Modelle für elas,sche Membranen

Transkript

1 Modelle für elas,sche Membranen Viktor Mai

2 Ziel : Modellierung des Gefäßwandverhaltens bei Fluidstrom Weg : Differen,algleichung über die KräGebilanz herleiten

3 Gliederung. 1. Vorstellung der Modelle. Analyse

4 1. Mo,va,on Mo1va1on

5 1. Mo,va,on Hämodynamik in großen menschlichen Arterien modellieren Verständnis der lokalen Hämodynamik kann in der medizinischen Forschung eine wich,ge Rolle spielen (u.a. kardiovaskuläre Erkrankungen) Effiziente und präzise numerische Verfahren sind wich,g für Einsatz in Trainingssystemen oder OP- Simula,on

6 . Einleitung Was ist ein Fluid? Ist ein Zustand von Materie Ein Fluid ist jede Flüssigkeit oder Gas Bleibt im Zustand der Deforma,on, auch wenn keine deformierende KraG mehr wirkt

7 . Einleitung Was ist Fluss? Meistens liegt in einem sich bewegenden Fluid ein Geschwindigkeitsgradient vor Unterschiedliche Geschwindigkeiten führen zu einer Scherbewegung Aufgrund der Scherbewegung liegt kon,nuierliche Deforma,on vor Fluss ist ein Zustand kon,nuierlicher Deforma,on

8 . Einleitung Die x- Komponente der Geschwindigkeit u variiert mit y. Dies bewirkt einen Geschwindigkeitsgradienten unter dem ein Fluidelement kon,nuierlich deformiert wird (Schwerbewegung).

9 . Einleitung Krä:e die auf das Gefäß wirken Oberflächenkrä:e : KräGe, die auf das Gefäß durch seine Oberfäche wirken Interne Krä:e : KräGe, die das Fluid auf die Gefäßwand ausübt. Letztere werden durch den sogenannten Cauchy- Spannungstensor modelliert (Vor.: kleine Deforma,onen)

10 . Einleitung Spannungstensor = $ gibt die Spannung in Richtung von an ( ( (

11 . Einleitung Kons1tuierende Gleichung Verbinde Cauchy Spannungstensor mit kinema,schen Größen (Geschwindigkeitsfeld) Charakterisiert das betrachtete Fluid Für newtonsche Flüssigkeit gilt der Zusammenhang = + µ + $ Druck Viskosität Geschwindigkeitsgradienten

12 . Einleitung Setze = + $ mit = $ $ + Spannungen die durch Viskose Verursacht werden T = I + µd $

13 . Einleitung Frenet- Serret Formel Sei $ $ $ = (( $ die Drehung im. ( Defin1on. Sei t eine Regularitätsstelle der C - Kurve $ und $= $ $ der dor,ge Tangen,aleinheitsvektor. Dann heisst N(t)=DT(t) der Normaleneiheitsvektor und das Paar (T(t),N(t)) das begleitende Zweibein der Kurve in t.

14 . Einleitung $ + $ $ + $ Man kann zeigen, dass es ein gibt so, dass $ = $$ gilt. Man nennt = $ die Krümmung von in s. Satz. Der Graph (x,f(x)) einer C - Funk,on f hat an jeder Regularitätsstelle die Krümmung = $+ $ () *

15 . Einleitung Differen1a1on unter dem Integral Angenommen wir möchten die Funk,on * ) $ = $( nach dx ableiten. Hierbei sollen dann $$ $ ste,g sein. Es gilt * ) $ $ = $( $ (

16 3. Modellierung Modellierung

17 3. Modellierung Gefäßwand Besteht aus mehreren Gewebs- schichten mit unterschiedlichen mechanischen EigenschaGen Schwer zu modellieren

18 3. Modellierung 3D Modell Die Geometrie eines Gefäßabschnids kann durch krummlinige Zylinderkoordinaten (r,θ,z) beschrieben werden Um den Rechenaufwand gering zu halten beschränkt man sich aber auf D bzw. 1D Modelle

