),(2,3)}. Wir erhalten z.b. folgende Relationen: R 1 = {(a,b) A B : a = b} = {(2,2)} R 2 = {(a,b) A B : a < b} = {(1,2),(1,3),(2,3)} R 3 = {(a,b) A B : a b} = {(1,2),(1,3),(2,3),(2,2)}= A B R 4 = {(a,b) A B : a+b = 2} = Man kann diese Relationen auch durch Graphen verdeutlichen. Dazu malen wir die MengeAund die MengeB aufund verbindenzweielemente mit einem Pfeil genau dann, wenn sie in Relation miteinander stehen: 1 2 R R R 2 39

14 1 2 R Diese Beispiele zeigen, dass an jedem Punkt kein, ein oder mehrere Pfeile beginnen können. Genauso kann an jedem Punkt kein, ein oder mehrere Pfeile ankommen. Solche Pfeildiagramme sind natürlich unhandlich, wenn die Mengen X und Y unendlich sind. Sind X und Y Zahlbereiche, können wir versuchen, die Menge der Punkte (, y) R in einem Koordinatensystem zu skizzieren. Abbildungen In den Wirtschaftswissenschaften haben wir es meistens mit Abbildungen zu tun. Eine Abbildung f : X Y aus X nach Y ist eine Relation zwischen X und Y, so dass es zu jedem X höchstens ein y Y gibt, so dass und y in Relation zueinander stehen. Das Element y wird mit f() bezeichnet. In unserer Pfeildarstellung bedeutet dies, dass in jedem Element X höchstens ein Pfeil beginnt: Manchmal wird zusätzlich gefordert, dass jedem X ein y so zugeordnet wird, dass und y in Relation stehen. Wir benutzen hier manchmal folgende Sprechweise: Wenn jedem X höchstens ein y zugeordnet wird, so sprechen wir von einer Funktion aus X nach Y. Wird jedem X genau ein f() zugeordnet, so wollen wir von einer Abbildung von X nach Y sprechen: 40

15 Das ist manchmal ganz praktisch: Es hat Vorteile, wenn man komplizierte Funktionen hat wie etwa f() = , aufgefasst als Abbildung aus R nach R, wo man von vornherein gar nicht weiß, für welche der Nenner 0 wird, die Funktion also gar nicht definiert ist. Sei f : X Y eine Abbildung. Die Menge der X, für die f() erklärt ist, nennen wir den Definitionsbereich von f, bezeichnet mit D(f). Der Definitionsbereich D(f) muss nicht ganz X sein, wie die obigen Beispiele zeigen. Die Menge X heißt die Menge der unabhängigen Variablen, die Menge Y bezeichnet die abhängigen Variablen, denn wenn wir kennen, kennen wir auch f(). Beachten Sie bitte, dass der Definitionsbereich alle X enthält, für die es ein f() gibt, er ist also in einem gewissen Sinne maimal. Beispiel 1.22 Wir definieren f : R R durch f() = Dieser Ausdruck ist natürlich nur erklärt, wenn Also ist f eine Abbildung aus R nach R. Der Definitionsbereich ist R\{±1}. Die graphische Veranschaulichung: 4 y

16 Beispiel 1.23 Wir betrachten f : R R definiert durch f() = lg (dekadischer Logarithmus). Wir haben schon gesehen, dass der Logarithmus nur für positive Zahlen erklärt ist. Der Definitionsbereich ist also R + : Machen Sie sich bitte nicht zu viele Gedanken über die Frage, ob eine Abbildungen von oder aus einer Menge X erklärt ist. Wichtig ist nur, dass bei der 1 Beschreibung einer Abbildung durch eine Vorschrift, wie z.b. lg oder 2 1, zu beachten ist, dass diese Vorschrift für einige Werte von möglicherweise nicht definiert ist. Oft liegt das daran, dass man nicht durch 0 dividieren darf. Andere Möglichkeiten: Logarithmen oder Wurzeln negativer Zahlen sind nicht definiert. Manche trigonometrische Funktionen haben Stellen, wo sie nicht definiert sind, z.b. tan(π/2) ist nicht definiert. Abbildungen werden oft auch Funktionen genannt. Meistens spricht man von Funktionen, wenn die Mengen X und Y Zahlbereiche sind. Wenn wir hier von Zahlbereichen sprechen, meinen wir nicht etwa nur R, sondern auch R 2, R 3 usw. Denken Sie daran: Ökonomische Daten hängen fast nie nur von einer Variablen ab. 42

17 Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Eine Abbildung f : X Y heißt injektiv wenn aus f( 1 ) = f( 2 ) stets 1 = 2 folgt. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es zu jedem y Y (mindestens) ein X gibt mit f() = y. Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist und es zu jedem X ein y gibt mit f() = y (f also insbesondere eine Abbildung von X nach Y ist). Für unsere Pfeildarstellung von Abbildungen bedeutet das Folgendes: injektiv: in jedem y Y endet höchstens ein Pfeil surjektiv: in jedem y Y endet mindestens ein Pfeil bijektiv: in jedem y Y endet genau ein Pfeil und in jedem X beginnt genau ein Pfeil. 43

