Wir gehen in dieser Vorlesung mit folgenden Zahlbereichen um:

Transkript

1 Grundlagen. Das Rechnen mit Zahlen Wir gehen in dieser Vorlesung mit folgenden Zahlbereichen um: N: natürliche Zahlen,2,3,4,5,... Z: ganze Zahlen..., 3, 2,,0,,2,3,... Q: rationale Zahlen: das sind die Zahlen, die man als Quotient p q zweier ganzer Zahlen p und q schreiben kann. Es gibt auch nicht rationale (irrationale) Zahlen, z.b. 2 oder π: R: reelle Zahlen: rationale und irrationale Zahlen. Wenn wir uns auf die positiven (negativen) Zahlen beschränken wollen, setzen wir ein hochgestelltes + ( ) Zeichen hinter unser Symbol, also Z +, Q + und R + sowie Z, Q und R. Beachte Z + = N. Wenn wir in unsere Zahlbereiche auch noch die 0 einschließen wollen, schreiben wir eine tiefergestellte 0 hinter unser Symbol, also bezeichnet z.b. N 0 die Zahlen 0,,2,3,... Diese Menge bezeichnet man auch als die Menge der nichtnegativen ganzen Zahlen! Potenzen Wir schreiben für das n-fache Produkt von a auch a n : a a a a = a n. a Basis, n Exponent. Für das Rechnen mit Potenzen gelten Rechenregeln, die wir aus der Schule als bekannt voraussetzen.der Ausdruck 0 0 ist nicht definiert. Wir definieren Potenzen auch mit negativen Exponenten: a n = a n. Es gibt auch Potenzen mit gebrochenen Exponenten. Die Zahl a /n = n a heißt die n-te Wurzel von a. Wir setzen hier a 0 voraus sowie n a 0. Die n-te Wurzel aus a ist diejenige nichtnegative Zahl x mit x n = a. Wenn wir Ausdrücke der Form x y betrachten, dann können wir entweder x als feste Größe und y als die Variable, oder umgekehrt x als Variable und y als fest betrachten. Im ersten Fall sprechen wir von Exponentialfunktionen, im zweiten Fall von Potenzfunktionen.

2 Exponentialfunktionen Man macht sich das Verhalten der Exponentialfunktion am Besten an den zugehörigen Funktionsgraphen klar. Wir zeigen Ihnen hier einige Beispiele a x mit a > sowie 0 < a <. Beachten Sie den Unterschied: Ist a >, so ist die Funktion wachsend, ist 0 < a <, so ist sie fallend. Es gilt stets a 0 =, d.h. die Funktionsgraphen von a x gehen stets durch den Punkt x = 0, y =, unabhängig davon, wie a gewählt ist. Bei Exponentialfunktionen a x setzt man stets a > 0 voraus. Einige Exponentialfunktionen a^x mit a> ^x ^x.^x x Hier müssen wir etwas aufpassen. Der Graph der Funktion. x sieht sehr flach aus. Dem ist aber nicht so, wenn wir x groß wählen. Dann zeigt auch der Graph von. x exponentielles Wachstum: 2

3 .^x x Einige Exponentialfunktionen a^x mit a< ^x ^x 5 0.9^x x Wir fassen ein paar Eigenschaften zusammen: 3

4 Die Exponentialfunktion a x wird nur für a > 0 definiert. Die x-werte können beliebige reelle Zahlen sein. Die Werte a x sind immer positiv. a x a y = a x+y. (a x ) y = a xy. a (x y) = ax a y. Es gilt a 0 = (a 0). a x wächst, wenn a >. a x fällt, wenn 0 < a <. Es gilt x = für alle x. Die Werte a x sind stets positiv. Potenzfunktionen Wir kommen nun zu Potenzfunktionen. Wir beginnen mit einigen Beispielen x n mitn N.BeachtenSiedabeibitte,dassdiex-Achse(manchmalauchAbszisse genannt) und die y-achse (Ordinate) nicht denselben Maßstab haben! x^4 Einige Potenzfunktionen x^n 5 0 x^ x^ x 5 x^3 Wenn wir Potenzfunktionen x n betrachten mit n Z, n < 0, so sehen die Funktionsgraphen etwas anders aus. Wir beschränken uns hierbei auf den Bereich x > 0. Beachten Sie: 4

5 x m = x m, also z.b. x 2 = x 2. Wir erhalten den Graphen von x 2 aus dem von x 2, indem wir einfach die Kehrwerte der y-werte (also der Ordinatenwerte) des Graphen von x 2 bilden: Einige Potenzfunktionen x^n, n<0 20 x^( 4) x^( 3) x^( 2) 20 x^( ) Hier sind nun einige Funktionsgraphen von Potenzfunktionen mit rationalen Exponenten. Wir müssen uns auf den Fall x > 0 beschränken, weil z.b. Ausdrücke wie ( ) /2 = gar nicht erklärt sind. Alle Graphen von Potenzfunktionen x n gehen durch den Punkt x = und y =, weil stets n = gilt. Beachten Sie: x 5

6 x p q = q x p. 4 Einige Potenzfunktionen x^n 3 x^2 2 x^( /2) x^( /5) x^(/5) x^(/2) Auch hier fassen wir einige Eigenschaften der Potenzfunktionen zusammen: x Die Potenzfunktion x a ist für a 0 definiert. Als x-werte dürfen wir in der Regel aber nur Zahlen x 0 einsetzen. a = für alle a. Sei n N. Die Funktionen x n sowie x n sind für alle x R erklärt. Die Werte x a sind 0. Für a > 0 ist x a wachsend. Für a < 0 ist x a fallend. Es gilt x 0 = für alle x 0. (xy) a = x a y a. x (a+b) = x a x b. Ein Ausdruck der Form c n x n +...+c x+c 0 heißt ein Polynom. Polynome sind also Summen von Potenzfunktionen. Im Fall n = sprechen wir von linearen Funktionen. Die Funktionsgraphen solcher linearer Funktionen sind Geraden. Wir gehen davon aus, dass Sie gut mit Polynomen und Geradengleichungen umgehen können, insbesondere, dass Sie wissen, was Polynomdivision ist. 6

7 Logarithmus Die Umkehrung des Potenzierens ist das Logarithmieren. Gilt a x = b, a,b > 0, a, so heißt x der Logarithmus von b zur Basis a. Bezeichnung: x = log a (b). Manchmal lassen wir die Angabe der Basis auch weg. Ist die Basis 0, sprechen wir vom dekadischen Logarithmus. Ist a die Eulersche Zahl e 2,782..., heißt der Logarithmus natürlich. Der natürliche Logarithmus wird meistens mit ln bezeichnet, der dekadische Logarithmus mit lg. Wir halten noch einmal explizit fest: a log a (b) = b Für das Logarithmieren gelten Rechenregeln, die wir aus der Schule als bekannt voraussetzen, hier aber noch einmal wiederholen: log a (xy) = log a (x)+log a (y). log a (x p ) = plog a (x). log a (x) ist nur für x > 0 definiert. Ferner muss 0 < a < oder a > sein. Es gilt log a () = für alle a. log a (a) =. Der Logarithmuswächstfür a >. Dabei schneidet dergraphdie x-achse an der Stelle, ist also positiv für x > und negativ für 0 < x <. Selten betrachtet man Logarithmen zu einer Basis 0 < a < : In dem Fall ist die Funktion fallend, sie ist negativ für x > und positiv für 0 < x <. Die Funktion ist fallend. Für die konkrete Berechnung von Logarithmen benötigt man eigentlich nur die Kenntnis der Logarithmen zu einer bestimmten Basis: log a (b) = log c(b) log c (a). Üblicherweise haben Studierende mit dem Logarithmieren etwas mehr Schwierigkeiten als mit den anderen Rechenregeln. Ähnlich wie im Fall von Exponentialund Potenzfunktionen zeigen wir Ihnen hier die Funktionsgraphen einiger Logarithmusfunktionen. Man beachte, dass log a (x) nur für a,x > 0 sowie a definiert sind. Es fällt auf: log a () = 0. 7