19 3. Modellierung D Modell Entsteht durch einen Ausschnid in longitudinaler Richtung (entlang der z- Achse) s aus dem 3D Modell Wir vernachlässigen weiterhin die d dsspannungsänderungen in Richtung des dsumfangs. D.h. alle Ableitungen bzgl. θ s knverschwinden Jeder θ Ausschnid wird unabhängig sdbehandelt, d.h. das Verdrängungsfeld hängt ssnur noch parametrisch von θ ab Wir fordern zusätzlich axiale Symmetrie, Sdalso auch eine gerade Achse

20 3. Modellierung 1D Modell Ist das einfachste Modell Wir starten vom D Modell Wir nutzen aus, dass die effek,ve h Wanddicke rela,v klein ist, um die kj Wand als Oberfläche zu beschreiben (bzw. als Linie)

21 3.1. Herleitung von 1D Modellen Die geringe Wanddicke erlaubt es uns ein Schalenmodell als Basismodell zu benutzen Die Gefäßwandgeometrie wird vollständig durch s s s ihre mediane Oberfläche beschrieben (gestrichelte Figur) Zu jeder Zeit t wird die Wand durch die Oberfläche beschrieben = $( Referenzkonfigura,on ruhendem Fluid gefüllt w Γ : Das Gefäß ist in Ruhe und ist mit einem

22 3.1. Herleitung von 1D Modellen Zentrale Annahmen A1. Die Wanddicke h ist hinreichend klein und in konstant. Sds Ausserdem wirken die Spannungen in Richtung der Normalen A. Die Referenzgeometrie ist zylindrisch, d.h. = {$$ = ( $ )$$$ )$*+}, Die Verdrängung findet nur in radialer Richtung stad, d.h. = $ A3. Die Deforma,onsgradienten sind klein, sodass sich sdsd sds Gefäßwand wie ein linearer elas,scher Festkörper verhält we d.h, sind klein bzw. uniform beschränkt A4. Das Gefäßwandgewebe ist inkompressibel Γ w

23 3.1. Herleitung von 1D Modellen Ausgangs- und aktuelle Konfigura,on

24 3. Auf die Gefäßwand wirkende KräGe Betrachte die Gefäßkonfigura,on zu einem Zeitpunkt t und einen beliebigen Punkt auf der Gefäßoberfläche mit Koordinaten = = = $( $ () wobei Weiterhin bezeichnen wir mit das Maß der Elementarfläche Ferner wollen wir mit $ eine Größe bezeichnen, so dass gilt. dσ ) + = *$($ = )*+, +,+ $, $ = ( $, +, -+ (. /+

25 3. Auf die Gefäßwand wirkende KräGe

26 3. Auf die Gefäßwand wirkende KräGe Wir berechnen nun Größen von Interesse : a. Da $() ) 3 $ $$ gilt für den dsnormalenvektor die Formel = $( $( $( $( = 1 1 $ 1+ 1 $ ( ) * $ ( ) * + ( $ ) * Mit = $+ $ $ ( + $ ( folgt, dass = $ ( ) ( $ $ * ( * ( ) *

27 3. Auf die Gefäßwand wirkende KräGe b. Für gilt aus demselben Grund wie oben, dass = $( $ $( = 1+ 1 $( ( ) * + $( ( ) * = $ c. = $ 1 und $ $ ( ( ( ) * = $ 1 = 1 $ = (1 $ $ $ ) ( $) ) * + $$) = ( 1 = $$) d. Ferner ist = 1+ $ $ $

28 3. Auf die Gefäßwand wirkende KräGe Betrachten wir nun die äußeren KräGe, die auf die Gefäßwand wirken Krä:e von umgebendem Gewebe : Das Gewebe, welches die Gefäßwand umgibt interagiert mit diesem durch Ausübung eines konstanten Drucks $. Die KraG ergbit sich dann zu $ = ( )* + +,*- Krä:e vom Fluid : Die vom Fluid auf die Gefäßwand übertragenen KräGe werden durch die Cauchy- Spannungen der Wände beschrieben. Sei f der Cauchysche Spannungstensor für das Fluid. Dann haben wir $ = + () = * µ() + ()