18 injektiv surjektiv bijektiv In allen drei Fällen haben wir Abbildungen, weil aus den linken Mengen an jedem Punkt nur höchstens ein Pfeil beginnt. Beispiel 1.24 Wir betrachten hier Abbildungen f : R R. Wir definieren eine Abbildung f abschnittsweise: { 2, 0 f() = 2 +1, 0. Diese Abbildung ist surjektiv: Wenn y 0 gegeben ist, so gilt für = y: f() = y. Ist y < 0, so können wir versuchen, ein < 0 zu finden mit 44

19 2 + 1 = y, also 2 = y 1, also 2 = 1 y. Eine Lösung ist = 1 y: Beachten Sie, dass 1 y 0, wir können also die Wurzel ziehen. Wenn wir dieses nun in die Funktionsvorschrift einsetzen, müssen wir beachten, dass 0 gilt, wir sind also im zweiten Fall unserer obigen Definition von f. Einsetzen liefert f( 1 y) = (1 y)+1 = y, wir haben also ein gefunden mit f() = y. Die Abbildung ist nicht injektiv, weil f(0) = f( 1) = 0 gilt. Hier ist der Funktionsgraph: Die Abbildung f() = 2 ist weder injektiv noch surjektiv: Sie ist nicht injektiv, weil beispielsweise f(2) = f( 2) = 4 gilt (allgemeiner: f() = f( )), und sie ist nicht surjektiv, weil f() 0 gilt, es gibt also für negative Zahlen y kein mit f() = y. Wenn wir den Bildbereich aber einschränkenund f alsabbildung R R 0 auffassen,dann istf surjektiv (aber immer noch nicht injektiv). DieFunktionf() = 2 istinjektiv:dielösungvon2 = y ist = log 2 (y). Allerdingsist die Funktion nicht surjektiv,weil stets 2 0gilt. Die Funktion f 1 erhalten wir, indem wir versuchen, f() = y nach aufzulösen. Das ist aber ja gerade die Logarithmusfunktion. Wir haben beide Funktionen im folgenden Graphen visualisiert (rot 2 ; blau der Logarithmus): 45

20 Ist f eine injektive Abbildung, so definieren wir f 1 : Y X durch folgende Vorschrift: f 1 (y) =, wobei X durch die Eigenschaft f() = y bestimmt ist. Beachte, dass wegen der Injektivität eindeutig bestimmt ist. In unseren Pfeilbildern bedeutet dies einfach, dass wir jeden Pfeil umdrehen. Die Abbildung f 1 heißt die zu f inverse Abbildung. Beachte, dass auch f 1 injektiv ist. Ferner ist f bijektiv genau dann, wenn f injektiv und surjektiv ist und zusätzlich f 1 auch surjektiv ist. Bei einer bijektiven Abbildung geht von jedem Punkt in X genau ein Pfeil aus und in jedem Punkt aus Y endet genau ein Pfeil. Das heißt insbesondere, dass X und Y gleich viele Elemente haben. Wir erhalten die inverse Abbildung von f, indem wir f() = y nach auflösen, sofern dies möglich ist. Wir vertauschen dann und y und erhalten so die Umkehrfunktion. Beispiel 1.25 Wir betrachten f() = 1 e

21 Wir versuchen, f() = y nach aufzulösen: 1 e +1 = y e +1 = 1 y e = 1 y 1 ( ) 1 = ln y 1 ( ) 1 y = ln y ( ) y = ln. 1 y Wenn wir uns dies anschauen, muss zunächst einmal y > 0 gelten, weil 1/(e + 1) stets > 0 gilt. Weil der Logarithmus aber nur für positive Zahlen definiert ist, muss zusätzlich y < 1 gelten. Die Umkkehrfunktion von f() ist also(vertausche und y!) ( ) f 1 () = ln. 1 Hier sind die Funktionsgraphen (rot ist wieder f, blau ist die Umkehrfunktion): 47

22 Verknüpfung von Abbildungen Seien f : X Y und g : Y Z zwei Abbildungen. Wir definieren die Abbildung g f : X Z wie folgt: (g f)() = g[f()]. Also: Wir wenden erst f auf an, dann auf den Wert f() die Abbildung g. Wichtigistes,sichzumerken,dassg f bedeutet,erstf unddanng anzuwenden. Es gilt (f 1 f)() =, wenn f 1 die inverse Funktion von f ist. f g X Y Z g f Beispiel 1.26 Wennf() = 2 und g() = e,dannist(f g)() = (e ) 2 = e 2 und (g f)() = e 2, also zwei ganz unterschiedliche Dinge. 48