8 Einige Logarithmusfunktionen 2 log_0.5(x) log_0.2(x) log_.5(x) log_3(x) x 2.2 Verschiebungen von Graphen Wir haben im vorherigen Kapitel die folgenden drei Klassen von Funktionen betrachtet: Exponentialfunktion a x. Potenzfunktion x a. Logarithmuisfunktion log a (x). Man kann sich fragen, warum wir nicht allgemeiner Ausdrücke der Form K a mx+b +c, K (mx+b) a +c, K log a (mx+b)+c betrachtet haben. Auch solche Funktionen heissen Exponential-, Potenz- und Logarithmusfunktion. SchauenwirunsdazudenGraphenirgendeinerFunktionan,z.B.f(x) = xsin(x). 8

9 Die erste Frage ist, was passiert, wenn wir x durch mx+b ersetzen. Schauen wir uns erst einmal an, was passiert, wenn wir den Graphen von f(x+b) betrachten: Hier verschieben wir den Graphen von f um b Einheiten nach links. Hier sind die beiden entsprechenden Graphen, einmal mit b = (rot) und einmal mit b = 2 (blau) (in schwarz der ursprüngliche Graph): Beim Übergang von f(x) zu f( x) wird einfach an der y-achse gespiegelt: 9

10 Der Graph von f(m x) entsteht aus dem von f(x) dadurch, dass sich die Werte, die man in f einsetzt, rascher (wenn m > ) oder langsamer (wenn 0 < m < ) ändern. Hier sind die Bilder, einmal für m = 2 (rot) und einmal für m = /2 (blau). In schwarz wieder der ursprüngliche Graph: Anders interpretiert: Die x-werte werden zusammengepresst, wenn m >, und auseinandergezogen, wenn 0 < m <. Das wird vielleicht deutlicher, wenn wir die x-werte im blauen Graphen von 6 bis 6 variieren lassen und im roten Graphen nur von 4 bis 4: 0

11 DerÜbergangvonf(x) zuf(x)+csollteklarsein: Wirverschiebenden Graphen einfach in y-richtung (nach oben, wenn c > 0, und nach unten, wenn c < 0). Hier sind die Bilder (c = 2 blau, c = rot): Wenn wir f(x) mit K multiplizieren, passiert etwas Ähnliches wie bei der Ersetzung von x durch mx: Wir strecken in y-richtung wenn K >, wir stauchen wenn 0 < K <, und wenn K < 0, kommt noch eine Spiegelung an der x-achse hinzu. Die Bilder für K = /2 (rot) und K = 2 (blau):

12 Etwas komplizierter wird es, wenn wir diese Verschiebungen und Stauchungen usw. gemeinsam machen. Um den Graphen von f(2x+3) zu erhalten, müssen wir wie folgt vorgehen: Man verschiebt zunächst um 3 und danach wird mit dem Faktor 2 zusammengedrückt (gestaucht). Hier ist der Graph. Dabei ist der schwarze Graph der ursprüngliche, der rote ist der von f(2x+3), und der blaue der von f(2x): Was wäre, wenn man erst zusammendrückt und dann verschiebt? Dann würden wir den Graphen von f(2(x+3)) erhalten: Auch hier ist der blaue Graph wieder der von f(2x): 2

13 .3 Gleichungen und Ungleichungen Ein zentrales Thema der Algebra ist das Lösen von Gleichungen. Ganz einfach ist dies für sogenannte lineare Gleichungen a x = b Wenn hier a 0 ist, können wir beide Seiten der Gleichung durch a dividieren und erhalten als Lösung x = b a. Die positive Lösung einer Potenzgleichung der Form x a = b, b > 0 ist x = a b = b a. Beachte: Der Ausdruck a b ist vereinbarungsgemäß immer positiv. Man beachte den Unterschied zur Exponentialgleichung a x = b, a,b > 0, a Die Lösung der Exponentialgleichung ist x = log a (b). Die Lösungen von quadratischen Gleichungen der Form ax 2 +bx+c = 0, a 0 sollten aus der Schule bekannt sein. Die Lösungen für a 0 sind x ± = b± b 2 4ac. 2a Machen wir uns noch einmal klar, wie man auf diese Lösung kommt. Wir setzen a 0 voraus: 3

14 ax 2 +bx+c = 0 x 2 + b a x = c a x 2 + b ( ) 2 b a x+ = c ( ) 2 b 2a a + 2a ( x+ b ) 2 = c 2a a + b2 4a 2 x+ b 2a = ± b2 4ac 2a x ± = b± b 2 4ac. 2a Weil es keine Wurzeln aus negativen Zahlen gibt, kann es passieren, dass eine quadratische Gleichung keine oder nur eine oder zwei Lösungen hat: Ist b 2 4ac > 0, so gibt es zwei Lösungen. Ist b 2 4ac = 0, so gibt es eine Lösung. Ist b 2 4ac < 0, so gibt es keine Lösungen. Beachten Sie, dass sich die Lösungsformel vereinfacht, wenn a = ist. Wir erhalten dann als Lösung der Gleichung die sogenannte p-q-formel: Beispiel. Finde alle x mit x 2 +px+q = 0 x ± = p± p 2 4q 2 Wir quadrieren beide Seiten und erhalten so also, weil (x+2) 2 = x 2 +4x+4, oder x+2 = 4 x. (.) (x+2) 2 = 4 x. x 2 +4x+4 = 4 x x 2 +5x = 0 x(5+x) = 0. 4

15 Das geht nur für x = 0 oder x = 5. Wir müssen jetzt aber aufpassen! Durch das Quadrieren der Gleichung haben wir vielleicht unerwünschte neue Lösungen erhalten. Beispiel: x = 3, Quadrieren liefert x 2 = 9, als Lösungen also x = ±3, aber x = 3 war keine Lösung der ursprünglichen Gleichung! Wir müssen also, wenn wir beim Lösen von Gleichungen quadrieren, mit den erhaltenen Lösungen immer eine Probe machen, d.h. in die ursprüngliche Gleichung einsetzen. Wir machen also die Probe: Setzen wir 0 in die Gleichung (.) ein, so erhalten wir 2 = 4, richtig. Beim Einsetzen von 5 ergibt sich 3 = 9, was falsch ist, da die Wurzel stets positiv ist! Ungleichungen Wir schreiben a < b, falls a echt kleiner als b ist, also insbesondere a b. Wenn wirden Fall a = b auchzulassenwollen, schreibenwir a b. Wenn wira < b < c schreiben, meinen wir a < b und b < c (und damit natürlich auch a < c). Sinnlos ist ein Ausdruck der Form a < b > c. In den beiden folgenden Tabellen sind die wesentlichen Regeln für das Rechnen mit Ungleichungen zusammengefasst. Dabei steht [SU] für strikte Ungleichung, [U] für Ungleichung: [SU] Aus a < b und b < c folgt a < c. [SU2] Aus a < b folgt a+c < b+c. [SU3] Aus a < b und c < d folgt a+c < b+d. [SU4] Aus a < b und c > 0 folgt ac < bc. [SU5] Aus a < b folgt a > b. [SU6] Aus a < b, b > 0 und 0 < c < d folgt ac < bd. [SU7] Aus 0 < a < b folgt a > b. [SU8] Aus a < 0 < b folgt a < b. [SU9] Aus 0 < a < b folgt a 2 < b 2. 5