29 3.3 Das unabhängige Ringmodell Das unabhängige Ringmodell

30 3.3 Das unabhängige Ringmodell Wird durch eine Differen,algleichung für die Zeitevolu,on von η für jedes θ und z beschrieben Dazu machen wir folgende Annahmen : R1. Die Spannungen entlang der longitdinalen Richtung sind klein im klklkvergleich zu den Spannungen σ θ entlang des Umfangs und wir können sie ssds vernachlässigen. σ z R. Das Gefäß bleibt ein kreisförmiger Zylinder während der Bewegung, d.h. R = θ R3. Wir nehmen an, dass die Gefäßwand ein linear elas,sches Verhalten aufzeigt. Zusammen mit R1 und R erlaubt dies uns, die Umfangsspannung als zu schreiben = E 1 $ R Young Modulus Poisson Verhältnis

31 3.3 Das unabhängige Ringmodell Die Bewegungsgleichung für die Gefäßwand in radialer Richtung erhalten wir durch die Analyse der KräGe, die auf die Elementarfläche wirken. Die externen Krä:e haben wir bereits analysiert. Es verbleiben noch die internen Krä:e, d.h. solche die aufgrund der Umfangsspannung wirken Die Vektoren und e + d e d formen $ ( $ π dθ mit e r einen Winkel von + bzw. d Die radiale Komponente der resul,erenden KraG ist dann f int = e + d $ $ ( + e ) d $ (( e r * h *dl

32 3.3 Das unabhängige Ringmodell f int = e + d $ $ ( + e ) d $ (( e r * h *dl Taylorentwicklung vom Sinus $ = cos + d ( ) h *dl = + sin $ d d = h $dl = dh $dl + o(ddl) ( ) h *dl Wegen der Inkomperssibilität des Gefäßgewebes bleibt das Volumen erhalten, d.h. h R ddl = h R ddz

33 3.3 Das unabhängige Ringmodell Wegen dl = h R dz und o(dl) = o(dz) haben wir h R = E 1 $ R f int = R $ h $ R $d$dz + o(ddz) = E h 1 $ R ddz + o(ddz) Da das betrachtete Gefäßstück auch eine Masse besitzt die beschleunigt wird, wirkt auch hier eine KraG. Die Masse bleibt wegen der Inkompressibilität ebenfalls erhalten, d.h. m Gewebe = Gewebe h R ddl = Gewebe h R ddz

34 3.3 Das unabhängige Ringmodell Die Beschleunigung in radialer Richtung ist R. t Weil R konstant ist, haben wir R =. t t Wir können nun die KräGebilanz aufstellen : = Gewebe h R ddz $ + E $t $ 1 R ddz = $ f Bewegung ( P ext n d + o(d) ) e $$$$ $$$$ + ( P r n d µd( u) n d + o(d) ) e $$$$$ $ $$$$$$$ + o(d$dz) r f Gewebe Wir benutzen, dass n e r = R g 1 und d = g R ddz gilt. R f int f Fluid

35 3.3 Das unabhängige Ringmodell Dann haben wir = $ $ 1 = $$( Gewebe h R $ t ddz + E h 1 $ R ddz = P d( R g 1 + Pd( R g 1 ext ( µd( u) n d() e R R r + o(ddz) Gewebe h R $ t ddz + E 1 $ R ddz = P R ddz + P R ddz µd( u) n ext ( ) e r R ddz + o(ddz) :ddz Gewebe h R $ t + E 1 $ R = ( P P ext ) R ( µd( u) n ) e r R g + o(ddz) ddz Gewebe h R $ t + E 1 $ R = ( P P ext ) R ( µd( u) n ) e r R g Weil die Herleitung für ein beliebiges = und t gemacht wurde, erhalten wir somit das unabhängige Ringmodell + = $ $