16 [U] Aus a b und b < c folgt a < c. [U2] Aus a b und b c folgt a c. [U3] Aus a b folgt a+c b+c. [U4] Aus a b und c < d folgt a+c < b+d. [U5] Aus a b und c d folgt a+c b+d. [U6] Aus a b und c > 0 folgt ac bc. [U7] Aus a b folgt a b. [U8] Aus a b, b > 0 und 0 < c < d folgt ac < bd. [U9] Aus a b, b > 0 und 0 < c d folgt ac bd. [U0] Aus 0 < a b folgt a b. [U] Aus 0 < a b folgt a 2 b 2. Lernen Sie diese Regeln bitte nicht stur auswendig! Der Umgang mit Ungleichungen ist weitgehend selbsterklärend, wenn man nur beachtet, dass sich das Ungleichungszeichen umdreht wenn man mit einer negativen Zahl multipliziert (siehe [SU5] und [U7] sowie [SU8]). Es sei auch noch einmal auf [SU6] hingewiesen: Aus a < b, b > 0 und 0 < c < d folgt ac < bd Diese Aussage ist falsch für b 0: Setze a = 2, b =, c =, d = 3: Dann ist ac = 2 nicht kleiner als bd = 3. Der Absolutbetrag Sei a eine reelle Zahl. Manchmal interessiert man sich nur für den Abstand von a zur 0, gleichgültig, ob a positiv oder negativ ist. Diesen Abstand nennt man den Betrag von a: { a falls a 0 a := a falls a < 0. Beachte: a > 0 falls a < 0. Das Zeichen := hier in der Definition bedeutet, das auf der linken Seite des Doppelpunktes ein neues Symbol durch Ausdrücke definiert wird, die auf der erchten Seite stehen (also auf der Seite des Gleichheitszeichens), und die schon bekannt sind. Wir haben hier ein erstes Beispiel, wo eine Funktion (hier die Betragsfunktion) durch eine Fallunterscheidung definiert wird. So etwas bereitet dem mathematischen Anfänger manchmal Probleme. Sie sollten sich aber rasch an solche Fallunterscheidungen gewöhnen, insbesondere bei der Untersuchung von Ungleichungen. Beispiel.2 4 = 4, 4 = 4, 0 = 0, 2 x2 = x Wir erhalten die beiden folgenden einfachen Regeln 6

17 a = a a b = a b. Von großer Bedeutung ist die Dreiecksungleichung a+b a + b Beispiel.3 3+( 5) = = = = 8 (hier haben wir Gleichheit in der Dreiecksungleichung). Beispiel.4 Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung Wir formen diese Ungleichung um: 2+x 2x 2+x 2x + < 5. (.2) < 4. Nun müssen wir aufpassen und zwei Fälle unterscheiden: Fall : x > 0 Fall 2: x < 0 2+x < 8x 2 < 7x x > 3 2+x > 8x (weil x negativ ist!) 2 > 7x 3 > x Wir können jetzt aber nicht sagen, die Lösungsmenge besteht aus allen x mit x < 3, weil wir die Ungleichung x < 3 ja nur unter der Voraussetzung x < 0 erhalten haben. Die Lösungsmenge besteht in diesem Fall also aus allen x < 0. Beachte, dass der Fall x = 0 nicht auftreten kann. Wir erhalten: Die Ungleichung (.2) ist für alle x mit x < 0 sowie für alle x mit x > 3 gültig. 7

18 Beispiel.5 Bestimme die Lösungsmenge der Ungleichung x 2 x < x+ x+2 (.3) Wir multiplizieren beide Seiten mit (x )(x+2), um die Brüche zu beseitigen. Wir können das aber nur dann sorglos tun, wenn dieser Ausdruck positiv ist. Das ist der Fall für x > sowie für x < 2. Fall : x > oder x < 2 x 2 < x+ x x+2 (x 2)(x+2) < (x )(x+) x 2 4 < x 2 4 < Das bedeutet, dass die Ungleichung (.3) für alle x mit x > oder x < 2 gültig ist. Fall 2: 2 < x < Nun gilt x 2 < x+ x x+2 (x 2)(x+2) > (x )(x+) x 2 4 > x 2 4 > und das ist ganz offensichtlich nie erfüllt. Beachte auch hier wieder, dass die Fälle x = 2 sowie x = nicht behandelt werden müssen, da die in der Ungleichung auftretenden Ausdrücke in den Fällen gar nicht erklärt sind. Die folgende Skizze illustriert das noch einmal: der durchgezogene Graph beschreibt die linke Seite, der gestrichelte Graph die rechte Seite der Ungleichung. 8

19 6 4 y x Beispiel.6 Bestimme alle x mit x 3 x 2 2x > 0. (.4) Um dieses Problem zu lösen, versuchen wir, die linke Seite der Ungleichung zu faktorisieren. Wir können zunächst x ausklammern und bekommen x(x 2 x 2) > 0. Nun faktorisieren wir x 2 x 2. Wir können das machen, indem wir die Nullstellen bestimmen. Die Nullstellen sind 2 und,alsox 2 x 2 = (x 2)(x+). Wir müssen also alle x bestimmen mit x(x 2)(x+) > 0. Das Produkt von 3 Zahlen (hier x, x 2 und x+) ist größer als 0 wenn alle Zahlen > 0 sind oder wenn nur eine Zahl > 0 ist, die anderen beiden < 0. Alle Zahlen sind größer als 0 wenn x > 2 ist. Zwei Zahlen sind < 0 für < x < 0. Also: Die Ungleichung (.4) ist für x > 2 sowie für < x < 0 gültig. Auch dies wird durch eine Skizze verdeutlicht: 9

20 x 5 Summen- und Produktzeichen Ein großer Vorteil der sehr formalen mathematischen Sprache ist es, komplizierte Zusammenhänge einfach und klar ausdrücken zu können. Gerade auch diese Eigenschaft der Mathematik macht sie zu einer geeigneten Hilfswissenschaft der Wirtschaftswissenschaften. Seien a,...,a n reelle Zahlen. Dann schreiben wir statt auch a +a 2 + +a n n i= (gelesen: Summe der a i mit i von bis n). Der Laufindex i heißt Summationsindex, und n sind die untere und obere Schranke. Die untere Schranke muss nicht sein: 5 i 2 = = = 50. i=3 Folgende einfache Regeln gelten für den Umgang mit dem Summenzeichen: a i 20

21 n a = (n k +)a (a ist konstant!) i=k n ca i i=k n (a i +b i ) = i=k n a i = i=k = c n a i (ausklammern!) i=k n a i + i=k m a i + i=k n i=k b i n i=m+ a i für k m < n. Ähnlich wie das Summenzeichen kann man das Produktzeichen einführen: n a i = a k a k+ a n. i=k Das Produktzeichen ist etwas weniger gebräuchlich als das Summenzeichen. Hier sind einfache Rechenregeln für den Umgang mit Π: n a = a n k+ i=k n ca i i=k n (a i b i ) = i=k n i=k = c n k+ n a 2 i = ( i=k i=k n n a i n a i ) 2 i=k i=k.4 Visualisierungen von Punktmengen Wir haben gesehen (und das macht man in der Schule ja exzessiv), dass man Funktionen f(x) zeichnen kann. Genauer: Man zeichnet den Graphen der Funktion f, also die Punktmenge {(x,y) : y = f(x),x R} (den Definitionsbereich, also die Menge der x, die man in die Funktionsvorschrift einsetzen kann, ist vielleicht nicht ganz R, wenn z.b. f(x) = x). Viel interessanter und spannender sind häufig Mengen, die einer Gleichung oder Ungleichung genügen, aber keine Funktionsgraphen sind. Überlegen wir uns, wie die Menge a i S = {(x,y) : x 2 = y 2 +,x R} wohl aussehen könnte. Die Antwort ist hier: b i 2

22 Interessant ist auch y 2 = x 3 x: Ganz wichtig für die Wirtschaftswissenschaft ist es, sich Ungleichungen klar zu machen und sie zu visualisieren. Das mit dem Visualisieren funktioniert natürlich nur, wenn in den Ungleichungen nur zwei Variablen x und y (evtl., wenn man dreidimensional denkt, x, y, z) vorkommen. Hier sind einige Beispiele, die wir in der Vorlesung ein wenig erläutern werden: Beispiel.7 Wir suchen alle Punkte (x,y) mit x + y und 2x + 3y sowie x,y : 22