36 3.3 Das unabhängige Ringmodell t + b = H b = E Gewebe (1 )R H = 1 Gewebe h $ R R ( P P ext ) g µ( D( u) n ) e r ) ( Gewöhnliche DGL. Ordnung

37 3.3 Das unabhängige Ringmodell Bemerkungen B1. Das unabhängige Ringmodell ist gül,g für jeden transversalen Ausschnid des Gefäßes. Der Name ergibt sich aus der Tatsache, dass das Gefäß als eine Anordnung von Ringen gesehen wird, die sich nur in radialer Richtung verformen und nicht miteinander interagieren. In der Tat hängt die Verdrängung und ab. nur indirekt über H von z

38 3.3 Das unabhängige Ringmodell R B. Der Term in H wird og vernachlässigt. Genauso wie die R Beiträge der durch das Fluid verursachten Spannungen. In diesem Fall vereinfacht sich H zu = $ ( ) * und H hängt somit nicht mehr von der aktuellen geometrischen Konfigura,on ab. Wir haben dann also : + = $ $ $ ( ) $ *

39 3.3 Das unabhängige Ringmodell B3. Wird der Beschleunigungsterm vernachlässigt, so erhalten wir das algebraische Model : = $ ( $ Hier ist also die Verdrängung propor,onal zur normalen Komponente der externen KraG.

40 3.3 Das unabhängige Ringmodell B4. Um der viskoelas,schen Natur der Gefäßwand Rechnung zu tragen, können wir zu einen Termraddieren, der propor,onal zu der Verdrängungsgeschwindigkeit ist. Genauer haben wir dann Hierbei ist γ = E 1 $ R = 1 $ + $ ein konstanter Dämpfungsparameter. Die resul,erende Differen,algleichung wäre dann : η γ η t Rρwh t + + bη= H $

41 3.3 Das unabhängige Ringmodell Alle Modelle liefern Lösungen η für jeden Wert von θ. Weil keine Ableitungen bzgl. θ in den Modellen augreten, kann es im Prinzip sein, dass η signifikant mit θ variiert oder sogar eine Unste,gkeit besitzt (was R widersprechen würde). Dasselbe gilt auch bzgl. z. Dieses Manko könnte durch Einbeziehung von Ableitungen bzgl. θ in den Modellen behoben werden Heuris,sches Argument ausgehend vom alg. Modell : = $ ( Weil b rela,v groß ist, werden ste,ge Änderungen bzgl. θ von H zu sehr kleinen in η gedämpg. Dieses Argument könnte auch für die anderen Modelle benutzt werden, da bη der dominierende Term ist

42 3.4 Das verallgemeinerte Saitenmodell Das verallgemeinerte Saitenmodell

43 3.4 Das verallgemeinerte Saitenmodell Bezieht die Spannungen in longitudinaler Richtung mit ein Wir ersetzen folglich R1 durch GS1. Die Longitudinalspannungen vernachlässigbar und es ist = ± sind nicht r= R( θ,z;t) wobei der Einheitsvektor ist, der tangen,al zu liegt und dessen Modulus konstant ist Annahme R (zylindrische Konfigura,on) wird beibehalten

44 3.4 Das verallgemeinerte Saitenmodell Bild = $ +

45 3.4 Das verallgemeinerte Saitenmodell Wir haben für die KraG in Richtung z folgenden Ausdruck : ) = + $ + (, + $. * + -. /$// = ± = * + $ ( ) ) -, $ ( / +,./ $1 = $ $ + $(

46 3.4 Das verallgemeinerte Saitenmodell Wie benutzen nun die am Anfang eingeführte Frenet- Serret Formel und schreiben = wobei ist. = * $, 1+, + ( ) - / /. 3 die Krümmung der Kurve = $( Die radiale Komponente der KraG erhalten wir erneut, indem wir mit skalarmul,plizieren. $ $ + $(