23 Wenn wir hier die Bedingung y weglassen, würden wir etwas Unbeschränktes erhalten: Beispiel.8 Hier sind Beispiele, wo die Restriktionen(also die Ungleichungen) nicht linear sind: Zunächst {(x,y) : x 2 +2y 2 2}: 23

24 Und jetzt ein kubisches Beispiel {(x,y) : y 2 x 3 x}: Beispiel.9 Ein Unternehmen habe 20 Einheiten Arbeit zur Verfügung. Es kann zwei verschiedene Güter herstellen und die Produktion von x und y dieser Güter erfordern 4x 2 und 3y 2 Arbeitseinheiten. Angenommen Sie machen beim Verkauf des ersten Gutes pro Stück einen Gewinn von 3 (was auch immer), und bei der Produktion des zweiten Gutes einen Gewinn von. Dann versuchen Sie, 3x+y unter der Nebenbedingung 4x 2 + 3y 2 20 zu lösen: In dem folgenden Bild ist blau der Bereich 4x 2 +3y 2 20, und die rote Gerade erfüllt 3x+y = 2. 24

25 Man muss die Gerade nun möglichst weit nach rechts verschieben, damit sie aber gerade noch den blauen Bereich berührt: Das scheint für 3x+y = 7.2 der Fall zu sein: Eine Lösung ist ungefähr x 2. und y 0.9. Stellen Sie sich jetzt vor, es gibt staatliche Auflagen, dass von y mindestens doppelt so viel produziert werden muss wie von x. Dann können Sie Ihre schöne Lösung vergessen: 25

26 Optimal ist jetzt der Punkt y = 2x mit 4x 2 +3y 2 = 20, das ist x.2 und y Der Gewinn ist mit ungefähr 5.6 jetzt deutlich geringer! Mit diesem Beispiel möchte ich Sie für zwei Dinge sensibilisieren: In der Wirtschaftswissenschaft treten nicht nur Funktionsgraphen auf! Es treten nicht nur Gleichungen, sondern auch Ungleichungen auf. In diesem Beispiel könnte man die Optimalwerte auch genau ausrechnen. Das ist aber oft gar nicht so wichtig: Bedenken Sie, dass wir ein Modell haben, das mit Unsicherheiten befrachtet ist: Der Gewinn wird nicht exakt 3 und für die beiden Güter sein. Auch die Arbeitseinheiten, die zur Verfügung stehen, können schwanken(urlaub, Krankheit). Und schlussendlich ist auch der Arbeitsaufwand pro produziertem Gut sicherlich nur eine mehr oder minder gute Schätzung. Es macht deshalb überhaupt keinen Sinn, das Ergebnis, selbst wenn man es algebraisch bis auf 00 Stellen nach dem Komma bestimmen kann, mit einer solchen Genauigkeit anzugeben! In diesem Beispiel konnten wir das Problem schön visualisieren. Das wird schon dann umständlicher, wenn die Firma drei Güter produziert, und es wird gänzlich unmöglich, wenn es mehr als drei Güter sind. Die wenigsten Probleme in dieser Welt lassen sich durch nur, 2 oder 3 Variablen beschreiben, man muss in beliebigen Dimensionen rechnen, auch wenn das keine geometrische Interpretation mehr hat. Lösen Sie sich bitte schon jetzt von der Vorstellung, dass Funktionen immer nur von einer Variablen abhängen! 26

27 .5 Aussagen In der Mathematik geht es um Aussagen. Eine Aussage ist ein statement, das entweder wahr oder falsch sein kann. Beides geht nicht! Äußerungen, die nicht die Eigenschaft haben, wahr oder falsch zu sein, gelten nicht als Aussagen. Beispiel.0 Das Bruttosozialprodukt der Bundesrepublik Deutschland ist höher als das der USA ist eine offenbar falsche Aussage. Gute Nacht, Freunde ist keine Aussage. Häufig hängen Aussagen auch von variablen Parametern x ab. Wir sprechen dann von Aussageformen A(x). Beispiel. Für alle natürlichen Zahlen x gilt: x ist Primzahl ist eine offenbar falsche Aussage. Eine richtige Aussage wäre: Für alle natürlichen Zahlen x gilt, dass x nicht negativ ist. Ein anderes Beispiel einer Aussageform ist: Unter allen Gütern gibt es mindestens ein Gut x, dessen Preis sich verändert. Für Aussageformen führen wir folgende Bezeichnungen ein: A(x) gilt für alle x: A(x) gilt für mindestens ein x: A(x) x A(x) Interessant wird es, wenn man Aussagen A und B miteinander verknüpft. Der Wahrheitswert der verknüpften Aussage hängt vom Wahrheitswert von A und B ab. Wir wollen das am Beispiel erläutern: Beispiel.2 Die Aussage Franz studiert Wirtschaftswissenschaften oder Mathematik ist wahr, wenn Franz mindestens eines der beiden Fächer Wirtschaft oder Mathematik studiert, eventuell auch beide. Die Aussage ist eine Verknüpfung der beiden Aussagen Franz studiert Wirtschaftswissenschaften sowie Franz studiert Mathematik durch ein oder. Beachte: Die Aussage Franz studiert Wirtschaftswissenschaften oder Mathematik ist auch wahr, wenn Franz ganz fleißig ist und sowohl Wirtschaftswissenschaften als auch Mathematik studiert. Es handelt sich beim mathematischen oder nicht um ein entweder-oder. Konjunktion x Seien A und B zwei Aussagen. Dann ist die Aussage A und B, geschrieben A B, wahr, wenn beide Aussagen wahr sind. Die Aussage A und B ist falsch, wenn mindestens eine der beiden Aussagen A, B falsch ist. Man nennt dies auch die Konjunktion der Aussagen A und B. 27

28 Disjunktion Seien A und B zwei Aussagen. Dann ist die Aussage A oder B, geschrieben A B, wahr, wenn mindestens eine der Aussagen A oder B wahr ist. Die Aussage A oder B ist falsch, wenn sowohl A als auch B falsch sind. Man nennt dies auch die Disjunktion der Aussagen A und B. Man stellt dies häufig auch durch sogenannte Wahrheitstafeln dar. Das ist eine Tabelle, in die wir die möglichen Wahrheitswerte von A und B eintragen (w für wahr und f für falsch) und dann die entsprechenden Wahrheitswerte der verknüpften Aussagen auswerten. Hier ist die Wahrheitstafel für die Konjunktion: und hier die für die Disjunktion: A B A B w w w f f w f f w f f f A B A B w w w f f w f f Kehrt man eine Aussage in ihr Gegenteil um, erhält man die Negation der Aussage. Bezeichnung: A. Klar ist, dass eine negierte wahre Aussage falsch wird und umgekehrt. Beispiel.3 Wir wollen die Aussage A Deutschland ist Exportweltmeister und Fußballweltmeister negieren, d.h. wir suchen die Aussage, die wahr ist genau in den Fällen, in denen A falsch ist. A ist falsch, wenn eine der beiden Teilaussagen falsch ist, wenn also Deutschland nicht Exportweltmeister oder nicht Weltmeister ist. Dieses Beispiel zeigt, wie wir eine Konjunktion negieren: w w w f A B = A B Ähnlich sieht es mit der Negation der Disjunktion aus: A B = A B 28

29 Das Gleichheitszeichen soll hier bedeuten, dass die Aussagen auf den beiden Seiten denselben Wahrheitswert haben (also wahr oder falsch sind), wenn für A und B auf beiden Seiten die selben Aussagen eingesetzt werden. Schwierigkeit bereitet manchmal die Negation einer für alle sowie es gibt ein Aussage: A(x) A(x) = x x A(x) x A(x) = x Umgangssprachlich: Wenn eine Aussage A(x) nicht für alle x gilt, dann muss es ein x geben, für das diese Aussage nicht gilt. Und wenn es kein x gibt, für das eine Aussage A(x) wahr ist, dann ist A(x) für alle x eine falsche Aussage. Beispiel.4 Sei A(x) die Aussage Der Preis des Gutes x bleibt konstant. Wir wollen uns alle Aussagen anschauen, die wir mit A(x) mittels Negation sowie und bilden können: 29