47 3.4 Das verallgemeinerte Saitenmodell $ = ( ( $ + )*$+ ) * $ $ = * $, 1+, ( ) + = * $, 1+, + = * $, 1+, + ( ) ( ) - / /. - / /. - / / $ 1 + ()1*) +, ( ) * $ $ 1+,, ( ) + - / /. 1 $ 1 + 1( = $ $ 1 $1 + ($1$) = 1+ $ $

48 3.4 Das verallgemeinerte Saitenmodell ( ) Der nichtlineare Term wird vernachlässigt. Wir bilanzieren wieder die KräGe und erhalten vollkommen analog zur obigen Herleitung die folgende Dgl. : + $ = = $ Dieses Modell wird auch vibrierendes Saitenmodell genannt, da es dasselbe Modell ist, dass die Vibra,on einer Saite unter Spannung beschreibt.

49 3.4 Das verallgemeinerte Saitenmodell Das verallgeimeinerte Saitenmodell erhalten wir, wenn wir zusätzlich noch einen Term addieren. Dieser Term ist ein sogenannter viskoelas1scher Term. 3 $ > + $ 3 $ =

50 4. Analyse der Modelle Analyse der Modelle

51 4. Analyse der Modelle L - Norm Sei µ$ ein beliebiger Maßraum. Die L - Norm ist dann definiert durch = µ $ ( $ 1

52 4. Analyse der Modelle Cauchy- Schwarz Ungleichung. Seien f und g zwei quadra,ntegrierbare Funk,onen auf I=(t,t 1 ), dann ist auch quadra,ntegrierbar und es gilt 1 $ $

53 4. Analyse der Modelle Youngsche Ungleichung (skalierte Version). Seien f und g zwei quadra,ntegrierbare Funk,onen auf I=(t,t 1 ), dann gilt für jedes ε > 1 $ $ + 1 4$ $ ( Beweis. Es gilt für beliebige reelle a,b $ 1 ( * ) = $

54 4. Analyse der Modelle Poincaré Ungleichung. $ 1 ()* +, $* = -.// ), 1 / 31, (6117 $ ( ) * *+ $

55 4. Analyse der Modelle Beweis. $ ()* $ = $+ $ $ = $ $ ( ( = $ 1) $ ( ( + 1$ 1$ $ $ +.. ) + 1$ 1$ - 1 ) * ) $ $ + (), - ( /.. ) ) - 1 ) * ), - ( / (), - ( / ), - ( / + = $ 1 $ * + - ), $ = $ $ $ - $ = (+ * ( + $ $ $ ()* ()* ()*

56 4. Analyse der Modelle Nach ziehen der Wurzel und setzen von C p =(b- a), erhalten wir das gewünschte Ergebnis. $ $ ( () $

57 4. Analyse der Modelle Gronwall Lemma. Sei f eine nichtnega,ve, auf I=(t,t 1 ) integrable Funk,on sowie g und φ ste,ge Funk,on. Gilt so ist $+ $ $+ $$ ( ( )* Falls g zusätzlich nichuallend ist, erhalten wir ein schärferes Ergebnis $ $$ ()

58 4. Analyse der Modelle Wir betrachten nun das unabhängige Ringmodell t + b = H $ =, t = 1 Mit den Anfangswerten. ( ) Weiterhin führen wir den Raum $ der Funk,onen f : w I IR, die quadra,ntegrierbar auf für fast alle sind, ein. Im Folgenden ist = $

59 4. Analyse der Modelle Lemma 1. Ist alle ($ ) so gilt folgende Ungleichung für fast (t) t L + b (t) L ( 1 L t ) + b L + H($) L d$ + e t,t. * t

60 4. Analyse der Modelle Beweis. Wir schreiben $. Dann gilt nach Mul,plika,on mit +$ = in w, t I Wir integrieren nun bzgl. z und nutzen die Iden,tät $ = 1 $ $ $ 1 1 $ + 1 $ + $ = $ $ = $( Wir integrieren nun bzgl. zwischen t und t und erhalten erhalten