30 (.) (2.) (3.) (4.) (5.) (6.) (7.) (8.) A(x) Die Preise aller Güter bleiben konstant. x A(x) Die Preise aller Güter verändern sich. x A(x) Nicht für alle Güter bleiben die Preise konstant. x A(x) Nicht für alle Güter verändern sich die Preise. x A(x) Der Preis mindestens eines Gutes bleibt konstant. x A(x) Der Preis mindestens eines Gutes verändert sich. x A(x) Der Preis keines Gutes bleibt konstant. x A(x) Der Preis keines Gutes verändert sich. x Beachten Sie, dass hier die erste und achte, die zweite und siebte, die dritte und sechste sowie die vierte und fünfte Aussage jeweils gleich sind. Implikation und Äquivalenz Die Implikation (geschrieben A B) ist falsch, wenn A wahr ist, B aber falsch. In allen anderen Fällen ist die Implikation wahr. Sprechweise: Wenn A, dann B. Wahrheitstabelle: A B A B w w w f f w f f Das ist etwas gewöhnungsbedürftig, weil A B wahr ist, wenn A falsch ist (Aus etwas Falschem darf man alles folgern). Wir nennen A eine hinreichende Bedingung für B und B eine notwendige Bedingung für A. Gilt A B und B A, so nennt man die beiden Aussagen äquivalent. Bezeichnung: A B. Die zugehörige Wahrheitstafel ist w f w w 30

31 A B A B w w w f f w f f Zwei Aussagen heißen also äquivalent, wenn sie beide wahr oder beide falsch sind. Beispiel.5 Betrachte die Aussage Wenn die Inflation steigt, dann sinkt die Arbeitslosenquote. Wir überlegen uns, welche der folgenden Aussagen dazu äquivalent sind:. Damit die Arbeitslosenquote sinkt, muss die Inflation steigen. 2. Eine hinreichende Bedingung dafür, dass die Arbeitslosenquote sinkt, ist ein Anstieg der Inflation. 3. Die Arbeitslosenquote kann nur fallen, wenn die Inflation steigt. 4. Wenn die Arbeitslosenquote nicht sinkt, dann steigt die Inflation nicht. 5. Die Inflation kann nur steigen, wenn die Arbeitslosenquote sinkt. Offensichtlich bestehen alle diese Aussagen aus zwei Teilaussagen und Die Arbeitslosenquote sinkt. (Aussage A) Die Inflation steigt. (Aussage B). Diese Aussagen sind unterschiedlich verknüpft. Wir wollen die Wahrheitstafeln für diese Verknüpfungen aufstellen. Die ursprüngliche Aussage lautet B A, und ihr Wahrheitswert wird zunächst bestimmt: A B B A () (2) (3) (4) (5) w w w w w w w w w f w f w f w w f w f w f w f f f f w w w w w w Also sind die Aussagen (2), (4) und (5) äquivalent zur ursprünglichen Aussage. Wir wollen die Aussagen () bis (5) noch einmal analysieren: w f f w 3

32 () A B (2) B A (3) A B (4) A B (5) B A Besonders interessant ist hier das vierte Statement. Es zeigt, dass die Aussagen B A und A B äquivalent sind. Wir wollen das noch einmal ganz deutlich herausstellen: (A B) ist äquivalent zu (B A) Einige Bemerkungen zu mathematischen Beweisen In der Mathematik hat man es stets mit Aussagen zu tun, die wahr oder falsch sind. Beispielsweise gilt für alle reellen Zahlen (a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2. Woher weiß man das? Man kann doch nicht alle reellen Zahlen einsetzen und schauen, ob diese Gleichung immer richtig ist. Das ist auch nicht nötig, denn man kann einen mathematischen Beweis für diese Aussage angeben. Ein Beweis für eine Aussage A ist eine Folge logischer Schlüsse, beginnend mit einer wahren Aussage B, an deren Ende A steht. Sie zeigen also die Gültigkeit der Aussage B A, wobei B aber eine wahre Aussage sein muss. Das nächste Beispiel zeigt deutlich die Aufgabe eines mathematischen Beweises: Ein Beweis soll einen zweifelsfreien Grund angeben, warum eine Aussage richtig ist. Beispiel.6 Wir wollen die folgende Behauptung beweisen: Wenn in einem Schachbrett die diagonal gegenüberliegenden Eckfelder entfernt werden, kann das so entstehende Brett nicht mit Dominosteinen überdeckt werden, wobei jeder Dominostein genau zwei Felder des Schachbrettes überdeckt. Der Beweis ist ganz einfach: Jeder Dominostein überdeckt genau ein weißes und ein schwarzes Feld. Aber das Schachbrett, bei dem die Eckfelder entfernt wurden, hat nicht die gleiche Zahl weißer und schwarzer Felder! Manche Nicht-MathematikerInnen sind versucht, die Gültigkeit einer Aussageform A(x) zu beweisen, indem die Gültigkeit von A(x) für einige wenige Werte von x nachgerechnet wird. Das ist natürlich kein Beweis! 32

33 Beispiel.7 Angenommen, jemand behauptet n 2 +n+4sei für alle natürlichen Zahlen n eine Primzahl. Wir setzen ein und erhalten, dass n 2 +n+4 eine Primzahl für alle Zahlen n zwischen 0 und 39 ist. Ist das ein Beweis? Nein! AußerdemistdieAussage,dassn 2 +n+4fürallenatürlichenzahleneineprimzahl ist, falsch: Setzen Sie einfach n = 40 ein! Wir haben somit ein Gegenbeispiel gefunden. Etwas formaler. Wir hatten die Aufgabe zu entscheiden, ob eine Aussage A(x) für alle x gilt. Um zu beweisen, dass die Aussage stets gilt, benötigen wir einen Beweis. Wenn wir aber zeigen wollen, dass die Aussage nicht immer gilt, genügt es, ein x so anzugeben, dass A(x) falsch ist. Wir haben damit die Allgemeingültigkeit widerlegt. Im obigen Beispiel können wir die Behauptung, jede Zahl der Form n 2 + n + 4 sei ein Primzahl, widerlegen, denn für n = 40 ist n 2 +n+4 offensichtlich keine Primzahl! Halten wir fest: Die Gültigkeit einer Aussage A(x) kann man nicht beweisen, indem man die Gültigkeit für einige Werte von x überprüft. Man kann aber zeigen, dass die Aussage A(x) nicht allgemeingültig ist, wenn man nur ein Gegenbeispiel angibt, also ein x g, für das A(x g ) falsch ist..6 Mengen Ein zentrales Konzept für die Mathematik ist der Begriff der Menge. Eine Menge ist eine Zusammenfassung bestimmter, wohlunterschiedener Objekte. Von jedem dieser Objekte muss eindeutig feststehen, ob das Objekt zur Menge gehört oder nicht. Die Objekte heißen Elemente der Menge Ist a ein Element der Menge M, schreiben wir auch andernfalls a M a / M. Die Elemente einer Menge sind immer alle verschieden. Es gibt unterschiedliche Möglichkeiten, Mengen zu beschreiben. Wir wollen die Menge M aller geraden ganzen Zahlen zwischen 2 und 5 beschreiben:. Aufzählung M = {2,4,6,8,0,2,4}. 33

34 2. teilweise Aufzählung M = {2,4,6,...,2,4}. Hierbei muss man aufpassen, dass es nicht zu Missverständnissen kommt. 3. Beschreibung durch charakteristische Eigenschaften M := {x : x Z und x 2 und x 5 und x gerade}. Die leere Menge ist die Menge, die kein Element enthält. Beispiel.8 = {x : x wohnt in der Bundesrepublik Deutschland und x ist im Jahre 700 geboren} Die Mächtigkeit oder Ordnung einer Menge ist die Anzahl der Elemente in der Menge. Unsere oben betrachtete Menge M = {2,4,6,8,0,2,4} hat also die Mächtigkeit 7. Schreibweise: M = Anzahl der Elemente in M. Falls M unendlich viele Elemente hat, schreiben wir M = ( : unendlich). Intervalle Seien a,b R mit a < b. Dann unterscheiden wir die folgenden Typen von Intervallen Intervalle der Form [a,b] = {x R : a x b} abgeschlossenes Intervall, (a,b) = {x R : a < x < b} offenes Intervall, [a,b) = {x R : a x < b} (a,b] = {x R : a < x b} [a, ) = {x R : x a} (,b] = {x R : x b} (a, ) = {x R : x > a} (,b) = {x R : x < b} halboffene Intervalle. werden uneigentliche Intervalle genannt, die ersten beiden sind abgeschlossene, die letzten beiden offene Intervalle. Beziehungen zwischen Mengen Wir nennen A eine Teilmenge von B, wenn jedes Element aus A auch ein Element von B ist. Dabei darf auch A = B gelten. A B: A Teilmenge von B A B: A Teilmenge von B und A B 34

35 Beachte, dass stets A A gilt. Ferner gilt für alle Mengen A. Beispiel.9 N Z Q R Die Menge aller Einwohner Magdeburgs ist eine Teilmenge der Menge aller Einwohner Deutschlands. Verknüpfung von Mengen Wir können Mengen schneiden oder vereinigen: A B = {x : x A oder x B} Vereinigung A B = {x : x A und x B} Schnitt A B A B A A B B Achtung: Es gilt nicht A B = A + B, sondern A B = A + B A B Zwei Mengen heißen disjunkt, wenn ihr Schnitt leer ist. Für disjunkte Mengen gilt A B = A + B Manchmal wollen wir mehr als nur eine Menge vereinigen oder schneiden. Wir schreiben dann n i= A i = A A 2... A n n A i = A A 2... A n. i= 35

36 Die Differenz von Mengen ist wie folgt definiert: A\B = {x : x A und x / B.} A B A\B Ist A eine Teilmenge einer Menge Ω (dieses Ω geht oft aus dem Zusammenhang hervor, z.b. Ω = R), so schreiben wir statt Ω\A auch A oder, genauer, A Ω = Ω\A: Ω A A Beispiel.20 Wir betrachten die folgenden vier Mengen: A = {x : x R und x 6} B = {x : x N und x < 6} C = {x : x N und x 2} D = {x : x R und x < 6} 36

37 Dann gilt: A B = {,2,3,4,5} A\D = {6} A C = {2,3,4,5,6} C \A = {x : x N und x > 6} B C = {2,3,4,5} B C = N A N = {,2,3,4,5,6} A R = {x : x R und (x < oder x > 6)} B N = {6,7,8,...}. Mengenalgebra Idempotenzgesetze A A = A A A = A Kommutativgesetze A B = B A A B = B A Assoziativgesetze A (B C) = (A B) C A (B C) = (A B) C Distributivgesetze A (B C) = (A B) (A C) A (B C) = (A B) (A C) Inklusionsgesetze A A B A B A Man macht sich diese Regeln am besten anhand einiger Mengendiagramme (Venn-Diagramm) klar. Wir illustrieren hier nur das erste Distributivgesetz. Im ersten Diagramm sehen wir die Menge B C schraffiert. Danach vereinigen wir diese Menge mit A. Im letzten Bild haben wir die Mengen A B und 37

38 A C jeweils unterschiedlich schraffiert und dadurch auch gleich den Schnitt (A B) (A C) gekennzeichnet. B B A B C A A (B C) C C B A (A B) (A C) Ähnliche Gesetze gelten für die Komplementbildung und die Mengendifferenz. Neue Mengen aus alten Mengen Die Potenzmenge einer Menge A ist die Menge aller Teilmengen von A. Bezeichnung: P(A). Ist A endlich, so gilt P(A) = 2 A. Seien a,...a n irgendwelche Elemente. Wir nennen (a,a 2,...,a n ) ein n-tupel. Die Elemente müssen nicht unbedingt verschieden sein. Die Menge aller n-tupel (a,...,a n ) mit a i A i heißt das kartesische Produkt von A,...,A n. Bezeichnung: A A 2 A n. Im allgemeinen ist A B B A..7 Relationen und Abbildungen Die Definition einer Relation ist ganz einfach: Eine Relation R zwischen zwei Mengen X und Y ist eine Teilmenge R X Y. Gilt X = Y, so heißt R eine Relation auf X. Man schreibt x R y falls (x,y) R. C 38

39 Beispiel.2 X: Menge der MathematikerInnen. Y: Menge der WirtschaftswissenschaftlerInnen. Eine Relation zwischen X und Y wird z.b. durch Mathematiker x ist jünger als Wirtschaftswissenschaftler y erklärt. Sei X die Menge aller Frauen, Y die Menge aller Männer. Als Relation zwischen X und Y wählen wir verheiratet. A = {,2}, B = {2,3}. Dann ist A B = {(,2),(,3),(2,2),(2,3)}. Wir erhalten z.b. folgende Relationen: R = {(a,b) A B : a = b} = {(2,2)} R 2 = {(a,b) A B : a < b} = {(,2),(,3),(2,3)} R 3 = {(a,b) A B : a b} = {(,2),(,3),(2,3),(2,2)}= A B R 4 = {(a,b) A B : a+b = 2} = Man kann diese Relationen auch durch Graphen verdeutlichen. Dazu malen wir die MengeAund die MengeB aufund verbindenzweielemente mit einem Pfeil genau dann, wenn sie in Relation miteinander stehen: 2 R R R 2 39

40 2 R Diese Beispiele zeigen, dass an jedem Punkt kein, ein oder mehrere Pfeile beginnen können. Genauso kann an jedem Punkt kein, ein oder mehrere Pfeile ankommen. Solche Pfeildiagramme sind natürlich unhandlich, wenn die Mengen X und Y unendlich sind. Sind X und Y Zahlbereiche, können wir versuchen, die Menge der Punkte (x, y) R in einem Koordinatensystem zu skizzieren. Abbildungen In den Wirtschaftswissenschaften haben wir es meistens mit Abbildungen zu tun. Eine Abbildung f : X Y aus X nach Y ist eine Relation zwischen X und Y, so dass es zu jedem x X höchstens ein y Y gibt, so dass x und y in Relation zueinander stehen. Das Element y wird mit f(x) bezeichnet. In unserer Pfeildarstellung bedeutet dies, dass in jedem Element x X höchstens ein Pfeil beginnt: Manchmal wird zusätzlich gefordert, dass jedem x X ein y so zugeordnet wird, dass x und y in Relation stehen. Wir benutzen hier manchmal folgende Sprechweise: Wenn jedem x X höchstens ein y zugeordnet wird, so sprechen wir von einer Funktion aus X nach Y. Wird jedem x X genau ein f(x) zugeordnet, so wollen wir von einer Abbildung von X nach Y sprechen: 40

41 Das ist manchmal ganz praktisch: Es hat Vorteile, wenn man komplizierte Funktionen hat wie etwa x f(x) = x 5 +3x 3 x 4, aufgefasst als Abbildung aus R nach R, wo man von vornherein gar nicht weiß, für welche x der Nenner 0 wird, die Funktion also gar nicht definiert ist. Sei f : X Y eine Abbildung. Die Menge der x X, für die f(x) erklärt ist, nennen wir den Definitionsbereich von f, bezeichnet mit D(f). Der Definitionsbereich D(f) muss nicht ganz X sein, wie die obigen Beispiele zeigen. Die Menge X heißt die Menge der unabhängigen Variablen, die Menge Y bezeichnet die abhängigen Variablen, denn wenn wir x kennen, kennen wir auch f(x). Beachten Sie bitte, dass der Definitionsbereich alle x X enthält, für die es ein f(x) gibt, er ist also in einem gewissen Sinne maximal. Beispiel.22 Wir definieren f : R R durch f(x) = x 2. Dieser Ausdruck ist natürlich nur erklärt, wenn x 2 0. Also ist f eine Abbildung aus R nach R. Der Definitionsbereich ist R\{±}. Die graphische Veranschaulichung: 4 y x 2 4 4