61 4. Analyse der Modelle 1 $ $ $ $ = $($ $ $ $ + $ = 1 $ + $ + $ ( Definiere nun = + $ $ folgendermaßen aus :. Dann sieht obige Gleichung = + $ $$ Wir wollen nun den Integranden aufspalten und benutzen die Youngsche Ungleichung :

62 4. Analyse der Modelle Youngsche Ugl. für p=q= $ + + $ = + $ + $ + $ + $ + $ ( )* Setze nun $ $+ $ $. Dann ist in der Tat $ $+ und mit f 1 + $ $ ( ) * +( folgt aus dem Gronwall- Lemma

63 4. Analyse der Modelle Bemerkung. Lemma 1 stellt sicher, dass die Summe der totalen kine,schen Energie und der elas,schen poten,ellen Energie für jedes t beschränkt durch einen Term bleibt, der nur von den Anfangsbedingungen und H abhängt.

64 4. Analyse der Modelle Betrachten wir nun zuletzt das verallgemeinerte Saitenmodell mit folgenden Anfangs - und Randbedingungen = in, = 1 w t = t = = = = $ $ Wir definieren die Energiefunk,on : $ = 1 $ $ $ + $ ( +) $ ( ( *

65 4. Analyse der Modelle Lemma. Ist $ und = =, so gilt folgende Ungleichung für fast jedes : t I $+ $ $ $ $ $ 1 )$ $ +* +$ )$ ( ( $ wobei k = C p /c und C p die Poincaré Konstante ist.

66 4. Analyse der Modelle Beweis. Wir mul,plizieren $ = mit und integrieren anschließend bzgl. z. Wir haben dann also : + $ 3 $ $ $ +( $ $ ) 3 $ $ $ $$ $$ $$ $$ $$ $$ = *$ 1) ) 1 $ = 1 3) Analog zu 1) 4) Analog zu ) $ $ = ( $ $ $ $ = $ $ ) ( + = $ $ ) ( + * * $ = $ $ 3 $ $ $ = $ ) ( $ + * + $ $, $ / + $. - 1 $

67 4. Analyse der Modelle Wir haben dann folgende Gleichung stehen : 1 $ $ $$ ( * ) + $ $$$ + = $ $ $ $$ $ + ( + $ ) $ $$$ + ( * ), $ / + ). - $$$ 1 $ Wir benutzen nun, dass $ = 1 $ $ gilt und nach Vor. = = (homogene Randbegdingungen) ist. Dadurch vereinfacht sich der obige Ausdruck zu : $ ) ( 1 $ + $ $ + ( $$ $ ( $ + ) $$$ * $ = $ $ )

68 4. Analyse der Modelle Dann ist obiger Ausdruck äquivalent zu : $ 1 $ + $ + ( $ $ $) + ) ( $ ) $ = $ $ ( * 1 $ $, $ + +, - +( $ )/ ) (. / + ) $ = $ $ $ + $ ) = $ ( ( $ + * 1) ) ( $ ( + * 1) = $ ( Wir wenden nun auf den letzten Term die skalierte Youngsche Ungleichung (für p=q=) an und erhalten : $ + 1 4

69 4. Analyse der Modelle Auf wenden wir nun die Poincaré- Ungleichung an : = $ $ Wähle so, dass. Wir haben dann insgesamt, dass $ 1 4 $ + $ + $ 1 4$ ( + $ $ + $ 1 4$ ( = ) * (

70 4. Analyse der Modelle Im letzten Schrid integrieren wir die Ungleichung zwischen t und t, $ + $$ * + ( ), ) $ $+ $ $ $ + ) * ( $ $ $ + (

71 5. Quellen 1. A. Quarteroni, L. Formaggia: Handbook of Numerical Analysis 1: Computa,onal models for the human body, Kapitel IV. K. Königsberger: Analysis I, S.43-45, Springer Bilder : hdp://de.wikipedia.org/wiki/tunica_in,ma 4. M. Zamir : The Physics of pulsa,le flow, AIP Press, 5. A.Quarteroni : Lecture Notes : Fluid- Structure interac,on for blood flow problems, AMS- AMF Summer School 1