42 Beispiel.23 Wir betrachten f : R R definiert durch f(x) = lgx (dekadischer Logarithmus). Wir haben schon gesehen, dass der Logarithmus nur für positive Zahlen erklärt ist. Der Definitionsbereich ist also R + : 0.5 x Machen Sie sich bitte nicht zu viele Gedanken über die Frage, ob eine Abbildungen von oder aus einer Menge X erklärt ist. Wichtig ist nur, dass bei der Beschreibung einer Abbildung durch eine Vorschrift, wie z.b. lg x oder x 2, zu beachten ist, dass diese Vorschrift für einige Werte von x möglicherweise nicht definiert ist. Oft liegt das daran, dass man nicht durch 0 dividieren darf. Andere Möglichkeiten: Logarithmen oder Wurzeln negativer Zahlen sind nicht definiert. Manche trigonometrische Funktionen haben Stellen, wo sie nicht definiert sind, z.b. tan(π/2) ist nicht definiert. Abbildungen werden oft auch Funktionen genannt. Meistens spricht man von Funktionen, wenn die Mengen X und Y Zahlbereiche sind. Wenn wir hier von Zahlbereichen sprechen, meinen wir nicht etwa nur R, sondern auch R 2, R 3 usw. Denken Sie daran: Ökonomische Daten hängen fast nie nur von einer Variablen ab. 42

43 Injektiv, Surjektiv, Bijektiv Eine Abbildung f : X Y heißt injektiv wenn aus f(x ) = f(x 2 ) stets x = x 2 folgt. Die Abbildung heißt surjektiv, wenn es zu jedem y Y (mindestens) ein x X gibt mit f(x) = y. Die Abbildung heißt bijektiv, wenn sie injektiv und surjektiv ist und es zu jedem x X ein y gibt mit f(x) = y (f also insbesondere eine Abbildung von X nach Y ist). Für unsere Pfeildarstellung von Abbildungen bedeutet das Folgendes: injektiv: in jedem y Y endet höchstens ein Pfeil surjektiv: in jedem y Y endet mindestens ein Pfeil bijektiv: in jedem y Y endet genau ein Pfeil und in jedem x X beginnt genau ein Pfeil. 43

44 injektiv surjektiv bijektiv In allen drei Fällen haben wir Abbildungen, weil aus den linken Mengen an jedem Punkt nur höchstens ein Pfeil beginnt. Beispiel.24 Wir betrachten hier Abbildungen f : R R. Wir definieren eine Abbildung f abschnittsweise: { x 2, x 0 f(x) = x 2 +, x 0. Diese Abbildung ist surjektiv: Wenn y 0 gegeben ist, so gilt für x = y: f(x) = y. Ist y < 0, so können wir versuchen, ein x < 0 zu finden mit 44

45 x 2 + = y, also x 2 = y, also x 2 = y. Eine Lösung ist x = y: Beachten Sie, dass y 0, wir können also die Wurzel ziehen. Wenn wir dieses x nun in die Funktionsvorschrift einsetzen, müssen wir beachten, dass x 0 gilt, wir sind also im zweiten Fall unserer obigen Definition von f. Einsetzen liefert f( y) = ( y)+ = y, wir haben also ein x gefunden mit f(x) = y. Die Abbildung ist nicht injektiv, weil f(0) = f( ) = 0 gilt. Hier ist der Funktionsgraph: Die Abbildung f(x) = x 2 ist weder injektiv noch surjektiv: Sie ist nicht injektiv, weil beispielsweise f(2) = f( 2) = 4 gilt (allgemeiner: f(x) = f( x)), und sie ist nicht surjektiv, weil f(x) 0 gilt, es gibt also für negative Zahlen y kein x mit f(x) = y. Wenn wir den Bildbereich aber einschränkenund f alsabbildung R R 0 auffassen,dann istf surjektiv (aber immer noch nicht injektiv). DieFunktionf(x) = 2 x istinjektiv:dielösungvon2 x = y istx = log 2 (y). Allerdingsist die Funktion nicht surjektiv,weil stets 2 x 0gilt. Die Funktion f erhalten wir, indem wir versuchen, f(x) = y nach x aufzulösen. Das ist aber ja gerade die Logarithmusfunktion. Wir haben beide Funktionen im folgenden Graphen visualisiert (rot 2 x ; blau der Logarithmus): 45

46 Ist f eine injektive Abbildung, so definieren wir f : Y X durch folgende Vorschrift: f (y) = x, wobei x X durch die Eigenschaft f(x) = y bestimmt ist. Beachte, dass x wegen der Injektivität eindeutig bestimmt ist. In unseren Pfeilbildern bedeutet dies einfach, dass wir jeden Pfeil umdrehen. Die Abbildung f heißt die zu f inverse Abbildung. Beachte, dass auch f injektiv ist. Ferner ist f bijektiv genau dann, wenn f injektiv und surjektiv ist und zusätzlich f auch surjektiv ist. Bei einer bijektiven Abbildung geht von jedem Punkt in X genau ein Pfeil aus und in jedem Punkt aus Y endet genau ein Pfeil. Das heißt insbesondere, dass X und Y gleich viele Elemente haben. Wir erhalten die inverse Abbildung von f, indem wir f(x) = y nach x auflösen, sofern dies möglich ist. Wir vertauschen dann x und y und erhalten so die Umkehrfunktion. Beispiel.25 Wir betrachten f(x) = e x +. 46

47 Wir versuchen, f(x) = y nach x aufzulösen: e x + = y e x + = y e x = y ( ) x = ln y ( ) y x = ln y ( ) y x = ln. y Wenn wir uns dies anschauen, muss zunächst einmal y > 0 gelten, weil /(e x + ) stets > 0 gilt. Weil der Logarithmus aber nur für positive Zahlen definiert ist, muss zusätzlich y < gelten. Die Umkkehrfunktion von f(x) ist also(vertausche x und y!) ( ) x f (x) = ln. x Hier sind die Funktionsgraphen (rot ist wieder f, blau ist die Umkehrfunktion): 47

48 Verknüpfung von Abbildungen Seien f : X Y und g : Y Z zwei Abbildungen. Wir definieren die Abbildung g f : X Z wie folgt: (g f)(x) = g[f(x)]. Also: Wir wenden erst f auf x an, dann auf den Wert f(x) die Abbildung g. Wichtigistes,sichzumerken,dassg f bedeutet,erstf unddanng anzuwenden. Es gilt (f f)(x) = x, wenn f die inverse Funktion von f ist. f g X Y Z g f Beispiel.26 Wennf(x) = x 2 und g(x) = e x,dannist(f g)(x) = (e x ) 2 = e 2x und (g f)(x) = e x2, also zwei ganz unterschiedliche Dinge. 48

49 2 Funktionen einer Variablen Wir haben im letzten Kapitel allgemeine Abbildungen zwischen beliebigen Mengen betrachtet. Hier wollen wir uns nun mit dem Fall beschäftigen, dass sowohl der input als auch der output eine reelle Zahl ist. Wir betrachten also Abbildungen R R. 2. Einführende Beispiele Kostenfunktion und Stückkostenfunktion: Das Unternehmen Miel produziert hochwertigewaschmaschinen.es hat monatliche Fixkosten von Die sind unabhängig von der produzierten Menge. Pro produziertem Stück fallen variable Kosten (vor allem Material und Löhne) von 500 an. Die monatlichen Gesamtkosten des Unternehmens (in ) betragen dann K(x) = x, wobei x die Anzahl der im Monat produzierten Waschmaschinen ist. Bei 00 Waschmaschinen fallen also Gesamtkosten an in Höhe von bei 000 Stück K(00) = , K(000) = K heißt die Kostenfunktion. Wenn man nicht an den Gesamtkosten K interessiert ist, sondern an den Kosten pro produziertem Stück, so erhält man die Stückkostenfunktion S(x). Sie ergibt sich aus der Kostenfunktion K(x) einfach durch In obigem Beispiel ist S(x) = K(x) x. S(x) = x x Bei 00 produzierten Waschmaschinen ist das also bei 000 Maschinen Weitere ökonomische Funktionen sind S(00) = 2200, S(000) = 670. = x Nachfrage-Funktion (Preis-Absatz-Funktion): Sei p der Preis eines Gutes, N die nachgefragte (abgesetzte) Menge. Die Nachfragefunktion ist dann N(p). 49

50 Üblicherweise wird N(p) kleiner, wenn der Preis p steigt. So könnte z.b. (p ausgedrückt in ) N(p) = p (2.) sein.dasheißt,beieinem Preisvon0 beträgtdienachfrage95.000stück, bei einem Preis von 3 nur Stück. Oft wird auch umgekehrt die Funktion p(n) betrachtet. Angebotsfunktion: Sei p der Preis eines Gutes, A die vom Produzenten zu dem Preis auf den Markt gebrachte Menge. Die Angebotsfunktion ist dann A(p). Angebotsfunktionen sind typischerweise monoton steigend. Erlösfunktion: Für N abgesetzte Güter zum Stückpreis p(n) ist der Erlös in Abhängigkeit von der Menge N E(N) = N p(n). Hierbei ist berücksichtigt, dass der Preis p von der Nachfrage N abhängt, typischerweise mit hoher Nachfrage steigt. In Abhängigkeit vom Preis p ist die Erlösfunktion E(p) = N(p) p. Wenn wir die Nachfragefunktion (2.) benutzen, erhalten wir E(p) = p 500p 2. Eine typische Frage ist: Für welchen Preis p wird der Erlös E(p) maximal. Solche und ähnliche Fragen werden wir mit etwas mathematischer Theorie beantworten können. 2.2 Grundlegende Begriffe und Bezeichnungen Eine Abbildung f : R R mit D(f) R heißt reellwertige Funktion einer reellen Variablen (Veränderlichen) wobei D(f) der bereits früher definierte Definitionsbereich von f ist. Die Menge W(f) := {f(x) : x D(f)} heißt der Wertebereich von f. Erinnerung: D(f) = {x R : Es gibt y R mit y = f(x)}, d.h. D(f) besteht aus all den x, die man in f einsetzen kann. Wir nennen x f(x) die Zuordnungsvorschrift und den Graph von f. G f = {(x,y) D(f) R : y = f(x)} 50

51 Beispiel 2. x x 2 hat den Definitionsbereich R. x x hat den Definitionsbereich R\{0}. Die schon vorher betrachtete Kostenfunktion K(x) = x hat als Definitionsbereich R. In dem betrachteten Beispiel sind allerdings nur nicht-negative ganze Zahlen x interessant (x: Anzahl der Waschmaschinen) und nur bis zu einer gewissen Höhe, die durch die Maximalauslastung des Unternehmens gegeben ist. Dieses Beispiel zeigt, dass nicht alle Werte für x, die mathematisch sinnvoll sind, auch im ökonomischen Sinn sinnvoll sind. Ein Hilfsmittel zur Veranschaulichung einer Funktion f und ihres Graphen ist eine Wertetabelle, in der ausgewählte Werte von x zusammen mit ihrem Funktionswert f(x) eingetragen werden. Beispiel 2.2 Wir setzen unser Beispiel K(x) = x fort: x K(x) Beispiel 2.3 f(x) = 3x 2 +2x+: x f(x) Eine genauere Methode ist das Zeichnen der Graphen in ein Koordinatensystem. Der Graph zur oben angegebenen Funktion 3x 2 +2x+ ist x 5

52 Verknüpfung von Funktionen Aus gegebenen Funktionen können durch Verknüpfung mittels der Grundrechenarten neue Funktionen gebildet werden. Seien f,g : R R Funktionen und λ R. Dann lassen sich auch die folgenden Funktionen definieren: λf : R R, mit (λf)(x) = λf(x), f ±g : R R, mit (f ±g)(x) = f(x)±g(x), f g : R R, mit f g : R R, mit f (f g)(x) = f(x) g(x), f(x) (x) = g g(x). Die Definitionsbereiche sind D(λf) = D(f), D(f ±g) = D(f) D(g), D(f g) = D(f) D(g), ( ) f D = {x R : x D(f) D(g) und g(x) 0}. g Wir erinnern daran, dass man auch f g (Verkettung von f und g) bilden kann. Der Definitionsbereich von f g sind diejenigen Elemente x R, für die g(x) im Definitionsbereich von f liegt. Beispiel 2.4 Seien f(x) = 5x 3, g(x) = 2x 2 3x+. Dann sind (5f)(x) = 75x 5, (f +g)(x) = 2x 2 +2x 2, (f g)(x) = (5x 3)(2x 2 3x+) = 30x 3 5x 2 +24x 3, ( ) f (x) = 5x 3 g 2x 2 3x+. Aus dem Definitionsbereich von f g weil g() = 0 und g(/2) = 0. müssen und /2 ausgeschlossen werden, Monotonie und Beschränktheit 52

53 Seien f : R R eine Funktion und I R ein Intervall im Definitionsbereich von f. Gilt für alle x,x 2 I mit x < x 2 f(x ) f(x 2 ) (bzw. f(x ) < f(x 2 )) (2.2) dann heißt f (streng) monoton wachsend in I. Gilt für alle x,x 2 I mit x < x 2 f(x ) f(x 2 ) (bzw. f(x ) > f(x 2 )) dann heißt f (streng) monoton fallend in I. Die Funktion f heißt (streng) monoton wachsend auf dem ganzen Definitionsbereich, wenn die Bedingung (2.2) für alle x,x 2 D(f) mit x < x 2 erfüllt ist. Entsprechendes gilt für (streng) monoton fallend. Die Stückkostenfunktion S(x) = x ist streng monoton fallend. Anschaulich bedeutet das: Je mehr Stücke produziert werden, umso geringer sind die Stückkosten, umso effizienter ist also die Produktion. Wir halten folgenden interessanten Zusammenhang zwischen Monotonie und Injektivität fest: Ist f streng monoton wachsend (oder streng monoton fallend) dann ist f injektiv, hat also eine Umkehrfunktion. Beispiel 2.5 Die Funktion f(x) = 2x 2 +4x 30 ist auf [0, ) streng monoton wachsend, auf (, 2] streng monoton fallend. Wo genau sich das Wachstumsverhalten umkehrt, ist am Graphen nicht genau zu erkennen. Das werden wir später mit mathematischen Methoden ermitteln können. Ist die Funktion f : R R injektiv, hat den Definitionsbereich D und den Wertebereich W, so ist f : D W bijektiv. Dann heißt f : W D, y x wobei x D mit f(x) = y die Umkehrfunktion zu f. Der Graph G f = {(y,x) W D y = f(x)} = {(y,x) W D (x,y) G f } entstehtausg f durchspiegelunganderwinkelhalbierendenmit dergleichung x = y. 53

54 Beispiel 2.6 Wir betrachten wieder die Stückkostenfunktion S(x) = x Für welche Stückzahl ergibt sich 500? Wir lösen hierzu nach x auf und erhalten x x x = 70. = 500 = 000, Das ist die gesuchte Stückzahl, denn es ist nun S(70) = 500. Lösen wir allgemein die Gleichung = y x nach x auf, so erhalten wir x = y 500 und dies ist gerade die Umkehrfunktion, also S (y) = y 500. Mit ihr lässt sich zu beliebigen Stückkosten die zugehörige Stückzahl ermitteln. Beispiel 2.7 Die Funktion f : R + 0 R+ 0 mit f(x) = x2 ist bijektiv. Ihre Umkehrabbildung ist f (y) = y. 4 3 y x 54